文档内容
第六章 机械能守恒定律
【机械能守恒定律的单元知识体系】
知识点 36：功和功率
考点一：做功的判断及计算
【知识思维方法技巧】
（1）做功正负的判断方法：
①根据F的方向与位移l的方向间的夹角α来判断：常用于恒力做功的判断。
②根据F的方向与瞬时速度v的方向间的夹角α来判断：常用于曲线运动中的功。
0°≤α<90°时，力对物体做正功；90°<α≤180°时，力对物体做负功；α＝90°时，力对物体不
做功。
③根据能量守恒或功能关系：此法常用于判断两个相联系的物体之间的相互作用力做功的
判断。
（2）几个结论：
①无论静摩擦力还是滑动摩擦力都是既可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．一对
静摩擦力所做功的代数和总等于零，一对滑动摩擦力做功的代数和总是负值。
②人行走、跑步、起跳时地面对人不做功．
③一对平衡力作用在同一个物体上，若物体静止，则两个力都不做功；若物体运动，则这
一对力所做的功一定是数值相等，一正一负或均为零。
④一对相互作用力可以都做正功、都做负功、可以一正一负，一对相互作用力做的总功W
＝Flcos α。l是相对位移，α是F与l间的夹角，一对相互作用力做的总功可正、可负，也
可为零。
题型一：判断某个力对物体做功
【典例1提高题】（多选）如图所示，重球m用一条不可伸长的轻质细线拴住后悬于O点，
重球置于一个斜面不光滑的斜劈M上，用水平力F向左推动斜劈M在光滑水平桌面上由
位置甲匀速向左移动到位置乙，在此过程中，正确的说法是( )
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1
学科网（北京）股份有限公司A．M、m间的摩擦力对m不做功
B．M、m间的摩擦力对m做负功
C．F对M所做的功与m对M所做的功的绝对值相等
D．M、m间的弹力对m做正功
【典例1提高题】【答案】CD
【解析】小球在向左摆动过程中，M对m的摩擦力方向与小球m的位移方向间夹角小于
90°，故摩擦力对m做正功，A、B均错误；因M匀速向左运动，地面对M的支持力和M
的重力不做功，一定有F对M所做的功与m对M所做的功合功为零，C正确；M对m的
弹力方向与m位移方向夹角小于90°，故对m做正功，D项正确．
【典例1提高题对应练习】(多选) 如图所示，在皮带传送装置中，皮带把物体P匀速带至
高处，在此过程中，下述说法正确的是( )
A．摩擦力对物体做正功
B．摩擦力对物体做负功
C．支持力对物体不做功
D．合外力对物体做功为零
【典例1提高题对应练习】【答案】ACD
【解析】取物体为研究对象，受力分析如图所示，受重力 mg、沿皮带向上的静摩擦力F
f
和垂直于皮带的支持力F ，由于F 方向与运动方向一致，做正功，A对，B错；F 方向与
N f N
运动方向垂直，不做功，C对；由于匀速运动，合外力为0，D对．
题型二：判断物体对物体做功
【知识思维方法技巧】
一个物体对另一个物体的作用力就是物体对另一个物体弹力与摩擦力的合力，以物体为对
象，则物体只受重力与作用力二个力的作用，再根据加速度的方向，从而可以确定作用力
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2
学科网（北京）股份有限公司的大小和方向，依据W ＝F lcos α判断。
合 合
【典例2提高题】如图所示，木块B上表面是水平的，木块A置于B上，并与B保持相对
静止，一起沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，在下滑过程中( )
A．A所受的合外力对A不做功
B．B对A做正功
C．B对A的摩擦力做负功
D．A对B不做功
【典例2提高题】【答案】D
【解析】A、B相对静止，因此具有相同的沿斜面向下的加速度，由整体受力可得加速度的
大小a＝gsinθ，因此A所受合力沿斜面向下，
与木块A的位移方向相同，因此合力对A做正功，A错；B对A的作用力有竖直向上的支
持力和水平向左的静摩擦力两个力，这两个力的合力垂直斜面向上，并等于重力在垂直斜
面方向的分力F ，如图所示，所以B对A不做功，同理，A对B的作用力垂直斜面向下，
2
也不做功，B错、D对；B对A的摩擦力跟A的位移成锐角，做正功，C错．
【典例2提高题对应练习】如图，一磁铁吸附在铁板AB的下方。现保持铁板与水平面间
的夹角θ不变，缓慢推动B端，使AB与磁铁一起水平向左匀速移动，则( )
A.合外力对磁铁做正功 B.AB对磁铁的作用力不做功
C.AB对磁铁的弹力不做功 D.AB对磁铁的摩擦力不做功
【典例2提高题对应练习】【答案】B
【解析】由于磁铁做匀速运动，根据动能定理可知，合外力对磁铁不做功，故A错误；磁
铁受重力和磁铁的作用力而做匀速运动，根据平衡条件可知，AB对磁铁的作用力大小等于
重力，方向竖直向上，与磁铁的运动方向相互垂直，故 AB对磁铁的作用力不做功，故B
正确；AB对磁铁的弹力垂直接触面，与磁铁的运动方向不垂直，故弹力一定做功且做负功，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3
学科网（北京）股份有限公司故C错误；AB对磁铁的摩擦力沿接触面，与磁铁的运动方向不垂直，故摩擦力一定做功
且做负功，故D错误。
考点二：恒力做功的计算
【知识思维方法技巧】
恒力做功的计算公式是W＝Flcos α。L为物体对地的位移，α是力与位移方向之间的夹角。
（1）计算功时要指明是哪个力的功，如机车的功实际是指牵引力的功，电流做功实际是电
场力做功，电场力做功也可用W＝qU＝UIt计算。
（2）物体沿斜面下滑过程中克服摩擦力做的功，与底边长有关，如图甲、乙分别从顶端
A、B滑至底端C 克服摩擦力做的功W＝W＝μmgcos θ·＝μmgL。
1 2
（3）合外力做的功
方法一：先求合外力F ，再用W ＝F lcos α求功．
合 合 合
方法二：先求各个力做的功W 、W 、W…，再应用W ＝W ＋W ＋W ＋…求合外力做的
1 2 3 合 1 2 3
功．
方法三：利用动能定理W ＝E －E .
