浙教版数学八年级下册课本_初中电子课本_2.数学_浙教版

亲爱的同学： 当这册数学教科书放在你面前时，你又开始了一段新的数学学习之旅. 翻开新书，你会感受到数学世界的精彩：八年级下册介绍二次根式，一 元二次方程，数据分析初步，平行四边形以及特殊平行四边形，反比例函数. 学习二次根式可进一步丰富我们关于代数式的知识，也是学习一元二次方 程的需要.一元二次方程既是进一步学习方程与函数的必备基础， 在生活 和生产实际中也有着广泛的应用.在数据分析初步这一章中，我们将进一步 学习数据处理的思想和方法， 并用来解决一些简单的实际问题. 平行四边 形、特殊平行四边形是我们在日常生活中经常遇到的图形，知道这些图形 的性质和判定也是解决实际问题的需要. 反比例函数是刻画现实世界的重 要的数学模型，从中我们将进一步学习通过建立函数模型来解决问题的数 学思想和方法. 这册新的数学教科书，保持了前几册的体例、结构和理念.“合作学习”， 让你与同伴一起探索新的数学知识、新的数学方法；“探究活动”，使你亲身 经历知识的发生过程，体验“发现”的快乐；“阅读材料”帮助你了解许多有 趣的数学史实，开阔你的数学视野；而“设计题”和“课题学习”，则为你提高 分析和解决问题的能力，并在数学中进行探索、实践和创新提供了机会. 数学是最重要的基础学科，是学习物理、化学、地理、生物、经济等等学 科的必备知识；数学也能培养我们的思考能力，能使人思维缜密、思路清 晰，增强逻辑性和精确性；数学更是认识世界，把握事物本质的科学，具有 简洁之美，朴素之真，具有无穷的魅力. 数学是严肃的，它需要学习者有足够的勤奋和毅力；但数学也并不神 秘，只要有充分的兴趣和良好的方法，每个人都可以学好它. 这套教科书按照教育部最新制订的《义务教育数学课程标准》（2011 年 版）编写，7～9 年级共 6 册.我们殷切希望它能成为你的朋友，能够帮助你 掌握数学知识，提高数学能力，欣赏数学魅力，享受学习乐趣.祝你学习快 乐，学业进步！ 编 者如右图， 架在消防车上的云梯ＡＢ长为15m，AD∶BD＝１∶０郾６，云 Ａ 梯底部离地面的距离BC为２ｍ. 你能求出云梯的顶端离地面的距离 ＡＥ吗？ Ｂ 一艘快艇的航线如下图所示，从Ｏ港出发，１小时后回到Ｏ港． 若 Ｄ 行驶中快艇的速度保持不变，则快艇驶完ＡＢ这段路程用了多少时间？ Ｃ Ｅ 本章我们将学习二次根式的概念、 性质和运算． 运用二次根式及其运算可以帮助我们解决上述问题． 北 Ｂ Ａ 45° 45° Ｏ 东1·1二次根式 Ａ 球网的高ＡＤ为2．43米，ＡＣ＝ＡＢ，ＣＢ为ａ米.你能用 代数式表示ＡＣ的长吗？ D C Ｂ 我们知道，正数的正平方根和零的平方根统称算术平方根，用姨 ａ（ａ≥0） 表示． 根据图 1-1 所示的直角三角形、正方形和等腰直角三角形的条件，完 成以下填空： 2ｃｍ （ｂ－3）ｃｍ2 Ｓ（ｃｍ2） ａ（ｃｍ） 直角三角形 正方形 等腰直角三角形 图1-1 直角三角形的斜边长是 ； 正方形的边长是 ； 等腰直角三角形的腰长是 ． 你认为所得的各代数式的共同特点是什么？ 像姨ａ2＋4，姨ｂ－3，姨2Ｓ，姨 5这样表示算术平方根的代数式叫做二次根式． 