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考点 08 函数的概念与运算
【命题解读】
通过函数概念和函数解析式的学习，从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之
间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。学生能
更好地理解数学概念、命题、方法和体系，能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质，能逐
渐养成一般性思考问题的习惯，能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题，逐步养成
学习者的数学抽象能力。
【基础知识回顾】
1．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫
做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等
的依据．
2．函数的三种表示法
解析法 图象法 列表法
就是把变量x，y之间的关系
就是把x，y之间的关系绘制 就是将变量x，y的取值列成
用一个关系式 y＝f(x)来表
成图象，图象上每个点的坐 表格，由表格直接反映出两
示，通过关系式可以由 x的
标就是相应的变量x，y的值. 者的关系.
值求出y的值.
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分
段函数．
1、下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A．f(x)＝eln x，g(x)＝x
B．f(x)＝，g(x)＝x－2
C．f(x)＝，g(x)＝sin xD．f(x)＝|x|，g(x)＝
【答案】D
【解析】A，B，C的定义域不同，所以答案为D.
2、（江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三9月月考）函数 的定义域是____
【答案】
【解析】依题意 ，即 ，解得 .
3、设函数f(x)＝则f的值为( )
A． B．－ C． D．18
【答案】 A
【解析】当x>1时，f(x)＝x2＋x－2，则f(2)＝22＋2－2＝4，∴＝，当x≤1时，f(x)＝1－x2，
∴f＝f＝1－＝．
4、(2019南京三模）若函数f(x)＝，则f(log 3)＝ ▲ ．
2
【答案】．
【解析】因为1＜ ＜2，所以f(log 3)＝f(log 3－2)＝ .
2 2
5、已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(1)＝____．
【答案】9
【解析】 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，即
ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立．
∴ ，解得 ∴f(x)＝2x＋7，从而得f(1)＝9.
6、函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值
与之对应的y值的范围是________．
【答案】[－3，0]∪[2，3] [1，5] [1，2)∪(4，5]
【解析】观察图像结合函数的概念。考向一 函数的概念
例1 (1)已知A＝{1，2，3，k}，B＝{4，7，a4，a2＋3a}，a∈N*，k∈N*，x∈A，y∈B，f：x→y＝3x＋1是
从定义域A到值域B的一个函数，求a，k的值；
(2)下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【答案】 ．
【解析】(1)(定义法)由对应法则1→4，2→7，3→10，又k→3k＋1，故a2＋3a＝10(a4＝10舍去)，解得
a＝2或a＝－5(舍去)，故3k＋1＝a4＝16，解得k＝5.∴a＝2，k＝5.【分析】根据两个函数的定义域相同，
对应关系也相同，即可判断是相同函数．
（2）对于 ，函数 与 的解析式不同，表示相同函数；
对于 ，函数 的定义域为 ， 的定义域为 ，定义域相同，对应关系也相同，是
相同函数；
对于 ，函数 的定义域为 ， 的定义域为 ，定义域相同，对应关系也相同，
是相同函数；
对于 ，函数 的定义域为 ， ， ， 的定义域为 ，定义域
不同，不是相同函数．
故选： ．
变式1、下列各对函数中是同一函数的是( ) ．
A．f(x)＝2x－1与g(x)＝2x－x0 B．f(x)＝与g(x)＝|2x＋1|；
C．f(n)＝2n＋2(n∈Z)与g(n)＝2n(n∈Z)； D．f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2.
【答案 BD【解析】 ①函数g(x)＝2x－x0＝2x－1，函数g(x)的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是同
一函数；②f(x)＝＝|2x＋1|与g(x)＝|2x＋1|的定义域和对应关系相同，是同一函数；③f(n)＝2n＋2(n∈Z)与
g(n)＝2n(n∈Z)的对应关系不相同，不是同一函数；④f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2的定义域和对应关系相同，
是同一函数．
变式2、已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________．
(填序号)
①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x；④f：x→y＝.
