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特训 12 求数列通项公式的经典方法（八大题型）
1、公式法：
a、根据等差、等比数列的通项公式或前n项和公式，结合已知条件进行解题。
b、已知an与Sn的关系式：
①当n＝1时，由a＝S 求a 的值．
1 1 1
②当n≥2时，由a＝S－S ，求得a 的表达式
n n n－1 n
③检验a 的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段表示a．
1 n
④写出a 的完整表达式．
n
2、累加法：a−a =f(n-1)，累加后结果为a−a=f(1)+f(2)+⋯+f(n−1)
n n-1 n 1
3、累乘法：a/a =f(n-1)， 累乘后结果为a/a =f(1)·f(2)·⋯·f(n−1)
n n-1 n 1
4、构造法：
（1）、待定系数法：
（2）、同除+待定系数：
（3）、取倒数+待定系数：
（4）、取对数+待定系数：
（5）、连续三项：
5、不动点法：→不动点：方程 f(x)=x 的根称为函数 f(x)的不动点。数列通项公式例题分析:
目录：
01 ：公式法（构造公式法）
02 ：累加法
03 ：累乘法
04 ：待定系数法
05 ：对数变换法
06 ：数学归纳法
07：换元法
08 ：不动点法
01 ：公式法（构造公式法）
1. 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。
a 2
1 = =1
解： 两边除以 ，得 ，则 ，故数列
是以21 2
3
2
为首项，以 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得 ，所以数列 的通项公
式为 。
评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，说明数列 是等差数
列，再直接利用等差数列的通项公式求出 ，进而求出数列 的通项公式。
02 ：累加法2. 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
解：由 得 则
所以数列 的通项公式为 。
评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出
，即得数列 的通项公式。
变式（变式题均无答案）：已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
03 ：累乘法
3. 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
解：因为 ，所以 ，则 ，故
所以数列 的通项公式为
变式：已知数列 满足 ，求 的通项公式。04 ：待定系数法
4.已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
解：设 ④
将 代入④式，得 ，等式两边消去 ，得
，两边除以 ，得 代入④式得
⑤
由 及⑤式得 ，则 ，则数列 是以 为首
项，以2为公比的等比数列，则 ，故 。
评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，从而可知数列
是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列 的通项公式。
变式：
①已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
②已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
05 ：对数变换法
5.已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。
解：因为 ，所以 。在 式两边取常用对数得
⑩
设
将⑩式代入式，得 ，两边消去 并整理，得，则
，故
代入式，得
由 及式，
得 ，
则 ，
所以数列 是以 为首项，以5为公比的等比数列，则
，因此
则 。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 转化为
，从而可知数列
是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再
求出数列 的通项公式。
06 ：数学归纳法
6. 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
解：由 及 ，得
由此可猜测 ，往下用数学归纳法证明这个结论。
（1）当 时， ，所以等式成立。
（2）假设当 时等式成立，即 ，则当 时，由此可知，当 时等式也成立。
根据（1），（2）可知，等式对任何 都成立。
评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n项，进而猜出数列的通项公式，最后再
用数学归纳法加以证明。
07：换元法
7. 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
解：令 ，则
故 ，代入 得
即
因为 ，故
则 ，即 ，可化为 ，
1
2
所以 是以 为首项，以 为公比的等比数列，因此
，则 ，即 ，得
。
评注：本题解题的关键是通过将 的换元为 ，使得所给递推关系式转化 形式，
从而可知数列 为等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列 的通项公式。
08 ：不动点法
8. 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
解：令 ，得 ，则 是函数 的两个不动点。
因为
。 所 以 数 列 是 以
13
9
为首项，以 为公比的等比数列，故 ，则 。
评注：本题解题的关键是先求出函数 的不动点，即方程 的两个根
，进而可推出 ，从而可知数列 为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列 的通项公式。
变式：已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
一、解答题
1．（2023·广西南宁·模拟预测）数列 满足 ， （ 为正常数），且
， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得奇数项成等差数列，设公差为d，且偶数项成等比数列，公比为 ，运用
等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差d和公比q，即可得到所求通项公式；
（2）讨论n为偶数和奇数，由等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和.