根据算术平方根的意义， 二次根式根号内字母的取值范围必须满足被 开方数大于或等于零． 例1 求下列二次根式中字母 ａ 的取值范围. 1 （1） 姨ａ＋1． （2） 姨 . （3） 姨（ａ－3）2． 1－2ａ 解 （１） 由 ａ＋1≥0，得 ａ≥－1， 所以字母 ａ 的取值范围是大于或等于－1 的实数． 4 数学 八年级下册1 1 （2） 由 ＞0，得 1－2ａ＞0，即 ａ＜ ， 1－2ａ 2 1 所以字母 ａ 的取值范围是小于 的实数． 2 （3） 因为无论ａ取何值，都有（ａ－3）2≥0，所以ａ的取值范围是全体实数． 例2 当 ｘ＝－4 时，求二次根式姨1－2ｘ的值． 解 将 ｘ＝－4 代入二次根式，得 姨1－2ｘ＝姨1－2×（－4）＝姨 9 ＝3． １． 求下列二次根式中字母x的取值范围. （1） 姨ｘ－1. （2） 姨4ｘ2. 1 （3） 姨 . （4） 姨－5ｘ． 1＋3ｘ ２． 一艘轮船先向东北方向航行2小时，再向西北方向航行ｔ 小时． 船 的航速是每小时25千米． （1） 用关于ｔ的代数式表示船离出发地的距离. （2） 求当ｔ＝3时，船离出发地的距离（精确到0．01千米）． １． 求下列二次根式中字母ａ的取值范围. 1 （1） 姨ａ . （2） 姨 . （3） 姨1－3ａ． 2ａ＋1 1 姨 ２． 当ｘ＝－2时，求二次根式 2＋ ｘ的值． 2 ３． 解答节前语中的问题.若ａ＝2，拉索ＡＣ长为多少米（精确到0．01米）？ ４． 当ｘ分别取下列值时，求二次根式姨4－2ｘ的值. （1） ｘ＝0. （2） ｘ＝1. （3） ｘ＝－1． 5 第1章 二次根式５． 若二次根式姨ｘ2的值为3，求ｘ的值． ６． 物体自由下落时，下落距离ｈ（米）可用公式ｈ＝5ｔ2来估计，其中（ｔ 秒） 表示物体下落所经过的时间． （1） 把这个公式变形成用ｈ表示ｔ的公式. （2） 一个物体从54．5米高的塔顶自由下落，落到地面需几秒（精确 到0．1秒）？ 1·2二次根式的性质 面积ａ 姨ａ 利用节前图，你能推测出姨ａ 和ａ有什么关系吗？ 姨ａ 根据平方根的意义，完成以下填空： 姨 # （姨 2）2＝ ；（姨 7）2＝ ； 姨 1 2 ＝ ． 2 一般地，二次根式有下面的性质： 2 （姨 ａ）＝ａ（ａ≥0）． 填空： 姨22 ＝ ， ｜2｜＝ ； 姨（－5）2＝ ， ｜－5｜＝ ； 姨02 ＝ ， ｜0｜＝ ． 比较左右两边的式子，议一议：姨ａ2与｜ａ｜有什么关系？当 ａ≥0时， 姨ａ2＝ ；当 ａ＜0 时，姨ａ2＝ ． 6 数学 八年级下册一般地，二次根式有下面的性质： "ａ（ａ≥0）； $ 姨ａ2 ＝｜ａ｜＝# % $－ａ（ａ＜0）． 例1 计算： （1） 姨（－10）2－（姨15）2. （2）［姨 2 －姨（－2）2］×姨 2 ＋2姨 2 髴． 解 （1） 姨（－10）2－（姨15）2＝｜－10｜－15＝10－15＝－5． （2）［姨 2 －姨（－2）2］×姨 2 ＋2姨 2 ＝（姨 2 －2）×姨 2 ＋2姨 2 ＝（姨 2）2－2姨 2 ＋2姨 2 ＝2． 姨33 2 ’ 2 4 2 例2 计算： － ＋ － ． 