文档内容
考点巩固卷 17 直线与圆(八大考点)
考点01：直线的倾斜角与斜率（范围）
法一：定义法：
已知直线的倾斜角为 ，且 ，则该直线的斜率
法二：公式法：经过两点 ， 的直线的斜率公式： ．
注意：①斜率公式与两点的顺序无关，即
②特别地：当 时， ；此时直线平行于 轴或与 轴重合；当
时， 不存在，此时直线的倾斜角为 ，直线与y轴平行或重合．
法三：数形结合求斜率范围
已知一条线段 的端点及线段外一点 ，求过点 的直线 与线段 有交点的情况下
直线 的斜率的取值范围，若直线 的斜率均存在，则步骤如下：
第一步：连接
第二步：由斜率公式 求出
第三步：结合图象逆时针旋转（递增），当接近垂直时为 ，一旦跨过垂直线则为
逆时针旋转（仍为递增）.
1．已知点 ， ，若直线 过点 且与线段 相交，则直线 的斜率 的
取值范围是（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D．
【答案】D
【分析】根据两点间斜率公式计算即可.
【详解】直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
结合图象可得直线 的斜率 的取值范围是 .
试卷第2页，共3页故选：D
2．已知 ，若点 在线段 上，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】利用两点连线的斜率公式知 表示点P(x,y)和点 连线的斜率，再数形
结合，即可求出结果.
【详解】如图，因为 表示点P(x,y)和点 连线的斜率，
又 ，所以 ， ，
由图知， 的最小值为 ，
故选：C.
3．设点 ，直线 过点 且与线段 相交，则直线 的斜率 的取值
范围是（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
【答案】B【分析】根据给定条件求出直线 的斜率，再画出图形分析可得 或 ，从
而即可得解.
【详解】依题意，直线 的斜率分别为 ，
如图所示：
若直线 过点 且与线段 相交，
则 的斜率 满足 或 ，
即 的斜率 的取值范围是 或 .
故选：B
4．已知点 、 、 ， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的
斜率k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
【答案】C
【分析】过点C的直线l与线段AB有公共点，利用数形结合，得到直线l的斜率 或
，进而求解即可
【详解】如图，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率 或 ，
试卷第4页，共3页而 ，于是直线l的斜率 或 ，
所以直线l斜率k的取值范围是 ，
故选：C
5．已知两点 ， ，过点 的直线 与线段 （含端点）有交点，则直
线 的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画出图像，数形结合，根据倾斜角变化得到斜率的取值范围.
【详解】如图所示，
直线 逆时针旋转到 的位置才能保证过点 的直线与线段 有交点，
从 转到 过程中，倾斜角变大到 ，斜率变大到正无穷，
此时斜率 ，所以此时 ；
从 旋转到 过程中，倾斜角从 开始变大，斜率从负无穷开始变大，
此时斜率 ，所以此时 ，综上可得直线 的斜率的取值范围为(−∞,−1]∪[1,+∞).
故选：A
6．已知点A(0，3)，B(3，2)，直线l过点 且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的
取值范围是（ ）
A．[－2，0)∪(0， ] B．(－∞，－ ]∪[2，＋∞)
C．[－2， ] D．(－∞，－2]∪[ ，＋∞)
【答案】D
【分析】求出 和 ，数形结合观察满足直线l过点 且与线段AB有公共点下斜率
的变化情况即可求出结果.
【详解】根据题意，作出图形如下图：
直线PA的斜率为 ，直线PB的斜率为 ，
所以由图可知过点 且与线段AB有公共点时，直线l的斜率取值范围是
.
故选：D.
7．已知直线 ，若直线 与连接 ， 两点的线段
总有公共点，则直线 的倾斜角范围为（ ）
A． B．
试卷第6页，共3页C． D．
【答案】D
【分析】先求出直线 所过定点 的坐标，数形结合可求出直线 的斜率的取值范围，即可
得出直线 的倾斜角的取值范围.
【详解】直线 的方程可化为 ，
联立方程组 ，可得 ，所以直线 过定点 ，
设直线 的斜率为 ，直线 的倾斜角为 ，则 ，
因为直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
因为直线 经过点 ，且与线段 总有公共点，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 或 ，
故直线 的倾斜角的取值范围是 ．
故选：D．
8．设点 ，若直线 与线段 有交点，则 的取值范围是
（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】求得直线的斜率为 ，且恒过定点 ，求得 ，结合题
意，求得 或 ，即可求解.