【答案】：③
【解析】：对于③，因为当x＝4时，y＝×4＝∉Q，所以③不是函数．
变式3、若一系列函数的解析：式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函
数解析：式为y＝2x2＋1，值域为{3,19}的“孪生函数”共有________个．
【答案】： 9
【解析】：若y＝3，则由2x2＋1＝3，得x＝±1；
若y＝19，则由2x2＋1＝19，得x＝±3．
所以函数f(x)定义域可以是{1，－3}，{1,3}，{－1,3}，{－1，－3}，{－1,1,3}，{－1,1，－3}，{－
3,1,3}，{－3，－1,3}，{－1，－3,1,3}，共有9个孪生函数．
方法总结：(1)定义是解题的重要依据，它有双重功能：一是判定；二是性质．要判定一个对应是不是从定
义域A到值域B的一个函数，就要看其是否满足函数的定义，反之亦然；
(2)函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定，当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数，
而定义域、值域和对应法则中有一个不同就不是同一函数．
考向二 函数的解析式
例3、(1)已知f＝lg x，求f(x)的解析式；
(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式；
(3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
【解答】 (1)(换元法)令＋1＝t，得x＝，
代入得f(t)＝lg，又x>0，所以t>1，
故f(x)的解析式是f(x)＝lg，
x∈(1，＋∞)．
(2)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，所以
解得a＝b＝.
所以f(x)＝x2＋x，x∈R.
(3)(解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①
得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②
①×2－②，
得3f(x)＝2x＋1－2－x.
即f(x)＝.
故f(x)的解析式是f(x)＝，x∈R.
变式1、已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．
【答案】f(x)＝x2＋x，
【解析】设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以
解得a＝b＝.
所以f(x)＝x2＋x，x∈R.
变式2、若函数f（x）对于任意实数x恒有f（x）﹣2f（﹣x）＝3x﹣1，则f（x）等于（ ）
A．x+1 B．x﹣1 C．2x+1 D．3x+3
【答案】A．
【解析】函数f（x）对于任意实数x恒有f（x）﹣2f（﹣x）＝3x﹣1，
令x＝﹣x，则：f（﹣x）﹣2f（x）＝3（﹣x）﹣1．
则： ，
解方程组得：f（x）＝x+1．
故选：A．
变式3、如图，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(终点)移动，
设点P移动的路程为x，△ABP的面积为y＝f(x)．
(1)求△ABP的面积与点P移动的路程间的函数关系式；(2)作出函数的图像，并根据图像求y的最大值．
【解析】 (1)考虑到点P在正方形ABCD四边上移动时△ABP的面积y与路程x的解析式不同，应分段进行
考虑，首先，这个函数的定义域为(0，12]．
当0＜x≤4时，S＝f(x)＝·4·x＝2x；
当4＜x≤8时，S＝f(x)＝8；
当8＜x＜12时，S＝f(x)＝·4·(12－x)＝2(12－x)＝24－2x.
∴这个函数的解析式为f(x)＝
(2)作出其图像如图所示，由图像可知，f(x)max＝8.∴y的最大值为8.
方法总结：函数解析式的常见求法
函数解析式的求法主要有以下几种：
(1)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(2)配凑法：由已知条件f(g(x))＝f(x)，可将f(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析
式；
(3)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数f(x)可设为f(x)＝
ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a，b，c即可．
(4)解方程组法：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如f(或f(－x))等，
可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
考向三 分段函数
例3、（1）已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________.
（2）、已知 则f(7） =______.
（3）(2019苏锡常镇调研）已知函数f(x)＝若f(a－1)＝，则实数a＝________．
（4）、(2018南京、盐城、连云港、徐州二模）已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥－1的解集是________．
【答案】（1）0 2－3；（2）6（3） log 3（4） [－4,2]
2
【解析】（1）∵f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，
∴f(f(－3))＝f(1)＝0，
当x≥1时，f(x)＝x＋－3≥2－3，当且仅当x＝时，取等号，此时f(x) ＝2－3<0；
min
当x<1时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x＝0时，取等号，此时f(x) ＝0.∴f(x)的最
min小值为2－3.
