文档内容
◎教学笔记
4.约分
第1课时 最大公因数
▷教学内容
教科书P60例1、例2，完成教科书P61“做一做”第1～3题。
▷教学目标
1．理解两个数的公因数和最大公因数的意义。掌握求两个数的公因数和最大公因数的
方法，能熟练地求两个数的最大公因数。
2．结合具体例题，培养学生观察、分析、抽象、归纳等能力。
3．激发学生的学习积极性，增进学科情感。
▷教学重点
理解并掌握求两个数的公因数和最大公因数的方法。
▷教学难点
本节课的教学重点也是教学难点。
▷教学准备
课件。
▷教学过程
一、联系旧知识，揭示课题
师：同学们，我们在前面学习了因数的有关知识，还记得有哪些知识吗？怎样找一个数
的因数呢？
【学情预设】学生可能会说出：①一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大
的因数是它本身；②找一个数的因数可以用列乘法算式的方法，也可以用列除法算式的方法；
③一个数的因数成对成对地找比较好。
结合学生的汇报，课件出示。
师：今天我们一起继续研究因数的有关知识。(板书课题：最大公因数)
【设计意图】利用已有的知识引入新的知识，既减少了学生学习的心理障碍，又为今天的
新授内容作铺垫。
二、合理引导，探寻策略
用集合法求公因数和最大公因数。
师：8的因数有哪些？12呢？用我们前面学过的方法，把一个数的因数用一个集合圈圈
起来。
师生交流，归纳并板书：【教学提示】
学生在汇报8，12的因数时，教师同步板书，当全部板书完成后，再用集合圈分别圈起来。
师：观察一下8和12的因数，你有什么新的发现？
【学情预设】8和12都有因数1，2，4。
师：同学们真聪明，之前我们用这样的方法表示一个数的因数，那么要同时表示两个数
的因数，两个圈的位置应该怎样摆？
【学情预设】学生可能说将两个集合圈移动交叉，重合的部分就是两个数公有的因数，没
有重合的部分是这两个数独有的因数。
1◎教学笔记
结合学生发言，教师板书：
【教学提示】
集合图对于学
生来说，填写有一
师：我有问题了，怎样做到既不重复，又不遗漏，既表示8的因数，又表示12的因数？请
定的难度，一定要
同学们填在集合圈里。指名学生在黑板上板演。 通过板书，让学生
经历各部分应该填
【学情预设】学生可能出现如下情况：①将1，2，4填在重合部分，8填在左边空白部分，
写在哪里的这个过
3，6，12填在右边空白部分；②将1，2，4填在重合部分，1，2，4，8填在左边空白部分，1，2，3，
程。
4，6，12填在右边空白部分。
师(指着第二种情况)：大家同意这种填法吗？为什么？他做到了不遗漏，但重复了，会调
整吗？怎样调整？为什么不拿中间的1，2，4呢？
师生交流，归纳并板书：
师：对比黑板上的两幅图，变化在哪？中间部分的数表示什么呢？4呢？
【学情预设】学生可能出现如下情况：①中间部分的数1，2，4表示8和12的公因数；②4
是8和12的最大公因数，可以用画圈的方法把4圈起来，表示最大公因数。
师生交流并板书：1，2，4是8和12公有的因数，叫作它们的公因数。其中，4是最大的公
因数，叫作它们的最大公因数。
师：你们知道什么是公因数，什么是最大公因数吗？
【学情预设】几个数公有的因数叫作这几个数的公因数，其中最大的一个叫作这几个数
的最大公因数。
三、探究求两个数的最大公因数的方法
师：大家能用刚才学到的方法求公因数和最大公因数吗？
1．探究一般方法。
(1)课件出示教科书P60例2。
(2)学生自主解答。
(3)展示交流，根据学生的交流，教师板书，课件同步呈现。
【学情预设】预设1：列举法。
预设2：筛选法。18的因数有1，2，3，6，9，18。27的因数有1，3，9，27。所以18和27的公
因数有1，3，9。最大公因数是9。
【教学提示】
预设3：分解质因数法。
“质因数”在本套教科书没有出现，此时教师可以介绍什么是质因数。
师：前面我们学习了质数，把一个合数写成几个质数相乘的形式，就是分解质因数，如18
＝2×3×3，这里的2，3都是质数，我们就说2，3是18的质因数。
师：你们把27分解质因数看看。
学生独立分解质因数。
教师介绍：把两个合数分解质因数后，把所有相同的质因数相乘，得到的积就是这两个
数的最大公因数。
2◎教学笔记
师：如18和27全部公有的质因数是2个3，所以18和27的最大公因数就是3×3＝9。
让学生看看教科书P56“你知道吗？”。
【设计意图】通过学生自由发言，教师可以了解学生对求两个数的公因数和最大公因数
知识的掌握情况，并以此作为调整课堂教学思路的主要依据。
2．介绍用短除法求最大公因数。
(1)认识互质数。
师：求下面各组数的最大公因数。