5 3 5 3 3 2 4 2 解 ∵ － ＜0， － ＞0， 5 3 5 3 33 2 3 34 2 3 3 2 4 2 1 ∴ 原式＝－ － ＋ － ＝－ ＋ ＋ － ＝ ． 5 3 5 3 5 3 5 3 5 １．（口答）填空： （1） 姨 （－1） 2 ＝ ，（－姨3）2＝ ， 姨3 1 1 32 ＝ ， 姨 （－4） 2 ＝ . 3 （2） 数ａ在数轴上的位置如图，则姨ａ2= ． ａ －2 －1 0 1 （第1（2）题） ． 髴数与二次根式相乘时，乘号可以省略．例如，2姨2 表示2×姨2 7 第1章 二次根式２． 计算： ｙ （1） 姨（－7）2 －（姨7）2. 2 Ｐ（姨5 ，2） （2）（－姨11）2＋姨（－13）2 ． ３． 如图，Ｐ（姨5 ，2）是直角坐标系中一 Ｏ 姨5 ｘ 点，求点 Ｐ到原点的距离． （第3题） １． 填空： （1）（姨6）2＝ . （2） 姨 " － 2 # 2 ＝ ． 7 ２． 已知a＝－2，化简 a－姨a2 的结果是 ． 3． 计算： （1）（－姨5）2－姨16＋姨（－2）2 . （2） " 姨 2 姨 2 －姨0．12 － 姨 1 . 5 4 （3）（姨ａ）2＋姨ａ2（ａ≥0）． 4． 计算： （1） 姨 24 － 1 姨 2 ＋姨 "4 －1 姨 2 . 7 2 7 （2）（姨3 －1）×姨3 ＋姨3 ． ５． 计算：姨（1－姨2）2＋姨（姨2 ＋1）2． ６． 如图，Ｐ是直角坐标系上一点． （1） 用二次根式表示点Ｐ到原点Ｏ的距离. （2） 若ｘ＝姨2 ，ｙ＝姨7 ，求点Ｐ到原点Ｏ的距离． ｙ 3 Ｐ（ｘ，ｙ） 2 1 －2 －1Ｏ 1 2 ｘ －1 －2 （第6题） 8 数学 八年级下册下面我们继续探索二次根式的性质． 填空（可用计算器计算）： 姨4×9＝ ， 姨 4 ×姨 9 ＝ ； 姨4×5＝ ， 姨 4 ×姨 5 ＝ ； 姨 9 姨 9 ＝ ， ＝ ； 16 姨16 姨 3 姨 3 ＝ ， ＝ ． 2 姨 2 比较左右两边的等式，你发现了什么？ 你能用字母表示发现的规律吗？ 一般地，二次根式有下面的性质： 姨ａｂ＝姨 ａ ×姨 ｂ（ａ≥0，ｂ≥0）； 姨 ａ ＝ 姨 ａ （ａ≥0，ｂ＞0）． ｂ 姨 ｂ 例3 化简： （1） 姨121×225. （2） 姨42×7. 5 2 （3） 姨 . （4） 姨 ． 9 7 解 （1） 姨121×225＝姨121×姨225＝11×15＝165． （2） 姨42×7＝姨42×姨 7 ＝4姨 7 ． 姨 5 姨 5 姨 5 （3） ＝ ＝ ． 9 3 姨 9 2 2×7 1 姨 姨 （4） ＝ ＝ 姨14． 7 7×7 7 9 第1章 二次根式像姨 7 ，姨 5 ，姨14，姨 a ，姨2S这样，在根号内不含分母，不含开得尽 方的因数或因式，这样的二次根式我们就说它是最简二次根式. 二次根式化 简的结果应为最简二次根式. 例4 化简： 1 （1） 姨（－18）×（－24）. （2） 姨1 . （3） 姨0．001×0．5． 49 解 （1） 姨（－18）×（－24） ＝姨2×9×3×8＝姨24×33＝姨24×姨33＝12姨 3 ． 