文档内容
学年普通高中高三第二次教学质量检测
２０２２－２０２３
数学文科参考答案
一 选择题
、
１．Ｂ ２．Ｃ ３．Ａ ４．Ｃ ５．Ｄ ６．Ａ ７．Ｃ ８．Ｂ ９．Ｂ １０．Ｄ
１１．Ｃ １２．Ｃ
二 填空题
、
ｘ ２ ｙ２ ．７ ．
１３．－２ １４．（ －２） ＋ ＝２ １５ １６ １０ ６
２
三 解答题
、
． 因为 ｂ Ａ ３ａ ｃ 由正弦定理可得 Ｂ Ａ ３ Ａ Ｃ 分
１７ （１） ｃｏｓ ＋ ＝ ， ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ， …… ２
２ ２
又 Ｃ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｂ 所以 ３ Ａ Ａ Ｂ 分
ｓｉｎ ＝ｓｉｎ（ ＋ ）＝ ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ ， ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ｃｏｓ ，…………… ４
２
π
因为 Ａ π 则 Ａ 所以 Ｂ ３ 因为 Ｂ π 所以 Ｂ 分
∈（０， ）， ｓｉｎ ＞０， ｃｏｓ ＝ ， ∈（０， ）， ＝ … ６
２ ６
π
因为 Ｂ ｃ
（２） ＝ ， ＝ ３，
６
ａ２ ｂ２
由余弦定理可得 Ｂ ＋３－ ３ 整理得 ａ２ ｂ２ ａ 分
ｃｏｓ ＝ ａ ＝ ， － ＋３＝３ ， ……………… ９
２ × ３ ２
又 ａ ｂ 解得 ａ ｂ
＋ ＝２， ＝ ＝１，
所以 Ｓ １ａｃ Ｂ １ １ ３ 分
△ ＡＢＣ＝ ｓｉｎ ＝ ×１× ３× ＝ …………………………………… １２
２ ２ ２ ４
．解 由已知得ｘ ６＋７＋８＋９＋１０ ｙ １０＋１２＋１１＋１２＋２０
１８ ：（１） ＝ ＝８， ＝ ＝１３，
５ ５
５ ｘ ｘ ２ ５ ｙ ｙ ２ ５ ｘ ｘ ｙ ｙ 分
∑ｉ （ ｉ－ ） ＝１０，∑ｉ （ ｉ－ ） ＝６４，∑ｉ （ ｉ－ ）（ ｉ－ ）＝ ２０， ……………………… ４
＝１ ＝１ ＝１
所以 ｒ ２０ ５ １０ ．
＝ ＝ ＝ ≈０ ７９１，
１０×６４ ２ １０ ４
因为 ｒ ． ．
｜ ｜≈０ ７９１∈［０ ７５，１］，
说明 ｙ 与 ｘ 的线性相关关系很强 可用线性回归模型拟合 ｙ 与 ｘ 的关系
， ， ……
分
…………………………………………………………………………………… ６
设线性回归方程为∧ｙ ∧ｂｘ ∧ａ
＝ ＋ ，
∧ｂ ２０ ∧ａ ｙ ∧ｂｘ
∴ ＝ ＝２， ＝ － ＝１３－１６＝－３，
１０
高三文科数学答案 第 页 共 页
１ （ ５ ）则 ｙ 关于 ｘ 线性回归方程为∧ｙ ｘ 分
＝２ －３； ……………………………………… ７
由题可得 列联表
（２） ２×２ ，
喜欢 不喜欢 总计
男
７０ ３０ １００ 分
女 …………………………… ９
４０ ６０ １００
总计
１１０ ９０ ２００
２
Ｋ２ ２００×（７０×６０－４０×３０） ． ．
＝ ≈１８ １８２＞１０ ８２８，
１００×１００×１１０×９０
有 ． ％的把握认为 游客是否喜欢该网红景点与性别有关联 ． 分
∴ ９９ ９ “ ” ……… １２
