文档内容
2023年新高考数学押题密卷（二）
注意事项：
1．答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改
动、先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．
4．请考生保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】由题意得 ，
所以复数 在复平面内对应的点为 ，位于第三象限，
故选：C
2．设 ， ，且 ， 则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知， ， ，
∵ ，∴ ，即 ，
∴ 的取值范围是 .
故选：C.
3．为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学四年级100名学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，绘制如下频率分布直方图.根据此图，下列结论中错误的是（ ）
A．
B．估计该小学四年级学生的一分钟跳绳的平均次数超过125
C．估计该小学四年级学生的一分钟跳绳次数的中位数约为119
D．四年级学生一分钟跳绳超过125次以上优秀，则估计该小学四年级优秀率为35%
【答案】B
【解析】根据题意可得 ，可得 ，故A正确；
根据频率分布直方图可得其平均数为
，所以B错误；
由频率分布直方图可知， ，而 ，
所以中位数落在区间 内，设中位数为 ，则 ，可得 ，所以C正确；
由图可知，超过125次以上的频率为 ，所以优秀率为35%，即D正确.
故选：B
4．若 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
由 ，得 ，即 ，所以 ，即 ，解得
或 (舍).
故选：C.
5．设 ， 为双曲线C： 的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当
取最小值时， 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由双曲线定义得 ,
故
如图示，当 三点共线，即Q在M位置时， 取最小值，
，故 方程为 ，
联立 ，解得点Q的坐标为 (Q为第一象限上的一点)，
故
故选：A
6．安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生
甲、乙到同一家企业实习的概率为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人；
当分为3,1,1人时，有 种实习方案，
当分为2,2,1人时，有 种实习方案，
即共有 种实习方案，
其中甲、乙到同一家企业实习的情况有 种，
故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为 ，
故选：D.
7．对于数列 ，若存在正数 ，使得对一切正整数 ，都有 ，则称数列 是有界的.若这样
的正数 不存在，则称数列 是无界的.记数列 的前 项和为 ，下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则数列 是无界的 B．若 ，则数列 是有界的
C．若 ，则数列 是有界的 D．若 ，则数列 是有界的
【答案】C
【解析】对于A， 恒成立， 存在正数 ，使得 恒成立，
数列 是有界的，A错误；
对于B， ，
， ，即随着 的增大，不存在正数 ，使得 恒成立，
数列 是无界的，B错误；
对于C，当 为偶数时， ；当 为奇数时， ；， 存在正数 ，使得 恒成立，
数列 是有界的，C正确；
对于D， ，
；
在 上单调递增， ，
不存在正数 ，使得 恒成立， 数列 是无界的，D错误.
故选：C.
8．如图， 中， ， ， 为 的中点，将 沿 折叠成三棱锥
，则当该三棱锥体积最大时它的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在 中， ， ， 为 的中点，
所以， ，
所以，在三棱锥 中， ，
因为 平面 ，
所以， 平面 ，
所以，当底面三角形 的面积最大时，该三棱锥的体积最大，
因为 ，当且仅当 时等号成立，所以，当 时，三角形 的面积最大，此时三棱锥 的体积最大，
所以， 两两垂直，
所以，三棱锥 的外接球即为以 为邻边的正方体的外接球，
所以，棱锥 的外接球直径为以 为邻边的正方体的体对角线，
所以，三棱锥 的外接球的半径满足 ，
所以，三棱锥 的外接球的表面积为 .
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、
相位相反的声波来抵消噪声.设噪声声波曲线函数为 ，降噪声波曲线函数为 ，已知某噪声
的声波曲线 部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C． 的单调减区间为 ，（ ）
D． 图像可以由 图像向右平移 个单位得到
【答案】AB【解析】对于A，由已知， ，
∴ ，故选项A正确；
对于B，∵ ，∴由图象知， ，∴ ，
又∵ ，且 在 的单调递减区间上，
∴ ，（ ），∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，故选项B正确；
对于C， ，
由 ，（ ），解得 ，（ ），
∴ 的单调减区间为 ，（ ），故选项C错误；
对于D， 图像向右平移 个单位得到：
，
故选项D错误.
故选：AB.
10．设 是公差为 （ ）的无穷等差数列 的前 项和，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 是数列 的最大项
B．若数列 有最小项，则
C．若数列 是递减数列，则对任意的： ，均有D．若对任意的 ，均有 ，则数列 是递增数列
【答案】BD
【解析】对于A：取数列 为首项为4，公差为 的等差数列， ，故A错误；
对于B：等差数列 中，公差 ， ， 是关于n的二次函数.当
数列 有最小项，即 有最小值， 对应的二次函数有最小值，对应的函数图象开口向上， ，B
正确；
对于C：取数列 为首项为1，公差为 的等差数列， ，
，即 恒成立，此时数列 是递减数列，而
，故C错误；
对于D：若数列 是递减数列，则 ，一定存在实数 ，当 时，之后所有项都
为负数，不能保证对任意 ，均有 .