1 50 姨50 5 （2） 姨1 ＝姨 ＝ ＝ 姨 2 ． 49 49 姨49 7 （3） 姨0．001×0．5 ＝姨10-3×10-1×5 ＝姨（10-2）2×5 ＝姨（10-2）2×姨 5 ＝10－2×姨 5 姨 5 ＝ . 100 １． 化简： （1） 姨25×4. （2） 姨0郾01×0郾49. （3） 姨32×52 ． ２． 化简： 9 1 5 （1） 姨 . （2） 姨1 . （3） 姨 ． 25 2 8 ３． 化简： 2 3 1 （1） 5姨 . （2） 姨 － ． 5 5 3 10 数学 八年级下册化简下列两组式子： 2姨 2 ＝ ， 姨 2＋ 2 ＝ ； 3 3 3姨 3 ＝ ， 姨 3＋ 3 ＝ ； 8 8 4姨 4 ＝ ， 姨 4＋ 4 ＝ ； 15 15 5姨 5 ＝ ， 姨 5＋ 5 ＝ ． 24 24 你发现了什么规律？ 用字母表示你所发现的规律．再任意选几个数验证你 发现的规律． （请与你的同伴交流） １． 化简： （1） 姨1000. （2） 姨72×24 . （3） 姨25×32 ． ２． 化简： 11 7 （1） 姨 . （2） 姨 . （3） 姨0．001． 100 8 ３． 化简： 2 27 32＋42 （1） 姨 . （2） 姨 ． 3 4 125 ４． 已知等边三角形的边长为4ｃｍ，求它的高线长．髴 ５． 化简： （1） 姨122＋242 . （2） 姨8．1×104 . （3） 姨 38 # 2 － 32 3 2 . （4） 姨1 1 ． 13 13 80 髴在本套教科书中，凡结果没有要求精确度的，结果可含二次根式，但应化为最简二次根式． 11 第1章 二次根式６． 如图，在直角坐标系中，点 Ａ（5，2），Ｂ（1，5），C（1，2）是三角形的三 个顶点，求ＡＢ的长． ｙ 7 6 Ｂ 5 4 3 2 Ａ Ｃ 1 O 1 2 3 4 5 6 7 ｘ （第6题） （第7题） ７． 在如图所示的4×4方格中，每个小方格的边长都为1. （1） 在图中画出长度为姨17与姨20的线段，要求线段的端点在格 点上. （2） 在图中画出一个三条边长分别为3，2姨2 ，姨5 的三角形，使 它的顶点都在格点上. 1·3二次根式的运算 Ａ 15ｍ 如图，架在消防车上的云梯 ＡＢ长为 15m，ＡＤ ∶ Ｄ ＢＤ＝1∶0郾6，云梯底部离地面的距离ＢＣ为2m.你能求出 Ｂ 2ｍ Ｅ 云梯的顶端离地面的距离ＡＥ吗？ Ｃ 根据二次根式的性质，我们可以得到： 姨 ａ ×姨 ｂ ＝姨ａｂ（ａ≥0，ｂ≥0）； 姨 ａ ＝ 姨 ａ （ａ≥0，ｂ＞0）． ｂ 姨 ｂ 上述法则可以用于二次根式的乘除运算． 12 数学 八年级下册例1 计算： （1） 姨 2 ×姨 6 . （2） 姨1 2 ×姨 27 . （3） 姨1.8×109 ． 3 10 姨1.5×108 解 （1） 姨 2×姨 6＝姨2×6 ＝姨22×3＝2姨 3 ． （2） 姨1 2 ×姨 27 ＝ 姨 5 × 27 ＝ 姨 9 3 10 3 10 2 姨 32×2 3 姨2 不能写 ＝ 2 22 1 成1 姨2 . 