合 k2 k1
题型一：某个力对物体做功的计算
【典例1提高题】如图所示，在某滑雪场滑雪者从O点由静止沿斜面自由滑下，接着在水
平面上滑至N点停下，斜面、水平面与滑雪板之间的动摩擦因数都为μ＝0.1，滑雪者(包括
滑雪板)的质量为m＝50 kg，g取 10 m/s2，O、N两点间的水平距离为s＝100 m。在滑雪
者经过ON段运动的过程中，克服摩擦力做的功为( )
A．1 250 J B．2 500 J C．5 000 J D．7 500 J
【典例1提高题】【答案】C
【解析】设斜面的倾角为 θ，则滑雪者从O到N的运动过程中克服摩擦力做的功 W＝
f
μmgx cosθ＋μmgx ，由题图可知，x cos＋x ＝s，两式联立可得 W ＝μmgs＝
OM MN OM MN f
0.1×50×10×100 J＝5 000 J，故A、B、D错误，C正确。
【典例1提高题对应练习】(多选)如图所示，一个质量为m＝2.0 kg的物体放在倾角为α＝
37°的固定斜面上，现用F＝30 N、平行于斜面的力拉物体使其由静止开始沿斜面向上运动。
已知物体与斜面之间的动摩擦因数μ＝0.50，斜面足够长，g取10 m/s2，sin 37°＝0.60，cos
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4
学科网（北京）股份有限公司37°＝0.80。物体运动2 s后，关于各力做功情况，下列说法中正确的是( )
A．重力做功为－120 J
B．摩擦力做功为－80 J
C．拉力做功为100 J
D．物体所受的合力做功为100 J
【典例1提高题对应练习】【答案】ABD
【解析】物体在斜面上运动时受到重力、拉力、摩擦力和支持力作用，根据牛顿第二定律
a＝得a＝＝5.0 m/s2，由x＝at2得，物体在2 s内的位移为x＝×5×22 m＝10.0 m，重力做功
W ＝－mg·xsin 37°＝－2×10×10×0.6 J＝－120 J，选项A正确；拉力做的功为W ＝Fx＝
G F
30×10 J＝300 J，选项 C 错误；摩擦力做功为 W ＝－fx＝－μmgcos 37°·x＝－
f
0.5×2×10×0.8×10 J＝－80 J，选项B正确；支持力做功W ＝Nxcos 90°＝0，合外力做的功
N
W＝W ＋W ＋W ＋W＝300 J－120 J－80 J＝100 J，选项D正确。
F N G f
题型二：物体对物体做功的计算
【知识思维方法技巧】
物体对物体做功的计算方法：
物体对物体做功就是一个物体对另一个物体作用力做功，就是物体对另一个物体弹力与摩
擦力合力的功，以物体为对象，则物体只受重力与作用力二个力的作用，再根据加速度的
方向，从而可以确定作用力的大小和方向，依据W ＝F lcos α计算。
合 合
【典例2提高题】如图所示，水平路面上有一辆质量为M的汽车，车厢中有一个质量为m
的人正用恒力F向前推车厢，在车以加速度a向前加速行驶距离L的过程中，下列说法正
确的是( )
A．人对车的推力F做的功为FL
B．人对车做的功为maL
C．车对人的作用力大小为ma
D．车对人的摩擦力做的功为(F－ma)L
【典例2提高题】【答案】A
【解析】根据功的公式可知，人对车的推力做功W＝FL，故A正确；在水平方向上，由牛
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5
学科网（北京）股份有限公司顿第二定律可知车对人的作用力为 F′＝ma，由牛顿第三定律可知人对车的作用力为－
ma，人对车做功为W＝－maL，故B错误；人水平方向受到的合力为ma，竖直方向上车
对人还有支持力，故车对人的作用力为N＝＝m，故C错误；对人由牛顿第二定律可得f－
F＝ma，则f＝ma＋F，车对人的摩擦力做功为W＝fL＝(F＋ma)L，故D错误。
【典例2提高题对应练习】（多选）如图所示，水平路面上有一辆质量为m 的汽车，车厢
0
中有一质量为m的人正用恒力F向前推车厢，在车以加速度a向前加速行驶距离L的过程
中，下列说法正确的是( )
A．人对车的推力F做的功为FL B．人对车做的功为maL
C．车对人的摩擦力做的功为(F＋ma)L D．车对人的作用力大小为ma
【典例2提高题对应练习】【答案】AC
【解析】人对车的推力为F，在力F方向上车行驶了L，则推力F做的功为FL，故A正确；
在水平方向上，由牛顿第二定律可知车对人的力向左，大小为ma，则人对车水平方向上的
作用力大小为ma，方向向右；车向左运动了L，故人对车做的功为－maL，故B错误；竖
直方向车对人的作用力大小为mg，则车对人的作用力F′＝，故D错误；人在水平方向受
到F的反作用力和车对人向左的摩擦力，则f－F＝ma，f＝ma＋F，则车对人的摩擦力做
的功为(F＋ma)L，故C正确。
题型三：含动滑轮的细绳拉力做功的计算
【知识思维方法技巧】
含动滑轮的细绳拉力做功的计算方法：
方法一：用W＝Flcos α求，其中l为力F作用点的位移，α为F与l之间的夹角。注意物
体与力的作用点的位移、速度、作用力间的大小关系。
方法二：用两段细绳拉力分别所做功的代数和求解。注意：不计摩擦和滑轮质量时，滑轮
两侧细绳拉力大小相等。
类型一：动滑轮两侧细绳平行模型
【典例3a提高题】如图所示，动滑轮下系有一个质量为m的物块，细线一端系在天花板
上，另一端绕过动滑轮．用F＝mg的恒力竖直向上拉细线的另一端(滑轮、细线的质量不
计，不计一切摩擦，重力加速度为g)，物块从静止开始运动，则下列说法正确的是( )
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6
学科网（北京）股份有限公司A．物块的加速度a＝g
B．经过时间t拉力F做功为W＝mg2t2
f
C．物块的机械能增加了ΔE＝mg2t2
D．物块的动能增加了ΔE ＝mg2t2
k
【典例3a提高题】【答案】C
【解析】以物块m为对象，根据牛顿第二定律：2F－mg＝ma得a＝g，经过时间t后，物
块的位移x＝at2＝gt2，速度v＝at＝gt，则拉力做功W＝F(2x)＝mg2t2，物体的动能增加了
f
ΔE ＝mv2＝mg2t2，物体的机械能增加了ΔE＝ΔE ＋mgx＝mg2t2，故C正确，A、B、D错
k k
误．
【典例3a提高题对应练习】如图所示，质量为m＝1 kg的滑块A放在质量为M＝2 kg的长
木板B上，B放在水平地面上，A与B之间、B与地面之间的动摩擦因数均为μ＝0.1，B
的长度为L＝2.5 m，A的大小不计。A、B之间由一绕过光滑轻质动滑轮的柔软轻绳相连，
开始时A位于B的最左端，滑轮位于B的右端。给滑轮施加一水平恒力F＝20 N，滑轮两
侧与A、B相连的绳子保持水平，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)A在B上滑行的时间；
(2)A从B的最左端滑到最右端过程中水平恒力F做的功。
【典例3a提高题对应练习】【答案】(1)1 s (2)65 J
【解析】(1)设绳中张力大小为T，则分别对A、B分析，根据牛顿第二定律有T－μmg＝
ma ，
1
T＋μmg－μ(m＋M)g＝Ma，其中T＝，