【解析】（1）数列 满足 , ，
可得 成等差数列，即奇数项成等差数列,设公差为 ,且偶数项成等比数列,公比为 ,且 ， ， ,
可得 , ,
解得 ,
则 ,化为
（2）当 为偶数时,
数列 的前 项和
当 为奇数时 ,
当 时 也适合上式.
综上:
2．（2024·云南·模拟预测）已知数列 .
(1)求 ；(2)令 为数列 的前 项和，求 .
【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）利用 得到 ，再用两式相减可得 ，由于此时 ，所以需要
对第一项和第二项进行检验， ，最后可判断 是等比数列，并求出通项；
（2）先求出 ，再利用错位相减法来求出它的前 项和.
【解析】（1）由 ，
所以当 时，有 ，两式相减得： ，
即 .
又有 ，
所以 是以 为首项，公比为2的等比数列，所以 .
（2）由（1）知： ，
所以 ，
则 ，
上面两式相减得： ，所以 .
3．（2024·内蒙古包头·三模）已知数列 的前n项和为 ， ， ．
(1)证明：数列 是等比数列，并求 ；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】(1)根据题意 及 ，整理可得，即可得证；
(2)根据(1)中 可求出 分类讨论求出 的通项公式，再根据等比数列前n项和可求得 .
【解析】（1）因为 ，又 ，
所以 ，整理得 ．
由题意得 ，
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，故 ，
即 ．
（2）由（1）可 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 ，
.
当 ，代入 满足公式，
综上，
4．（2023·湖北荆州·模拟预测）已知数列 满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用作差法即可得解；
（2）利用错位相减法即可得解.
【解析】（1）因为 ，
当 时，得 ，当 时， ，
两式相减得： ，则 ，
检验： 满足上式，故 ；
（2）由（1）知 ，
则 ，
故 ，
两式相减可得：
，
故 ．
5．（2023·山东·二模）已知两个正项数列 ， 满足 ， ．
(1)求 ， 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，其中 表示不超过 的最大整数，求 的前 项和 ．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）依题意可得 ， ，即可求出 、 ；
（2）根据高斯函数先推出 的解析式，再运用等差数列求和公式计算可得.【解析】（1）由 ，得 ，
由 ，得 ， ，因为 是正项数列， ，
；
（2）因为 ，
所以 ，
所以当 时
，
当 时 满足 ，
所以 .
6．（2023·山西阳泉·三模）已知数列 满足 ， ．
(1)记 求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先对 变形得 ，然后再根据 得出 与 的关系，从而求出结果.
（2）先根据（1）的结果求出 的通项公式，然后利用裂项相消法即可求出前 项和.
【解析】（1） ， ，
又 ， ，
又 ，
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以数列 的通项公式为 .
（2）由（1）得 ，
所以数列 的前n项和为
=
.
7．（2021·浙江·模拟预测）已知数列 是各项均为正数的等比数列，且 ， ．数列
满足 ．
（1）求数列 ， 的通项公式；（2）若数列 的前 项和为 ，求证： ．
【答案】（1） ； ；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据已知条件及等比数列，求出数列 的公比，可得数列 的通项公式，再根据数列
， 之间的关系及等差数列的定义，求数列{bn}的通项公式；
（2）记 ，对 化简、变形，得 ，再对 分奇偶进行证明即可．
【解析】（1）设数列 的公比为 ，由 ，得 ，
又 ，得 ，解的 或 （舍去），
∴ ．又 ，
∴ ，即 ，得 ．
当 时， ，得 ，
∴ ，即 ，
∴数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，故 ．
（2）由（1），记 ，则 ，
由 ，
可知 ．
当 为奇数时， ；当 为偶数时， ．
综上所述， ．
【点睛】关键点点睛：
（1）由等比数列的性质求等比数列通项，根据等差数列的定义判断等差数列并写出通项公式；
（2）对 化简变形，将其分解为两项之和形式，再对 中的 分奇偶进行讨论．
8．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列 满足 ， .