故若对任意 ，均有 ，有数列 是递增数列，故D正确．
故选：BD
11．半正多面体（semiregular solid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面
体，半正多面体有且只有13种．最早用于1970年世界杯比赛的足球就可以近似看作是由12个正五边形和
20个正六边形组成的半正面体，半正多面体体现了数学的对称美．如图所示的二十四等边体就是一种半正
多面体，它由8个正三角形和6个正方形围成，它是通过对正方体进行八次切截而得到的．若这个二十四
等边体的棱长都为2，则下列结论正确的是（ ）A． 与平面 不可能垂直 B．异面直线 和 所成角为
C．该二十四等边体的体积为 D．该二十四等边体外接球的表面积为
【答案】ABC
【解析】对于A，若 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
又因为 为等边三角形，所以 ，这与 矛盾，故 与平面 不可能垂直，
所以A正确；
对于B，因为 ，所以异面直线 和 所成的角即为直线 和 所成的角，设角 ，
在正六边形 中，可得 ，所以异面直线 和 所成角为 ，所以B正确；
对于C，补全八个角构成一个棱长为 的一个正方体，则该正方体的体积为 ，其中每
个小三棱锥的体积为 ，
所以该二十四面体的体积为 ，所以C正确；对于D，取正方形 对角线的交点为 ，即为该二十四面体的外接球的球心，
其半径为 ，
所以该二十四面体的外接球的表面积为 ，所以D不正确．
故选：ABC.
12．已知函数 ， 的零点分别为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】
对A， ， 由 的图象向右向上各平移一个单位得到 图象，
函数 的图象关于直线 对称，即可知点A，B关于直线 对称.，故A不正确；
对B，由 ，故B正确；
对C， ，
等号不成立， ，故C正确；
对D，由图知 ，
，易知函数 在 上单调递减，
所以 ，故D不正确.
故选：BC.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知 ， ， 若 ， 则 __________
【答案】
【解析】 ， 且 ，
∴ ，
故
故答案为：
14．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ，
，则 __________.【答案】
【解析】∵ ，∴由正弦定理，得 ；
又∵ ，
∴由正弦定理，得 ，
将 代入上式，化简整理得 ，
两边同除以 ，得 ，
解得 或 （舍）.
故答案为： .
15． 为椭圆 上一点，曲线 与坐标轴的交点为 ， ， ， ，若
，则 到 轴的距离为__________.
【答案】
【解析】不妨设 ， ， ， ，
则 ， 为椭圆 的焦点，所以 ，
又 ，所以 ，
且 ，所以 在以 、 为焦点的椭圆上，且 ，所以 ，
所以 为椭圆 上一点，由 ，解得 ，则 ，
故 到 轴的距离为 .
故答案为：
16．若正实数a，b满足 ，则 的最小值为______.
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，即
令 ，则有 ( )，
设 ，则 ，由 得
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
所以 ，即 ，又因为 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立
所以 ，从而 ，所以 ( )
设 ( )，则 ，由 得
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 ，所以 的最小值为 ．
故答案为： ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）
设数列 的前n项和 满足： ，记 ．
(1)证明： 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)求 的最大值．
【解析】（1）由已知可得， ①，
当 时，有 ②，
①-②整理可得， ，
所以 ，
即 ，
又 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，
则 ；
（2）由（1）可知， ，
所以，当 时，有 ，
所以要求 的最大值，先比较 与 的大小，令 ，则 ，
根据函数的单调性，可知当 时， 单调递增.
且 时，有 ，所以 .
所以， 时，有 ，即 ；
当 时，有 ，所以 单调递增.
又 ， ，
所以 时， ，
所以 时，有 ，即 单调递减，
又 ， ， ， ， ，
所以 最大，此时 .
18．（12分）
如图，平面四边形ABCD中， ， ， ． 的内角A，B，C的对边分别为a，
b，c，且满足 ．
(1)求四边形ABCD的外接圆半径R；
(2)求 内切圆半径r的取值范围．【解析】（1）在 中， ，
所以 ，由正弦定理， ，可得 ，
再由余弦定理， ，又 ，所以 .因为 ，
所以 ，所以A，B，C，D四点共圆，
则四边形ABCD的外接圆半径就等于 外接圆的半径.
又 ，所以 .
（2）由（1）可知： ，则 . ，
则 .
在 中，由正弦定理，
，所以 ， ，则
，
又 ，所以 ，所以 ， ，所以 .