2
根据运动学规律有x＝at2，x＝at2，而由位移关系得x－x＝L，联立解得t＝1 s。
1 1 2 2 1 2
(2)此过程中滑轮的位移x＝x＋，F做的功W＝Fx，联立解得W＝65 J 。
2
类型二：动滑轮两侧细绳不平行模型
【典例3b提高题】(多选)如图所示，一物块前端有一滑轮，轻绳的一端系在右方固定处，
水平穿过滑轮，另一端用力F拉住，力F大小如图甲所示，前10 s内物块的v－t图像如图
乙所示，保持力F与水平方向之间的夹角θ＝60°不变，当用力F拉绳使物块前进时，下
列说法正确的是( )
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7
学科网（北京）股份有限公司A. 0～5 s内拉力F做的功为75 J
B. 3 s末拉力F的功率为9 W
C. 5～10 s内摩擦力大小为6 N
D. 5～10 s内拉力F做的功为150 J
【典例3b提高题】【答案】CD
【解析】由v－t图像可得0～5 s内物块的位移为12.5 m，则0～5 s内拉力F做的功为W＝
F s(1＋cosθ)＝112.5 J，A错误；根据题图乙可知，3 s末物块的速度为3 m/s，则3 s末拉力
1
F的功率为P＝F v(1＋cosθ)＝27 W，B错误；5～10 s内，物块做匀速运动，则有F＝F ＋
1 f 2
F cosθ＝6 N，C正确；5～10 s内物块的位移为25 m,5～10 s内拉力F做的功为W＝F s′(1
2 2
＋cosθ)＝150 J，D正确．
考点三：变力做功的计算及分析
题型一：用动能定理法计算变力做功
【知识思维方法技巧】
动能定理是求变力做功的首选，在一个有变力做功的过程中，当变力做功无法直接通过功
的公式求解时，可用动能定理，W ＋W ＝mv 2－mv 2，物体初、末速度已知，恒力做功
变 恒 2 1
W 可根据功的公式求出，这样就可以得到W ＝mv 2－mv 2－W ，就可以求变力做的功
恒 变 2 1 恒
了．
类型一：曲线运动中变力做功的计算
【典例1a提高题】如图所示，AB为圆弧轨道，BC为水平直轨道，BC恰好在B点与AB
相切，圆弧的半径为R，BC的长度也是R.一质量为m的物体与两个轨道间的动摩擦因数
都为μ，它由轨道顶端A从静止开始下落，恰好运动到C处停止，重力加速度为g，那么
物体在AB段克服摩擦力所做的功为( )
A． B． C．mgR D．(1－μ)mgR
【典例1a提高题】【答案】D
【解析】设物体在AB段克服摩擦力所做的功为W ，物体从A到C的全过程，根据动能
AB
定理有mgR－W －μmgR＝0，所以W ＝mgR－μmgR＝(1－μ)mgR，故D正确.
AB AB
【典例1a提高题对应练习】如图所示，质量为m的小球用长为L的细线悬挂而静止在竖
直位置．现用水平拉力F将小球缓慢拉到细线与竖直方向成θ角的位置．在此过程中，拉
力F做的功为( )
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8
学科网（北京）股份有限公司A．FLcos θ B．FLsin θ C．FL(1－cos θ) D．mgL(1－cos θ)
【典例1a提高题对应练习】【答案】D
【解析】在小球缓慢上升过程中，拉力F为变力，此变力F做的功可用动能定理求解．由
W －mgL(1－cos θ)＝0，得W ＝mgL(1－cos θ)，故D正确．
F F
类型二：人对物体做功的计算
【典例1b提高题】如图所示，运动员把质量为m的足球由静止从水平地面踢出，足球在
空中达到的最高点高度为h，在最高点时的速度为v，不计空气阻力，重力加速度为g，下
列说法正确的是( )
A．运动员踢球时对足球做功mv2
B．足球上升过程重力做功mgh
C．运动员踢球时对足球做功mgh＋mv2
D．足球上升过程克服重力做功mgh＋mv2
【典例1b提高题】【答案】C
【解析】 足球被踢起后，在运动过程中只受到重力作用，只有重力做功，重力做功为－
mgh，即克服重力做功mgh，B、D错误；由动能定理有W －mgh＝mv2，因此运动员对
人
足球做功W ＝mgh＋mv2，故A错误，C正确．
人
【典例1b提高题对应练习】某同学参加学校运动会立定跳远项目比赛，从起跳至着地的整
个过程如图所示，测量得到比赛成绩是2.4 m，目测空中脚离地最大高度约为0.8 m。已知
他的质量约为60 kg，重力加速度g＝10 m/s2，忽略空气阻力，则起跳过程该同学所做的功
约为( )
A．90 J B．480 J C．800 J D．1 250 J
【典例1b提高题对应练习】【答案】C
【解析】该同学起跳后做抛体运动，从起跳至达到最大高度的过程中，其在竖直方向做加
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9
学科网（北京）股份有限公司速度为g的匀减速直线运动，则有t＝ ＝ s＝0.4 s，故竖直方向初速度为v＝gt＝4 m/s；
r
其在水平方向做匀速直线运动，则有v ＝＝ m/s＝3 m/s。根据速度的合成可知起跳时的速
0
度为v＝＝5 m/s，因该同学的质量约为60 kg，根据动能定理得起跳过程该同学所做的功约
为W＝mv2＝750 J，最接近800 J，选项C正确，A、B、D错误。
题型二：用结论法（微元法）计算变力做功
【知识思维方法技巧】
当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力的功等于力和路程（不是
位移）的乘积，如滑动摩擦力做功、空气阻力做功等。
【典例2提高题】在水平面上，有一弯曲的槽道AB，槽道由半径分别为和R的两个半圆构
成。如图6所示，现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿槽道拉至B点，若拉力F
的方向时刻均与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为( )
A．0 B．FR C．πFR D．2πFR
【典例2提高题】【答案】C
【解析】虽然拉力方向时刻改变，但力与运动方向始终一致，小球的路程为πR＋π·，则拉
力做的功为πFR，故C正确．
【典例2提高题对应练习】(多选)如图所示，在一半径为R＝6 m的圆弧形桥面的底端A，
某人把一质量为m＝8 kg的物块(可看成质点)用大小始终为F＝75 N的拉力从底端缓慢拉
到桥面顶端B(圆弧AB在同一竖直平面内)，拉力的方向始终与物块在该点的切线成37°角，
整个圆弧桥面所对的圆心角为120°，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。在这一过程
中，下列说法正确的是( )
A．重力做功240 J B．支持力做功为0
C．拉力F做功约为376.8 J D．摩擦力做功约为136.8 J
【典例2提高题对应练习】【答案】BC
【解析】物块重力做的功W ＝－mgR(1－cos 60°)＝－240 J，故A错误，支持力始终与运
G
动方向垂直，支持力不做功，故B正确；拉力F大小不变，方向始终与物块在该点的切线