(1)求证：数列 为等差数列；
(2)设 ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题 ，利用累乘法即可求解 ，进而可得 ，进而可
证等差；
（2）由（1）得 ，由裂项求和即可求解.
【解析】（1）由题可得 ，
所以当 时，
，
易知 满足 ，所以 .所以 ，
所以 是首项为1，公差为1的等差数列.
（2）由（1）可得 ，
所以
.
所以 .
9．（2022·全国·模拟预测）设数列 满足 ， ．
(1)求证： 为等比数列，并求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）由递推公式可得 ，即可得到 是以 为首项， 为公比的等比数
列，再根据等比数列的通项公式求出 的通项公式；
（2）由（1）可得 ，再利用错位相减法求和即可；
【解析】（1）解：因为 ， ，
所以 ，即
又 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ，所以
（2）解：由（1）可得 ，
所以 ①，
所以 ②，
① ②得
即 ，所以 ；
10．（2024·辽宁丹东·二模）已知数列 中， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 是等差数列，记 为数列 的前n项和， ， ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 ，得到 ，再利用累加法求解；
（2）设数列 的公差为d，根据 ，得到 ，从而 ，再由 求解.
【解析】（1）由 ，得 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 ．（2）设数列 的公差为d，
因为 ，得 ，易知 ，
因为 ，所以 ，可得 ，
又因为 ，所以 ，所以 ．
11．（2024·广东江门·二模）已知 是公差为2的等差数列，数列 的前 项和为 ，且
．
(1)求 的通项公式；
(2)求 ；
(3)[x]表示不超过 的最大整数，当 时， 是定值，求正整数 的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)7
【分析】（1）先由 是公差为2的等差数列，求得递推关系 ，再利用
叠加法求得 ，进而得到 的通项公式；
（2）法一：两次利用错位相减法即可求得数列 的前 项和为 ；法二：构造得
，再利用裂项相消法即可得解；
（3）利用数列单调性结合题给条件即可求得正整数 的最小值.【解析】（1）设 ，则 ．
因为 是公差为2的等差数列，所以 ．
设 ，则 ，
所以 时，
．
所以 ，即 ，
又 ，满足上式，所以
（2）（方法一）因为 ，
所以
两式相减得 ．
设 ，
则 ，
两式相减得
，
则 ．所以 ，即 ．
（方法二）因为 ，
所以 ．
所以
则 ，
即 ．
（3）当 时， ，且 ，所以 的定值为9．
所以当 时， ．
令 ，则 ，
，
所以 单调递减．
因为 ，所以 ，即正整数 的最小值为
【点睛】方法点睛：数列求和的方法技巧：
（1）倒序相加法：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
（2）错位相减法：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
（3）分组求和法：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．12．（2024·浙江杭州·二模）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 满足 ，令 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，由题意可得 ，解
方程求出 ，即可求出数列 的通项公式；
（2）由（1）可得 ，由累乘法可求出 的通项公式，再由裂项相消法求解即可.
【解析】（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ．
由 ，得 ，
解得： ，所以 ．
（2）由（1）知， ，
即 ， ， ，……， ，
利用累乘法可得：
， 也符合上式，所以 ．
13．（2024·河北承德·二模）已知正项数列 的前 项和为 ，满足 ，数列 满足
， .
(1)写出 ，并求数列 的通项公式；
(2)记 为数列 在区间 中的项的个数，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题可得 ，根据 结合条件可得 ，然后根据等差数列的概念
及通项公式即得；
（2）根据条件可得 ，进而可得 ，然后根据等比数列求和公式即得.
【解析】（1）由 可得 ，
又 ， ，
所以 ，
当 为偶数时，令 ，则 ，
所以数列 是以 为首项，以2为公差的等差数列，
所以 ；当 为奇数时，令 ，则 ，
所以数列 是以 为首项，以2为公差的等差数列，
所以 ；
综上所述， ；
（2）由（1）得 ，则 ，
由 ，可得 ，
因为 是一个递增数列，所以 ，
故 ， ，
故数列 是首项为1，公比为2的等比数列，
所以 .
