2025年高考北京数学真题
★祝大家学习生活愉快★
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题
卡上。用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用
橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置
上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答
案无效。
一、单选题
1.集合M={x∣2x-1>5},N={1,2,3}，则M∩N= ( )
A. {1,2,3} B. {2,3} C. {3} D. ∅
2.已知复数z满足i⋅z+2=2i，则|z|= ( )
A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 8
3.双曲线x2-4y2=4的离心率为 ( )
3 5 5
A. B. C. D. 5
2 2 4
4.为得到函数y=9x的图象，只需把函数y=3x的图象上的所有点 ( )
1
A. 横坐标变成原来的 倍，纵坐标不变 B. 横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变
2
1
C. 纵坐标变成原来的 倍，横坐标不变 D. 纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变
3
5.已知a
n
是公差不为0的等差数列，a =-2，若a ,a ,a 成等比数列，则a = ( )
1 3 4 6 10
A. -20 B. -18 C. 16 D. 18
6.已知a>0,b>0，则 ( )
1 1 1 1 1 2
A. a2+b2>2ab B. + ≥ C. a+b> ab D. + ≤
a b ab a b ab
7.已知函数f(x)的定义域为D，则“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x 0 ∈D，使得 fx 0 >
M”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
π
8.设函数f(x)=sin(ωx)+cos(ωx)(ω>0)，若f(x+π)=f(x)恒成立，且f(x)在 0,
4
上存在零点，则ω
的最小值为 ( )
A. 8 B. 6 C. 4 D. 3
数学试题 第 1 页 共 12 页9.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T=klog N(单位：小时)，其
2
中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加
20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(单位：小时)
( )
A. 2 B. 4 C. 20 D. 40
10.已知平面直角坐标系xOy中，|OA|=|OB|= 2，|AB|=2，设C(3,4)，则|2CA+AB|的取值范围是
( )
A. [6,14] B. [6,12] C. [8,14] D. [8,12]
二、填空题
11.抛物线y2=2px(p>0)的顶点到焦点的距离为3，则p= ．
12.已知(1-2x)4=a -2ax+4a x2-8a x3+16a x4，则a = ；a +a +a +a = ．
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
13.已知α,β∈[0,2π]，且sin(α+β)=sin(α-β)，cos(α+β)≠cos(α-β)，写出满足条件的一组α=
，β= ．
14.某科技兴趣小组通过3D打印机的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平行
多边形，平面ARF⊥平面ABC，平面TCD⊥平面ABC，AB⊥BC，AB∥RS∥EF∥CD，AF∥ST∥
5
BC∥ED，若AB=BC=8,AF=CD=4,AR=RF=TC=TD= ，则该多面体的体积为 ．
2
15.关于定义域为R的函数f(x)，以下说法正确的有 ．
①存在在R上单调递增的函数f(x)使得f(x)+f(2x)=-x恒成立；
②存在在R上单调递减的函数f(x)使得f(x)+f(2x)=-x恒成立；
③使得f(x)+f(-x)=cosx恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个；
④使得f(x)-f(-x)=cosx恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个．
三、解答题
1
16.在△ABC中，cosA=- ,asinC=4 2．
3
(1)求c；
(2)在以下三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求BC的高．
10 2
①a=6；②bsinC= ；③△ABC面积为10 2．
3
数学试题 第 2 页 共 12 页17.四棱锥P-ABCD中，△ACD与△ABC为等腰直角三角形，∠ADC=90°，∠BAC=90°，E为BC的中
点．
(1)F为PD的中点，G为PE的中点，证明：FG⎳面PAB；
(2)若PA⊥面ABCD，PA=AC，求AB与面PCD所成角的正弦值．
18.有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对，乙校有75人答对，用
频率估计概率．
(1)从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题目的概率．
(2)从甲、乙两校各随机抽取1人，设X为做对的人数，求恰有1人做对的概率以及X的数学期望．
(3)若甲校同学掌握这个知识点则有100%的概率做对该题目，乙校同学掌握这个知识点则有85%的概
率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，设甲校学生掌握该知识点的
概率为p ，乙校学生掌握该知识点的概率为p ，试比较p 与p 的大小(结论不要求证明)
1 2 1 2
x2 y2 2
19.已知E: + =1的离心率为 ，椭圆上的点到两焦点距离之和为4，
a2 b2 2
(1)求椭圆方程；
(2)设O为原点，Mx 0 ,y 0 x 0 ≠0 为椭圆上一点，直线x x+2y y-4=0与直线y=2，y=-2交于A， 0 0
S |OA|
B．△OAM与△OBM的面积为S ,S ，比较 1 与 的大小．
1 2 S |OB|
2
数学试题 第 3 页 共 12 页ln(1+x)
20.函数f(x)的定义域为(-1,+∞),f(0)=0,f(x)= ，l 为A(a,f(a))(a≠0)处的切线．
1+x 1
(1)f(x)的最大值；
(2)-1
5}={x|x>3}，N={1,2,3}，∴M∩N=∅
2. B
2i-2 (2i-2)i
【解析】∵iz+2=2i,∴z= = =2+2i,∴|z|= 22+22=2 2
i i⋅i
3. B
x2 c 5
【解析】∵x2-4y2=4∴ -y2=1∴c2=a2+b2=5∴a=2,c= 5∴e= =
4 a 2
4. A
1
【解析】y=3x的图像，纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，得到y=32x=9x的图像
2
5. C
【解析】设等差数列a n 的公差为d,d≠0 ，
因为a ,a ,a 成等比数列，且a =-2，
3 4 6 1
所以a2 4 =a 3 a 6 ，即-2+3d 2=-2+2d -2+5d ，解得d=2或d=0(舍去)，
所以a =a +9d=-2+9×2=16.