成37°角，则W＝Fcos 37°··2πR≈376.8 J，故C正确；因物块在拉力F作用下缓慢移动，
1
动能不变，由动能定理得W ＋W ＋W＝0－0，解得W＝－W －W ＝－376.8 J＋240 J＝
F G f f F G
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10
学科网（北京）股份有限公司－136.8 J，故D错误。
题型三：用图象法计算变力做功
【知识思维方法技巧】
用图象法计算变力做功的特点：
（1）F－x图象：由公式W＝Fx可知，F－x图线与x坐标轴围成的面积表示力所做的功。
且位于x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于
求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)．
（2）P(功率)－t图象：由公式W＝Pt可知，P－t图线与t坐标轴围成的面积表示力所做的
功。
（3）p(压强)－V图像中图线与横坐标轴所围面积表示功
【典例3提高题】质量为 2kg的物体做直线运动，沿此直线作用于物体的外力与位移的关
系如图所示，若物体的初速度为3 m/s，则其末速度为( )
A.5 m/s B. m/s C. m/s D. m/s
【典例3提高题】【答案】B
【解析】F－x图象与x轴围成的面积表示外力所做的功，由题图可知W＝(2×2＋4×4－
3×2) J＝14 J，根据动能定理得W＝mv2－mv，解得v＝ m/s，选项B正确。
【典例3提高题对应练习】一物体所受的力F随位移x变化的图象如图所示，求在这一过
程中，力F对物体做的功为( )
A.3 J B.6 J C.7 J D.8 J
【典例3提高题对应练习】【答案】B
【解析】B力F对物体做的功等于图线与横轴x所包围面积的代数和，即
W＝×(3＋4)×2 J＝7 J，W＝－×(5－4)×2 J＝－1 J
1 2
所以力F对物体做的功为W＝7 J－1 J＝6 J。故选项B正确。
题型四：用平均力法计算变力做功
【知识思维方法技巧】
若物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即F＝kx＋b时，则可以认为物体
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11
学科网（北京）股份有限公司受到一大小为F＝的恒力作用，F 、F 分别为物体初、末态所受到的力，然后用公式W＝
1 2
Flcos α求此力所做的功．比如弹簧由伸长x 被继续拉至伸长x 的过程中，克服弹力做功
1 2
W＝·(x－x)
2 1
【典例4提高题】用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正
比．已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，
那么，第二次钉子进入木板的深度为( )
A．(－1)d B．(－1)d C. D.d
【典例4提高题】【答案】B
【解析】铁锤每次敲钉子时对钉子做的功等于钉子克服阻力做的功．由于阻力与深度成正
比，可用阻力的平均值求功，据题意可得W＝d＝d ；W＝d′＝d′ ；联立①②式解得d′
1 2
＝(－1)d，故选B.
① ②
【典例4提高题对应练习】如图所示，密度为ρ、边长为a的正立方体木块漂浮在水面上(h
为木块在水面上的高度)。现用竖直向下的力F将木块按入水中，直到木块上表面刚浸没，
则此过程中木块克服浮力做功为(已知水的密度为ρ、重力加速度为g)( )
0
A.ρa3gh B.a3gh(ρ＋ρ) C.ρa2gh(a－h) D.a2gh(a－h)(ρ＋ρ)
0 0 0
【典例4提高题对应练习】【答案】B
【解析】木块漂浮在水面上时有F ＝G＝ρga3，木块上表面刚浸没时受到的浮力为F ′
浮 浮
＝G＝ρga3，浮力做的功为W＝h＝ga3h(ρ＋ρ)，故选项B正确。
0 0
题型五：用等效转换法计算变力做功
【知识思维方法技巧】
若某一变力的功和某一恒力的功相等，即效果相同，则可以通过计算该恒力做的功，求出
该变力做的功，从而使问题变得简单，也就是说通过定滑轮，将变力做功转化为恒力做功
这种方法称为等效转换法．如轻绳通过定滑轮拉动物体运动过程中拉力做功的问题．
【典例5提高题】如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光
滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升．若从A点上升
至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W 和W ，图中AB＝BC，则(
1 2
)
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12
学科网（北京）股份有限公司A．W＞W
1 2
B．W＜W
1 2
C．W＝W
1 2
D．无法确定W 和W 的大小关系
1 2
【典例5提高题】【答案】A
【解析】绳子对滑块做的功为变力做功，可以通过转换研究对象，将变力的功转化为恒力
的功；因绳子对滑块做的功等于拉力F对绳子做的功，而拉力F为恒力，W＝F·Δl，Δl为
绳拉滑块过程中力F的作用点移动的位移，大小等于滑轮左侧绳长的缩短量，由图可知，
Δl ＞Δl ，故W＞W，A正确．
AB BC 1 2
【典例5提高题对应练习】（多选）如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，滑块
用轻绳系着绕过光滑的定滑轮O。现以大小不变的拉力F拉绳，使滑块从A点由静止开始
上升，滑块运动到C点时速度最大。已知滑块质量为m，滑轮O到竖直杆的距离为d，
∠OAO′＝37°，∠OCO′＝53°，重力加速度为g(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。则( )
A．拉力F大小为mg
B．拉力F大小为mg
C．滑块由A到C过程轻绳对滑块做功mgd
D．滑块由A到C过程轻绳对滑块做功mgd
【典例5提高题对应练习】【答案】AC
【解析】滑块到C点时速度最大，其所受合力为零，则有Fcos 53°－mg＝0，解得F＝
mg，故A正确，B错误；由能量的转化与守恒定律可知，拉力F做的功等于轻绳拉力F对
滑块做的功，滑轮与A间绳长L＝，滑轮与C间绳长L＝，滑轮右侧绳子增大的长度ΔL
1 2
＝L－L＝－＝，拉力做功W＝FΔL＝mgd，故C正确，D错误。
1 2
题型六：圆周运动摩擦变力做功的分析
【知识思维方法技巧】
接触面弹力发生了变化，则滑动摩擦力大小也发生了变化，滑动摩擦力做功也发生了变化。
如图小球能沿粗糙半圆周从P经最低点Q到R，由于机械能的损失，在前半程的速度（摩
擦力）总是大于后半程等高处的速度（摩擦力），P到Q克服摩擦力所做的功大于Q到R
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13
