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第 1 讲 机械振动
目标要求 1.知道简谐运动的概念，理解简谐运动的表达式和图像.2.知道什么是单摆，熟
记单摆的周期公式.3.理解受迫振动和共振的概念，了解产生共振的条件．
考点一 简谐运动的规律
基础回扣
简谐运动
1．定义：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是
指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动．
2．平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置．
3．回复力
(1)定义：使物体在平衡位置附近做往复运动的力．
(2)方向：总是指向平衡位置．
(3)来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力．
技巧点拨
受力特征 回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反
靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、
运动特征
F、x都增大，v减小
振幅越大，能量越大．在运动过程中，动能和势能相互转化，系统
能量特征
的机械能守恒
质点的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化
周期性特征 周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，
其变化周期为
关于平衡位置O对称的两点，加速度的大小、速度的大小、动能、
对称性特征
势能相等，相对平衡位置的位移大小相等简谐运动基本物理量的分析
例1 (2019·江西调研)如图1所示，在光滑水平面上有一质量为m的小物块与左端固定的
轻质弹簧相连，构成一个水平弹簧振子，弹簧处于原长时小物块位于 O点．现使小物块在
M、N两点间沿光滑水平面做简谐运动，在此过程中( )
图1
A．小物块运动到M点时回复力与位移方向相同
B．小物块每次运动到N点时的加速度一定相同
C．小物块从O点向M点运动过程中做加速运动
D．小物块从O点向N点运动过程中机械能增加
答案 B
解析 根据F＝－kx可知小物块运动到M点时回复力与位移方向相反，故A错误；根据a＝
－可知小物块每次运动到N点时的位移相同，则加速度一定相同，故B正确；小物块从O
点向M点运动过程中加速度方向与速度方向相反，做减速运动，故C错误；小物块从O点
向N点运动过程中弹簧弹力对小物块做负功，小物块的机械能减少，故D错误．
简谐运动的周期性与对称性
例2 一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始计时，经过3 s质点第一
次经过M点，如图2所示，再继续运动，又经过4 s第二次经过M点，则再经过多长时间第
三次经过M点( )
图2
A．7 s B．14 s
C．16 s D. s
答案 C
解析 由题意可知质点第一次经过M点的运动方向向右，简谐运动的周期T＝4×(3＋2) s＝
20 s，则第三次经过M点的时间为t＝(20－4) s＝16 s，故C选项正确．
1．(简谐运动的周期性)(多选)一弹簧振子做简谐运动，则以下说法正确的是( )
A．振子的加速度方向始终指向平衡位置
B．已知振动周期为T，若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动的加速度一定相同
C．若t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度相等，则Δt一定为振动周期的整数倍D．振子的动能相等时，弹簧的长度不一定相等
答案 ABD
解析 振子的加速度方向始终指向平衡位置，故A正确；若Δ
t＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子的位移相同，加速度也相同，故B正确；从平衡位置再
回到平衡位置，经历的时间最短为，弹簧的长度相等，故C错误；关于平衡位置对称的两
个位置，振子的动能相等，弹簧的长度不相等，故D正确．
2．(简谐运动的回复力)如图3所示，弹簧振子B上放一个物块A，在A与B一起做简谐运动
的过程中，下列关于A受力的说法中正确的是( )
图3
A．物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力
B．物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力
C．物块A受重力、支持力及B对它的恒定的摩擦力
D．物块A受重力、支持力及B对它的非恒定的摩擦力
答案 D
考点二 简谐运动图像的理解和应用
基础回扣
简谐运动的图像
1．物理意义：表示振子的位移随时间变化的规律，为正弦(或余弦)曲线．
2．简谐运动的图像