【详解】由直线 ，可得 ，
可得直线的斜率为 ，且恒过定点 ，则 ，
如图所示，要使得直线 与线段 有交点，则 或 ，
可得 或 ，即实数 的取值范围为 .
故选：A.
9．已知直线 和以 ， 为端点的线段相交，则实数k的取值范围
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
试卷第8页，共3页【分析】根据题意可知直线 恒过定点 ，根据斜率公式结合图象分析求
解.
【详解】因为直线 恒过定点 ，如图.
又因为 ， ，所以直线的斜率k的范围为 .
故选：C.
10．已知点 ，若过点 的直线 与线段 相交，求直线 的斜率 的
取值范围为（ ）
A． 或 B． 或
C． D．
【答案】A
【详解】由题知直线 过定点 ，进而作出图形，数形结合求解即可得答案.
【分析】解：直线 方程为 转化为 ，
所以直线 过定点 ，且与线段 相交，如图所示，
则直线 的斜率是 ，
直线 的斜率是 ，
则直线 与线段 相交时，它的斜率 的取值范围是 或 .
故选：A．考点02：两直线的位置关系求参
Ⅰ：平行定理
①当两条直线的斜率存在时，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式为例来研究直线平
行的判定
设两条直线分别为 ： ， ：
若 ，则 的倾斜角相等，即由 ，可得 ，即 ，此
时 ；反之也成立．
所以有 且
②当两条直线的斜率都不存在时，二者的倾斜角均为 ，若不重合，则它们也是平行直
线
注意：当不考虑斜率，即给出直线的一般式时，有如下结论：
设两条直线分别为 ： ， ： 可得
（其中分母不为0）
Ⅱ：垂直定理
①当两条直线的斜率存在且不为0时，均可化成它的斜截式方程，
即
②两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零，则两条直线垂直．
由①②得，两条直线垂直的判定就可叙述为：一般地， 或一条斜
率不存在，同时另一条斜率等于零．
注意：当不考虑斜率，即给出直线的一般式时，有如下结论：
设 两 条 直 线 分 别 为 ： ， ： 可 得
试卷第10页，共3页11．“ ”是“直线 与直线 平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既
不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据两直线平行的充要条件求出 的值即可得解.
【详解】若直线 与直线 互相平行且不重合，
则 ，解得 ，故 .
所以“ ”是“直线 与直线 互相平行且不重合”的
充要条件．
故选：C．
12．已知直线 与直线 平行，则实数 （ ）
A． B．1 C． 或1 D．
【答案】C
【分析】由直线平行的充要条件列式运算即可求解.
【详解】已知直线 与直线 平行，
则当且仅当 ，解得 或 .
故选：C.
13． 是直线 与直线 平行的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据给定条件，由两直线平行求出 ，再利用充分条件、必要条件的定义判断即
可.【详解】由直线 与直线 平行，得 且 ，
解得 或 ，
所以 是直线 与直线 平行的充分非必要条件.
故选：A
14．已知直线 ： 和直线 ： ，则“ ”是“ ”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既
不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据直线平行求得 或 ，再结合包含关系分析充分、必要条件.
【详解】若 ，则 ，解得 或 ，
若 ，则直线 ： 、直线 ： ，可知 ；
若 ，则直线 ： 、直线 ： ，可知 ；
综上所述： 或 .
因为 是 的真子集，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
15．已知直线 与直线 互相垂直，交点坐标为 ，则
的值为（ ）
A．20 B． C．0 D．24
【答案】B
【分析】根据两直线垂直可求出 的值，将公共点的坐标代入直线 的方程，可得出 的值，
试卷第12页，共3页再将公共点的坐标代入直线 的方程，可得出 的值，由此可得出 的值.