学科网（北京）股份有限公司克服摩擦力所做的功．
【典例6提高题】如图所示，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高，质
量m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的压力为2mg，重力
加速度大小为g.质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为( )
A.mgR B.mgR C.mgR D.mgR
【典例6提高题】【答案】C
【解析】在Q点质点受到的竖直向下的重力和竖直向上的支持力的合力充当向心力，所以
有F －mg＝m，F ＝F ′＝2mg，联立解得v＝，下滑过程中，根据动能定理可得mgR－W
N N N f
＝mv2，解得W＝mgR，所以克服摩擦力做功mgR，选项C正确．
f
【典例6提高题对应练习】如图所示，一质量为m的质点在半径为R的半球形容器中(容器
固定)由静止开始自边缘上的A点滑下，到达最低点B时，它对容器的正压力为F 。重力
N
加速度为g，则质点自A滑到B的过程中，摩擦力对其所做的功为( )
A．R(F －3mg) B．R(2mg－F )
N N
C．R(F －mg) D．R(F －2mg)
N N
【典例6提高题对应练习】【答案】A
【解析】质点在B点，由牛顿第二定律，有：F －mg＝m，质点在B点的动能为E ＝mv2
N kB
＝(F －mg)R。质点自A滑到B的过程中，由动能定理得：mgR＋W＝E －0，解得：W
N f kB f
＝R(F －3mg)，故A正确，B、C、D错误。
N
考点四：功率的计算及分析
题型一：功率的计算
【知识思维方法技巧】
求解功率时应注意的三个问题：
（1）首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率。
（2）平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内
做功的平均功率。平均功率的计算方法：P＝或P＝Fvcos α，其中v为物体运动的平均速度。
（3）瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率。瞬时功率的计算方法：
P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度，α是F与v的夹角。
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14
学科网（北京）股份有限公司类型一：功率的计算
【典例1a提高题】如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下
滑，斜面足够长，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，
g取10 m/s2，则前2 s内重力的平均功率和2 s末的瞬时功率分别为( )
A.48 W 24 W B.24 W 48 W
C.24 W 12 W D.12 W 24 W
【典例1a提高题】【答案】B
【解析】木块所受的合外力
F ＝mgsin θ－μmgcos θ＝mg(sin θ－μcos θ)＝2×10×(0.6－0.5×0.8) N＝4 N
合
木块的加速度a＝＝ m/s2＝2 m/s2，前2 s内木块的位移x＝at2＝×2×22 m＝4 m
所以，重力在前2 s内做的功为，W＝mgxsin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J
重力在前2 s内的平均功率为P＝＝ W＝24 W。木块在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4
m/s；2 s末重力的瞬时功率P＝mg·vsin θ＝2×10×4×0.6 W＝48 W。故选项B正确。
【典例1a提高题对应练习】(多选)我国科学家正在研制航母舰载机使用的电磁弹射器。舰
载机总质量为3.0×104 kg，设起飞过程中发动机的推力恒为1.0×105 N，弹射器有效作用
长度为100 m，推力恒定，要求舰载机在水平弹射结束时速度大小达到80 m/s。弹射过程中
舰载机所受总推力为弹射器和发动机推力之和，假设所受阻力为总推力的20%，则下列说
法正确的是( )
A.弹射器的推力大小为1.1×106 N
B.弹射器对舰载机所做的功为1.1×108 J
C.弹射器对舰载机做功的平均功率为8.8×107 W
D.舰载机在弹射过程中的加速度大小为32 m/s2
【典例1a提高题对应练习】【答案】ABD
【解析】设总推力为F，则舰载机受到的合外力为0.8F，由动能定理有F x＝mv2－0，可
合
求出F＝1.2×106 N，减去发动机的推力，得出弹射器的推力为1.1×106 N，选项A正确；弹
射器对舰载机所做的功W ＝F x＝1.1×108 J，选项B正确；舰载机的平均速度为v＝＝40
弹 弹
m/s，则弹射器做功的平均功率P ＝F v＝4.4×107 W，选项C错误；舰载机的加速度a＝
弹 弹
＝32 m/s2，选项D正确。
类型二：平均功率的估算
【典例1b提高题】某健身爱好者质量为55 kg，在做俯卧撑运动的过程中可将他的身体视
为一根直棒．已知重心在c点，其垂线与脚、两手连线中点间的距离 Oa、Ob分别为1.0 m
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15
学科网（北京）股份有限公司和0.5 m，如图所示．若他在1 min内做了36个俯卧撑，每次肩部上升的距离均为0.5 m，
重力加速度g取10 m/s2，则1 min内克服重力做的功和相应的功率约为( )
A. 660 J,11 W B. 6 600 J,110 W C. 990 J,16.5 W D. 9 900 J,165 W
【典例1b提高题】【答案】B
【解析】设重心上升高度为h，根据几何知识可得
＝ ，解得h＝ m，故做一次俯卧撑克服重力做的功为mgh＝ J，
所以1 min内克服重力做的功为W＝36× J＝6 600 J，功率约为P＝ ＝ W＝110
W，故B正确，A、C、D错误．
【典例1b提高题对应练习】仰卧起坐是《国家学生体质健康标准》中规定的女生测试项目
之一。根据该标准高三女生一分钟内完成55个以上仰卧起坐记为满分。若某女生一分钟内
做了 50个仰卧起坐，其质量为50 kg，上半身质量为总质量的0.6 倍，仰卧起坐时下半身
重心位置不变，g取10 m/s2。则测试过程中该女生克服重力做功的平均功率约为( )
A.10 W B.40 W C.100 W D.200 W
【典例1b提高题对应练习】【答案】C
【解析】该同学身高约1.6 m，则每次上半身重心上升的距离约为h＝×1.6 m＝0.4 m，则她
每一次克服重力做的功W＝0.6mgh＝0.6×50×10×0.4 J＝120 J，1 min内她克服重力所做的