．解 Ｓ ａ Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ 分
１９ ：（１）∵ ｎ＝２＋ ｎ ＋１ ＝２＋（ ｎ ＋１ － ｎ），∴ ２ ｎ＝ ｎ ＋１ ＋２，……………………… ３
Ｓ
Ｓ Ｓ Ｓ ｎ ＋１ －２ 故数列 Ｓ 为等比数列 首项是Ｓ
∴ ｎ ＋１ －２＝２（ ｎ－２）， １ －２＝１， Ｓ ＝２， ｛ ｎ－２｝ ， １ －２
ｎ－２
公比为 ． 分
＝１， ２ ………………………………………………………………………… ６
由 可知 Ｓ ｎ －１ Ｓ ｎ －１ ａ Ｓ ｎ －１ 分
（２） （１） ｎ－２＝２ ，∴ ｎ＝２ ＋２， ｎ ＋１ ＝ ｎ－２＝２ ，………………… ８
ａ ｎ
ｎ
于是 ｂ ＋２ ２ １ １ 分
ｎ＝ ａ Ｓ ＝ ｎ ｎ ＝ ２（ ｎ － ｎ ）， ……… １０
（ ｎ ＋１ ＋１）（２ ｎ－３） （２ －１ ＋１）（２ ＋１） ２ －１ ＋１ ２ ＋１
Ｔ １ １ ２ ． 分
∴ ｎ＝２（ － ｎ ）＝ １－ ｎ ＜１ …………………………………………… １２
２ ２ ＋１ ２ ＋１
ｃ
．解 由题意得 ａ ｅ ３
２０ ：（１） ＝２， ＝ ａ ＝ ，
２
所以 ｃ ｂ２ ａ２ ｃ２
＝ ３， ＝ － ＝１，
ｘ２
所以椭圆 Ｃ 的方程为 ｙ２ ． 分
＋ ＝１ ……………………………………………… ３
４
证明 设 Ｐ ｘ ｙ
（２）（ⅰ） ： （ ０， ０），
ｘ２
因为 Ｐ 在椭圆 Ｃ 上 所以 ０ ｙ２ ．
， ＋ ０ ＝１
４
ｙ ｙ
因为 ｋ ０ ｋ ０
ＡＰ＝ｘ ， ＢＰ＝ｘ ，
０
＋２
０
－２
ｙ
所以直线 ＢＰ 的方程为 ｙ ０ ｘ ． 分
＝ｘ （ －２） ……………………………………… ５
０
－２
ｙ
所以 Ｎ 点的坐标为 Ｎ －８ ０ ．
（－６，ｘ ）
０
－２
ｙ
－８
０
ｘ ｙ
ｋ ０ －２ ２ ０ ．
∴ ＡＮ＝ ＝ｘ
－６＋２
０
－２
高三文科数学答案 第 页 共 页
２ （ ５ ）ｘ２
０
ｙ ｙ ｙ２ ２（１－ ）
ｋ ｋ ０ ２ ０ ２ ０ ４ １． 分
∴ ＡＰ· ＡＮ＝ｘ ·ｘ ＝ｘ２ ＝ ｘ２ ＝－ …………………………… ７
０ ＋２ ０ －２ ０ －４ ０ －４ ２
Ｍ Ｂ Ｑ 三点共线．
（ⅱ） ， ，
设 ｋ ｋ 易得 Ｍ ｋ ．
ＡＰ＝ ， （－６，－４ ）
由 ｋ １ 所以直线 ＡＮ 的方程为 ｙ １ ｘ ． 分
（ⅰ） ＡＮ＝－ ｋ， ＝－ ｋ（ ＋２） …………………… ８
２ ２
{ｘ２ ｙ２
联立 ＋４ －４＝０，可得 ｋ２ ｙ２ ｋｙ ．
ｘ ｋｙ （４＋４ ） ＋８ ＝０
＝－２ －２，
ｋ
解得 Ｑ 点的纵坐标为－２
ｋ２ ，
１＋
ｋ２ ｋ
所以 Ｑ 点的坐标为 Ｑ ２ －２ －２ ． 分
（ ｋ２ ， ｋ２ ） ……………………………………… １０
１＋ １＋
ｋ
－２
ｋ２ －０ ｋ ｋ ｋ
所以 ｋ １＋ ｋ －４ －０ ．
， ＢＱ＝ ｋ２ ＝ ， ＢＭ＝ ＝
２ －２ ２ －６－２ ２
ｋ２ －２
１＋
由于 ｋ ｋ
ＢＱ＝ ＢＭ
所以 Ｍ Ｂ Ｑ 三点共线． 分
， ， ……………………………………………………… １２
．解 ｆ ｘ 的定义域为 由已知可得
２１ ：（１） （ ） （０，＋∞），