3 2 ＝ 姨 2 ． 2 姨1.8×109 姨 1.8×109 （3） ＝ 姨1.5×108 1.5×108 ＝姨12＝2姨 3 ． 二次根式运算的结果，如果能够化简，那么应把它化简为最简二次根式. 例2 如图1-2，一个正三角形路标的边长为2姨 2 个单位，求这个路标 的面积． 解 如图1-2，作 ＡＤ⊥ＢＣ 于点 Ｄ，则 Ａ 1 1 ＢＤ＝ＣＤ＝ ＢＣ＝ ×2姨 2 ＝姨 2 ． 2 2 在Ｒｔ△ＡＣＤ 中， ＡＤ＝姨ＡＣ2－ＣＤ2 Ｂ Ｃ Ｄ ＝姨 姨 2姨 2 $2－ 姨 姨 2 &2 图1-2 ＝姨 6 ． 1 1 ∴ Ｓ ＝ ×ＢＣ×ＡＤ＝ ×2姨 2 ×姨 6 ＝2姨 3（平方单位）． △ＡＢＣ 2 2 答：这个路标的面积为2姨 3 平方单位． 13 第1章 二次根式１． 计算： （1） 姨12×姨3 . （2） 姨1000×姨0郾1. 3 2 （3） 姨 ×姨 . （4） 姨24×姨3 ． 2 3 ２． 计算： Ｃ （1） 姨7 . （2） 姨3×105 . （3） 1 ． 姨6 姨2．7×103 姨5 ３． 如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝Ｒｔ∠，ＢＣ＝姨2 ，ＡＣ＝姨6 ．求斜边 Ａ Ｄ Ｂ 上的高线ＣＤ的长． （第3题） １． 计算： （1） 姨8 ×姨18. （2） 姨0郾5×姨2．5. 1 2 （3） 姨1 ×姨 . （4） 姨1．2×102 ×姨3×105 ． 4 5 ２． 计算： 姨50 姨32 （1） . （2） . 姨10 姨2 2 姨1．6×104 （3） . （4） ． 姨2 姨0．4×102 ３． 计算： （1） 姨130×姨0．2. （2） 姨49÷（2姨7）． ４． 已知等腰直角三角形的斜边长为姨2 ，求它的面积． ５． 计算：姨2（姨2 －姨3）． ６． 解方程：2姨2 ｘ＝－姨24． 14 数学 八年级下册以前我们学过的整式运算的法则和方法也适用于二次根式的运算． 例 如，在二次根式的加减运算时，类似于合并同类项，我们可以把含有被开方 数相同的二次根式的项进行合并． 1 1 例3 化简：姨12－ 姨 － 姨1 ． 3 3 3 4×3 1 2 解 原式＝姨22×3 － 姨 － 姨 ＝2姨 3 － 姨 3 － 姨 3 32 32 3 3 3 1 2 # ＝ 2－ － 姨 3 ＝姨 3 ． 3 3 例4 计算： （1） 姨 6 ＋姨 8 ×姨12. （2）姨 摇 1 ＋ 5 . （3） 姨 2 ． 3 姨 摇 3 姨 2 ＋1 解 （1） 原式＝姨 6 ＋姨8×12＝姨 6 ＋姨22×2×22×3 ＝姨 6 ＋4姨 6 ＝5姨 6 ． 姨 1×3 5×姨 3 姨 3 5姨 3 （2） 原式＝ ＋ ＝ ＋ ＝2姨 3 . 3×3 3 3 姨 3 ×姨 3 姨 2（姨 2 －1） 2－姨 2 （3） 原式＝ ＝ ＝2－姨 2 . 2－1 （姨 2 ＋1）（姨 2 －1） 例5 计算： （1）（2姨 2 －3姨 3）（3姨 3 ＋2姨 2）. （2）（2－姨 2）（3＋2姨 2）． 