文档内容
专题强化二十一 带电粒子在组合场中的运动
目标要求 1.掌握带电粒子在组合场中的运动规律和分析思路.2.学会处理磁场和磁场组合、
电场和磁场组合带电粒子运动问题．
1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出
现．
2．带电粒子在组合场中运动的分析思路
第1步：粒子按照时间顺序进入不同的区域可分成几个不同的阶段．
第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如图所示．
第3步：用规律
题型一 磁场与磁场的组合
磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的
速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同．解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点
与两圆心共线的特点，进一步寻找边角关系．
例1 (2020·江苏卷·16)空间存在两个垂直于Oxy平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，
磁感应强度分别为2B 、3B.甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O沿x轴正向射入磁场，
0 0
速度均为v.甲第1次、第2次经过y轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图1所示．甲经过Q
时，乙也恰好同时经过该点．已知甲的质量为m，电荷量为q.不考虑粒子间的相互作用和重
力影响．求：
图1
(1)Q到O的距离d；
(2)甲两次经过P点的时间间隔Δt；
(3)乙的比荷可能的最小值．答案 (1) (2) (3)
解析 (1)甲粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设半径分别为r、r
1 2
由qvB＝m可知r＝，
故r＝，r＝
1 2
且d＝2r－2r
1 2
解得d＝
(2)甲粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设运动时间分别 t、t
1 2
由T＝＝得t＝，t＝
1 2
且Δt＝2t＋3t
1 2
解得Δt＝
(3)乙粒子周期性地先后在两磁场中做匀速圆周运动
若经过两磁场的次数均为n(n＝1,2,3，…)
相遇时，有n＝d，n＝t＋t
1 2
解得＝n
根据题意，n＝1舍去．
当n＝2时，有最小值，() ＝
min
若先后经过右侧、左侧磁场的次数分别为(n＋1)、n(n＝0,1,2,3，…)，经分析不可能相遇．
综上分析，乙的比荷的最小值为.
题型二 电场与磁场的组合
先电场后磁场
1．带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直进入匀强磁场做匀速圆周运动，
如图2.
图2
2．带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动，然后垂直进入磁场做匀速圆周运动，如图3.图3
注意：进入磁场的速度是离开电场的末速度，而非进入电场的初速度．
例2 (2018·全国卷Ⅰ·25)如图4，在y>0的区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场，场强
大小为E；在y<0的区域存在方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场．一个氕核H和一个氘核
H先后从y轴上y＝h点以相同的动能射出，速度方向沿x轴正方向．已知H进入磁场时，
速度方向与x轴正方向的夹角为60°，并从坐标原点O处第一次射出磁场.H的质量为m，电
荷量为q.不计重力．求：
图4
(1)H第一次进入磁场的位置到原点O的距离；
(2)磁场的磁感应强度大小；
(3)H第一次离开磁场的位置到原点O的距离．
答案 (1)h (2) (3)(－1)h
解析 (1)H在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示．设 H
在电场中的加速度大小为a ，初速度大小为v ，它在电场中的运动时间为t ，第一次进入磁
1 1 1
场的位置到原点O的距离为s，由运动学公式有s＝vt①
1 1 11
h＝at2②
11
由题给条件，H进入磁场时速度的方向与x轴正方向夹角θ ＝60°.H进入磁场时速度沿y轴
1
方向的分量的大小为
at＝vtan θ③
11 1 1
联立以上各式得
s＝h④
1
(2)H在电场中运动时，由牛顿第二定律有
qE＝ma ⑤
1
设H进入磁场时速度的大小为v′，由速度合成法则有
1v′＝⑥
1
设磁感应强度大小为B，H在磁场中运动的圆轨道半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定
1
律有
qv′B＝⑦
1
由几何关系得
s＝2Rsin θ⑧
1 1 1
联立以上各式得
B＝⑨
(3)设H在电场中沿x轴正方向射出的速度大小为v ，在电场中的加速度大小为a ，由题给
2 2
条件得
(2m)v2＝mv2⑩
2 1
由牛顿第二定律有
qE＝2ma ⑪
2
设H第一次射入磁场时的速度大小为v′，速度的方向与x轴正方向夹角为θ，入射点到原
2 2
点的距离为s，在电场中运动的时间为t.由运动学公式有
2 2
s＝vt ⑫
2 22
h＝at2⑬
22
v′＝⑭
2
sin θ＝⑮
2
联立以上各式得s＝s，θ＝θ，v′＝v′⑯
2 1 2 1 2 1
设H在磁场中做圆周运动的半径为R ，由⑦⑯式及粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径公
2
式得
R＝＝R ⑰
2 1
所以出射点在原点左侧．设H进入磁场的入射点到第一次离开磁场的出射点的距离为s′，
2
由几何关系有
s′＝2Rsin θ ⑱
2 2 2
联立④⑧⑯⑰⑱式得，H第一次离开磁场时的位置到原点O的距离为s′－s＝(－1)h.