【详解】已知直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ．
又两直线垂直，则 ，解得 ．
，即 ，
将交点 代入直线 的方程中，得 ．
将交点 代入直线 的方程中，得 ．
所以， ．
故选：B．
16．已知 ， ，直线 和 垂直，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意利用两直线垂直的性质，求得 ，再利用基本不等式，求得
的最小值．
【详解】 ， ，直线 ， ，且 ，
，即 ．
则 ，当且仅当 时，
等号成立，
故 的最小值为8，
故选：B．
17．已知曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则实数 等于（ ）
A． B． C．1 D．2【答案】D
【分析】由导数的几何意义结合直线垂直斜率之间关系即可得到方程，求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，
则曲线 在点 处的切线斜率为 ，
又因为直线 斜率为 ，
所以 ，即 .
故选：D.
18．当圆 截直线 所得的弦长最短时，实数
（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】先求出直线必过的定点，分析该定点在圆内，结合弦长最短建立方程求解即可.
【详解】将直线 的方程变形为 ，由 ，可得 ，
所以，直线 经过定点 ，
圆 的标准方程为 ，圆心为C(0,1)，
因为 ，即点 在圆 内，
故当 时，圆心 到直线 的距离取最大值，此时，直线 截圆 所得弦长最短，
，直线 的斜率为 ，所以， ，解得 ．
故选：B．
考点03：点线距离及线线距离
①两点间的距离：已知 则
试卷第14页，共3页②点到直线的距离:
③两平行线间的距离：两条平行直线 与 的距离
公式 ．
注意：应用此公式时，要把两直线化为一般式，且 的系数分别相等．
19．圆 上的点到直线 的距离的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．9
【答案】C
【分析】求出圆心到直线的距离加上圆的半径即可得答案.
【详解】圆 的圆心为 ，半径 ，
则圆心 到直线 的距离为 ，
所以圆 上的点到直线 的距离的最大值为 .
故选：C.
20．在平面直角坐标系 中，已知 ，动点 满足 ，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．点 的轨迹为圆 B．点 到原点最短距离为2
C．点 的轨迹是一个正方形 D．点 的轨迹所围成的图形面积为24
【答案】D
【分析】设点 的坐标为 ，由已知条件 结合向量的坐标运算用
表示出 ，结合 可得 的关系，从而可求出点 的轨迹方程，再逐个分析
判断.
【详解】设点 的坐标为 ，因为 ，动点 满足 ，
所以 ，得 ，因为 ，所以 ，
即点 的轨迹方程为 ，
当 时，方程为 ，
当 时，方程为 ，
当 时，方程为 ，
当 时，方程为 ，
所以点 对应的轨迹如图所示，且 ， ,
所以点 的轨迹为菱形，所以AC错误，
原点到直线的距离为 ，所以B错误，
点 的轨迹所围成的图形面积为 ，所以D正确.
故选：D
21．已知椭圆 ，点 关于直线 的对称点 在 上，且点 与
不重合，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ， ，由题意可得 的斜率为 ，由两点的斜率公式可得 ， 的一
试卷第16页，共3页个关系式，由 ， 的中点在直线方程上，从而可得 的坐标，将点 的坐标代入椭圆
方程，可求出 的值．
【详解】不妨设 , ，
由题意可得 ，即： ，
又 的中点 在直线 上，
所以 ，解得y =t，故 ，
0
而 在椭圆 上．故 ，解得 或 ，
由于 时 与 坐标相同，故 ．
故选：C．
22．已知 为函数 ， 图象上一动点，则点 到直线 的距
离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分析可知当曲线 在点 处的切线与直线 平行时，点 到直线
的距离最小，结合导数的几何意义运算求解.
【详解】设 ，由题意得 ，当曲线 在点 处的切线与直线 平行时，点 到直线 的距
离最小，
则 ，得 ， ，
所以点 到直线 的距离的最小值为 ．
故选：A.
23．直线 关于直线 对称的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解方程组求出两条直线的交点坐标，再求出直线 上的点 关于直线
的对称点即可求解.
【详解】由 ，解得 ，则直线 与直线 交于点 ，
在直线 上取点 ，设点 关于直线 的对称点 ，
依题意， ，整理得 ，解得 ，即点 ，
直线 的方程为 ，即 ，
所以直线 关于直线 对称的直线方程为 .
故选：D
试卷第18页，共3页24．曲线 上的点到直线 距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设切点 ，根据导数的几何意义计算即可求解.