(1)从平衡位置开始计时，把开始运动的方向规定为正方向，函数表达式为 x＝ A sin _ωt，图
像如图4甲所示．
图4
(2)从正的最大位移处开始计时，函数表达式为x＝ A cos _ωt，图像如图乙所示．
技巧点拨
1．从图像可获取的信息图5
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ(如图5所示)．
0
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移．
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质
点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定．
(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方
向相同．
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况．
2．简谐运动的对称性(如图6)
图6
(1)相隔Δt＝(n＋)T(n＝0,1,2…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大
反向(或都为零)，速度等大反向(或都为零)，加速度等大反向(或都为零)．
(2)相隔Δt＝nT(n＝1,2,3…)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移、速度和加速度都相同．
例3 (多选)(2019·福建省调研)如图7甲所示，以O点为平衡位置，弹簧振子在A、B两点
间做简谐运动，图乙为这个弹簧振子的振动图像．下列说法中正确的是( )
图7
A．在t＝0.2 s时，弹簧振子的加速度为正向最大
B．在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子在同一位置
C．从t＝0到t＝0.2 s时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动
D．在t＝0.6 s时，弹簧振子有最小的弹性势能
答案 BC
解析 在t＝0.2 s时，弹簧振子的位移为正向最大值，a＝－，知弹簧振子的加速度为负向
最大，A错误；在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子的位移相同，说明弹簧振子在同
一位置，B正确；从t＝0到t＝0.2 s时间内，弹簧振子从平衡位置向最大位移处运动，位移
逐渐增大，加速度逐渐增大，加速度方向与速度方向相反，弹簧振子做加速度增大的减速运动，C正确；在t＝0.6 s时，弹簧振子的位移为负向最大值，即弹簧的形变量最大，弹簧振
子的弹性势能最大，D错误．
3．(从简谐运动的图像看位移、速度关系)(多选)(2020·山东济宁一中模拟)一个质点做简谐运
动的图像如图8所示，下列叙述正确的是( )
图8
A．质点的振动频率为4 Hz
B．在10 s内质点经过的路程是20 cm
C．在t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点的位移大小相等
D．在t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点的速度相同
答案 BC
解析 由题图读出质点的振动周期为T＝4 s，则频率为f＝＝0.25 Hz，故A错误；质点在一
个周期内通过的路程是4个振幅，t＝10 s＝2.5T，则在10 s内质点经过的路程是s＝2.5×4A
＝20 cm，故B正确；由题图知，在t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点的位移大小相等，速度大
小相等、方向相反，故C正确，D错误．
4．(从简谐运动的图像看函数关系)质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如图9所
示，由图可知( )
图9
A．振幅为4 cm，频率为0.25 Hz
B．t＝1 s时速度为零，但质点所受合外力最大
C．t＝2 s时质点具有正方向最大加速度
D．该质点的振动方程为x＝2sin t(cm)
答案 C考点三 单摆及其周期公式
基础回扣
1．定义：如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长
度相比也可以忽略，这样的装置叫作单摆．(如图10)
图10
2．视为简谐运动的条件：θ<5°.
3．回复力：F＝G＝Gsin θ.
2
4．周期公式：T＝2π.
(1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离．
(2)g为当地重力加速度．
5．单摆的等时性：单摆的振动周期取决于 摆长 l 和 重力加速度 g ，与振幅和振子(小球)质量
无关．
技巧点拨
单摆的受力特征