总功W ＝50W＝50×120 J＝6 000 J，她克服重力做功的平均功率为P＝＝ W＝100 W，故
总
C正确，A、B、D错误。
题型二：功率的分析
【典例2提高题】（多选）如图所示，重球用细绳跨过轻小光滑定滑轮与质量为m的小球
相连，细绳处于拉直状态，定滑轮与小球之间的细绳处于水平状态，小球由静止释放运动
到最低点过程中，重球始终保持静止，不计空气阻力．下列说法正确的有(重力加速度为g)
( )
A．定滑轮与小球之间的细绳偏离竖直方向成θ角时，细绳拉力为mgcos θ
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16
学科网（北京）股份有限公司B．地面对重球的摩擦力一直增大
C．上述过程中小球重力的功率先增大后减小
D．细绳对小球不做功
【典例2提高题】【答案】BCD
【解析】设定滑轮与小球之间的细绳与竖直方向的夹角为 θ时，细绳的拉力大小为F ，F
T T
－mgcos θ＝m(L为定滑轮与小球之间的细绳长)，解得F ＝mgcos θ＋m，A错误；随着θ
T
减小，v增大，细绳拉力F 不断增大，则地面对重球的摩擦力一直增大，B正确；开始时
T
小球竖直方向的分速度v 为零，小球到达最低点时竖直方向的分速度 v 也为零，则知v 先
y y y
增大后减小，重力瞬时功率为P＝mgv，所以小球重力的功率先增大后减小，C正确；细
y
绳的拉力始终与小球的速度方向垂直，对小球不做功，D正确．
【典例2提高题对应练习】如图，小物块P在沿斜面向上的拉力F作用下沿固定光滑斜面
匀速上滑。现将力F的方向变为水平向右，仍使P保持原来的速度沿斜面匀速上滑。则变
化后与变化前比较( )
A.斜面对物体的支持力不变
B.力F变大
C.力F变小
D.力F的功率变大
【典例2提高题对应练习】【答案】B
【解析】对物体受力分析可知，物体受重力、支持力和拉力，根据受力平衡可得 F ＝
N
mgcos θ，当力F的方向变为水平向右，根据平衡可得F ＝mgcos θ＋Fsin θ，因此支持变
N
大，故A错误；在斜面方向，根据平衡可得 mgsin θ＝F，当力F的方向变为水平向右可
得mgsin θ＝Fcos θ，因此F变大，故B正确，C错误；一开始F的功率为P＝Fv＝mgsin
θ·v，变化之后功率为P＝Fcos θ·v＝mgsin θ·v，拉力F的功率不变，故D错误。
考点五：机车功率的问题
【知识思维方法技巧】
（1）机车启动问题的两种求解思路：
①机车以恒定功率启动：
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 17
学科网（北京）股份有限公司②机车以恒定加速度启动：
（2）解决机车启动问题的两点注意：
①分清是匀加速启动还是恒定功率启动：
匀加速启动过程中，机车功率是不断增大的，当功率达到额定功率时匀加速运动速度达到
最大，但不是机车能达到的最大速度。
以额定功率启动的过程中，牵引力是不断减小的，机车做加速度减小的加速运动，牵引力
的最小值等于阻力。
②无论哪种启动方式，最后达到最大速度时，均满足P＝Fv ，P为机车的额定功率。
f m
题型一：机车功率的计算问题
类型一：机车在水平面运动模型
【典例1a提高题】某质量为m＝1 500 kg的汽车从A点由静止出发，沿平直公路行驶，先
以恒定的加速度a＝2 m/s2运动一段时间，达到额定功率后以恒定的加速度a＝1 m/s2做加
1 2
速运动，达到最大速度的 后以该速度行驶，快到B点时，以加速度a 制动刚好到B点停
1
下．已知汽车在水平公路上沿直线行驶时所受阻力F 的大小为汽车所受重力的 ，A点到
f
B点的距离为2.375 km，汽车额定功率为90 kW，重力加速度g＝10 m/s2.
(1)求汽车达到额定功率所用的时间；
(2)求汽车匀速运动的时间．
【典例1a提高题】【答案】(1)10 s (2)60 s
【解析】(1)设刚好达到额定功率时的速度为v，由牛顿第二定律有 －F＝ma
f 1
汽车所受阻力为F＝ mg,由匀变速直线运动规律有v＝at,联立解得t＝10 s.
f 11 1
(2)汽车的最大速度为v ＝ ，做匀减速直线运动的时间为t＝ ，以a 做匀加速运动的位
m 4 1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 18
学科网（北京）股份有限公司移为x＝ at2，以a 做匀加速运动的位移为x＝ ，做匀减速运动的位移为x＝
1 11 2 2 4
at2，匀速运动的距离为x＝d －x－x－x，匀速运动时间为t＝ ,联立解得t＝60 s.
14 3 AB 1 2 4 3 3
【典例1a提高题对应练习】“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的。
总质量为m的动车组在平直的轨道上行驶。该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的
额定功率均为P，若动车组所受的阻力与其速率成正比(F
阻
＝kv，k为常量)，动车组能达
到的最大速度为v。下列说法正确的是( )
m
A．动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变
B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动
C．若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，则动车组匀速行驶的速度为v
m
D．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间 t达到最大速度
v，则这一过程中该动车组克服阻力做的功为mv－Pt
m
【典例1a提高题对应练习】【答案】C
【解析】在动车组匀加速启动的过程中，对动车组受力分析，根据牛顿第二定律有F －F
1
＝ma ，其中F ＝kv，因加速度a 不变，v增大，则F 增大，故牵引力F 逐渐增大，A
阻 1 阻 1 阻 1
错误；若四节动力车厢输出功率均为额定值，则牵引力F ＝，而F －F ＝ma，其中F
2 2 阻 阻
＝kv，由v增大可知加速度a减小，所以动车组从静止开始做加速度减小的变加速运动，B
错误；设当四节动力车厢输出的总功率为2.25P时，动车组匀速运动的速度为v ′，动车组
m
匀速行驶时受力平衡，有F′＝F ＝kv ′，则4P＝kv、2.25P＝kv ′2，解得v ′＝v ，C正确；
阻 m m m m
当四节动力车厢输出功率均为额定值时，对动车组从启动到达到最大速度的过程，根据动
能定理有4Pt－W ＝mv，解得这一过程中该动车组克服阻力做的功W ＝4Pt－mv，D错
克 克
误。
类型二：机车在斜面运动模型
【典例1b提高题】如图甲所示，一个倾角为 的斜面固定在地面上，一辆质量为m的汽车
由静止以额定功率P驶上斜面，汽车行驶的最大速度为v；如图乙所示，若汽车从斜面顶
1
端由静止以额定功率P向下运动，汽车行驶的最大速度为v 已知汽车行驶过程中受到的阻
2.
