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威海市 2016 年初中学业考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分:120分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共36分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项
中,只有一个是正确的.每小题选对得3分,选错、不选或多选,均不得分)
1
1.- 的相反数是( )
3
1 1
A.3 B.-3 C. D.-
3 3
√x+2
2.函数y= 的自变量x的取值范围是( )
x
A.x≥-2 B.x≥-2且x≠0
C.x≠0 D.x>0且x≠-2
3.如图,AB∥CD,DA⊥AC,垂足为A.若∠ADC=35°,则∠1的度数为( )
A.65° B.55° C.45° D.35°
4.下列运算正确的是( )
A.x3+x2=x5 B.a3·a4=a12
C.(-x3)2÷x5=1 D.(-xy)3·(-xy)-2=-xy
5.已知x ,x 是关于x的方程x2+ax-2b=0的两实数根,且x +x =-2,x ·x =1,则ba
1 2 1 2 1 2
的值是( )
1 1
A. B.- C.4 D.-1
4 46.一个几何体由几个大小相同的小正方体搭成,其左视图和俯视图如图所示,则
搭成这个几何体的小正方体的个数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
7.若x2-3y-5=0,则6y-2x2-6的值为( )
A.4 B.-4 C.16 D.-16
8.实数a,b在数轴上的位置如图所示,则|a|-|b|可化简为( )
A.a-b B.b-a C.a+b D.-a-b
9.某电脑公司销售部为了制订下个月的销售计划,对20位销售员本月的销售量
进行了统计,绘制成如图所示的统计图,则这20位销售人员本月销售量的平均数、
中位数、众数分别是( )
A.19,20,14 B.19,20,20
C.18.4,20,20 D.18.4,25,20
10.如图,在△ABC中,∠B=∠C=36°,AB的垂直平分线交BC于点D,交AB于点H.AC
的垂直平分线交BC于点E,交AC于点G.连接AD,AE.则下列结论错误的是( )
BD √5-1
A. = B.AD,AE将∠BAC三等分
BC 2
C.△ABE≌△ACD D.S =S
△ADH △CEG
ab
11.已知二次函数y=-(x-a)2-b的图象如图所示,则反比例函数y= 与一次函数
x
y=ax+b的图象可能是( )12.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点.将△ABE沿AE折叠,使点B
落在矩形内点F处,连接CF.则CF的长为( )
9 12 16 18
A. B. C. D.
5 5 5 5
第Ⅱ卷(非选择题,共84分)
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.只要求填出最后结果)
13.蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料,其厚度约为0.000 073米.将0.000 073用科
学记数法表示为 .
14.计算:√18-√8= .
15.分解因式:(2a+b)2-(a+2b)2= .
16.如图,正方形ABCD内接于☉O,其边长为4,则☉O的内接正三角形EFG的边长
为 .
1
17.如图,直线y= x+1与x轴交于点A,与y轴交于点B,△BOC与△B'O'C'是以点A
2
为位似中心的位似图形,且相似比为1∶3,则点B的对应点B'的坐标为 .18.如图,点A 的坐标为(1,0),A 在y轴的正半轴上,且∠A A O=30°.过点A 作
1 2 1 2 2
A A ⊥A A ,垂足为A ,交x轴于点A ;过点A 作A A ⊥A A ,垂足为A ,交y轴于点
2 3 1 2 2 3 3 3 4 2 3 3
A ;过点A 作A A ⊥A A ,垂足为A ,交x轴于点A ;过点A 作A A ⊥A A ,垂足为A ,
4 4 4 5 3 4 4 5 5 5 6 4 5 5
交y轴于点A ;……,按此规律进行下去,则点A 的纵坐标为 .
6 2 016
三、解答题(本大题共7小题,共66分)
19.(7分)解不等式组,并把解集表示在数轴上.
{2x+5≤3(x+2),①
1-2x 1
+ >0.②
3 5
20.(8分)某校进行期末体育达标测试,甲、乙两班的学生数相同,甲班有48人达
标,乙班有45人达标,甲班的达标率比乙班高6%,求乙班的达标率.