(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F ＝mgsin θ＝－x＝－kx，负号表示回复
回
力F 与位移x的方向相反．
回
(2)向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力充当向心力，F ＝F －mgcos θ.
向 T
(3)两点说明
①当摆球在最高点时，F ＝0，F ＝mgcos θ.
向 T
②当摆球在最低点时，F ＝，F 最大，F ＝mg＋m.
向 向 T
例4 (多选)如图11所示是甲、乙两个单摆做简谐运动的图像，则下列说法中正确的是(
)
图11
A．甲、乙两摆的振幅之比为2∶1
B．t＝2 s时，甲摆的重力势能最小，乙摆的动能为零
C．甲、乙两摆的摆长之比为4∶1D．甲、乙两摆摆球在最低点时摆线的拉力大小一定相等
答案 AB
解析 由题图知甲、乙两摆的振幅分别为2 cm、1 cm，故A正确；t＝2 s时，甲摆在平衡位
置处，重力势能最小，乙摆在正的最大位移处，动能为零，B正确；甲、乙两摆的周期之比
为1∶2，由单摆的周期公式T＝2π，得到甲、乙两摆的摆长之比为1∶4，C错误；由题目
中的条件不能比较甲、乙两摆摆球在最低点时摆线的拉力大小，D错误．
5．(单摆的特点)(多选)(2021·河南九师联盟质检)关于单摆，下列说法正确的是( )
A．将单摆由沈阳移至广州，单摆周期变大
B．将单摆的摆角从4°改为2°，单摆的周期变小
C．当单摆的摆球运动到平衡位置时，摆球的速度最大
D．当单摆的摆球运动到平衡位置时，受到的合力为零
答案 AC
解析 将单摆由沈阳移至广州，因重力加速度减小，根据T＝2π可知，单摆周期变大，选项
A正确；单摆的周期与摆角无关，将单摆的摆角从 4°改为2°，单摆的周期不变，选项B错
误；当单摆的摆球运动到平衡位置时，摆球的速度最大，有向心加速度，则受到的合力不为
零，选项C正确，D错误．
考点四 受迫振动和共振
基础回扣
1．受迫振动
(1)概念：系统在驱动力作用下的振动．
(2)振动特征：物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于驱动力的频率，与物体的
固有频率无关．
2．共振
(1)概念：当驱动力的频率等于固有频率时，物体做受迫振动的振幅最大的现象．
(2)共振的条件：驱动力的频率等于固有频率．
(3)共振的特征：共振时振幅最大．
(4)共振曲线(如图12所示)．
f＝f 时，A＝A ，f与f 差别越大，物体做受迫振动的振幅越小．
0 m 0图12
技巧点拨
简谐运动、受迫振动和共振的比较
振动
简谐运动 受迫振动 共振
项目
受力情况 受回复力 受驱动力作用 受驱动力作用
由系统本身性质
由驱动力的周期
决定，即固有周
振动周期或频率 或频率决定，即T T ＝T 或f ＝f
驱 0 驱 0
期T 或固有频率
0
＝T 或f＝f
驱 驱
f
0
振动系统的机械 由产生驱动力的 振动物体获得的能量
振动能量
能不变 物体提供 最大
弹簧振子或单摆 机械工作时底座 共振筛、声音的共鸣
常见例子
(θ≤5°) 发生的振动 等
6．(共振的图像)(多选)一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的
关系)如图13所示，则( )
图13
A．此单摆的固有周期为2 s
B．此单摆的摆长约为1 m
C．若摆长增大，单摆的固有频率增大
D．若摆长增大，共振曲线的峰将向左移动
答案 ABD
解析 由共振曲线知此单摆的固有频率为0.5 Hz，固有周期为2 s；再由T＝2π，得此单摆的
摆长约为1 m；若摆长增大，单摆的固有周期增大，固有频率减小，则共振曲线的峰将向左
移动，故选项A、B、D正确．
7．(受迫振动)(多选)(2020·浙江杭州市西湖区调研节选)如图14所示为受迫振动的演示装置，
在一根张紧的绳子上悬挂几个摆球，可以用一个单摆(称为“驱动摆”)驱动另外几个单摆．
下列说法正确的是( )图14
A．某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度可能不同但加速度一定相同
B．如果驱动摆的摆长为L，则其他单摆的振动周期都等于2π
C．驱动摆只把振动形式传播给其他单摆，不传播能量
D．如果某个单摆的摆长等于驱动摆的摆长，则这个单摆的振幅最大
答案 ABD
解析 某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度大小相等但方向可能不同，根据F＝
－kx可得，加速度a＝＝－x，故加速度一定相同，A正确；如果驱动摆的摆长为L，根据单
摆的周期公式有T＝2π，而其他单摆都做受迫振动，故其振动周期都等于驱动摆的周期，B
正确；同一地区，单摆的固有频率只取决于单摆的摆长，摆长等于驱动摆的摆长时，单摆的
振幅能够达到最大，这种现象称为共振，受迫振动不仅传播运动形式，还传播能量和信息，
故C错误，D正确．
课时精练
1．(多选)关于受迫振动和共振，下列说法正确的是( )
A．火车过桥时限制速度是为了防止火车发生共振
B．若驱动力的频率为5 Hz，则受迫振动稳定后的振动频率一定为5 Hz