10 1
故选：C.
6. C
A 选项：当a=b时，a2+b2=2ab，故 A 错误
1 1 1 1
B 选项：时a=b= , + =10, =25，故 B 错误
5 a b ab
C 选项：∵a>0,b>0,a+b≥2 ab> ab，故 C 正确
1 1 1 1 1 2
D 选项：∵ >0, >0,∴ + ≥2 = ，故 D 错误
a b a b ab ab
7. A
【解析】若函数f(x)的值域为R，则对任意M∈R，一定存在x 1 ∈D，使得fx 1 =M +1，
取x 0 =x 1 ，则 fx 0 =M +1>M，充分性成立；
取f(x)=2x，D=R，则对任意M∈R，一定存在x 1 ∈D，使得fx 1 =M +1，
取x 0 =x 1 ，则 fx 0 =M +1>M，但此时函数f(x)的值域为0,+∞ ，必要性不成立；
所以“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x 0 ∈D，使得 fx 0 >M”的充分不必要条件.
故选：A.
8. C
π
【解析】f(x)=sin(ωx)+cos(ωx)= 2sinωx+
4
π
,当x∈ 0,
4
π π π π
时，ωx+ ∈ , ω+
4 4 4 4
,∵
π
f(x)在 0,
4
π π
上存在零点，∴ ω+ ≥π，ω≥3.又∵f(x+π)=f(x)，可知周期T满足π=kT,k∈
4 4
2π
ℤ，即π=k⋅ ,k∈ℤ,∴w=2k,k∈ℤ,∴ω的最小值为4.
ω
9. B
【解析】设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间分别为T,T ,T,
1 2 3
由题意，T=klog 106=6klog 10，
1 2 2
T 2 =klog 21.024×109 =klog 2210×106 =k10+6log 2 10 ，
T 3 =klog 24.096×109 =klog 2212×106 =k12+6log 2 10 ，
数学试题 第 5 页 共 12 页因为T 2 -T 1 =k10+6log 2 10 -6klog 10=10k=20，所以k=2， 2
所以T 3 -T 2 =k12+6log 2 10 -k10+6log 2 10 =2k=4，
所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加4小时.
10.B
【解析】由题意得OA⊥OB,2CA+AB=2(OA-OC)+(OB-OA)=OA+OB-2OC，
则8=|OA+OB|-|2OC|≤|OA+OB-2OC|≤|OA+OB|+|2OC|=12，即8≤|2CA+AB|≤12.
11.6
p
【解析】由题意得 =3，p=6.
2
12.1 15
1
【解析】令x=0，得a =1，令x=- ；得16=a +a +a +a +a ，把a =1代入，得a +a +a +a =
0 2 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
15.
π π
13. ,
2 2
，答案不唯一。
【解析】∵sin(α+β)=sin(α-β)，得2cosαsinβ=0，∴cosα=0或sinβ≠0.
∵cos(α+β)≠cos(α-β)，得-2sinαsinβ≠0，∴sinα≠0或sinβ≠0.
π π
可取α= ,β= .
2 2
14.60
【解析】先证明一个结论：如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，平面α∩β=l，则l⊥γ.
证明：设α∩γ=a，β∩γ=b，在平面γ取一点O，O∉a,O∉b，
在平面γ内过O作直线m，使得m⊥a，作直线n，使得n⊥b，
因为平面α⊥平面γ，m⊂γ，故m⊥α，而l⊂α，故m⊥l，
同理n⊥l，而m∩n=O,m,n⊂γ，故l⊥γ .