【详解】令 ，则 ，
设该曲线在点 处的切线为 ，
需求曲线到直线 的距离最小，必有该切线的斜率为2，
所以 ，解得 ，则切点为 ，
故切线 的方程为 ，即 ，
所以直线 到直线 的距离为 ，
即该曲线上的点到直线 的最小距离为 .
故选：C
25．已知过抛物线 的焦点 的直线与 交于 两点，线段 的中点
为 ，且 ，若点 在抛物线 上，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ， ，从而得到 ，利用抛物线的定义得
到 ，解得 ，根据题意可知点 在直线 上，故将 的最
小值转化为求与 平行的切线与直线 之间的距离.
【详解】设 ，由 的中点为 ，得 ，
由抛物线的定义可得 ，
又 ，所以 ，故抛物线 的方程为 ．
易知点 在直线 上，
设与 平行且与抛物线 相切的直线方程为 ，
由 ，可得 ，
则 ，得 ，
则切线与直线 之间的距离即 的最小值，故 的最小值为 ．
故选：A
26．平行直线 与 之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先通过平行求出 ，再利用平行线的距离公式求解.
试卷第20页，共3页【详解】因为 ，所以 ， ，
解得 ，所以 ，
故两平行直线间的距离 ．
故选：C．
考点04：直线的对称问题（秒杀）
点关于直线成轴对称问题（所有对称都可以转化为点关于线对称）
由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”利用“垂直”“平分”这两
源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww学学新新 cc级级ww kktt新新ww @@..xx子子疆疆 11教教jj 22kk 66敞敞ttyy ..ccgg小小 oo师师..cc mmoomm屋屋//wwxxcc//
个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标一般情形如下：设点 关于直线
源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww新新学学 cc级级ww kktt新新ww @@..xx疆疆 11子子教教jj 22kk 66敞敞ttyy ..ccgg小小 oo师师..cc mmoomm屋屋//wwxxcc//
的对称点为 ，则有
，可求出 、 ．
27．过直线 上的点P作圆C： 的两条切线 ， ，当直线 ， 关
于直线 对称时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据直线和圆的位置关系、两直线的交点等知识求得正确答案.
【详解】圆 的圆心为 ，
直线 关于直线 对称时， 与直线 垂直，
所以直线 的方程为 ，
由 解得 ，所以 .
故选：A.28．已知从点 发出的一束光线，经 轴反射后，反射光线恰好过点 ，则入射光线
所在的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】运用点关于直线对称，求出 关于 轴对称点，后运用光线反射规律，结合两
点式方程，求出入射光线方程即可.
【详解】运用点关于直线对称，求出 关于 轴对称点 ，与 在同一条直线上，
运用两点式得到入射光线所在的直线方程为 ，整理得 .
则入射光线所在的直线方程为 .
故选：A.
29．已知 与 关于直线 对称，则下列说法中错误的是（ ）
试卷第22页，共3页A．直线 过 , 的中点 B．直线 的斜率为
C．直线 的斜率为3 D．直线 的一个方向向量的坐标是
【答案】B
【分析】根据 与 关于直线 对称，逐项判断可得答案.
【详解】对于A，因为 与 关于直线 对称，所以直线 过 ， 的中点，故
A正确；
对于B，直线 的斜率为 ，故B错误；
对于C，因为直线 的斜率为 ，所以直线 的斜率为3 ，故C正确；
对于D，因为直线 的斜率为3，所以直线 的一个方向向量的坐标是 ，故D正确.
故选：B.
30．一条光线从点 出发，经 轴反射后，若反射光线被圆 遮
挡，则反射光线的斜率可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据直线与圆相交，即可求解斜率的范围.
【详解】点 关于 轴的对称点为 ，
设反射光线的斜率为 ，直线方程为 ，整理为 ，
当反射光线与圆 相交时， ，解得 ，
可得反射光线的斜率的取值范围为 ，
故选：C．31．已知 是抛物线 上一点，圆 关于直线 对称的圆
为 ， 是圆 上的一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对称性求出圆 的方程，设 ，求出 的最小值，即可求出
|MN|的最小值.
【详解】圆 圆心为 ，半径 ，设 ，
则由对称性可知： ，解得 ，则 ，
所以圆 ，
设 ，则 ，
所以当 ，即 时， ，
所以|MN|的最小值是 .
