文档内容
第 01 讲 直线的方程
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：直线的倾斜角和斜率.........................................................................................................4
知识点2：直线的方程.........................................................................................................................5
题型一：倾斜角与斜率的计算............................................................................................................6
题型二：三点共线问题........................................................................................................................7
题型三：过定点的直线与线段相交问题............................................................................................8
题型四：直线的方程............................................................................................................................9
题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题......................................................................................10
题型六：两直线的夹角问题..............................................................................................................12
题型七：直线过定点问题..................................................................................................................13
题型八：中点公式..............................................................................................................................14
题型九：轨迹方程..............................................................................................................................15
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................17
05课本典例·高考素材........................................................................................................................18
06易错分析·答题模板........................................................................................................................19
易错点：错误理解斜率与倾斜角间的关系......................................................................................19
答题模板：求斜率的取值范围..........................................................................................................19考点要求 考题统计 考情分析
高考对直线方程的考查比较稳定，考查
（1）直线的倾斜角与斜
2008年江苏卷第9题，5分 内容、频率、题型难度均变化不大，备考时
率
2006年上海卷第11题，4分 应熟练掌握直线的倾斜角与斜率、直线方程
（2）直线的方程
的求法等，特别要重视直线方程的求法.
复习目标：
（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
（2）根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．知识点1：直线的倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角
若直线 与 轴相交，则以 轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与 重合所成的角称为直线 的
倾斜角，通常用 表示
（1）若直线与 轴平行（或重合），则倾斜角为
（2）倾斜角的取值范围
2、直线的斜率
设直线的倾斜角为 ，则 的正切值称为直线的斜率，记为
（1）当 时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的
（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率
（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程
相联系）
（4） 越大，直线越陡峭
（5）倾斜角 与斜率 的关系
当 时，直线平行于轴或与轴重合；
当 时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随 的增大而增大；
当 时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随 的增大而增大；
3、过两点的直线斜率公式
已知直线上任意两点， ， 则
（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．（2）若 ，则直线 的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°
4、三点共线．
两直线 的斜率相等→ 三点共线；反过来， 三点共线，则直线 的斜
率相等（斜率存在时）或斜率都不存在．
【诊断自测】过点 和点 的直线的倾斜角为 ，则 的值是 .
知识点2：直线的方程
1、直线的截距
若直线 与坐标轴分别交于 ，则称 分别为直线 的横截距，纵截距
（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为
与“距离”相关）
（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线
2、直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 不含垂直于 轴的直线
斜截式 不含垂直于 轴的直线
两点式 不含直线 和直线
截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 平面直角坐标系内的直线都适用
3、求曲线（或直线）方程的方法：
在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：
（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到
两个点，或者一点一斜率
（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再
利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）
4、线段中点坐标公式
若点 的坐标分别为 且线段 的中点 的坐标为 ，则 ，此公式为线段 的中点坐标公式．
5、两直线的夹角公式
若直线 与直线 的夹角为 ，则 .
【诊断自测】过点 引直线，使 ， 两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是
（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
题型一：倾斜角与斜率的计算
【典例1-1】直线 的倾斜角为 .
【典例1-2】（2024·上海青浦·二模）已知直线 的倾斜角比直线 的倾斜角小 ，则 的斜
率为 ．
【方法技巧】
正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式 ，根据该公式求出经过两
点的直线斜率，当 时，直线的斜率不存在，倾斜角为 ，求斜率可用 ，其
中 为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割．牢记“斜率变化分两段， 是其分界，遇
到斜率要谨记，存在与否要讨论”．这可通过画正切函数在 上的图像来认识．
【变式1-1】（2024·河南信阳·二模）已知直线 的倾斜角为 ，则 的值是 ．
【变式1-2】若过点 ， 的直线的斜率等于1，则m的值为 ．
【变式1-3】若过点 ， 的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围为 ．【变式1-4】（2024·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）已知直线 的一个方向向量为 ，则
直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
题型二：三点共线问题
【典例2-1】若点 、 、 在同一直线上，则实数k的值为 ．
【典例2-2】若三点 ， ， (其中 )共线，则 .