C．当驱动力的频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大
D．受迫振动系统的机械能守恒
答案 BC
解析 火车过桥时限制速度是为了防止桥发生共振，选项 A错误；对于一个受迫振动系统，
若驱动力的频率为5 Hz，则振动系统稳定后的振动频率也一定为 5 Hz，选项B正确；由共
振的定义可知，选项C正确；受迫振动系统，驱动力做功，系统的机械能不守恒，选项 D
错误．
2．(多选)(2019·江苏卷·13B(1))一单摆做简谐运动，在偏角增大的过程中，摆球的( )
A．位移增大 B．速度增大
C．回复力增大 D．机械能增大
答案 AC
解析 摆球做简谐运动，在平衡位置处位移为零，在摆角增大的过程中，摆球的位移增大，速度减小，选项A正确，B错误；在摆角增大的过程中，摆球受到的回复力增大，选项C
正确；单摆做简谐运动，机械能守恒，所以在摆角增大的过程中，摆球机械能保持不变，选
项D错误．
3.如图1所示，弹簧振子在a、b两点间做简谐运动，当振子从平衡位置O向a运动过程中(
)
图1
A．加速度和速度均不断减小
B．加速度和速度均不断增大
C．加速度不断增大，速度不断减小
D．加速度不断减小，速度不断增大
答案 C
解析 在振子由O到a的过程中，其位移不断增大，回复力增大，加速度增大，但是由于
加速度与速度方向相反，故速度减小，选项C正确．
4．(2020·浙江嘉兴市期末)如图2所示，两根完全相同的水平弹簧和一根张紧的水平细线将
甲、乙两物块束缚在光滑水平面上，已知甲的质量大于乙的质量．当细线突然断开后，两物
块都开始做简谐运动，则在运动过程中( )
图2
A．甲的振幅大于乙的振幅
B．甲的振幅小于乙的振幅
C．甲的最大速度小于乙的最大速度
D．甲的最大速度大于乙的最大速度
答案 C
解析 线断开前，两根弹簧伸长的长度相同，离开平衡位置的最大距离相同，即振幅相同，
故A、B错误；当线断开的瞬间，弹簧的弹性势能相同，到达各自的平衡位置时，甲、乙的
最大动能相同，由于甲的质量大于乙的质量，由E ＝mv2可知，甲的最大速度小于乙的最大
k
速度，故C正确，D错误．
5．如图3甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动．取向右为
正方向，振动物体的位移x随时间t的变化如图乙所示，则由图可知( )图3
A．t＝0.2 s时，振动物体的加速度方向向左
B．t＝0.6 s时，振动物体的速度方向向右
C．在t＝0.4 s到t＝0.8 s时间内，振动物体的动能逐渐减小
D．在t＝0到t＝2.4 s时间内，振动物体通过的路程是80 cm
答案 A
解析 由题图乙可知，t＝0.2 s时，振动物体远离平衡位置向右运动，位移增大，根据 F＝
－kx可知，回复力方向向左，故加速度方向向左，A正确；t＝0.6 s时，振动物体靠近平衡
位置向左运动，故振动物体的速度方向向左，B错误；在t＝0.4 s到t＝0.8 s时间内，振动物
体向平衡位置运动，速度逐渐增大，动能逐渐增大，C错误；在t＝0到t＝2.4 s时间内，振
动物体通过的路程是4A×＝60 cm，故D错误．
6．(2021·浙江绍兴市新昌县知新中学月考)图4甲是利用沙摆演示简谐运动图象的装置．当
盛沙的漏斗下面的薄木板被水平匀速拉出时，做简谐运动的漏斗漏出的沙会在板上显示出沙
摆的振动位移随时间变化的关系曲线．已知木板被水平拉动的速度为0.20 m/s，图乙所示的
一段木板的长度为0.60 m，则这次实验沙摆的摆长大约为(取g＝π2 m/s2)( )
图4
A．0.56 m B．0.65 m
C．1.00 m D．2.25 m
答案 A
解析 由于木板匀速拉动，据x＝vt，则t＝＝ s＝3 s，显然t＝2T，则T＝1.5 s，据T＝2π，
可计算出摆长l大约为0.56 m，故A正确．
7.(多选)如图5所示，一轻质弹簧上端固定在天花板上，下端连接一物块，物块沿竖直方向
以O点为平衡位置，在C、D两点之间做周期为T的简谐运动．已知在t 时刻物块的速度大
1
小为v、方向向下，动能为E.下列说法正确的是( )
k
图5A．如果在t 时刻物块的速度大小也为v，方向向下，则t－t 的最小值小于
2 2 1
B．如果在t 时刻物块的动能也为E，则t－t 的最小值为
2 k 2 1
C．当物块通过O点时，其加速度最小
D．物块在C、D两点的加速度相同
答案 AC
解析 如果在t 时刻物块位于O点上方且向下运动，t 时刻物块位于O点下方且与t 时刻物
1 2 1
块速度相同，则t －t 的最小值小于，选项A正确；如果在t 时刻物块的动能也为E ，则t
2 1 2 k 2
时刻物块速度与t 时刻大小相等，方向可能相同，也可能相反，t－t 的最小值小于，选项B
1 2 1
错误；题图中O点是平衡位置，物块通过O点时位移最小，根据a＝－知，其加速度最小，
选项C正确；C、D两点关于平衡位置对称，加速度等大反向，选项D错误．
8．(多选)如图6所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象，则下列说法中正确的是( )
