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模型八、平抛模型
【模型概述】
一、平抛运动
1.性质:加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线.
2.基本规律:以抛出点为原点，水平方向(初速度 方向)为x轴，竖直向下方向为y轴，建立平面直角坐
标系，则:
(1)水平方向:做匀速直线运动，速度 ,位移
(2)竖直方向:做自由落体运动，速度 ,位移
θ
(3)合速度: ,方向与水平方向的夹角为 ,则
(4)合位移: ,方向与水平方向的夹角为 ,则
二、平抛运动的基本规律
1.飞行时间:由 ，时间取决于下落高度h,与初速度 无关.
2.水平射程: ，即水平射程由初速度 和下落高度h共同决定，与其他因素无关.
θ
3. 落 地 速 度 : , 以 表 示 落 地 速 度 与 x 轴 正 方 向 的 夹 角 ， 有所以落地速度也只与初速度v和下落高度h有关.
4.速度改变量:因为平抛运动的加速度为重力加速度g所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔 内的
速度改变量 相同，方向恒为竖直向下，如图所示.
5.两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图
中A点和B点所示.
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一-位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α,位移与水
平方向的夹角为 ,则 .
θ
三、斜抛运动
1.运动性质 加速度为g的匀变速曲线运动，轨迹为抛物线.
2.基本规律(以斜向上抛为例说明，如图所示)(1)水平方向: ，
(2)竖直方向: ，
【模型解题】
1、“化曲为直”思想——平抛运动的基本求解方法
在研究平拋运动问题时，根据运动效果的等效性，利用运动分解的方法，将其转化为我们所熟悉的两个方
向上的直线运动，即水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动.再运用运动合成的方法求出平
抛运动的规律.这种处理问题的方法可以变曲线运动为直线运动，变复杂运动为简单运动，是处理曲线运
动问题的一种重要的思想方法.
平抛运动的三种分解思路:
(1)分解速度:
(2)分解位移: ， ，
(3)分解加速度
2、求解多体平抛问题的3点注意
(1)若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水
平分运动.
(2)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平
分运动和竖直高度差决定.
(3)若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运
动和竖直分运动.
【模型训练】
【例1】如图，将一支飞镖在竖直墙壁的左侧O点以不同的速度水平抛出，A为O点在竖直墙壁上的投影
点，每次抛出飞镖的同时，在A处由静止释放一个特制（飞镖能轻易射穿）的小球，且飞镖均能插在墙壁上，第一次插在墙壁时，飞镖与墙壁的夹角为 ，第二次插在墙壁时，飞镖与墙壁的夹角为 ，图中没
有画出，不计空气阻力。（ ， ）则（ ）
A．两次速度增量之比为9：16
B．两次抛出的飞镖只有一次能击中小球
C．两次下落的高度之比为9：16
D．两次平抛的初速度之比为3：4
【答案】C
【详解】A．第一次插在墙壁时，飞镖与墙壁的夹角为 ，则
第二次插在墙壁时，飞镖与墙壁的夹角为 ，则
因为
解得
根据
可知，两次速度增量之比为3：4，故A错误；
B．因为平抛运动竖直方向是自由落体运动，所以两次均能命中小球，故B错误；
C．根据
两次下落的高度之比为9：16，故C正确；
D．因为两次平抛的初速度之比为4：3，故D错误。
故选C。
变式1.1如图所示， 、 两点位于同一条竖直线上，从 、 两点分别以速度 、 水平抛出两个相同的
小球，可视为质点，它们在水平地面上方的 点相遇。假设在相遇过程中两球的运动没有受到影响，空气
阻力忽略不计，则下列说法正确的是（ ）
A．两个小球从 、 两点同时抛出
B．两小球抛出的初速度
C．从 点抛出的小球着地时水平射程较小
D．从 点抛出的小球着地时重力的瞬时功率较大
【答案】D
【详解】A．a点较高，运动时间较长，从a点先抛出，A错误；
B．根据
，
得
则抛出的初速度关系为
B错误；
C．a球到达P点时竖直分速度较大，则a球先落地，由于a球水平速度较小，则从 点抛出的小球着地时
水平射程较大，C错误；
D．根据
，
从a点抛出的小球落地时竖直速度较大，重力功率较大，D正确。
故选D。变式1.2学校给同学们提供了乒乓球台，很多同学利用课余时间打乒乓球锻炼身体。某同学接球后，两次