2 2 解 （1） 原式＝（2姨 2）－（3姨 3）＝8－27＝－19． （2） 原式＝6＋4姨 2 －3姨 2 －4＝2＋姨 2 ． 15 第1章 二次根式2 姨1 3 $ １． 化简：姨 － 姨24－ 姨12 . 3 6 2 ２． 计算： 1 1 （1） 姨24－2姨3 ×姨2 . （2） 姨3（1－姨15）－3姨 . 2 5 姨6 （3） ． 姨3 －2 ３． 计算： （1）（1＋姨2）（2－姨2）. （2）（3姨5 －5姨2）2． ４． 在Ｒｔ△ＡＢＣ 中，∠Ｃ＝Ｒｔ∠，ＡＣ＝2姨2 ，ＡＢ＝3姨2 . 求Ｒｔ△ＡＢＣ 的周长和面积． １． 计算： 1 16 （1） 姨125－ 姨 － 姨 . （2）（2姨6）2－（－3姨2）2. 125 5 姨 2 姨2 （3） ＋ ． 3 姨3 ２． 计算： （1）（1－姨5）（姨5 ＋1）. （2）（2姨3 ＋3姨2）2. （3）（1－2姨3）（姨3 ＋2）． Ａ ３． 求当ａ＝姨2 时，代数式（ａ－1）2－（ａ＋姨2）（ａ－1）的值． D ４． 如图，在等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝ Ｂ Ｃ Ａ （第4题） 2姨5 ，ＢＣ＝2姨6 .求△ＡＢＣ的面积． 7ｍ 4ｍ ５． 如图，两根直立的竹竿相距6ｍ，高分别为 B 6ｍ C 4ｍ和7ｍ. 求两竹竿顶端间的距离AD. （第5题） ６． 已知ａ＝姨3 ＋姨2 ，ｂ＝姨3 －姨2 ，求ａ2－ａｂ＋ｂ2的值． 姨2 ７． 不用计算器，比较 与姨6 －2.1的大小，并说明理由． 姨3 ＋姨2 16 数学 八年级下册在日常生活和生产实际中，我们在解决一些问题，尤其是涉及直角三角 形边长计算的问题时，经常用到二次根式及其运算． 例6 如图 1-3， 扶梯 ＡＢ 的坡比髴为 1∶0．8， 滑梯 ＣＤ 的坡比为 1∶1．6， 3 1 ＡＥ＝ ｍ，ＢＣ＝ ＣＤ． 一男孩从扶梯 2 2 Ｂ Ｃ 走到滑梯的顶部， 然后从滑梯滑下，经 过的总路程是多少米（要求先化简，再 取近似值. 结果精确到 0．01ｍ）？ Ａ Ｅ Ｆ Ｄ 图1-3 解 在 Ｒｔ△ＡＥＢ 中， 3 3 15 ＡＥ＝ ｍ，ＢＥ＝ ÷0郾8＝ （ｍ）， 2 2 8 ∴ ＡＢ＝姨ＡＥ2＋ＢＥ2 ＝ 姨 23 $ 2 ＋ 815 & 2 ＝ 3 姨41（ｍ）． 2 8 8 15 在 Ｒｔ△ＣＦＤ 中，ＤＦ＝ ×1郾6＝3（ｍ）， 8 ∴ ＣＤ＝姨ＣＦ2＋ＤＦ2 ＝ 姨 815 & 2 ＋32 ＝ 3 姨89（ｍ）． 8 8 1 3 而 ＢＣ＝ ＣＤ＝ 姨89ｍ， 2 16 3 3 3 ∴ ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ＝ 姨41＋ 姨89＋ 姨89 8 16 8 3 9 ＝ 姨41＋ 姨89≈7．71（ｍ）． 8 16 答：这个男孩经过的总路程约为 7．71ｍ． 例7 如图 1-4 是一张等腰直角三角形彩色纸，ＡＣ＝ＢＣ＝40ｃｍ． 将斜 边上的高线 ＣＤ 四等分，然后裁出三张宽度相等的长方形纸条． （1） 分别求出三张长方形纸条的长度. 