【方法技巧】
斜率是反映直线相对于 轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线
上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因．
【变式2-1】若三点 共线，则 的值为 ．
【变式2-2】数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂
心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知 的顶点分别为 ， ， ，则
的欧拉线方程为 .
【变式2-3】已知 ， ， 三点在同一条直线上，则实数 m 的值为 ．
【变式2-4】已知 三点在同一条直线上，则实数 的值为 ．
题型三：过定点的直线与线段相交问题
【典例3-1】已知 ，若点 在线段AB上，则 的取值范围是 .
【典例3-2】已知点 过点A的直线 与线段BC相交，则直线 的斜率 的取值范围是 .
【方法技巧】
一般地，若已知 ，过 点作垂直于 轴的直线 ，过 点的任一直线 的
斜率为 ，则当 与线段 不相交时， 夹在 与 之间；当 与线段 相交时， 在 与 的两
边．
【变式3-1】已知点 ， ，直线 是过点 且与线段AB相交且斜率存在，则 的斜率
的取值范围是
【变式3-2】已知曲线 ，则 的取值范围是 ．
【变式3-3】已知直线 ，若直线 与连接 两点的线段总有公共点，
则直线 的倾斜角范围是 ．
【变式3-4】一质点在矩形 内运动，从 的中点 沿一确定方向发射该质点，依次由线段 、
、 反射.反射点分别为 、 、 （入射角等于反射角），最后落在线段 上的 （不包括端点）.
若 、 、 和 ，则 的斜率的取值范围是 .
【变式3-5】已知直线 和以 为端点的线段相交，则实数 的取值范围为
.
题型四：直线的方程
【典例4-1】已知ΔABC为等腰直角三角形，C为直角顶点，AC中点为 ，斜边上中线CE所在直线方
程为 ，且点C的纵坐标大于点E的纵坐标，则AB所在直线的方程为 .
【典例4-2】已知直线过点 ，它在 轴上的截距是在 轴上的截距的2倍，则此直线的方程为 ．【方法技巧】
要重点掌握直线方程的特征值（主要指斜率、截距）等问题；熟练地掌握和应用直线方程的几种形式，
尤其是点斜式、斜截式和一般式．
【变式4-1】已知点 ，直线 与 轴相交于点 ，则 中， 边上的高
所在直线的方程是 .
【变式4-2】已知 的顶点 ， ，其外心（外接圆圆心）、重心（三条中线交点）、垂
心（三条高线点）在同一条直线上，且这条直线的方程为 ，则顶点 的坐标是 .
【变式4-3】若△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高
BH所在直线方程为x－2y－5＝0，则直线BC的方程为 .
【变式4-4】如图，在 中， ， 所在直线方程分别为 和 ，则
的角平分线所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-5】已知 的顶点 ， 边上的中线所在直线方程为 ， 边上的高所在
直线方程为 ，则 所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题
【典例5-1】在平面直角坐标系中，已知射线 ，过点 作直线分别交射线OA、x轴
正半轴于点A、B．
(1)当AB的中点为P时，求直线AB的一般式方程；
(2)求 面积的最小值．
【典例5-2】已知直线 过点 .
(1)若直线 与直线 垂直，求直线 的方程；
(2)若直线 分别与 轴的正半轴， 轴的正半轴交于 、 两点， 为原点.若 的面积为 ，求直线
的方程.
【方法技巧】
（1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），
因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说．
（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件
恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用
点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方
程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏．
【变式5-1】过点 的直线 可表示为 ，若直线 与两坐标轴围成三角形的面
积为6，则这样的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【变式5-2】已知直线 和直线 ，当实数 的值在区间
内变化时，
(1)求证直线 恒过定点，并指出此定点的坐标.(2)求直线 与两坐标轴的正半轴围成的四边形面积的最小值.