2 2
先磁场后电场
(1)进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反(如图5甲所示)．
(2)进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直(如图乙所示)．图5
例3 (2020·河南开封市模拟)如图6所示，真空中有一以O点为圆心的圆形匀强磁场区域，
半径为R＝0.5 m，磁场方向垂直纸面向里．在y>R的区域存在沿－y方向的匀强电场，电场
强度为E＝1.0×105 V/m.在M点有一正粒子以速率v＝1.0×106 m/s沿＋x方向射入磁场，
粒子穿出磁场进入电场，速度减小到0后又返回磁场，最终又从磁场离开．已知粒子的比荷
为＝1.0×107 C/kg，粒子重力不计．
图6
(1)求圆形磁场区域磁感应强度的大小；
(2)求沿＋x方向射入磁场的粒子，从进入磁场到再次穿出磁场所走过的路程．
答案 (1)0.2 T (2)(0.5π＋1) m
解析 (1)沿＋x方向射入磁场的粒子在进入电场后，速度减小到 0，粒子一定是从如图所示
的P点竖直向上射出磁场，逆着电场线运动，所以可得粒子在磁场中做匀速圆周运动的半
径r＝R＝0.5 m，根据Bqv＝，得B＝，代入数据得B＝0.2 T.
(2)粒子返回磁场后，经磁场偏转后从N点射出磁场(如图所示)，MN的长度等于直径，粒子
在磁场中的路程为二分之一圆周长，即s＝πR，设粒子在电场中运动的路程为s，根据动能
1 2
定理得Eq·＝mv2，得s＝，则总路程s＝s＋s＝πR＋.
2 1 2
代入数据得s＝(0.5π＋1) m.
1．(先电场后磁场)(2020·湖北宜昌市联考)如图7所示，在矩形区域ABCD内存在竖直向上
的匀强电场，在BC右侧Ⅰ、Ⅱ两区域存在匀强磁场，L 、L 、L 是磁场的边界(BC与L 重
1 2 3 1
合)，宽度相同，方向如图所示，区域Ⅰ的磁感应强度大小为B.一电荷量为＋q、质量为m
1的粒子(重力不计)从AD边中点以初速度v 沿水平向右方向进入电场，粒子恰好从B点进入
0
磁场，经区域Ⅰ后又恰好从与B点同一水平高度处进入区域Ⅱ.已知AB长度是BC长度的倍．
图7
(1)求带电粒子到达B点时的速度大小；
(2)求区域Ⅰ磁场的宽度L；
(3)要使带电粒子在整个磁场中运动的时间最长，求区域Ⅱ的磁感应强度B 的最小值．
2
答案 (1) (2) (3)1.5B
1
解析 (1)设带电粒子进入磁场时的速度大小为v，与水平方向成θ角，粒子在匀强电场中做
类平抛运动，由类平抛运动的速度方向与位移方向的关系有：tan θ＝＝，则θ＝30°
根据速度关系有：v＝＝；
(2)设带电粒子在区域Ⅰ中的轨道半径为r，由牛顿第二定律得：qvB＝m，轨迹如图甲所示：
1 1
由几何关系得：L＝r
1
解得：L＝；
(3)当带电粒子不从区域Ⅱ右边界离开磁场时，在磁场中运动的时间最长．设区域Ⅱ中最小
磁感应强度为B ，此时粒子恰好不从区域Ⅱ右边界离开磁场，对应的轨迹半径为r ，轨迹
2m 2
如图乙所示：
同理得：qvB ＝m
2m
根据几何关系有：L＝r(1＋sin θ)
2解得：B ＝1.5B.