ａ ａ ｘ ｘ ａ
ｆ′ ｘ －１ （ ＋１）（ － ） ｘ ．
（ ）＝ １－ｘ２ － ｘ ＝ ｘ２ （ ＞０）
若 ａ 则当 ｘ 时 ｆ′ ｘ 恒成立
① ≤０， ∈（０，＋∞） ， （ ）＞０ ，
ｆ ｘ 在 上单调递增 与 ｆ ｘ 存在极值点矛盾 分
∴ （ ） （０，＋∞） ， （ ） ，…………………… ２
若 ａ 则由 ｆ′ ｘ 得 ｘ ａ
② ＞０， （ ）＝ ０ ＝ ，
当 ｘ ａ 时 ｆ′ ｘ 当 ｘ ａ 时 ｆ′ ｘ
∴ ∈（０， ） ， （ ）＜０， ∈（ ，＋∞） ， （ ）＞０，
ｆ ｘ 在 ａ 内单调递减 在 ａ 上单调递增 ｆ ａ ｆ ｘ ａ ａ
∴ （ ） （０， ） ， （ ，＋∞） ，∴ （ ）＝ （ ）ｍｉｎ ＝ ＋１－（ －
ｌｎ ａ ａ ｌｎ ａ
１） －２＝（ －１）（１－ ）＝ ０，
ａ 或 ａ 分
∴ ＝１ ＝ｅ． ………………………………………………………………… ４
当 ａ 时 ｆ′ ｘ 在 ２ 上恒成立 ｆ ｘ 在 ２ 上单调递增
（２）① ≤１ ， （ ）≥０ ［１，ｅ ］ ，∴ （ ） ［１，ｅ ］ ．
ａ ａ
ｆ ａ ｆ ２ ２ ａ 当 ａ 时 ｆ ２ ２ ａ ２ ａ １
∵ （１）＝ －１≤０， （ｅ ）＝ ｅ ＋ －２ ， ≤０ ， （ｅ ）＝ ｅ ＋ －２ ＝ｅ ＋ （ －２）＞
２ ２ ２
ｅ ｅ ｅ
０；
ａ
当 ａ 时 ｆ ２ ２ ａ ａ ａ ａ ａ ． ｆ ２
０＜ ≤１ ， （ｅ ）＝ ｅ ＋ －２ ＞２ －２ ＝２ （１－ ）≥０ ∴ （ｅ ）＞０．
２
ｅ
ｆ ｘ 在 ２ 上有 个零点 分
∴ （ ） ［１，ｅ ］ １ ； ……………………………………………… ６
高三文科数学答案 第 页 共 页
３ （ ５ ）当 ａ ２ 时
② １＜ ＜ｅ ，
当 ｘ ａ 时 ｆ′ ｘ 当 ｘ ａ ２ 时 ｆ′ ｘ
∵ ∈［１， ） ， （ ）＜０； ∈（ ，ｅ ］ ， （ ）＞０，
ｆ ｘ 在 ａ 上单调递减 在 ａ ２ 上单调递增
∴ （ ） ［１， ） ， （ ，ｅ ］ ，
ｆ ｘ ｆ ａ ａ ａ ．
∴ （ ）ｍｉｎ ＝ （ ）＝ （ －１）（１－ｌｎ ）
当 ａ 时 ｆ ｘ 此时 ｆ ｘ 在 ２ 上有 个零点
＝ｅ ， （ ）ｍｉｎ ＝０， （ ） ［１，ｅ ］ １ ；
当 ａ 时 ｆ ｘ 此时 ｆ ｘ 在 ２ 上无零点
１＜ ＜ｅ ， （ ）ｍｉｎ＞０， （ ） ［１，ｅ ］ ；
ａ ４
当 ａ ２ 时 ｆ ｘ ｆ ａ ．则当 ｆ ２ ２ ａ 即 ｅ ａ ２
ｅ＜ ＜ｅ ， （ ）ｍｉｎ＜０， （１）＝ －１＞０ （ｅ ）＝ ｅ ＋
２
－２ ＜０，
２
＜ ＜ｅ
ｅ ２ｅ －１
时 ｆ ｘ 在 ２ 上有 个零点 分
， （ ） ［１，ｅ ］ １ ； ………………………………………………… ８
ａ ４
当 ｆ ２ ２ ａ 即 ａ ｅ 时 ｆ ｘ 在 ２ 上有 个零点
（ｅ ）＝ ｅ ＋ －２ ≥０， ｅ＜ ≤ ， （ ） ［１，ｅ ］ ２ ；………
２ ２
ｅ ２ｅ －１
分
…………………………………………………………………………………… ９
当 ａ ２ 时 ｆ′ ｘ 在 ２ 上恒成立 ｆ ｘ 在 ２ 上单调递减
③ ≥ｅ ， （ ）≤０ ［１，ｅ ］ ， （ ） ［１，ｅ ］ ．