【变式5-3】（2024·高二单元测试）已知直线l过点 ，与x轴正半轴交于点A､与y轴正半轴交于点
B.
（1）求 面积最小时直线l的方程（其中O为坐标原点）；
（2）求 的最小值及取得最小值时l的直线方程.
【变式5-4】（2024·河南郑州·高二宜阳县第一高级中学校联考阶段练习）已知直线 经
过定点P．
(1)证明：无论k取何值，直线l始终过第二象限；
(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，当 取最小值时，求直线l的方程．
【变式5-5】（2024·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）已知直线 过定点 ，且交
轴负半轴于点 ､交 轴正半轴于点 ．点 为坐标原点．
（1）若 的面积为4，求直线 的方程；
（2）求 的最小值，并求此时直线 的方程；
（3）求 的最小值，并求此时直线 的方程．【变式5-6】已知直线 ．
(1)当 时，求直线 与直线 的交点坐标；
(2)若直线 交 轴负半轴于点 ，交 轴正半轴于点 ．
① 的面积为 ，求 的最小值和此时直线 的方程；
②已知点 ，当 取最小值时，求直线 的方程．
题型六：两直线的夹角问题
【典例6-1】如果直线 与 的斜率分别是一元二次方程 的两个根，那么两直线的夹角为 .
【典例6-2】（2024·上海长宁·二模）直线 与直线 的夹角大小为 ．
【方法技巧】
若直线 与直线 的夹角为 ，则 .
【变式6-1】当 时，直线 与直线 的夹角为60°．
【变式6-2】（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，等边三角形 的边 所在直线斜率为 ，
则边 所在直线斜率的一个可能值为 .
【变式6-3】（2024·高三·上海浦东新·期末）直线 与直线 所成夹角的余弦值等于
【变式6-4】（2024·全国·模拟预测）已知等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为 .
【变式6-5】直线 与直线 的夹角为 .
题型七：直线过定点问题
【典例7-1】不论k为任何实数，直线 恒过定点，若直线 过此定点
其m，n是正实数，则 的最小值是 .
【典例7-2】不论m，n取什么值，直线 必过一定点为 .
【方法技巧】
合并参数
【变式7-1】直线 恒过定点
【变式7-2】直线 与直线 相交于点 ，对任意实数 ，
直线 分别恒过定点 ，则 的最大值为 .
【变式7-3】已知函数 且 过定点 ，直线 过定点 ，则
题型八：中点公式
【典例8-1】若直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，且线段AB的中点为 ，则直线l的方程为： ．
【典例8-2】过点 的直线 ，被直线 ， 所截得的线段 的中点恰
好在直线 上，则直线 的方程为 ．
【方法技巧】若点 的坐标分别为 且线段 的中点 的坐标为 ，则
【变式8-1】已知直线 与直线 和 的交点分别为 ，若点 是线段
的中点，则直线 的方程为 .
【变式8-2】过点 的直线 被两平行直线 与 所截线段 的中点恰
在直线 上，则直线 的方程是 ．
【变式8-3】已知点A，B分别是直线 和直线 上的点，点P为 的中点，设点
P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点 的直线 与曲线C，x轴分别交于点M，N，若点D为 的中点，求直线 的方程.
【变式8-4】已知直线 .
(1)求证：直线经过定点，并求出定点P；
(2)经过点P有一条直线l，它夹在两条直线 与 之间的线段恰被P平分，求直
线l的方程.
题型九：轨迹方程
【典例9-1】（2024·高三·全国·课后作业）若过点 且互相垂直的两条直线 分别与 轴、 轴交于
、 两点，则 中点 的轨迹方程为 .
