文档内容
绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。本卷满分为160分，考试时间为120分
钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位
置。
3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无
效。
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：
样本数据 的方差 ，其中 ．
柱体的体积 ，其中 是柱体的底面积， 是柱体的高．
锥体的体积 ，其中 是锥体的底面积， 是锥体的高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合 ， ，则 ▲ .
2．已知复数 的实部为0，其中 为虚数单位，则实数a的值是 ▲ .
3．下图是一个算法流程图，则输出的S的值是 ▲ .
第1页 | 共6页4．函数 的定义域是 ▲ .
5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ▲ .
6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的
概率是 ▲ .
7．在平面直角坐标系 中，若双曲线 经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是
▲ .
8．已知数列 是等差数列， 是其前n项和.若 ，则 的值是 ▲ .
9．如图，长方体 的体积是120，E为 的中点，则三棱锥E-BCD的体积是 ▲ .
10．在平面直角坐标系 中，P是曲线 上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的
最小值是 ▲ .
11．在平面直角坐标系 中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然
对数的底数），则点A的坐标是 ▲ .
12．如图，在 中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE=2EA，AD 与 CE 交于点 .若
，则 的值是 ▲ .
第2页 | 共6页13．已知 ，则 的值是 ▲ .
14．设 是定义在R上的两个周期函数， 的周期为4， 的周期为2，且 是奇函数.
当 时， ， ，其中k>0.若在区间(0，9]上，关
于x的方程 有8个不同的实数根，则k的取值范围是 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若a=3c，b= ，cosB= ，求c的值；
（2）若 ，求 的值．
16．（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱ABC－ABC 中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．
1 1 1
求证：（1）AB∥平面DEC ；
1 1 1
（2）BE⊥C E．
1
第3页 | 共6页17．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C: 的焦点为F（–1、0），
1
F （1，0）．过F 作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F: 交于点A，与椭圆C
2 2 2
交于点D.连结AF 并延长交圆F 于点B，连结BF 交椭圆C于点E，连结DF．
1 2 2 1
已知DF= ．
1
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求点E的坐标．
18．（本小题满分16分）
如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直
径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的
所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂
足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．
（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；
（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距
离．
第4页 | 共6页19．（本小题满分16分）
设函数 、 为f（x）的导函数．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和 的零点均在集合 中，求f（x）的极小值；
（3）若 ，且f（x）的极大值为M，求证:M≤ ．
20．（本小满分16分）
定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
（1）已知等比数列{a} 满足： ，求证:数列{a}为“M－数列”；
n n
（2）已知数列{b}满足: ，其中S 为数列{b}的前n项和．
n n n
①求数列{b}的通项公式；
n
②设m为正整数，若存在“M－数列”{c} ，对任意正整数k，当k≤m时，都有
n
成立，求m的最大值．
数学Ⅱ(附加题)
21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，
则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵
（1）求A2；
（2）求矩阵A的特征值.
B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
第5页 | 共6页在极坐标系中，已知两点 ，直线l的方程为 .
（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离.
C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
设 ，解不等式 .
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤．
22.（本小题满分10分）设 .已知 .
（1）求n的值；（2）设 ，其中 ，求 的值.
23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集
，
令 .从集合M中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.
n
（1）当n=1时，求X的概率分布；
（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）.
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