2m 1
2．(先磁场后电场)(2020·山东潍坊市3月五县联考)如图8所示的坐标系xOy中，第一象限内
存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，第二象限存在沿y轴负方向的匀强电场，
0
x轴下方存在垂直纸面向里的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度未知．一带正电粒子从
A(d,0)点以初速度v 开始运动，初速度方向与x轴负方向夹角为53°，粒子到达y轴时速度方
0
向与y轴垂直，粒子经过电场区域、x轴下方磁场区域恰好回到A点，且速度方向与初速度
方向相同．粒子重力不计，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，求：
图8
(1)粒子的比荷；
(2)匀强电场的电场强度大小；
(3)x轴下方磁场的磁感应强度大小．
答案 (1) (2) (3)B
0
解析 (1)设粒子在第一象限内做圆周运动的半径为r，则有qvB＝m
1 0 0
由图可知r＝，解得＝
1
(2)设粒子类平抛过程竖直位移为Δy，
则Δy＝r－rcos 53°
1 1
由题意可知，粒子类平抛运动的末速度与x轴负方向夹角为θ＝53°，则v＝vtan θ，类平抛
y 0
运动过程v＝at，Δy＝at2，qE＝ma
y
联立解得t＝，E＝
(3)设粒子类平抛过程水平位移为Δx，则Δx＝vt，设粒子在y轴下方磁场区域运动的半径为
0
r，则r＝
2 2
粒子运动速度v＝，qvB＝m，解得B＝B.
0
课时精练
1．如图1所示，在第Ⅱ象限内有沿x轴正方向的匀强电场，电场强度为E，在第Ⅰ、Ⅳ象限内分别存在如图所示的匀强磁场，磁感应强度大小相等．有一个带电粒子以垂直于 x轴的
初速度v 从x轴上的P点进入匀强电场中，并且恰好与y轴的正方向成45°角进入磁场，又
0
恰好垂直于x轴进入第Ⅳ象限的磁场．已知O、P之间的距离为d，则带电粒子在磁场中第
二次经过x轴时，在电场和磁场中运动的总时间为 ( )
图1
A. B.(2＋5π)
C.(2＋) D.(2＋)
答案 D
解析 带电粒子的运动轨迹如图所示，
带电粒子出电场时，速度v＝v ，这一过程的时间t ＝＝，根据几何关系可得带电粒子在磁
0 1
场中的偏转轨道半径r＝2d，带电粒子在第Ⅰ象限中运动的圆心角为，故带电粒子在第Ⅰ象
限中的运动时间t ＝T＝·＝，带电粒子在第Ⅳ象限中运动的时间t ＝＝，故t ＝t ＋t ＋t ＝
2 3 总 1 2 3
(2＋)，D正确．
2．(2018·全国卷Ⅲ·24)如图2，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经加速电压U加速
后在纸面内水平向右运动，自M点垂直于磁场边界射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向
里，磁场左边界竖直．已知甲种离子射入磁场的速度大小为v ，并在磁场边界的N点射出；
1
乙种离子在MN的中点射出；MN长为l.不计重力影响和离子间的相互作用．求：
图2
(1)磁场的磁感应强度大小；
(2)甲、乙两种离子的比荷之比．
答案 (1) (2)1∶4
解析 (1)设甲种离子所带电荷量为q 、质量为m ，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R ，
1 1 1磁场的磁感应强度大小为B，由动能定理有qU＝mv2①
1 1 1
由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有qvB＝m②
1 1 1
由几何关系知2R＝l③
1
由①②③式得B＝④
(2)设乙种离子所带电荷量为q 、质量为m ，射入磁场的速度为v ，在磁场中做匀速圆周运
2 2 2
动的半径为R.同理有qU＝mv2⑤
2 2 2 2
qvB＝m⑥
2 2 2
由题给条件有2R＝⑦
2
由①②③⑤⑥⑦式得，甲、乙两种离子的比荷之比为
∶＝1∶4.
3.如图3所示，在x轴上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外；在x
轴下方存在匀强电场，电场方向与xOy平面平行，且与x轴成45°夹角．一质量为m、电荷
量为q(q>0)的粒子以初速度v 从y轴上的P点沿y轴正方向射出，一段时间后进入电场，进
0
入电场时的速度方向与电场方向相反；又经过一段时间T ，磁场的方向变为垂直于纸面向
0
里，大小不变．不计重力．
图3
(1)求粒子从P点出发至第一次到达x轴时所需时间；
(2)若要使粒子能够回到P点，求电场强度的最大值．
答案 (1) (2)
解析 (1)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示．
设运动半径为R，运动周期为T，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m
0
T＝
联立解得T＝
依题意，粒子第一次到达x轴时，转过的角度为π
所需时间为t＝T＝T
1
解得t＝.