ｆ ａ ｆ ２ ２ １ ａ ２ １ ２ ２ ｆ ｘ 在 ２
∵ （１）＝ －１＞０， （ｅ ）＝ ｅ ＋（ －２） ≤ｅ ＋（ －２）ｅ ＝－ｅ ＋１＜０，∴ （ ） ［１，ｅ ］
２ ２
ｅ ｅ
上有 个零点 分
１ ， …………………………………………………………………… １１
综上 当 ａ 时 ｆ ｘ 在 ２ 上无零点
， １＜ ＜ｅ ， （ ） ［１，ｅ ］ ；
４
当 ａ 或 ａ 或 ａ ｅ 时 ｆ ｘ 在 ２ 上有 个零点
≤１ ＝ｅ ＞ ， （ ） ［１，ｅ ］ １ ；
２
２ｅ －１
４
当 ａ ｅ 时 ｆ ｘ 在 ２ 上有 个零点 分
ｅ＜ ≤ ， （ ） ［１，ｅ ］ ２ ． …………………………… １２
２
２ｅ －１
{
ｘ α
解 曲线 Ｃ 的参数方程为 ＝３＋２ ２ｃｏｓ α 为参数
２２． ：（１）∵ ： （ ），
ｙ α
＝２ ２ｓｉｎ
消去参数 α 可得 ｘ ２ ｙ２ 分
∴ ，（ －３） ＋ ＝８， ………………………………………… ２
π
点 Ｐ 的极坐标为 且 ｘ ρ θ ｙ ρ θ
∵ （２， ）， ＝ ｃｏｓ ， ＝ ｓｉｍ ，
３
点 Ｐ 的直角坐标为 Ｐ 分
∴ （１， ３），……………………………………………… ４
将 Ｐ 代入曲线 Ｃ 的普通方程的左边得 ２ ２
（１， ３） （１－３） ＋（ ３） ＝７＜８，
故 Ｐ 在曲线 Ｃ 内部． 分
…………………………………………………………… ５
π
直线 ｌ θ 的极坐标方程对应的普通方程为 ｙ ｘ Ｐ 在直
（２）∵ ∶ ＝ ： ＝ ３ ，∴ （１， ３）
３
线上
，
ì
ï
ｘ １ｔ
ï ï ＝１＋
故可设直线 ｌ 的参数方程为í ２ ｔ 为参数 与曲线 Ｃ 的普通方程
ï （ ），
ïï ｙ ３ｔ
î ＝ ３＋
２
高三文科数学答案 第 页 共 页
４ （ ５ ）ｘ ２ ｙ２ 联立 化简整理可得 ｔ２ ｔ Δ 设两根为 ｔ ｔ
（ －３） ＋ ＝８ ， ， ＋ －１＝０， ＝５＞０， １， ２，
{ｔ ｔ
由韦达定理可得 １ ＋ ２ ＝－１
， ｔ ｔ ，
１ ２
＝－１
ｔ ｔ ２ ｔ ｔ
故 １ １ １ １ （ １ ＋ ２） －４ １ ２ ． 分
ＰＭ ＋ ＰＮ ＝ ｔ ＋ ｔ ＝ ｔ ｔ ＝ ５ ………………………… １０
｜ ｜ ｜ ｜ ｜ １｜ ｜ ２｜ ｜ １ ２｜
注意：本题用圆的极坐标方程来解同样给分！
ａ ａ ３ ａ ａ
． 解 因为 ａ ４ ４ ４ 当且仅当 ａ 时等号成
２３ （１） ： ＋ａ２ ＝ ＋ ＋ａ２ ≥３ × ×ａ２ ＝３， “ ＝２”
２ ２ ２ ２
立
，
所以当 ａ 时 ａ ４的最小值为 ． 分
＝２ ， ＋ａ２ ３ ………………………………………… ５
ｂｃ ａｃ ｂｃ ａｃ ａｃ ａｂ ｂｃ ａｂ
证明 因为 ｃ 同理 ａ ｂ 分
（２） ： ａ＋ｂ≥２ ａ·ｂ ＝２ ， ｂ ＋ ｃ ≥２ ，ａ＋ ｃ ≥２ ， ……… ８
ｂｃ ａｃ ａｂ
所以三式相加得 ａ ｂ ｃ
２（ ａ＋ｂ ＋ ｃ ）≥２（ ＋ ＋ ），
ｂｃ ａｃ ａｂ
所以 ａ ｂ ｃ 当且仅当 ａ ｂ ｃ 时等号成立． 分
ａ＋ｂ ＋ ｃ ≥ ＋ ＋ ， “ ＝ ＝ ” ………………… １０
高三文科数学答案 第 页 共 页
５ （ ５ ）