故选：A
试卷第24页，共3页32．光线从点 射到 轴上，经 轴反射后经过圆 上的点 ，
则该光线从点A到点 的路线长的最小值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【分析】求出点 关于x轴的对称点 ，则最短路径的长为 减去圆的半径，计
算求得结果
【详解】由题意可得圆心 ，半径 点 关于x轴的对称点 ，
所以 ，
该光线从点A到点 的路线长的最小值为 ，
故选：A
33．已知一束光线照射到曲面上一点 ，其反射光线和入射光线与点 处的法线（即过点
的切线的垂线）的夹角相等．从平面直角坐标系内一点 发出的光线，照射到圆
上的点 ，反射后交 轴于点 ，则 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】B
【分析】由题意求出直线 的方程以及直线 的方程，设 关于 的对称点为，结合点关于直线对称，求出 的表达式，代入 的方程中，即可求得答案.
【详解】设 的圆心为 ．由题意，知圆 的标准方程为 ，
作出圆 与射线 ， ， 的大致图象，如图，
则 与 关于 对称，由于 ， ， ，
故直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
设 关于 的对称点为 ，则 ，
解得 ，又点 一定在 上，
所以 ，解得 ，
故选：B．
34．已知圆 关于直线 对称的圆的方程为 ．若点 是
圆 上一点，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
试卷第26页，共3页【分析】根据点关于直线对称可得 ，进而根据直线与圆相切，结合点到直线的距
离公式求解.
【详解】设圆 的圆心为 ．
因为圆 关于直线 对称的圆的方程为 ，
圆 的圆心为 ，半径为2，
所以圆 的半径为2，两圆的圆心关于直线 对称，
则 解得 即 ，
故圆 的方程为 ．
的几何意义为圆 上的点P(x,y)与坐标原点O(0,0)连线的斜率，
如图，过原点 作圆 的切线，当切线的斜率存在时，设切线方程为 ，即 ，
所以圆心 到直线 的距离 ，解得 ．
由图可知 的最大值是 ．
故选:A．
考点05：圆的切线和切线长问题第一类：求过圆上一点 的圆的切线方程的方法
正规方法：
第一步：求切点与圆心的连线所在直线的斜率
第二步：利用垂直关系求出切线的斜率为
第三步：利用点斜式 求出切线方程
注意：若 则切线方程为 ，若 不存在时，切线方程为
秒杀方法：
①经过圆 上一点 的切线方程为
②经过圆 上一点 的切线方程为
③经过圆 上一点 的切线方程为
第二类：求过圆外一点 的圆的切线方程的方法
方法一：几何法
第一步：设切线方程为 ，即 ，
第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得 ，切线方程即可求出
方法二:代数法
第一步：设切线方程为 ，即 ，
第二步：代入圆的方程，得到一个关于 的一元二次方程，由 可求得 ，切线方程
即可求出
注意：过圆外一点的切线必有两条，当上面两种方法求得的 只有一个时，则另一条切线
的斜率一定不存在，可得数形结合求出.
第三类：求斜率为 且与圆相切的切线方程的方法
试卷第28页，共3页方法一：几何法
第一步：设切线方程为 ，即
第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得 ，切线方程即可求出.
方法二:代数法
第一步：设切线方程为 ，
第二步：代入圆的方程，得到一个关于 的一元二次方程，由 可求得 ，切线方程
即可求出
方法三：秒杀方法
已知圆 的切线的斜率为 ，则圆的切线方程为
已知圆 的切线的斜率为 ，则圆的切线方程为
35．已知点 在抛物线M:y❑ 2=8x上，过点 作圆C:(x−4)❑ 2+ y❑ 2=1的切线，若切
线长为 ，则点 到 的准线的距离为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．
【答案】A
【分析】由圆的切线的性质可求得|PC|，结合抛物线方程计算可得点 横坐标，即可得点
到 的准线的距离.
【详解】如图所示：
设切点为Q，则|CQ|=1,|PQ|=2√6，则|PC|=√|CQ|2+|PQ|2=√12+(2√6) 2=5，
设P(x,y)，则由两点间距离公式得到√(x−4) 2+ y2=√(x−4) 2+8x=√x2+16=5，
解得 ，因为y2=8x≥0，所以 ，
因为 的准线方程为 ，所以点 到 的准线的距离PE为3−(−2)=5.