力大小恒定不变，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 19
学科网（北京）股份有限公司A．汽车均做匀加速直线运动
B．最大行驶速度v 大于v
1 2
C．阻力大小为
D．额定功率大小为
【典例1b提高题】【答案】D
【解析】汽车以额定功率行驶，做加速度减小的加速运动，当加速度减为零时，速度达到
最大，因此汽车均做变加速直线运动，A错误；设汽车行驶过程中受到的阻力为 ，当汽
车达到最大速度时，加速度为零，对题图甲有，牵引力 ，额定功率 ，
对题图乙有，牵引力 额定功率 ，联立可得 ，
，故 ，D正确，BC错误。
【典例1b提高题对应练习】质量为1.0×103 kg的汽车，沿倾角为30°的斜坡由静止开始向
上运动，汽车在运动过程中所受摩擦阻力大小恒为2000 N，汽车发动机的额定输出功率为
5.6×104 W，开始时以a＝1 m/s2 的加速度做匀加速运动(g取10 m/s2)．求：
(1)汽车做匀加速运动的时间t；
1
(2)汽车所能达到的最大速率；
(3)若斜坡长143.5 m，且认为汽车到达坡顶之前已达到最大速率，则汽车从坡底到坡顶需
多长时间．
【典例1b提高题对应练习】【答案】(1)7 s (2)8 m/s (3)22 s
【解析】(1)由牛顿第二定律得F－mgsin 30°－F＝ma，设匀加速过程的末速度为v，则有
f
P＝Fv，v＝at，解得t＝7 s.
1 1
(2)当达到最大速度v 时，加速度为零，则有P＝(mgsin 30°＋F)v，解得v＝8 m/s.
m f m m
(3)汽车匀加速运动的位移x＝at，在后一阶段对汽车由动能定理得
1
Pt －(mgsin 30°＋F)x ＝mv－mv2，又有x＝x ＋x ，解得t≈15 s，故汽车运动的总时间
2 f 2 1 2 2
为t＝t＋t＝22 s.
1 2
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 20
学科网（北京）股份有限公司类型三：竖直提升重物模型
【典例1c提高题】一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为m的重物，当重物的速度
为v时，起重机的功率达到最大值P，之后起重机保持该功率不变，继续提升重物，最后
1
重物以最大速度v匀速上升，不计钢绳重力．则整个过程中，下列说法正确的是( )
2
A．钢绳的最大拉力为
B．重物匀加速过程的时间为
C．重物匀加速过程的加速度为
D．速度由v增大至v的过程中，重物的平均速度<
1 2
【典例1c提高题】【答案】B
【解析】匀加速过程物体处于超重状态，钢绳拉力最大，匀加速运动阶段钢绳的拉力为F
＝，故A错误；根据牛顿第二定律可知F－mg＝ma，结合v＝at，解得a＝－g，t＝，故
1
B正确，C错误；在速度由v增大至v的过程中，重物做加速度减小的变加速运动，平均
1 2
速度>，故D错误．
【典例1c提高题对应练习】图示为修建高层建筑常用的塔式起重机。在起重机将质量
m=5×103kg的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上作匀加速直线运动，加速度
a=0.2m/s2，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率直到重物做v =1.02m/s
m
的匀速运动。取g=10m/s2,不计额外功。求：
（1）起重机允许输出的最大功率；
（2）重物做匀加速运动所经历的时间和起重机在第2秒末的输出功率。
【典例1c提高题对应练习】【答案】（1）P=5.1×104W；（2）P=2.04×104W
0
【解析】（1）设起重机允许输出的最大功率为P ，重物达到最大速度时，此时物体做匀
0
速直线运动，拉力 F 等于重力。 P=F v F =mg 代入数据，有
0 0 0 m 0
P=5.1×104W
0 ① ②
（2）匀加速运动结束时，起重机达到允许输出的最大功率，设此时重物受到的拉力为F，
③
速度为v，匀加速运动经历时间为t，有：
1 1
P=Fv F-mg=ma v=at 由③④⑤⑥，代入数据，得 t=5s
0 1 1 1 1
T=2s时，重物处于匀加速运动阶段，设此时速度为v，输出功率为P，则
④ ⑤ ⑥ 2 ⑦
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 21
学科网（北京）股份有限公司v=aT P=Fv 由⑤⑧⑨，代入数据，得P=2.04×104W
2 2
⑧ ⑨
题型二：与图像结合的机车功率的计算问题
类型一：与v－t图像结合的机车启动问题
【典例2a提高题】一物体在粗糙的水平面上受到水平拉力作用，在一段时间内的速度随时
间变化情况如图所示。关于拉力的功率随时间变化的图象下图中可能正确的是( )
【典例2a提高题】【答案】D
【解析】由题图知：在0～t 时间内，物体做初速度为零的匀加速运动，v＝at，由牛顿第
0
二定律得F－f＝ma，则拉力的功率为P＝Fv＝(f＋ma)v＝(f＋ma)at，可知功率的图象为过
原点的倾斜直线；在t 时刻以后，物体做匀速运动，v不变，则F＝f，P＝Fv＝fv，P不变，
0
可知功率图象为水平直线，且功率的值小于加速阶段功率的最大值，故D正确。
【典例2a提高题对应练习】（多选）质量为m的汽车在平直路面上启动，启动过程的速
度—时间图象如图所示。从t 时刻起汽车的功率保持不变，整个运动过程中汽车所受阻力
1
恒为F，则( )
f
A．0～t 时间内，汽车的牵引力做功的大小等于汽车动能的增加量
1
B．t～t 时间内，汽车的功率等于v
1 2 1
C．汽车运动的最大速度v＝v
2 1
D．t～t 时间内，汽车的平均速度等于
1 2
【典例2a提高题对应练习】【答案】BC
【解析】0～t 时间内，汽车加速度a＝，由牛顿第二定律F－F＝ma，解得F＝m＋F，t
1 f f 1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 22
学科网（北京）股份有限公司～t 时间内，汽车的功率P＝Fv ＝v ，选项B正确；由P＝Fv 可得汽车运动的最大速度v
2 1 1 f 2 2
＝＝v ，选项C正确；根据动能定理，0～t 时间内，汽车的牵引力做功的大小减去克服阻
1 1
力做功等于汽车动能的增加量，选项A错误；t ～t 时间内，汽车的平均速度大于，选项D