21.(9分)一个盒子里有标号分别为1,2,3,4,5,6的六个小球,这些小球除标号数
字外都相同.(1)从盒中随机摸出一个小球,求摸到标号数字为奇数的小球的概率;
(2)甲、乙两人用这六个小球玩摸球游戏.规则是:甲从盒中随机摸出一个小球,
记下标号数字后放回盒里,充分摇匀后,乙再从盒中随机摸出一个小球,并记下标
号数字.若两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数,则判甲赢;若两次摸到
小球的标号数字为一奇一偶,则判乙赢.请用列表法或画树状图的方法说明这个
游戏对甲、乙两人是否公平.
22.(9分)如图,在△BCE中,点A是边BE上一点,以AB为直径的☉O与CE相切于点
D,AD∥OC,点F为OC与☉O的交点,连接AF.
(1)求证:CB是☉O的切线;
(2)若∠ECB=60°,AB=6,求图中阴影部分的面积.
m
23.(10分)如图,反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A,B两
x
点,点A的坐标为(2,6),点B的坐标为(n,1).(1)求反比例函数与一次函数的表达式;
(2)点E为y轴上的一个动点,若S =5,求点E的坐标.
△AEB
24.(11分)如图,在△ABC和△BCD中,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,CB=CD.延长CA至点
E,使AE=AC;延长CB至点F,使BF=BC.连接AD,AF,DF,EF.延长DB交EF于点N.
(1)求证:AD=AF;
(2)求证:BD=EF;
(3)试判断四边形ABNE的形状,并说明理由.25.(12分)如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(-2,0),点B(4,0),点
D(2,4),与y轴交于点C,作直线BC,连接AC,CD.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)E是抛物线上的点,求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标;
(3)点M在y轴上且位于点C上方,点N在直线BC上,点P为第一象限内抛物线上
一点.若以点C,M,N,P为顶点的四边形是菱形,求菱形的边长.
答案全解全析：
一、选择题
1 1 1 1
1.C - 与 只有符号不同,所以- 的相反数是 ,故选C.
3 3 3 3
{x+2≥0,
2.B 根据二次根式和分式的意义可得 解得x≥-2且x≠0,故选B.
x≠0,3.B ∵DA⊥AC,∴∠CAD=90°,∵∠ADC=35°,∴∠ACD=55°,又∵AB∥CD,∴∠1=∠ACD=55°,故选
B.
4.D 选项A,因为x3与x2不是同类项,所以不能合并,故选项A错误;选项B,原式=a7,故选项
B错误;选项C,原式=x6÷x5=x,故选项C错误;选项D,原式=-xy,故选项D正确.
5.A 因为x、x 是关于x的方程x2+ax-2b=0的两实数根,所以x+x=-a=-2,x·x=-2b=1,
1 2 1 2 1 2
解得a=2,b=-1,所以ba=( 1) 2=1,故选A.
-
2 2 4
6.B 由题意知俯视图中各小正方形处的正方体个数如图,
故搭成这个几何体的小正方体的个数是4.
7.D 由x2-3y-5=0得x2-3y=5,则6y-2x2-6=2(3y-x2)-6=-2(x2-3y)-6=(-2)×5-6=-10-
6=-16,故选D.
8.C 由数轴可知a>0,b<0,则|a|-|b|=a-(-b)=a+b,故选C.
9.C 由扇形统计图可知,销售20台的人数是20×40%=8,销售30台的人数是20×15%=3,销
售12台的人数是20×20%=4,销售14台的人数是20×25%=5,则这20位销售人员本月销售
20×8+30×3+12×4+14×5
量的平均数是 =18.4,把销售台数从小到大排列,知位于第
20
10、11的两个数据是20、20,则中位数是20,因为销售20台的人数最多,所以这组数据的众
数是20,故选C.