故选：A.
36．在平面直角坐标系 中，圆 ，若曲线 上存在四个点
，过动点 作圆 的两条切线， 为切点，满足 ，
则k的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先设出 ，利用 求出 在以原点为圆心，半径为2的圆上，
数形结合转化为 且只需原点到直线 的距离小于半径2即可，用点到距
离公式列出不等式，求出 的取值范围可得答案.
【详解】设 ，连接 ，设 ，
则 ， ，所以
，
试卷第30页，共3页又 ，
所以 ，
令 ，则有 ，解得： 或 ，
因为 在单位圆外，所以 舍去，
即 在以原点为圆心，半径为2的圆上，
因为曲线 上存在四个点 ，
即 与圆 有4个交点，且过 点，
结合图象可知， 且只需原点到直线 的距离小于半径2即可，
所以 ，解得： 或 （舍去）.，
所以 、 、 都符合.
故选：D.
37．若双曲线 的渐近线与圆 相切，且圆 的
圆心是双曲线 的一个焦点，则双曲线 的实轴长为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B【分析】求出双曲线的渐近线方程，结合点到直线距离公式求解即得.
【详解】双曲线 的渐近线方程为 ，
√2
圆 的圆心 ，半径r= ，
2
依题意，双曲线 的半焦距 ， ，则 ，
所以双曲线 的实轴长为 .
故选：B
38．过点 作圆 的切线 ， 为切点， ，则 的最大值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆的切线的性质得出 ，结合勾股定理可得 ，
即a2+b2=2，然后设 ，将a2+b2=2化为关于 的一元二次方程，利用根的判别式
大于等于0，求出 的最大值，可得答案．
【详解】解：根据题意，圆 的圆心为O(0,0)，半径 .
若 与圆 相切于点 ，则 ，可得 ，
即a2+b2=2，设 ，则 ，
可得 ，整理得 ，
关于 的一元二次方程有实数解，所以 ，解得 .
当 ， 时， 有最大值 ，即 的最大值是 .
试卷第32页，共3页故选：C.
39．在平面直角坐标系 中，已知圆 ， 为直线 上的一个
动点，过点 作圆 的切线 ，切点为点 ，当 最小时，则 的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】判断出 最小时 点的位置，进而求得此时 的值.
【详解】由于 是圆 的切线，所以 ，所以 ，
当 时，|PC|最小，此时 最小.
到直线 的距离为 ，
则 时， ， ，
所以此时三角形 是等腰直角三角形，
所以当 最小时，则 的值为 .
故选：A40．过点 向圆 作两条切线，切点分别为 ，若
，则（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用切线长定理。结合两点间距离公式列式求解即得.
【详解】圆 的圆心 ，半径 ，连接 ，
依题意， ，则 ，
于是 ，整理得 ，
所以 或 .
故选：D
41．已知点P为抛物线 上一点，过点P作圆C： 的两条切线，切点
分别为M，N，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设点 ，根据给定条件，结合切线长定理及二倍角的余弦公式将
的函数，再求出函数的最小值即得.
【详解】设点 ，则 ，
由 切圆 于点 ，得 ，且 ，
试卷第34页，共3页因此 ，
而 ，当且仅当 时取等号，
所以当 时， 取得最小值 .
故选：D
42．已知圆 与抛物线 相交于两点 ，分别以 为
切点作 的切线 . 若 都经过 的焦点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，联立圆 与抛物线 的方程可得 ，再结合圆的切
线性质及抛物线的定义求得 ，然后利用二倍角的余弦计算即得.
【详解】设 ，由 消去 得： ，
则有 ，又 为圆的切线， ，
由抛物线的定义得 ，即有 化简得： ，解得 ，因此 ，整理得 ，
而 ，
所以 .
故选：C
考点06：圆与圆的位置关系
|O O |=d
设两圆圆心分别为 ，半径分别为 ， 1 2
d>r +r ⇒
① 1 2 外离⇒4条公切线
O1 O2
d=r +r ⇒
② 1 2 外切⇒3条公切线
O1 O2
|r −r |