19．（12分）
近日，某芯片研发团队表示已自主研发成功多维先进封装技术XDFOI，可以实现4nm手机SOC芯片的封
装，这是中国芯片技术的又一个重大突破，对中国芯片的发展具有极为重要的意义．可以说国产4nm先进
封装技术的突破，激发了中国芯片的潜力，证明了知名院士倪光南所说的先进技术是买不来的、求不来的，
自主研发才是最终的出路．研发团队准备在国内某著名大学招募人才，准备了3道测试题，答对两道就可以被录用，甲、乙两人报名参加测试，他们通过每道试题的概率均为 ，且相互独立，若甲选择
了全部3道试题，乙随机选择了其中2道试题，试回答下列问题．（所选的题全部答完后再判断是否被录
用）
(1)求甲和乙各自被录用的概率；
(2)设甲和乙中被录用的人数为 ，请判断是否存在唯一的 值 ，使得 ？并说明理由．
【解析】（1）由题意，设甲答对题目的个数为 ，得 ，
则甲被录用的概率为 ，
乙被录用的概率为 ．
（2） 的可能取值为0，1，2，
则 ，
，
，
∴
，
，
设 ，
则 ．
∴当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，又 ， ， ，
所以不存在 的值 ，使得 .
20．（12分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形， ， ，M，N分别
是线段AB，PC的中点．
(1)求证：MN 平面PAD；
(2)在线段CD上是否存在一点Q，使得直线NQ与平面DMN所成角的正弦值为 ？若存在，求出 的值；
若不存在，请说明理由．
【解析】（1）如图，取PB中点E，连接ME，NE．
∵M，N分别是线段AB，PC的中点，∴ME PA．又∵ 平面PAD， 平面PAD，
∴ME 平面PAD，同理得NE 平面PAD．
又∵ ，∴平面PAD 平面MNE．
∵ 平面MNE，∴MN 平面PAD．
（2）∵ABCD为矩形，∴AB⊥AD．QPA⊥平面ABCD，∴AP、AB、AD两两垂直．
依次以AB、AD、AP为x、y、z轴建立如图的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，PC中点 ，∴ ， ．
设平面DMN的法向量 ，则 ，即 ，取x＝1，得y＝1，z＝－1， ．
若满足条件的CD上的点Q存在，设 ， ，又 ，则 ．
设直线NQ与平面DMN所成的角为 ，则 ，
解得t＝1或t＝－3．
已知0≤t≤4，则t＝1，∴ ．
DQ＝1，CD＝4，CQ＝CD－DQ＝4－1＝3， ．
故CD上存在点Q，使直线NQ与平面DMN所成角的正弦值为 ，且 ．
21．（12分）
已知抛物线C： 的焦点在圆E： 上.
(1)设点P是双曲线 左支上一动点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，证明：直
线AB与圆E相切；
(2)设点T是圆E上在第一象限内且位于抛物线开口区域以内的一点，直线l是圆E在点T处的切线，若直
线l与抛物线C交于M，N两点，求 的最大值.
【解析】（1）抛物线C： 的焦点为 ，故可知 ，
设 ， 的直线方程为 ， 的直线方程为 ， ，
则 ，
由于 与抛物线相切，所以 ，故方程的根为 ，将其
代入抛物线方程得 ，故 ，同理 , ，因此 是方程 的两个根，
故 ，
直线 的方程为 ，化简得 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
由于 ， ，将其代入得 ，故直
线AB与圆E相切
（2）联立 ，
设 ，且满足 ， ，则 ，则 ，此时 的直线方程为
，
联立直线 与抛物线方程 ，
设 ,所以 ，
进而 ，，
因此
，
由于 ， 当 时， 时 取最大值5，由于T是圆E上在第一象限内且位于抛物
线开口区域以内的一点，所以 在 的两侧，故 ，故此时 的最大值为5，
22．（12分）
已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)求函数 的最小值；
(3)若函数 的图象与直线 有两个不同的交点 、 ，证明： ．
【解析】（1）由函数 可得定义域为 ， ，令 可得 ，
当 ， ，即 在 上单调递减；
当 ， ，即 在 单调递增；
所以，函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ．
（2）由题意得 ，其定义域为 ， ，
当 ， ，即 在 上单调递减，
当 ， ，即 在 单调递增；
所以 ，即 的最小值是 ．
（3）由（2）可知 ，
即 ，直线 为函数 的一条切线，
，取 ， ， ，
所以 在 处的切线方程 ，即
（下面证明此切线在函数 图像下方）
令 ， ，
又令 ， 恒成立，
则 为单调递增函数，又 ，当 时， ，此时 单调递减，
当 ， ，此时 单调递增，所以 ，
所以函数 图像夹在直线 和直线 之间，
直线 与直线 的交点为 ，
与直线 的交点为 ，
不妨设 ，则 ．
