2025全国I卷数学原卷_历年全国高考真题_2025全国各省高考真题+答案_全国1卷_数学（考后更新）

准考证号： 姓名： （在此卷上答题无效） 绝密★本科目考试启用前 2025 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 本试卷共4页，19 小题，满分150分，考试用时 120分钟。 注意事项： ①答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。 ②回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答 案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答 非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上。写在本试卷上 无效。 ③考试结束后，考生须将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．(1+5i)i的虚部为 A．−1 B．0 C．1 D．6 2．设全集U ={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A={1,3,5}，则∁ 𝐴中元素个数为 𝑈 A．0 B．3 C．5 D．8 3．若双曲线C的虚轴长为实轴长的 7倍，则C的离心率为 A． 2 B．2 C． 7 D．2 2 π 4．若点(a,0) (a0)是函数y=2tan(x− )的图象的一个对称中心，则a的最小值为 3 π π π 4π A． B． C． D． 6 3 2 3 3 5．设 f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5−2x，则 f(− )= 4 1 1 1 1 A．− B．− C． D． 2 4 4 2 6．帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为 视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反．图1给出了部分风力 等级、名称与风速大小的对应关系．已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的 向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同，单位m/s），则真风为 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 M数学试题 第1页(共4页)y 等级 风速大小 名称 3 视风风速 2 1.1～3.3 轻风 2 3 3.4～5.4 微分 1 4 5.5～7.9 和风 船速 5 8.0～10.1 劲风 O 1 2 3 x 7．若圆x2 +(y+2)2 =r2(r0)上到直线y= 3x+2的距离为 1 的点有且仅有 2 个，则 r 的取值范围是 A．(0,1) B．(1,3) C．(3,+) D．(0,+) 8．若实数x，y，z满足2+log x=3+log y=5+log z，则x，y，z的大小关系不可能是 2 3 5 A．x yz B．xz y C．yxz D．yzx 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．在正三棱柱ABC−ABC 中，D为BC中点，则 1 1 1 A．AD⊥AC B．𝐵𝐶 ⊥平面AAD 1 1 C．AD∥AB D．CC∥平面AAD 1 1 1 ! 10．设抛物线C:y2 =6x的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过A作𝑙:𝑥 =− 3 的垂线交 2 于D过F且垂直于AB的直线交𝑙于E，则 A．|AD|=|AF| B．|AE|=|AB| C．|AB|≥6 D．|AE||BE|≥18 1 1 11．已知△ABC的面积为 ，若cos2A+cos2B+2sinC=2，cosAcosBsinC = ，则 4 4 A．sinC=sin2 A+sin2B B．AB= 2 6 C．sinA+sinB= D．AC2 +BC2 =3 2 M数学试题 第2页(共4页)三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12．若直线y=2x+5是曲线y=ex +x+a的切线，则a= ． 13．若一个等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 ． 14．一个箱子里有5个球，分别以1～5标号，若有放回取三次，记至少取出一次的球的个 数X，则E(X)= ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000 人，得到如下的列联表： 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 （1）记超声波检查结果不正常者患有该疾病的概率未p，求p的估计值； （2）根据小概率值=0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关． n(ad −bc)2 P(2≥k) 0.050 0.010 0.001 附：2 = , . (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) k 3.841 6.635 10.828 16．（15分） a a 1 设数列{a }满足a =3， n+1 = n + ． n 1 n n+1 n(n+1) （1）证明：{na }为等差数列； n （2）设𝑓(𝑥)=𝑎 𝑥+𝑎 𝑥2+⋯+𝑎 𝑥𝑚，求 f(−2)． 1 2 𝑚 M数学试题 第3页(共4页)17．（15分） 如图所示的四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，BC∥AD， AB⊥AD． （1）证明：平面PAB⊥平面PAD； （2）若PA=AB= 2，AD= 3+1，BC=2，P，B，C，D 在同一个球面上，设该球面的球心为O． （ⅰ）证明：O在平面ABCD上； （ⅱ）求直线AC与直线PO所成角的余弦值． 18．（17分） x2 y2 设椭圆C: + =1 (ab0)，记A为椭圆下端点，B为右端点，|AB|= 10，且椭 a2 b2 2 2 圆C的离心率为 ． 3 P M数学试题 第4页(共4页) m ( n , ) | AR|  | = | AP 3 k 1 k 2 k k 1 = 2 3 | PM| （1）求椭圆的标准方程； （2）设点 ． （ⅰ）若 P 不在 y 轴上，设 Q 是射线 AP 上一点， ，用 m，n 表示 点Q 的坐标； （ⅱ）设直线 OQ 的斜率为 ，直线 OP 的斜率为 ，若 ，M 为椭圆上一 点，求 的最大值． 19．（17分） π （1）求函数 f(x)=5cosx−cos5x在区间[0, ]的最大值； 4  (0, π) a R y  − [ + , a ] a  cos y ≤cos b R ，  R 5cos cos(5 x ) − x +  ≤b x R （2）给定 和 ， ，证明：存在 ，使得 ； （3）设 若存在 使得 对 恒成立 求 b P A D B C 的最小值．