10.A ∵∠B=∠C=36°,∴AB=AC,∠BAC=108°,
∵DH垂直平分AB,EG垂直平分AC,
∴DB=DA,EA=EC,
∴∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°,
∴△BDA∽△BAC,
BD BA
∴ = ,
BA BC
∵∠ADC=∠B+∠BAD=72°,∠DAC=∠BAC-∠BAD=72°,
∴∠ADC=∠DAC,
∴CD=CA=BA,
∴BD=BC-CD=BC-AB,
BD BC-BA BA
则 = = ,
BA BA BC
BD BA √5-1
易求得 = = ,故A错误;
BA BC 2
∵∠BAC=108°,∠DAB=∠CAE=36°,
∴∠DAE=∠BAC-∠DAB-∠CAE=36°,
即∠DAB=∠DAE=∠CAE=36°,
∴AD,AE将∠BAC三等分,故B正确;
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=72°,∠CAD=∠CAE+∠DAE=72°,
∴∠BAE=∠CAD,{
∠B=∠C,
在△BAE和△CAD中, AB=AC,
∠BAE=∠CAD,
∴△BAE≌△CAD,故C正确;
由△BAE≌△CAD可得S =S ,
△BAE △CAD
即S +S =S +S ,
△BAD △ADE △CAE △ADE
∴S =S ,
△BAD △CAE
又∵DH垂直平分AB,EG垂直平分AC,
1 1
∴S = S ,S = S ,
△ADH
2
△ABD △CEG
2
△CAE
∴S =S ,故D正确,故选A.
△ADH △CEG
11.B 观察二次函数图象发现其顶点(a,-b)在第四象限,所以a>0,-b<0,即b>0,由此可得一
次函数y=ax+b的图象与y轴交于正半轴,且y的值随x值的增大而增大.易得ab>0,进而得
反比例函数的图象在第一、三象限,故选B.
评析 本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象,解题的关键是根
据二次函数的图象判断a和b的符号,从而确定反比例函数和一次函数的图象.
12.D 连接BF,交AE于H,则AE垂直平分BF,
∵BC=6,点E为BC的中点,∴BE=3,
又∵AB=4,∠ABC=90°,∴AE=5,
12 24
∴BH= ,则BF= ,
5 5
∵FE=BE=EC,∴∠BFC=90°,
∴CF=√
62-
(24) 2=18,故选D.
5 5
二、填空题
13.答案 7.3×10-5
解析 原数用科学记数法表示为7.3×10-5.
14.答案 √2
解析 √18-√8=3√2-2√2=√2.
15.答案 3(a+b)(a-b)
解析 原式=[(2a+b)+(a+2b)][(2a+b)-(a+2b)]
=(3a+3b)(a-b)=3(a+b)(a-b).
16.答案 2√6
解析 连接AC、OE、OF,作OM⊥EF于M,∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=4,∠ABC=90°,
∴AC是☉O的直径,AC=4√2,
∴OE=OF=2√2,
∵OM⊥EF,∴EM=MF,
∵△EFG是等边三角形,∴∠G=60°,
∴∠EOF=120°,
∴∠OEM=30°.
在Rt△OME中,∵OE=2√2,∠OEM=30°,
∴OM=√2,EM=√6,∴EF=2√6.
∴☉O的内接正三角形EFG的边长为2√6.
17.答案 (-8,-3)或(4,3)
解析 由题意知点A和点B的坐标分别为(-2,0)、(0,1),
OB 1
∵△BOC与△B'O'C'是以点A为位似中心的位似图形,且相似比为1∶3,∴ =
O'B' 3
,∴O'B'=3,∴B'的纵坐标为-3或3,
又∵B'在直线AB上,
∴B'的坐标为(-8,-3)或(4,3).
18.答案 -(√3)2 015
解析 ∵A(1,0),A(0,(√3)1),A(-(√3)2,0),A(0,-(√3)3),A((√3)4,0),……,∴A 在y轴
1 2 3 4 5 4n
负半轴上,A 在x轴的正半轴上,A 在y轴的正半轴上,A 在x轴的负半轴上,OA=(√3
4n+1 4n+2 4n+3 n
)n-1,其中n为正整数,∵2 016÷4=504,∴A 在y轴的负半轴上,纵坐标为 ,故答
2 016 -(√3)2 015
案为-(√3)2 015.
