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模型八、平抛模型
【模型概述】
一、平抛运动
1.性质:加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线.
2.基本规律:以抛出点为原点，水平方向(初速度 方向)为x轴，竖直向下方向为y轴，建立平面直角坐
标系，则:
(1)水平方向:做匀速直线运动，速度 ,位移
(2)竖直方向:做自由落体运动，速度 ,位移
θ
(3)合速度: ,方向与水平方向的夹角为 ,则
(4)合位移: ,方向与水平方向的夹角为 ,则
二、平抛运动的基本规律
1.飞行时间:由 ，时间取决于下落高度h,与初速度 无关.
2.水平射程: ，即水平射程由初速度 和下落高度h共同决定，与其他因素无关.
θ
3. 落 地 速 度 : , 以 表 示 落 地 速 度 与 x 轴 正 方 向 的 夹 角 ， 有所以落地速度也只与初速度v和下落高度h有关.
4.速度改变量:因为平抛运动的加速度为重力加速度g所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔 内的
速度改变量 相同，方向恒为竖直向下，如图所示.
5.两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图
中A点和B点所示.
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一-位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α,位移与水
平方向的夹角为 ,则 .
θ
三、斜抛运动
1.运动性质 加速度为g的匀变速曲线运动，轨迹为抛物线.
2.基本规律(以斜向上抛为例说明，如图所示)(1)水平方向: ，
(2)竖直方向: ，
【模型解题】
1、“化曲为直”思想——平抛运动的基本求解方法
在研究平拋运动问题时，根据运动效果的等效性，利用运动分解的方法，将其转化为我们所熟悉的两个方
向上的直线运动，即水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动.再运用运动合成的方法求出平
抛运动的规律.这种处理问题的方法可以变曲线运动为直线运动，变复杂运动为简单运动，是处理曲线运
动问题的一种重要的思想方法.
平抛运动的三种分解思路:
(1)分解速度:
(2)分解位移: ， ，
(3)分解加速度
2、求解多体平抛问题的3点注意
(1)若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水
平分运动.
(2)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平
分运动和竖直高度差决定.
(3)若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运
动和竖直分运动.
【模型训练】
【例1】如图，将一支飞镖在竖直墙壁的左侧O点以不同的速度水平抛出，A为O点在竖直墙壁上的投影
点，每次抛出飞镖的同时，在A处由静止释放一个特制（飞镖能轻易射穿）的小球，且飞镖均能插在墙壁上，第一次插在墙壁时，飞镖与墙壁的夹角为 ，第二次插在墙壁时，飞镖与墙壁的夹角为 ，图中没
有画出，不计空气阻力。（ ， ）则（ ）
A．两次速度增量之比为9：16
B．两次抛出的飞镖只有一次能击中小球
C．两次下落的高度之比为9：16
D．两次平抛的初速度之比为3：4
变式1.1如图所示， 、 两点位于同一条竖直线上，从 、 两点分别以速度 、 水平抛出两个相同的
小球，可视为质点，它们在水平地面上方的 点相遇。假设在相遇过程中两球的运动没有受到影响，空气
阻力忽略不计，则下列说法正确的是（ ）
A．两个小球从 、 两点同时抛出
B．两小球抛出的初速度
C．从 点抛出的小球着地时水平射程较小
D．从 点抛出的小球着地时重力的瞬时功率较大
变式1.2学校给同学们提供了乒乓球台，很多同学利用课余时间打乒乓球锻炼身体。某同学接球后，两次
将球再次拍出。为简化过程，假定乒乓球为质点，运动中空气阻力不计。如图所示，该同学第一次将乒乓
球由 点斜抛拍出，落点为 点；对方反击后，该同学在 点将球再次平抛拍出，同样也落于 点。已知两
次运动轨迹的最高点 、 高度相同，假设 、 、 三点位于同一竖直面内，则下列说法正确的是
（ ）A．乒乓球两次落于 点的动能一定相同
B．乒乓球两次落于 点前瞬间，重力的功率一定相同
C．乒乓球由 到 、 到 过程中，重力的冲量一定相同
D．乒乓球两次被拍出的过程中，第二次球拍对球做的功一定较大
【例2】如图示，半圆轨道固定在水平面上，一小球（小球可视为质点）从半圆轨道上B点沿切线斜向左