14．（2024·广西·模拟预测）记数列 的前n项和为 ，对任意正整数n，有 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)对所有正整数m，若 ，则在 和 两项中插入 ，由此得到一个新数列 ，求 的前
91项和．
【答案】(1) .
(2)11563.
【分析】（1）利用 时， ； 时， 求解即可.
（2）先确定 前91项的最后一项，然后分别对其中的 和插入的 进行求和.【解析】（1）当 时， ．
又 时，得 ，也满足上式，
故 ．
（2）由 ，所以 ，
又 ，所以 前91项中有87项来自 ，
所以
．
15．（2024·江苏宿迁·三模）在数列 中， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知数列 满足 ；
①求证：数列 是等差数列；
②若 ，设数列 的前n项和为 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)①证明见解析 ；②证明见解析
【分析】（1）变形得到 ，结合 ，故 ，从而得到 ；
（2）①化简得到 ，利用 得到 ，同理可得
，证明出 是等差数列；②求出 ，结合 ，得到公差，得到通项公式 ，所以
，裂项相消法求和证明出结论.
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以n=1时， ，
所以数列 是各项为0的常数列，即 ，
所以 ．
（2）①由 得
所以 ①
所以 ②
②-①得： ③
所以 ④
④-③得 ，所以
即
所以数列 是等差数列．
②当 时，由 得 ，所以 ，
又 ，故 的公差为1，所以 ，所以 ，
即
．
【点睛】方法点睛：常见的裂项相消法求和类型：
分式型： ， ，
等；
指数型： ， 等，
根式型： 等，
对数型： ， 且 ；
16．（2024·浙江杭州·三模）卷积运算在图象处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用．一般地，
对无穷数列 ， ，定义无穷数列 ，记作 ，称为 与 的卷
积．卷积运算有如图所示的直观含义，即 中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，
易知有交换律 ．(1)若 ， ， ，求 ， ， ， ；
(2)对 ，定义 如下：①当 时， ；②当 时， 为满足通项
的数列 ，即将 的每一项向后平移 项，前 项都取为0．试找到数列 ，使
得 ；
(3)若 ， ，证明：当 时， ．
【答案】(1) ， ， ，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据数列 和数列 的通项公式，分别求出这两个数列的前四项，再根据数列 的定
义求出 ， ， ， .
（2）通过特例 和前面的一些项来寻找规律及性质，有效转化特殊与一般.
（3）思路一：由卷积运算的交换律，得 ，记 的前n项和为 ，再利用 求 .
思路二：记 的前n项和为 ， 对所有 对应项相加所得的数列为 ，易证卷积关于数列加
法有分配律、卷积运算满足结合律，因此可得 ， ，再利用 求 .
【解析】（1）因为 ， ，所以 ， ； ， ；， ； ， .
因为 ， ，
所以 ， ， ， .
（2） ，
对一般的 ， .
（3）方法一：
记 的前n项和为 ，由卷积运算的交换律有 ,
故 ，
因此 ，②
②－①得 ，
故当 时， ．
方法二：
记 的前n项和为 ，常数列 ，注意
（Ⅰ）
易证卷积关于数列加法有分配律，将（Ⅰ）中所有数列对应项相加，得 ，注意（Ⅱ）
注意 是 对所有 对应项相加所得的数列， 是 对所有 对应项相加所得的数
列，
易知卷积运算有结合律，因此将（Ⅱ）中所有数列对应项相加，
得 的通项即为 ，
故当 时， ．
注：以上论证可用符号语言说明如下：
定义数列加法： ，其中 ．
容易验证卷积运算满足结合律： ，
数列加法关于卷积满足分配律： ．
因此 .
【点睛】方法点睛：
本题主要考查数列新定义与卷积运算的综合问题，属于难题.
1、解决数列新概念问题时需注意:
（1）读懂定义，理解新定义数列的含义；
（2）通过特例列举前面的一些项来寻找规律及性质，以及新定义数列与已知数列的关系，进行求解.
2、卷积运算具有的性质
（1）交换律： .
（2）结合律： .（3）分配律： .