下面回归问题.
连接BE，因为AB⊥BC且AF⎳BC，故AF⊥AB，同理BC⊥CD，EF⊥ED，
而AB=BC=8,AF=CD=4，故直角梯形ABEF与直角梯形CBED全等，
故∠BEF=∠BED=45°，
在直角梯形ABEF中，过B作BT⊥EF，垂足为T，
则四边形ABTF为矩形，且△BTE为以∠BTE为直角的等腰直角三角形，
故EF=FT+TE=AB+BT=AB+AF=12，
平面RAF⊥平面ABEF，平面RAF∩平面ABEF=AF，AF⊥AB,
AB⊂平面ABEF，故AB⊥平面RAF，
取AF的中点为M，BE的中点为U，CD的中点为V，连接RM,MU,SU,UV，
则MU⎳RS，同理可证RM⊥平面ABEF，而RM⊂平面RMUS，
故平面RMUS⊥平面ABEF，同理平面VUS⊥平面ABEF，
数学试题 第 6 页 共 12 页而平面RMUS∩平面VUS=SU，故SU⊥平面ABEF，
1
故RM⎳SU，故四边形RMUS为平行四边形，故MU=RS= 8+12
2
=10.
在平面ABHR中过B作BH⎳AR，交RH于H，连接HT.
则四边形ABHR为平行四边形，且RH⎳AB,RH=AB，故RH⎳FT,RH=FT，
故四边形RFTH为平行四边形，
而BH⊥AB,BT⊥AB,BT∩BH=B,BT,BH⊂平面BHT，
故AB⊥平面BHT，故平面ARF⎳平面BHT，
而AR=BH,RF=HT,AF=BT，故△ARF≅△BHT，
故几何体ARF-BHT为直棱柱，
1 5
而S = ×4×
△ARF 2 2
2
-4=3，故V =8×3=24,
ARF-BHT
因为AB⎳EF，故EF⊥平面ARF，
而EF⊂平面RSEF，故平面ARF⊥平面RSEF，
在平面ARF中过A作AG⊥RF，垂足为G，同理可证AG⊥平面RSEF，
1 12 1 12 1
而 AG×RF=3，故AG= ，故V = × × 2+4
2 5 B-HTES 3 5 2
5
× =6，
2
由对称性可得几何体的体积为2×24+6 =60，
故答案为：60.
15.②③
【分析】利用反证法可判断①④的正误，构造函数并验证后可判断②③的正误.
【解析】对于①，若存在R上的增函数fx ，满足fx +f2x =-x，
则f0 +f2×0 =-0即f0 =0，
故x>0时，f4x >f2x >fx >0，故f(4x)+f(2x)>f(x)+f(2x)，
故-2x>-x即x<0，矛盾，故①错误；
对于②，取fx
1
=- x，该函数为R上的减函数且fx
3
+f2x =-x，
故该函数符合，故②正确；
对于③，取fx
1
= cosx+mx,m∈R，
2
此时fx +f-x =cosx，由m∈R可得fx 有无穷多个，
故③正确；
对于④，若存在fx ，使得fx -f-x =cosx，
令x=0，则0=cos0，但cos0=1，矛盾，
故满足fx -f-x =cosx的函数不存在，故④错误.
故答案为：②③
16.(1)6
(2)答案见解析
数学试题 第 7 页 共 12 页【分析】(1)由平方关系、正弦定理即可求解；
(2)若选①，可得A,C都是钝角，矛盾；若选②，由正弦定理、平方关系求得，sinB,cosB，进一步由AD
=csinB求得高，并说明此时三角形ABC存在即可；若选③，首先根据三角形面积公式求得b，再根据余
弦定理可求得a，由此可说明三角形ABC存在，且可由等面积法求解AD.
1
【解析】(1)因为cosA=- ,A∈0,π
3
2 2
，所以sinA= 1-cos2A= ，
3
2 2
由正弦定理有asinC=csinA= c=4 2，解得c=6；
3
(2)如图所示，若△ABC存在，则设其BC边上的高为AD，
1
若选①，a=6，因为c=6，所以C=A，因为cosA=- <0，这表明此时三角形ABC有两个钝角，
3
而这是不可能的，所以此时三角形ABC不存在，故BC边上的高也不存在；
10 2 10 2 5 2
若选②，bsinC= ，由正弦定理有bsinC=csinB=6sinB= ，解得sinB= ，
3 3 9
50 31 5 2 10 2
此时cosB= 1- = ，AD=csinB=6× = ，
81 9 9 3
1 2 2
而cos∠DAB=sinB,sin∠DAB=cosB，cosA=- ，sinA= ，
3 3
所以cos∠CAD=cos∠CAB-∠BAD ，sin∠CAD= 1-cos2∠CAD可以唯一确定，
所以此时CA,CD也可以唯一确定，
10 2
这表明此时三角形ABC是存在的，且BC边上的高AD= ；
3
1 1 2 2
若选③，△ABC的面积是10 2，则S = bcsinA= b×6× =10 2，
△ABC 2 2 3
1
解得b=5，由余弦定理可得a= b2+c2-2bccosA= 25+36-2⋅5⋅6⋅-
3
=9可以唯一确定，
进一步由余弦定理可得cosB,cosC也可以唯一确定，即B,C可以唯一确定，
1 9
这表明此时三角形ABC是存在的，且BC边上的高满足：S = a⋅AD= AD=10 2，即AD=
△ABC 2 2
20 2
.