2和11 9和10
师：做完后，你们发现了什么？
【学情预设】它们的最大公因数都是1。
师：公因数只有1的两个【数教叫学作提互示质】数。互质的两个数必须是质数吗？请举例说明。
【学情预设】学生可能会说：此①环1和节任中何的非短除0自法然、互数质互数质都；②不两是个现不行同教的科质书数的互内质容；，③但是2 其对学生今后的学习很有用，
所以很多教师将这两个内容进行补充。教师可以根据实际情况确定是否讲授本环节。
和任意奇数互质；④相邻的两个自然数互质……教师要实时举例引导：互质的两个数不一定
都是质数，如9和10都是合数，但是它们除了公因数1以外，没有其他公因数，所以它们就是
互质数。
师：同学们真聪明，还有其他方法求两个数的最大公因数吗？
【设计意图】学生学习互质数的知识，为学习用短除法求最大公因数作铺垫。
(2)教师介绍短除法。
师：从教科书P56中的“你知道吗？”你们知道了什么？
【学情预设】里面提到了一种短除法。
师：对，短除法在求公因数和最大公因数时很有用。我们来研究一下短除法。
师：求两个数的最大公因数，可以依次用这两个数公有的质因数去除，直到最后得到的
两个商互质为止，然后把公有的质因数相乘就是它们的最大公因数。如：
(边介绍边板书)
学生自学教科书P61“你知道吗？”。
师：用短除法求两个数的最大公因数时需要注意些什么？
【学情预设】学生可能会说：用两个数公有的质因数去除，直到最后的商互质为止，然后
把公有的质因数依次乘起来。
师：真好，请大家用刚才学到的短除法求12和16的最大公因数。
3．回忆总结，提炼方法。
师：我们一起回忆一下今天的学习过程，怎样求两个数的公因数和最大公因数？两个数
的公因数和最大公因数之间有什么关系？
【学情预设】学生可能会说：求最大公因数可以用集合法、列举法、筛选法、分解质因数法、
短除法；有了公因数就能找到最大公因数，知道最大公因数就能找到所有公因数；公因数是
最大公因数的所有因数；最大公因数是公因数的倍数；最大公因数只有1个，公因数不一定
只有1个……
【设计意图】通过讨论让学生明白公因数与最大公因数之间的关系，学生在参与实践的
过程中，不仅获得了知识，更体验到成功的快乐。
四、实践应用，巩固拓展
1.学生独立完成教科书P61“做一做”第1、2题。
3◎教学笔记
(1)学生独立完成，教师个别辅导。
(2)集中评价。
【学情预设】第1题中引导学生列举完整，说说每个圈中填的是什么。第2题学生自主尝
试用集合图分类解答。
【设计意图】帮助学生进一步理解因数和公因数的联系与区别，巩固因数和公因数的概
念。
2．学生独立完成教科书P61“做一做”第3题。
(1)课件出示。
(2)小组比赛，看哪个小组完成得又对又快。
师：下面我们来进行一个【写教最学大提公示因】数的比赛，通过完成此题，你们有什么发现？
当学生有不同的结果时，教师要耐心倾听学生是怎么想的。
【学情预设】学生可能会说出：①互质的两个数的最大公因数是1；②两个数成倍数关系
时，它们的最大公因数是较小的那个数；③用短除法求最大公因数比较简便。
【设计意图】本环节练习层次清楚，由易到难，充分调动学生学习的积极性，让学生在具
体的情境中合理选择解决问题的策略。
板书：当两个数成倍数关系时，较小的数就是它们的最大公因数。
五、课堂小结
师：其实，关于求公因数和最大公因数的方法多种多样，通过本节课的学习，你们有什么
样的收获？
【学情预设】学生可能总结出公因数、最大公因数、互质数的概念，可能总结出求最大公
因数的方法……
师：数学是思维的体操，数学的美需要我们不断地去发现，去研究，去创造。
【设计意图】学生对自己的学习过程、经验、方法的回顾与反思，是学习过程的重要组成
部分，是提高学生数学素养的途径之一。
▷板书设计
最大公因数
1，2，4是8和12公有的因数，叫作它们的公因数。其中，4是最大的公因数，叫作它们的
最大公因数。
列举法： 短除法：
当两个数成倍数关系时，较小的数就是它们的最大公因数。
▷教学反思
在以往的教科书中，分解质因数、短除法一直是必学的内容，考虑到求最大公因数、最小
公倍数主要用于约分和通分，允许学生用多种方法求最大公因数和最小公倍数，那么分解质
因数、短除法就不再是唯一的方法，为了减少理论概念，教科书就把这两个内容作为拓展内
容，安排在“你知道吗？”中介绍。事实上，从学生的长期发展来看，这两种方法还是要掌握
的，所以本节课的设计中，还是将这两个内容补充进来。
▷作业设计
见“状元成才路”系列丛书《创优作业100分》或《状元作业本》对应课时作业。
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