1
(2)粒子进入电场后，先做匀减速直线运动，直到速度减小为 0，然后沿原路返回做匀加速直线运动，到达x轴时速度大小仍为v ，设粒子在电场中运动的总时间为 t ，加速度大小为
0 2
a，有qE＝ma
v＝a·
0
解得t＝
2
根据题意，要使粒子能够回到P点，必须满足t≥T
2 0
得电场强度最大值E ＝.
max
4.(2019·河南平顶山市一轮复习质检)如图4所示，平面直角坐标系xOy的第二、三象限内有
方向沿y轴正方向的匀强电场，第一、四象限内有圆形有界磁场，有界磁场的半径为L，磁
场的方向垂直于坐标平面向里，磁场边界与y轴相切于O点，在x轴上坐标为(－L,0)的P点
沿与x轴正方向成θ＝45°角斜向上射出一个速度大小为v 的带电粒子，粒子的质量为m，电
0
荷量为q，粒子经电场偏转垂直y轴射出电场，粒子进入磁场后经磁场偏转以沿y轴负方向
的速度射出磁场，不计粒子的重力．求：
图4
(1)粒子从y轴上射出电场的位置坐标；
(2)匀强电场电场强度大小及匀强磁场的磁感应强度大小；
(3)粒子从P点射出到射出磁场运动的时间为多少？
答案 (1)(0，L) (2) (3)＋
解析 (1)粒子在电场中的运动为类平抛运动的逆运动，
水平方向：L＝vcos θ·t，
0 1
竖直方向：y＝vsin θ·t，
0 1
解得：y＝L，
粒子从y轴上射出电场的位置坐标为：(0，L)；
(2)粒子在电场中的加速度大小：a＝，
竖直分位移：y＝at2，
1
解得：E＝；
粒子进入磁场后做匀速圆周运动，以沿y轴负方向的速度射出磁场，运动轨迹如图所示，
由几何知识得：AC与竖直方向夹角为45°，AD＝y＝L，
因此AC刚好为圆形有界磁场的直径，粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径：r＝L，
粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律得：qvB＝m，
其中，粒子的速度：v＝vcos θ，
0
解得：B＝；
(3)粒子在电场中的运动时间：t＝＝，
1
粒子离开电场进入磁场前做匀速直线运动，位移：x＝L－L，
粒子做直线运动的时间：t＝＝，
2
粒子在磁场中做圆周运动的时间：t＝T＝×＝，
3
粒子总的运动时间：t＝t＋t＋t＝＋.
1 2 3
5．(2020·山东等级考模拟卷)如图5所示，在第一象限内，存在垂直于xOy平面向外的匀强
磁场Ⅰ，第二象限内存在水平向右的匀强电场，第三、四象限内存在垂直于 xOy平面向外、
磁感应强度大小为B 的匀强磁场Ⅱ.一质量为m、电荷量为＋q的粒子，从x轴上M点以某
0
一初速度垂直于x轴进入第四象限，在xOy平面内，以原点O为圆心做半径为R 的圆周运
0
动；随后进入电场运动至y轴上的N点，沿与y轴正方向成45°角离开电场；在磁场Ⅰ中运
动一段时间后，再次垂直于x轴进入第四象限．不计粒子重力．求：
图5
(1)带电粒子从M点进入第四象限时初速度的大小v；
0
(2)电场强度的大小E；
(3)磁场Ⅰ的磁感应强度的大小B.
1
答案 (1) (2) (3)B
0
解析 (1)粒子在第四象限中运动时，洛伦兹力提供向心力，
则qvB＝
0 0
解得v＝
0
(2)由于粒子与y轴正方向成45°角离开电场，
则有v＝v＝v
x y 0
粒子在电场中做类平抛运动，在平行于x轴方向做匀加速直线运动，在平行于y轴方向做匀
速直线运动，故在平行于x轴方向上qE＝ma
v2－0＝2aR
x 0
联立解得E＝(3)粒子在电场中运动时
平行于x轴方向：v＝at，R＝at2
x 0
平行于y轴方向：y＝vt
y
联立解得y＝2R
0
如图，过N点作速度的垂线交x轴于P点，P即为粒子在第一象限做匀速圆周运动的圆心，
PN为半径，因为ON＝y＝2R，∠PNO＝45°，所以PN＝2R.
0 0
由于洛伦兹力提供向心力，故qvB＝，其中v为进入第一象限的速度，大小为v＝v，
1 0
解得B＝B.
1 0