9
17.(1)证明过程见解析
3
(2)
3
【分析】(1)取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，只需证明FG∥MN即可；
(2)建立适当的空间直角坐标系，求出直线AB的方向向量与面PCD的法向量，根据向量夹角公式即可
求解.
【解析】(1)取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，
∵△ACD与△ABC为等腰直角三角形∠ADC=90°，∠BAC=90°
不妨设AD-CD=2，∴AC=AB=2 2
数学试题 第 8 页 共 12 页1
∴BC=4，∵E、F分别为BC、PD的中点，∴FN= AD=1,BE=2，
2
∴GM=1，
∵∠DAC=45°,∠ACB=45°
∴AD∥BC，
∴FN∥GM，
∴四边形FGMN为平行四边形，
∴FG∥MN，
∵FG⊄面PAB，MN⊂面PAB，∴FG∥面PAB；
(2)∵PA⊥面ABCD，∴以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直
角坐标系，
设AD=CD=2，则A(0,0,0),B(0,2 2,0),C(2 2,0,0)D( 2,- 2,0),P(0,0,2 2)
∴AB=(0,2 2,0),DC=( 2, 2,0),CP=(-2 2,0,2 2)
设面PCD的一个法向量为n=(x,y,z)
DC⋅n=0 2x+ 2y=0
∴
,∴
-2 2x+2 2z=0
CP⋅n=0
取x=1,∴y=-1,z=1,∴n=(1,-1,1)
设AB与面PCD成的角为θ
∣AB⋅n |0×1+2 2×(-1)+0×1| 2 2 3
则sinθ=|cos‹AB,n›|= = = =
|AB⋅n | 2 2⋅ 12+(-1)2+12 2 2 3 3
3
即AB与平面PCD成角的正弦值为 .
3
4
18.(1)
5
(2)0.35，EX =1.55
(3)p 0，gx 单调递增，
当x∈e-1,+∞ 时，gx <0，gx 单调递减，
所以fx 的最大值为fe-1
1
= .
e
(2)因为fa
ln1+a
=
1+a ，所以直线l 1 的方程为y-fa
ln1+a
=
x-a 1+a
ln1+a
，即y=
x-a 1+a
+fa ，
设hx =fx
ln1+a
-
x-a
1+a
+fa
，hx
ln1+x
=
ln1+a
-
1+x
=fx
1+a
-fa ，
由(1)可知，fx 在x∈-1,e-1 上单调递增，而-1x>a时，hx >0，hx 单调递增，且fa 0时，gx
1
∈0,
e
，所以g2a ∈
1 0,
e2
,
所以 2a-x 1 -x 2 ∈ e2-1 ,1
x -x e2+1
2 1
.