（2）∵7＜9，
∴f(7)＝f(f(7＋4))＝f(f(11))＝f(11－3)＝f(8)．
又∵8＜9，
∴f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝9－3＝6.
即f(7)＝6.
（3）当a－1≤0，即a≤1时，f(a－1)＝log (4－a)＝，
2
解得a＝4－(舍)；当a－1>0，即a>1时，f(a－1)＝2a－1－1＝，
解得a＝log 3.
2
（4）当x≤0时，不等式f(x)≥－1可以化为x＋1≥－1，
解之得x≥－4，此时－4≤x≤0；当x>0时，不等式f(x)≥－1可以化为－(x－1)2≥－1，
解之得00时，2－m<2,2＋m>2，所以3(2－m)－m＝－(2＋m)－2m，所以m＝8；
当m<0时，2－m>2,2＋m<2，所以3(2＋m)－m＝－(2－m)－2m，所以m＝－.
(2)由f(f(a))＝2f(a)，得f(a)≥1.当a<1时，有3a－1≥1，∴a≥，∴≤a<1；当a≥1时，有2a≥1，
∴a≥0，∴a≥1.综上，a的取值范围是a≥.
方法总结：(1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，再通过分类讨论求解；
(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分
别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．
f(x)=_____(x>0) M ( a , b ) a , b
1、(2014江西)已知函数 ， f ，若 ，则 f(x)=_____(x>0)
A．1 B．2 C．3 D．-1
【答案】A
【解析】因为 ，且 ，所以 ，即 ，解得 ．
1
f(x)=
2、.(2014山东)函数 √ (log x) 2 −1的定义域为（ ）
2
1 1 1
(0， ) (0， )∪(2,+∞) (0， ]∪[2，+∞)
A． 2 B．(2，+∞) C． 2 D． 2
【答案】C
【解析】 ，解得 ．
3、（2017新课标Ⅲ）设函数 ，则满足 的 的取值范围是___．【答案】
【解析】当 时，不等式为 恒成立；
当 ，不等式 恒成立；
当 时，不等式为 ，解得 ，即 ；
综上， 的取值范围为 ．
4、(2015新课标1，文10)已知函数 ，且 ，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵ ，∴当 时， ，则 ，此等式显然不成立，当
时， ，解得 ，∴ = ，故选A．
5、（2015新课标2，理5）设函数 , ( )
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【解析】由已知得 ，又 ，所以 ，故
，故选C．C
6、（2014卷1，文15）设函数 则使得 P 成立的 的取值范围是________.
l
【答案】 .
【解析】原不等式等价于 或 ，解得 ，故 的取值范围是 .
l
7、德国数学家狄里克雷 ， ， 在1837年时提出：“如果对于 的
每一个值， 总有一个完全确定的值与之对应，那么 是 的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内
涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个 ，有一个确定的 和它对应就行了，不管这个法则是用
公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄里克雷函数 ，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当
自变量取无理数时，函数值为0．下列关于狄里克雷函数 的性质表述正确的是
A．
B． 的值域为 ，
C． 的图象关于直线 对称
D． 的图象关于直线 对称
【答案】 ．
【解析】：由题意可得 ，
由于 为无理数，则 ，故 正确；
结合函数的定义及分段函数的性质可知，函数的值域 ， ，故 正确；
结合函数可知，当 时， 关于 ， 都对称，当 为无理数时， 关于 ，都对称．
故选： ．
8、 根据下列条件，求函数的解析式：
(1)已知f(＋1)＝x＋2；
(2)若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1；
(3)已知f(0)＝1，对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)．
【解】 (1)(方法1)(换元法)：设t＝＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)．代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－
1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
(方法2)(配凑法)：∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，
∴f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)用－x换x得2f(－x)－f(x)＝－3x＋1，与原式联立消去f(－x)得f(x)＝x＋1.
(3)令x＝0，得f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y2－y，f(y)＝y2＋y＋1，即f(x)＝x2＋x＋1.