三、解答题
19.解析 解不等式①,得x≥-1.(2分)
4
解不等式②,得x< .(4分)
5
4
∴原不等式组的解集为-1≤x< .(5分)
5
∴原不等式组的解集在数轴上表示为
(7分)
20.解析 设乙班的达标率为x,则甲班的达标率为(x+6%),
48 45
根据题意,得 = .(4分)
x+6% x
解这个方程,得x=0.9.(6分)
经检验,x=0.9是所列方程的根.(7分)
答:乙班的达标率为90%.(8分)
评析 本题考查分式方程的应用.列分式方程解应用题一定要审清题意,找准等量关系,同时
需要注意所得结果一定要进行检验.
3 1
21.解析 (1)P(摸到标号数字为奇数的小球)= = .(3分)
6 2(2)列表如下:
乙
1 2 3 4 5 6
甲
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
(6分)
由此可见,共有36种等可能的结果,其中摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的结果有
18种,摸到小球的标号数字为一奇一偶的结果有18种.
18 1 18 1
∴P(甲赢)= = ,P(乙赢)= = .(8分)
36 2 36 2
∴这个游戏对甲、乙两人是公平的.(9分)
22.解析 (1)证明:连接OD,与AF相交于点G.(1分)
∵CE与☉O相切于点D,
∴OD⊥CE.∴∠CDO=90°.(2分)
∵AD∥OC,
∴∠ADO=∠1,∠DAO=∠2.
∵OA=OD,
∴∠ADO=∠DAO.∴∠1=∠2.
在△CDO和△CBO中,OD=OB,∠1=∠2,OC=OC,
∴△CDO≌△CBO.(4分)
∴∠CBO=∠CDO=90°,∴CB是☉O的切线.(5分)
(2)由(1)知△CDO≌△CBO,
∴∠3=∠OCB,
1
∵∠ECB=60°,∴∠3= ∠ECB=30°.
2
∴∠1=∠2=60°.(6分)
∴∠4=60°.
∵OA=OD,∴△OAD为等边三角形.∴AD=OD=OF.
由(1)知∠1=∠ADO.
在△ADG和△FOG中,∠ADG=∠1,∠AGD=∠FGO,AD=FO,
∴△ADG≌△FOG,∴S =S .(7分)
△ADG △FOG
60π·32 3
∵AB=6,∴☉O的半径r=3.∴S =S = = π.(9分)
阴影 扇形DOF 360 2
m 12
23.解析 (1)把点A(2,6)代入y= ,得m=12.∴y= .(2分)
x x12
把点B(n,1)代入y= ,得n=12.∴点B的坐标为(12,1).(3分)
x
{2k+b=6,
由直线y=kx+b过点A(2,6),点B(12,1)得
12k+b=1.
{ 1
解得 k=- ,
2
b=7.
1
∴所求一次函数的表达式为y=- x+7.(4分)
2
(2)如图,设直线AB与y轴的交点为P,点E的坐标为(0,m),连接AE,BE.
则点P的坐标为(0,7).(5分)
∴PE=|m-7|.(7分)
∵S =S -S =5,
△AEB △BEP △AEP
1
∴ ×|m-7|×(12-2)=5.
2
∴|m-7|=1.(8分)
∴m=6,m=8.
1 2
∴点E的坐标为(0,6)或(0,8).(10分)
24.解析 (1)证明:∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠ACB=45°.∴∠ABF=135°.
∵∠BCD=90°,∴∠ACD=135°.
∴∠ABF=∠ACD.(1分)
∵CB=CD,CB=BF,∴BF=CD.(2分)
在△ABF和△ACD中,
AB=AC,∠ABF=∠ACD,BF=CD,
∴△ABF≌△ACD.∴AD=AF.(3分)
(2)证明:由(1)知AF=AD,△ABF≌△ACD,
∴∠FAB=∠DAC.(4分)
∵∠BAC=90°,∴∠EAB=∠BAC=90°.
∴∠EAF=∠BAD.(5分)
∵AB=AC,AC=AE,∴AB=AE.(6分)
在△AEF和△ABD中,AE=AB,∠EAF=∠BAD,AF=AD,
∴△AEF≌△ABD.∴BD=EF.(7分)
(3)四边形ABNE是正方形.(8分)
∵CD=CB,∠BCD=90°,∴∠CBD=45°.
∵∠ABC=45°,∴∠ABD=90°.
∴∠ABN=90°.(9分)
由(2)知∠EAB=90°,△AEF≌△ABD,∴∠AEF=∠ABD=90°.