上方抛出，到达半圆轨道左端A点正上方某处小球的速度刚好水平，O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为
R，OB与水平方向的夹角为 ，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球在A点正上方的水平速度为
（ ）
A． B． C． D．
变式2.1如图所示，竖直平面内平抛的小球恰好与光滑半圆面相切于B点，已知抛出点在半圆面左端点A
点的正上方，半圆面半径为R，直线OB与水平面成 角，重力加速度为g，则下列关于小球在空中的运
动分析正确的是
A．小球到达B点飞行的时间为
B．小球平抛的初速度为
C．小球到达B点时水平位移
D．小球到达B点时竖直位移
【例3】如图所示，ab两个小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度同时水平向左、向右抛出，已知半圆轨道的半径R与斜面的竖直高度相等，斜面倾角为 ，重力加速度为g，要使两球同时落
到半圆轨道上和斜面上，小球抛出的初速度大小为（ ）
A． B． C． D．
变式3.1如图所示，O为半圆槽的圆心、R为半圆槽的半径，重力加速度为g。先将小球从O点以初速度v
0
沿水平方向抛出，在小球自O点抛出至与半圆槽相撞的过程中（ ）
A．v 越大，小球的位移越大
0
B．v 越小，小球的位移越大
0
C．无论v 多大，小球都不可能与半圆槽垂直相撞
0
D．只有 时，小球才与半圆槽垂直相撞
变式3.2如图所示，ab两个小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度同时水平向左、右抛
出，已知半圆轨道的半径与斜面的竖直高度h相等，斜面宽为2R，重力加速度为g，则有关小球落到斜面
和半圆轨道的时间t 和t 的说法一定正确的是（ ）
1 2
A．t>t B．t<t
1 2 1 2
C．t=t D．以上情况都有可能
1 2
【例4】如图所示，小球甲从距离地面高度为 处以速度 竖直向上抛出，同时小球乙从距离地面高度为 处开始自由下落，小球运动的过程中不计空气阻力，重力加速度取 ，则
下列说法中正确的是（ ）
A．小球乙落地前，两小球的速度差逐渐变大
B．小球甲、乙运动的第2s内位移大小之比为1:2
C．至小球乙落地时，甲、乙两球的路程之比为2:3
D．落地前的运动过程中小球甲、乙的平均速率之比为5:6
变式4.1（多选）如图所示，小球A以某一速度水平向右抛出的同时，小球B斜向左上方以速度 抛出，
与水平方向的夹角为 。两球抛出后在同一竖直面内运动，且恰好在空中相碰。已知单独抛出小球B
时，小球B到达的最高点恰好与小球A的抛出点处于同一水平线上，且小球B落地点位于小球A抛出点的
正下方。不计空气阻力，重力加速度为 ， ， ，下列说法正确的是（ ）
A．小球A抛出的初速度大小等于 B．小球A抛出的初速度大小等于
C．两球抛出点的水平距离为 D．两球抛出点的水平距离为
变式4.2（多选）如图所示，同一高度处有4个质量相同且可视为质点的小球，现使小球A做自由落体运
动，小球B做平抛运动，小球C做竖直上抛运动，小球D做竖直下抛运动，且小球B、C、D抛出时的初
速度大小相同，不计空气阻力。小球从释放或抛出到落地的过程中（ ）A．重力对4个小球做的功相同
B．重力对4个小球做功的平均功率相等
C．落地前瞬间，重力对4个小球的瞬时功率大小关系为
D．重力对4个小球做功的平均功率大小关系为
【例5】某地方电视台有一个叫“投准”的游戏，其简化模型如图所示，左侧是一个平台，平台右边的地
面上有不断沿直线向平台运动的小车，参赛者站在台面上，看准时机将手中的球水平抛出，小球能落入小
车算有效。已知投球点与小车上方平面高度差h=5 m，小车的长度为L=1.0 m，小车以大小为a=2 m/s2的
0
加速度做匀减速运动，球的大小可忽略。某次活动中，一辆小车前端行驶到与平台水平距离L=23 m处
时，速度为v=11 m/s，同时参赛选手将球水平抛出，结果小球落入小车中。重力加速度g取10 m/s2，求：
0
(1)小球从抛出到落入小车的时间；
(2)小球抛出时的速度v的范围。
变式5.1如图所示，水平屋顶高H＝5 m，墙高h＝3.2 m，墙到房子的距离L＝3 m，墙外马路宽x＝8 m，
小球从房顶水平飞出，落在墙外的马路上，g＝10 m/s2.求：
(1)小球离开屋顶时的速度v 的大小范围；
0
(2)小球落在马路上的最小速度的大小．
变式5.2如图所示，水平平台AO长x＝1.0m，槽宽d＝0.20m，槽高h＝0.8m，现有一小球从平台上A点水
平射出，已知小球与平台间的阻力为其重力的0.2倍，空气阻力不计，g＝10m/s2。求：
(1)小球在平台上运动的加速度大小；
(2)为使小球能沿平台到达O点，求小球在A点的最小出射速度和此情景下小球在平台上的运动时间；
(3)若要保证小球不碰槽壁，求小球离开O点时的速度的范围。