图6
A．甲、乙两单摆的摆长相等
B．甲摆的振幅比乙摆大
C．甲摆的机械能比乙摆大
D．在t＝0.5 s时有正向最大加速度的是乙摆
答案 ABD
解析 由题图可以看出，甲摆的振幅比乙摆的大，两单摆的振动周期相同，根据单摆周期公
式T＝2π可得，甲、乙两单摆的摆长相等，故A、B正确；两单摆摆球的质量未知，所以两
单摆的机械能无法比较，故C错误；在t＝0.5 s时，乙摆在负向最大位移处，即有正向最大
加速度，而甲摆的位移为零，加速度为零，故D正确．
9．(多选)弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始计时，经过0.3 s，第
一次到达点M，再经过0.2 s第二次到达点M，则弹簧振子的周期可能为( )
A．0.53 s B．1.4 s
C．1.6 s D．2 s
答案 AC
解析 如图甲所示，设O为平衡位置，OB(OC)代表振幅，若振子一开始从平衡位置向点 C
运动，振子从O→C所需时间为.因为简谐运动具有对称性，所以振子从M→C所用时间和从
C→M所用时间相等，故＝0.3 s＋ s＝0.4 s，解得T＝1.6 s；如图乙所示，若振子一开始从平衡位置向点B运动，设点M′与点M关于点O对称，则振子从点M′经过点B到点M′所
用的时间与振子从点M经过点C到点M所需时间相等，即0.2 s．振子从点O到点M′、从
点M′到点O及从点O到点M所需时间相等，为＝ s，故周期为T＝0.5 s＋ s≈0.53 s，故
A、C正确．
10．(2020·山东青岛市西海岸区模拟)两单摆在不同的驱动力作用下其振幅A随驱动力频率f
变化的图像如图7中甲、乙所示，则下列说法正确的是( )
图7
A．单摆振动时的频率与固有频率有关，振幅与固有频率无关
B．若两单摆放在同一地点，则甲、乙两单摆的摆长之比为4∶1
C．若两单摆摆长相同放在不同的地点，则甲、乙两单摆所处两地的重力加速度之比为4∶1
D．周期为2 s的单摆叫作秒摆，在地面附近，秒摆的摆长约为2 m
答案 B
解析 做受迫振动的物体的频率等于驱动力的频率，单摆振动时的频率由驱动力的频率决定，
与单摆的固有频率无关，当驱动力频率等于单摆的固有频率时，单摆的振幅最大，发生共振，
选项A错误；由题图可知，甲、乙两个单摆的固有频率之比为1∶2，则由T＝＝2π可知，l
＝，则若两单摆放在同一地点，则甲、乙两单摆的摆长之比为 4∶1；若两单摆摆长相同放
在不同的地点，则甲、乙两单摆所处两地的重力加速度之比为 1∶4，选项B正确，C错误；
在地面附近，秒摆的摆长为l＝≈1 m，选项D错误．
11.(2019·全国卷Ⅱ·34(1))如图8，长为l的细绳下方悬挂一小球a，绳的另一端固定在天花板
上O点处，在O点正下方l的O′处有一固定细铁钉．将小球向右拉开，使细绳与竖直方向
成一小角度(约为2°)后由静止释放，并从释放时开始计时．当小球a摆至最低位置时，细绳
会受到铁钉的阻挡．设小球相对于其平衡位置的水平位移为 x，向右为正．下列图像中，能
描述小球在开始一个周期内的x－t关系的是( )图8
答案 A
解析 由单摆的周期公式T＝2π可知，小球在钉子右侧时的振动周期为在钉子左侧时振动周
期的2倍，故B、D项错误；由机械能守恒定律可知，小球在左、右最大
位移处距离最低点的高度相同，但由于摆长不同，所以小球在左、右两侧摆动时相对平衡位
置的最大水平位移不同，当小球在钉子右侧摆动时，最大水平位移较大，故A项正确，C项
错误．
12．(多选)(2018·天津卷·8)一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点．t＝0时振子的
位移为－0.1 m，t＝1 s时位移为0.1 m，则( )
A．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为 s
B．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为 s
C．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为4 s
D．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为6 s
答案 AD
解析 若振幅为0.1 m，则t＝＋nT(n＝0,1,2，…)．
当n＝0时，T＝2 s；n＝1时，T＝ s；n＝2时，T＝ s.
故选项A正确，选项B错误．
若振幅为0.2 m，振动分两种情况讨论：
①振子振动如图甲所示，则振子由C点振动到D点用时至少为，周期最大为2 s.
②振子振动如图乙中实线所示．
由x＝Asin(ωt＋φ)知
t＝0时，－＝Asin φ，φ＝－，即振子由C点振动到O点用时至少为，由简谐运动的对称性
可知，振子由C点振动到D点用时至少为，则T最大为6 s；若由C点振动到O点用时1T，
振子由C点振动到D点用时T，则T为 s.
若振子振动如图乙中虚线所示，振子由C点振动到D点用时至少，周期最大为2 s.综上所述，选项C错误，D正确．