1 2
错误。
类型二：与a－图像结合的机车启动问题
【知识点的理解与运用】
由F－F＝ma，P＝Fv可得：a＝·－，则斜率k＝；纵截距b＝－；
f
横截距＝。
【典例2b提高题】一质量为400 kg的赛车在平直赛道上由静止开始加速，设其所受到的阻
力不变，在加速阶段的加速度a和速度的倒数 的关系如图所示，则赛车( )
A. 做匀加速直线运动
B. 发动机的功率为200 kW
C. 所受阻力大小为2 000 N
D. 速度大小为50 m/s时牵引力大小为3 200 N
【典例2b提高题】【答案】D
【解析】由牛顿第二定律得 －F＝ma，即a＝ · － ，由图线可知 为恒量，故机车在
f
恒定功率下启动，做加速度减小的加速运动，A错误；由表达式a＝ · － 可知，题图直
线的斜率表示 ，纵截距表示－ ，所以 ＝400 m2·s－3，－ ＝－4 m·s－2，解得P＝
400×400 W＝160 kW，F＝4×400 N＝1 600 N，B、C错误；当加速度等于0时，机车的速
f
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 23
学科网（北京）股份有限公司度达到最大值，此时牵引力等于阻力，所以v ＝ ＝100 m/s，当v＝50 m/s90 km/h时汽油机和电动机同时工作，这种汽车更节能环
保，该小汽车在一条平直的公路上由静止启动，汽车的牵引力F随运动时间t变化的图线
如图所示，所受阻力恒为1 250 N。已知汽车在t 时刻第一次切换动力引擎，以后保持恒定
0
功率行驶至第11 s末，则在前11 s内( )
A. 经过计算t＝5 s
0
B. 在0～t 时间内小汽车行驶了45 m
0
C. 电动机输出的最大功率为60 kW
D. 汽油机工作期间牵引力做的功为4.5×105J
【典例2e提高题】【答案】BD
【解析】开始阶段加速度为a＝ ＝ m/s2＝2.5 m/s2，v＝54 km/h＝15 m/s，
1
解得t＝ ＝ s＝6 s，故A错误；汽车前6 s内的位移为x＝ at2＝45 m，故B正确；t 时
0 1 0 0
刻，电动机输出的功率最大，为P ＝F v＝5 000×15 W＝75 kW，故C错误；由题图可知，
m 1 1
汽油机工作期间，功率为P＝F v＝90 kW，解得11 s时刻汽车的速度为v＝ ＝
2 1 3
m/s＝25 m/s＝90 km/h，故6～11 s内都是汽油机在做功，且汽油机工作时牵引力做的功为
W＝Pt＝4.5×105J，故D正确。
1
题型三：根据机车启动情景选择图象的问题
【典例3提高题】某汽车在平直公路上以功率P、速度v匀速行驶时，牵引力为F 。在t
0 0 1
时刻，司机减小油门，使汽车的功率减为，此后保持该功率继续行驶，t 时刻，汽车又恢
2
复到匀速运动状态。下面是有关汽车牵引力F、速度v在此过程中随时间t变化的图象，其
中正确的是( )
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 27
学科网（北京）股份有限公司【典例3提高题】【答案】A
【解析】由题知汽车以功率P、速度v 匀速行驶时，牵引力与阻力平衡。当司机减小油门，
0
使汽车的功率减为时，根据P＝Fv得知，汽车的牵引力突然减小到原来的一半，即为F＝
F ，而阻力没有变化，则汽车开始做减速运动，由于功率保持为，随着速度的减小，牵引
0
力逐渐增大，根据牛顿第二定律得知，汽车的加速度逐渐减小，做加速度减小的减速运动；
当汽车再次匀速运动时，牵引力与阻力再次平衡，大小为F ；由P＝Fv得知，此时汽车的
0
速度为原来的一半，汽车功率变化后，做加速度减小的减速直至匀速，故A正确，B错误；
汽车功率变化后，牵引力突然减小到原来的一半，然后牵引力逐渐增大(速度减小的越来越
慢，牵引力增加的越来越慢)，最终牵引力还原，故C、D错误。
【典例3提高题对应练习1】金山铁路上运行的CRH6F型动车组列车共8节车厢，通常采
用4动4拖模式运行(其中4节是动力车厢)．设列车运行过程中的阻力与其速率成正比，
每节动车均以相等的额定功率运行，若列车在平直的轨道上采用4动4拖模式匀速行驶时
的速率为v，某时刻改为采用1动7拖模式后，列车的速率v随时间t的变化关系可能是(
0
)
A. B.
C. D.
【典例3提高题对应练习1】【答案】B
【解析】设每节动车的功率为P，每节车厢受阻力为F，若列车在平直的轨道上采用4动4
f
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 28
学科网（北京）股份有限公司拖模式匀速行驶时的速率为v，则4P＝8Fv＝8kv2，若某时刻改为采用1动7拖模式后，
0 f 0 0
功率变为P，则根据P＝Fv可知，此时牵引力小于阻力，动车组做减速运动，随速度的减
小，牵引力变大，根据8F－F＝8ma，可知加速度减小，当加速度减为零时，则P＝8Fv′
f f
＝8kv′2，则v′＝ v，故选B.
0
【典例3提高题对应练习2】汽车以恒定功率沿公路做直线运动，途中通过一块沙地。汽
车在公路及沙地上所受阻力均为恒力，且在沙地上受到的阻力大于在公路上受到的阻力。
汽车在驶入沙地前已做匀速直线运动，它匀速运动到驶出沙地后的一段时间内，位移s随
时间t的变化关系可能是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3提高题对应练习2】【答案】A
【解析】汽车驶入沙地前，做匀速直线运动，牵引力和阻力平衡；汽车刚驶入沙地时，阻
力增加，牵引力小于阻力，加速度向后，减速；根据功率P=Fv可知，随着速度的减小，
牵引力不断增加，故加速度不断减小；当加速度减为零后物体匀速运动：汽车刚离开沙地，
阻力减小，牵引力大于阻力，故加速度向前，物体加速运动；根据功率P=Fv可知，随着
速度的增加，牵引力不断减小，故加速度不断减小；即物体做加速度减小的加速运动；最
后匀速；故汽车进入沙地减速，中途匀速，离开沙地加速；s-t图线上某点的斜率表示该点
对应时刻的瞬时速度，B图两端是曲线，且最后的斜率大于开始的斜率，即最后的速度比
开始的最大速度还要大，不符合实际；只有A选项曲线在O点处的切线斜率等于驶出沙地
后直线的斜率，符合实际。故选A。
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 29
学科网（北京）股份有限公司
