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考点 17 函数与方程
【命题解读】
函数零点以及求参数范围等问题时高考重点考查的内容，不仅在大题中体现，同时在小题中也加以考
查，难度控制在中等以上。
【基础知识回顾】
1、函数的零点
(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使方程f(x)＝0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．
(2)方程的根与函数零点的关系：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的
图像与x轴交点的横坐标．所以函数y＝f(x)有零点等价于函数y＝f(x)的图像与x轴有交点，也等价于方程
f(x)＝0有实根．
(3)零点存在性定理：
如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上的图像是一条连续的曲线，且有 f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)
在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时c就是方程f(x)＝0的根．但反之，不成
立．
2、 二分法
对于在区间上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一
分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程 f(x)＝0的近
似解就是求函数f(x)零点的近似值．
3、 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与零点的关系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝
ax2＋bx＋
c(a>0)的图像
交点 (x，0),_(x ，0) (x，0) 无交点
1 2 1
零点个数 2 1 0
4、有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
1、若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点为（ ）
A. 0或－ B. 0 C. － D. 0或
2、函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内的零点个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D.4
3、若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)内存在一个零点，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. (－∞，－1) D. (－∞，－1)∪
4、函数f(x)＝的零点个数是________．
5、已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x．则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为
________．
7、(一题两空)已知函数f(x)＝若f(x)＝－1，则x ＝________；若关于x的方程f(x)＝k有两个不同零点，则
0 0
实数k的取值范围是________．
考向一 判断零点所在的区间
例1、（2019·山东师范大学附中高三月考）函数 的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
变式1、（1）若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(
)
A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)
（2）已知函数f(x)＝lnx－ 的零点为x，则x 所在的区间是( )
0 0
A. (0，1) B. (1，2) C. (2，3) D. (3，4)
（3）若x 是方程＝x的解，则x 属于区间( )
0 0
A. B.
C. D.
方法总结：确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有
f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
2.函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要综合函数性质进
行分析判断.
考向二 判断零点的个数
例2、（1）函数f(x)＝ 的零点个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D.4
（2）若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log |x|的零
3
点个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D.4
（3）(2015·江苏卷)已知函数f(x)＝|ln x|，g(x)＝则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________．
变式1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且在区间[2，4)
f(x)=¿{2−x,2≤x<3¿¿¿¿
log
上 则函数 的零点的个数为
y=f(x)− |x|
5
变式2、（1）(2019·十堰调研)已知函数f(x)＝则f(x)的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
（2）(2020·惠州质检)函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
方法总结：函数零点个数的判断方法：
(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象
与性质确定函数零点个数；
(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.
考向三 与零点有关的参数的范围
例3、（1）已知函数f(x)＝若函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围是________．
（2）（2014·江苏卷）已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝．若函数y＝f(x)－
a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．
变式1、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）设函数f(x)＝(其中e为自然对数的底数)
有3个不同的零点，则实数m的取值范围是________．
变式2、若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值
范围是____________．
方法总结：函数零点求参数范围，其思路是把一个函数拆分为两个基本初等函数，将函数的零点问题转化
为两函数图象问题，体现转化与化归思想及数形结合思想，从而体现核心素养中的直观想象
考向四 零点的综合运用
例4、已知函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)－af(x)＝0恰有5个不同的实数解，则a的取值范围是（ ）
A. (0,+ ∞) B. (0,1) C. (－∞,0) D. (0,2)
变式1、设函数f(x)＝－ax2(a∈R)．
(1)当a＝2时，求函数y＝f(x)的零点；
(2)当a>0时，求证：函数y＝f(x)在区间(0，＋∞)内有且只有一个零点；
(3)若函数y＝f(x)有4个不同的零点，求实数a的取值范围．
变式2：(2018镇江期末）已知k为常数，函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx＋2有且只有四个不同解，则
实数k的取值构成的集合为________．
方法总结：函数零点与二次函数的综合问题，主要考查函数零点、方程的根以及不等式的解法等基础知识
和基本方法，考查推理论证和运算求解的能力．解决这类问题，一是用零点的定义转化为方程问题，二是
利用零点存在定理转化为函数问题，三是利用数形结合的思想转化为图形问题．
1、(2018全国卷Ⅰ)已知函数 ．若 存在2个零点，则 的取
值范围是A． B． C． D．
f x2ax12lnx f x
2、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知函数 .若函数 在
1
0,
2上无零点，则a的最小值为________.
3、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）已知函数 在区间 上有零
点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）已知函数 ， ，若存在实数 使
在 上有2个零点，则 的取值范围为________．