∴四边形ABNE是矩形.(10分)
又∵AE=AB,∴矩形ABNE是正方形.(11分)
25.解析 (1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2,0),点B(4,0),
∴设抛物线的函数表达式为y=a(x+2)(x-4),(1分)
又抛物线过点D(2,4),
1
∴-8a=4,解得a=- .(2分)
2
1 1
∴抛物线的函数表达式为y=- (x+2)(x-4),即y=- x2+x+4.(3分)
2 2
(2)分两种情况.
情况一:若点E在直线CD上方的抛物线上,记作E,连接CE.
1 1
过点E 作EF⊥CD,垂足为点F.
1 1 1 1
由(1)知,OC=4.
∵∠ACO=∠ECF,∴tan∠ACO=tan∠ECF,
1 1 1 1
即AO=E
1
F
1
=2=1.
CO CF 4 2
1
设线段EF=h,则CF=2h,
1 1 1
∴点E 的坐标为(2h,h+4).
1
1
将E(2h,h+4)代入y=- x2+x+4,
1
2
1
解得h=0(舍去),h= .(5分)
1 2
2
∴点E
1
的坐标为(
1,
9).(6分)
2
情况二:若点E在直线CD下方的抛物线上,记作E,连接CE,过点E 作EF⊥CD,垂足为F,
2 2 2 2 2 2
设EF=f,则CF=2f.
2 2 2
∴点E 的坐标为(2f,4-f).(7分)
2
1 3
将E(2f,4-f)代入y=- x2+x+4,解得f=0(舍去), f= .
2 1 2
2 2
∴点E
2
的坐标为(
3,
5).
2综上所述,点E的坐标为( 9)或( 5).(8分)
1, 3,
2 2
(3)可能存在两种情况.
情况一:CM为菱形的边长.如图①,在第一象限内抛物线上取点P,过点P 作PN∥y轴,交BC
1 1 1 1
于点N,过点P 作PM∥BC,交y轴于点M,则四边形CMPN 为平行四边形.若四边形CMPN
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
是菱形,则PM=PN.
1 1 1 1
过点P 作PQ⊥y轴,垂足为点Q.
1 1 1 1
图①
∵OC=OB,∠BOC=90°,∴∠OCB=45°.
∴∠PMC=45°.
1 1
设点P 1( m,- 1 m2+m+4 ),
2
在Rt△PMQ 中,PQ=m,∴PM=√2m.
1 1 1 1 1 1 1
∵直线BC经过点B(4,0),点C(0,4),
∴可求直线BC的函数表达式为y=-x+4.
∵PN∥y轴,
1 1
∴N 的坐标为(m,-m+4).
1
1 1
∴PN=- m2+m+4-(-m+4)=- m2+2m.(9分)
1 1
2 2
1
∴√2m=- m2+2m,解得m
1
=0(舍去),m
2
=4-2√2.
2
此时菱形CMPN 的边长为√2(4-2√2)=4√2-4.(11分)
1 1 1
情况二:CM为菱形的对角线.如图②,在第一象限内抛物线上取点P,过点P 作PM∥BC,交y
2 2 2 2
轴于点M,连接CP,过点M 作MN∥CP,交BC于点N,则四边形CPMN 为平行四边形.连接
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
PN 交CM 于点Q.
2 2 2 2
图②
若CPMN 为菱形,则PQ⊥CM,∠PCQ=∠NCQ.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
∵∠OCB=45°,∴∠NCQ=45°.
2 2∴∠PCQ=45°.
2 2
∴∠CPQ=∠PCQ=45°,
2 2 2 2
∴PQ=CQ.
2 2 2
设点P 2( n,- 1 n2+n+4 ),
2
∴CQ=n,OQ=n+4.
2 2
1
∴n+4=- n2+n+4,解得n=n=0.
1 2
2
∴此情况不存在.
综上所述,菱形的边长为4√2-4.(12分)
评析 本题属于二次函数的综合题,主要考查了待定系数法求抛物线的解析式、菱形的性质、
平行四边形的性质和判定、锐角三角函数等知识,本题还考查了分类讨论思想和数形结合思
想的运用.
