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大题仿真卷 04（A 组+B 组+C 组）
（模式：5题 满分：77分 限时：70分钟）
一、解答题
1．（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 .
(1)证明 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)证明： .
2．（23-24高三上·山东日照·期末）随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科
毕业生中考研人数也不断攀升，2021年的考研人数是377万人，2022年考研人数是457万人.某省统计了
该省其中四所大学2023年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：
A大学 B大学 C大学 D大学
2023年毕业人数 （千人） 8 7 5 4
2023年考研人数 （千人） 0.6 0.4 0.3 0.3
(1)已知 与 具有较强的线性相关关系，求 关于 的线性回归方程 ；
(2)假设该省对选择考研的大学生每人发放0.6万元的补贴，若 大学的毕业生中小江､小沈选择考研的概率
分别为 ，该省对小江､小沈两人的考研补贴总金额的期望不超过0.75万元，求 的取值范围.
参考公式： .
3．（2024·山东威海·一模）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)令 .若曲线 与 存在公切线，求实数 的取值
范围.4．（2024·四川成都·模拟预测）已知 为抛物线 的焦点，过点 的直线与抛物线 相交于
A(x ,y )， 两点．
1 1
(1)证明： 是常数；
(2)过点 作直线 的垂线 与抛物线 的准线相交于点 ，与抛物线 相交于 ， 两点（点 的横坐
标小于点 的横坐标）．
①求 的值；
② 是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
5．（2024·广东河源·模拟预测）拿破仑排兵布阵是十分厉害的，有一次他让士兵站成一排，解散以后马上
再重新站成一排，并要求这些士兵不能站在自己原来的位置上．
(1)如果只有3个士兵，那么重新站成一排有多少种站法？4个呢？
(2)假设原来有 个士兵，解散以后不能站在自己原来位置上的站法为 种，写出 和 ，
之间的递推关系，并证明：数列 是等比数列；
(3)假设让站好的一排 个士兵解散后立即随机站成一排，记这些士兵都没有站到原位的概率为 ，证明：
当 无穷大时， 趋近于 ．（参考公式： ……）
（模式：3题 满分：45分 限时：40分钟）
一、解答题
1．（2024·山东威海·一模）在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，如图， 是 上的动点，且 始终等于 ，记 .当 为何值时，
的面积取到最小值，并求出最小值.
2．（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，离心
率为2，P是E的右支上一点，且 ， 的面积为3．(1)求E的方程；
(2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点 的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分
别即为 和 ，求 的最小值．
3．（2024·河南·模拟预测）已知函数 的一个极值点为 ．
(1)求 的值；
(2)若过点 可作曲线 的三条不同的切线，求实数 的取值范围．
（模式：2题 满分：34分 限时：30分钟）
1．（24-25高三上·福建·期中）对于数列 ，定义变换 ， 将数列 变换成数列
，记 ， ，对于数列 与
，定义 .若数列 满足 ，
则称数列 为 数列，
(1)若数列 ，写出 ，并求 .
(2)对于任意给定的正整数 ，是否存在 数列 ，使得 ？若存在，写出一个数列 ；
若不存在，说明理由.
(3)若 数列 满足 ，求数列 的个数.
2．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数 ．
(1)若 ，求函数 的极值；
(2)若 ， ，求实数a的取值范围；
(3)若 ，且 ，证明： ．