【典例9-2】在平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知点 ，若点 满足 （
，且 ），则点 的轨迹方程为 ．
【方法技巧】
（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到
两个点，或者一点一斜率（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再
利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）
【变式9-1】已知 ，点 在直线 上运动， ，则点 的轨迹方程
是 ．
【变式9-2】已知 的顶点A、C的坐标分别为 、 ，顶点D在直线 上移动，
则顶点B的轨迹方程为 ．
【变式9-3】已知 满足方程 ，则M的轨迹为（ ）
A．直线 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
【变式9-4】在平面直角坐标系中，已知 的顶点坐标分别为 、 、 ，点 在直线
上运动，动点 满足 ，求点 的轨迹方程．
【变式9-5】（2024·安徽蚌埠·三模）如图，在平行四边形 中，点 是原点，点 和点 的坐标分别
是 、 ，点 是线段 上的动点.
(1)求 所在直线的一般式方程；
(2)当 在线段 上运动时，求线段 的中点 的轨迹方程.【变式9-6】如图，已知点 是直线 上任意一点，点 是直线 上任意一点，
连接 ，在线段 上取点 使得 .
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)已知点 ，是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
1．（2008年普通高等学校招生考试数学（文）试题（四川卷））直线 绕原点逆时针旋转 ，再向
右平移1个单位，所得到的直线为（ ）
A． B． C． D．
2．（2002年普通高等学校春季招生考试数学（文）试题（北京卷））到两坐标轴距离相等的点的轨迹方
程是（ ）
A． B． C． D．
3．（2004 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（湖北卷））已知点 和 ．直线
与线段 的交点M分有向线段 的比为 ，则m的值为（ ）
A． B． C． D．4
4．（2004年普通高等学校招生考试数学（文）试题（浙江卷））直线 与直线 的夹角是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020年山东省春季高考数学真题）已知直线 的图像如图所示，则角 是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
1．判断 ， ， 三点是否共线，并说明理由．
2．菱形的两条对角线分别位于x轴和y轴上，其长度分别为8和6，求菱形各边所在直线的方程．
3．求经过点 ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．
4．求直线 （A，B不同时为0）的系数A，B，C分别满足什么关系时，这条直线有以下性
质：
（1）与两条坐标轴都相交；
（2）只与x轴相交；（3）只与y轴相交；
（4）是x轴所在的直线；
（5）是y轴所在的直线．
5．画出直线 ，并在直线l外取若干点，将这些点的坐标代入 ，求它的值；观察有
什么规律，并把这个规律表示出来．
易错点：错误理解斜率与倾斜角间的关系
易错分析： 斜率与倾斜角是直线在平面几何中的两个重要属性，它们之间存在紧密的关系，但也容
易被误解。斜率表示直线的倾斜程度，是纵坐标差与横坐标差之商；而倾斜角则是直线与 x轴正方向之间
的夹角。误解常在于将斜率与倾斜角的正弦值混淆，或忽视了斜率不存在（即直线垂直于 x轴）时倾斜角
为90度这一特殊情况。
【易错题1】若经过两点A(4，2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角是直线4x－3y＋2 019＝0的倾斜角的一半，
则y的值为 .
【易错题2】直线 的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
答题模板：求斜率的取值范围
1、模板解决思路
求解斜率的取值范围问题时，通常的做法是先通过关键点计算出相关的斜率值，这些值往往作为临界
值存在。接着，结合图形的直观分析，判断斜率的取值范围是位于这些临界值的中间区域，还是分布在临界值的两侧。简而言之，就是先找临界斜率，再结合图形确定取值范围是居中还是分居两侧。
2、模板解决步骤
第一步：确定直线与几何图形有公共点的边界点.
第二步：求出已知点与边界点所在直线的斜率.
第三步：分析直线的变化范围，写出直线的斜率的取值范围.
【经典例题1】已知两点 ，B(2,1)，过点 的直线 与线段 （含端点）有交点，则直线
的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【经典例题2】已知直线 和以 ， 为端点的线段相交，则实数k的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