将球再次拍出。为简化过程，假定乒乓球为质点，运动中空气阻力不计。如图所示，该同学第一次将乒乓
球由 点斜抛拍出，落点为 点；对方反击后，该同学在 点将球再次平抛拍出，同样也落于 点。已知两
次运动轨迹的最高点 、 高度相同，假设 、 、 三点位于同一竖直面内，则下列说法正确的是
（ ）
A．乒乓球两次落于 点的动能一定相同
B．乒乓球两次落于 点前瞬间，重力的功率一定相同
C．乒乓球由 到 、 到 过程中，重力的冲量一定相同
D．乒乓球两次被拍出的过程中，第二次球拍对球做的功一定较大
【答案】B
【详解】A．根据平抛运动规律
， ，
假设最高点到台面的高度为 ，可知两次运动过程中，由 到 的时间为 ，由 到 的时间为
，则两次运动的水平速度不同，落到 点的竖直速度相同，故两次落 点的速度不相等，两次落到 点的
动能不相同，第二次落到 点的动能大一些，A错误；
B．两次落于 点前瞬间，竖直方向的速度均为
重力的功率均为
则两次落于 点重力的功率相同，B正确；
C．重力的冲量为
由于两次运动的时间不相同，则两次运动过程中，重力的冲量不相同，C错误；D．由于球拍接到乒乓球前的速度未知，故无法比较第二次球拍做的功与第一次球拍做的功的大小关系，
D错误；
故选B。
【例2】如图示，半圆轨道固定在水平面上，一小球（小球可视为质点）从半圆轨道上B点沿切线斜向左
上方抛出，到达半圆轨道左端A点正上方某处小球的速度刚好水平，O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为
R，OB与水平方向的夹角为 ，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球在A点正上方的水平速度为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】小球虽说是做斜抛运动，由于到达半圆轨道左端A点正上方某处小球的速度刚好水平，所以逆向
看是小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动，运动过程中恰好与半圆轨道相切于B点，这
样就可以用平抛运动规律求解。因小球运动过程中恰好与半圆轨道相切于B点，则速度与水平方向的夹角
为 ，设位移与水平方向的夹角为 ，则
因为
则竖直位移
而
所以解得
故选A。
变式2.1如图所示，竖直平面内平抛的小球恰好与光滑半圆面相切于B点，已知抛出点在半圆面左端点A
点的正上方，半圆面半径为R，直线OB与水平面成 角，重力加速度为g，则下列关于小球在空中的运
动分析正确的是
A．小球到达B点飞行的时间为
B．小球平抛的初速度为
C．小球到达B点时水平位移
D．小球到达B点时竖直位移
【答案】B
【详解】AB．小球飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点,则知在B点时速度与水平方向的夹角为 ，有
根据得
由
解得：
飞行的时间为
故A项错误，B项正确；
C．由几何知识可得，小球自抛出至B点的水平射程为：
故C项错误；
D．设位移与水平方向的夹角为θ，则有：
可得竖直位移为
故D项错误．
【例3】如图所示，ab两个小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度同时水平向左、向右
抛出，已知半圆轨道的半径R与斜面的竖直高度相等，斜面倾角为 ，重力加速度为g，要使两球同时落
到半圆轨道上和斜面上，小球抛出的初速度大小为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】将半圆轨道和斜面重合放置，会发现两轨道交于A点，也就是说当抛出小球的速度恰好为某一值
时，两小球会在同时落到半圆轨道上和斜面上，如图中的x和y分别为小球做平抛运动的水平位移和竖直
位移
， ， ，
得
故选B。
变式3.1如图所示，O为半圆槽的圆心、R为半圆槽的半径，重力加速度为g。先将小球从O点以初速度v
0
沿水平方向抛出，在小球自O点抛出至与半圆槽相撞的过程中（ ）
A．v 越大，小球的位移越大
0
B．v 越小，小球的位移越大
0
C．无论v 多大，小球都不可能与半圆槽垂直相撞
0
D．只有 时，小球才与半圆槽垂直相撞
【答案】C
【详解】AB．因小球的初位置在圆心O，末位置在圆上，故小球的位移总是R，与v 的大小无关，故AB
0错误；
CD．因平抛运动末速度的反向延长线通过水平分位移的中点，而不是通过圆心，所以无论v 多大，小球
0
都不可能与半圆槽垂直相撞，故C正确，D错误；
故选C。
变式3.2如图所示，ab两个小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度同时水平向左、右抛
出，已知半圆轨道的半径与斜面的竖直高度h相等，斜面宽为2R，重力加速度为g，则有关小球落到斜面
和半圆轨道的时间t 和t 的说法一定正确的是（ ）
1 2
A．t>t B．t