21.(1)(6,7)或(7,6)
(2)不能
数学试题 第 11 页 共 12 页(3)见解析
x =x±3 x =x±4
(1)由题意，可得
i+1 i 或
i+1 i
y =y±4 y =y±3
i+1 i i+1 i
∴若k列的第一项为(3,3)，则第二项为(6,7)或(7,6)
(2)设z =x +y ,∴z =x +y
i i i i+1 i+1 i+1
x =x±3 x =x±4
∵ i+1 i 或 i+1 i ,
y =y±4 y =y±3
i+1 i i+1 i
∴x +y =x +y ±7
i+1 i+1 i i
或x +y =x +y ±1
i+1 i+1 i i
即x i+1 +y i+1 与x i +y i 奇偶轮换
即z 与z 奇偶性不同，z 与z 奇偶性相同．
i+1 i i+2 i
若x i ,y i =(3,2),x ,y j j =(4,4)均在τ中，
由x =3,x =4知，i,j均为偶性，∴z 与z 奇偶性相同，
i j i j
而z =5,z =8奇偶性不同，∴矛盾，
i j
故(3,2),(4,4)不能同时在τ中．
(3)由题知，M 为点集，由(2)知，设M ix i ,y i ,x ,y ∈{1,2,7,8}， i i
则x i+1 ,y i+1 ∈{3,4,5,6}，其中M 共有4×4=16个点， i
而x i+1 ,y i+1 ≠(3,3),(6,3),(3,6),(6,3)，因为 6 由 2 来，3 由 7 来，
横、纵坐标不能同时相差4,∴M 有 12 个点，
i+1
即对于 16 个x i ,y i ，有 12 个x i+1 ,y i+1 与之相对应，矛盾．
综上，M 中所有元素都无法构成 K 列．
数学试题 第 12 页 共 12 页QQ资料群简介
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MST老唐说题团队新作，圆锥专题（3本书），本次改版，大幅度新增了圆锥
曲线的新定义篇章，为新高考模式下的备考保驾护航！本书对高中的圆锥曲线
做了系统的归纳整理，从圆锥的基础知识点到本质的探究，以及最新的方法都
有包含。25新版圆锥分为4篇，共12章：一、客观题部分（1-3），二、主观题部分
（4-8），三、背景解密部分（9），四、新定义视角部分（10-12）
【拔高系列--25导数专题书（适用于高二、三）】微信：fudisheng2020
MST老唐说题团队新作，25新版导数（3本书），本次改版，大幅度新增了
导数的新定义篇章，为新高考模式下的备考保驾护航！MST全新导数专题书，
行走的名校讲座讲义，导数中的百科全书。
本书对高中的导数做了系统的归纳总结，从导数的基础知识点到本质的探
究，以及最新的方法都有包含。全书分为5篇，共12章：一、真题方法解读（1），
二、方略积累应用（2-7），三、导数一点突破（8-9），四、函数结构调整（10），五、
高数视角探索（11-12）！适合老师和高分段学生追求突破学习使用。
【拔高系列--圆锥曲线之极点极线论（适用于高二、三）】微信：fudisheng2020
《极点极线本质论》，面对新结构、新高考，你是否感受到了数学的深邃与魅
力？圆锥曲线，不再是单纯的公式与计算，而是射影几何下的奥秘与智慧。今
MST站在笛沙格的肩膀上，以射影几何为基础，揭示极点极线、调和点列、射影
几何单比等知识体系，并将体系高中化应用，解密退化的二次曲线中的命题背
景与解题逻辑。无论你是数学爱好者，还是高考学子，《极点极线论》都会给你
带来新的启示与震撼！
【拔高系列--MST创始人陪跑课（适用于高一、二、三）】微信：fudisheng2020
MST创始人陪跑课更新中，录播+直播+培优答疑群，这里会分享最新教
学教研成果，众多名校都有邀请MST三位创始人，给清北孩子进行数学思维培
优，用心对待，内容全面系统，拥有与名校一样的资源。目录一节的内容，会根
据情况拓展，课内外全程答疑，实时更新，接下来也会有最新考向分析，直至高
考前。来跟着老唐、利哥、老魏一起学习吧！需要找我报名。
【拔高系列--MST选填（适用于高一、二、三）】微信：fudisheng2020
本书针对的问题是新高考改革后,难度提升,多选题进入高考,选择填空不
因而本书以数学建模为根基,把一些常考或者考过的结论进行归纳总结。从而
实现小题小做的目标，提高做题效率。本书分为不等式篇,函数新定义篇,隐圆
与距离新定义篇,新高考体系下导数新题型篇,函数方程不等式综合篇,圆锥曲
线篇,三角向量篇,立体几何篇。
【拔高系列--MST数列新定义（适用于高二、三）】微信：fudisheng2020
数列新定义包含数列必备模型，数论、圆锥与数列、导数与数列、集合与数
列、概率与数列、数列与组合【北京卷风格】，无论新高考怎么改革，在这里都有
你需要的知识方法。
【拔高系列--MST对合（适用于高二、三）】微信：fudisheng2020
《圆锥曲线的对合理论》+《新定义新题型》！很多学生反馈，以前12分
的考题，不会做的少，如今17分的题，能做出第三问的少，不能做出来的多。针
对一些17分三问的难题，MST提出用对合方程思想来解决问题，对合方程已
经成为必须。这世界没有什么谁厉害谁原创，都是在不断优化和改良的过程中
提高学习效率，复杂的问题总有高效解决的方法，方法论成为了闭环体系，才是
高效。
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6.3测量物质的密度同步练习-人教版八年级物理上册_初物_八年级上下册+九年级全一册物理_八年级物理上册_老课标资料_同步练习(部分无答案)