髴如图1-3，斜坡上A，B两点之间的高度差BE与水平距离AE的比叫做AB的坡比. 17 第1章 二次根式（2） 若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），如图1-5， 正方形美术作品的面积为多少平方厘米？ Ｃ Ａ Ｄ Ｂ 图1-4 图1-5 解（1） 如图 1-4，在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中，ＡＣ＝ＢＣ＝40（ｃｍ）， ∴ ＡＢ＝姨ＡＣ2＋ＢＣ2 ＝姨402＋402 ＝40姨 2（ｃｍ）． ∵ ＣＤ⊥ＡＢ，ＡＤ＝ＢＤ， 1 ∴ ＣＤ＝ ＡＢ＝20姨 2（ｃｍ）． 2 1 1 ∴ ＣＤ＝ ×20姨 2 ＝5姨 2（ｃｍ）． 4 4 1 ∵ 最上面长方形纸条的长是 ＣＤ 的 2 倍（为什么？）， 4 1 ∴ 其长度为 2× ＣＤ＝2×5姨 2 ＝10姨 2（ｃｍ）． 4 同理可得，其余两张长方形纸条的长度依次为： 1 2× ＣＤ＝2×10姨 2 ＝20姨 2（ｃｍ）， 2 3 2× ＣＤ＝2×15姨 2 ＝30姨 2（ｃｍ）． 4 答：三张长方形纸条的长度分别为 10姨 2 ｃｍ，20姨 2 ｃｍ，30姨 2 ｃｍ． （2） 三张长方形纸条连接在一起的总长度为 10姨 2 ＋20姨 2 ＋30姨 2 ＝60姨 2（ｃｍ）． 因此，给这幅美术作品所镶的边框可以看做由四张宽为 5姨 2 ｃｍ， 长为 15姨 2 ｃｍ 的彩色纸条围成（图 1-5）． 则正方形的边长＝15姨 2 －5姨 2 ＝10姨 2（ｃｍ）， 正方形的面积＝（10姨 2）2＝200（ｃｍ2）． 答：这幅正方形美术作品的面积为 200ｃｍ2． 18 数学 八年级下册１． 如图，一道斜坡ＡB的坡比为1∶10，ＡＣ＝24ｍ.求斜坡ＡＢ的长． Ｂ Ａ Ｃ （第1题） ２． 请解答本节节前语中的问题（精确到0．01ｍ）． １． 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝Ｒｔ∠，记ＡＢ＝ｃ，ＢＣ＝ａ，ＡＣ＝ｂ． 1 （1） 若ａ∶ｃ＝ ，求ｂ∶ｃ. 2 （2） 若ａ∶ｃ＝姨2 ∶姨3 ，ｃ＝6姨3 ，求ｂ． ２． 在等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝2姨5 ，ＢＣ＝8.求△ＡＢＣ的面积． ３． 如图，大坝横截面的迎水坡ＡＤ的坡比为4∶3，背水坡ＢＣ的坡比为 1∶2，大坝高ＤＥ＝50ｍ，坝顶宽ＣＤ＝30ｍ.求大坝横截面的面积和 周长（周长精确到0．01ｍ）． 北 Ｄ Ｃ Ｂ Ａ 45° 45° 东 Ｏ Ａ Ｅ Ｆ Ｂ （第3题） （第4题） ４． 如图，一艘快艇从Ｏ港出发，向东北方向行驶到Ａ处，然后向西行 驶到Ｂ处，再向东南方向行驶，共经过1小时回到Ｏ港．已知快艇 的速度是60ｋｍ/ｈ，求Ａ，Ｂ之间的距离（精确到0．1ｋｍ）. ５． 从一张等腰直角三角形纸板中剪一个尽可能大的正方形，可怎样剪？ 画图说明你的剪法．如果这张纸板的斜边长为30ｃｍ，能剪出最大正 方形的面积是多少平方厘米？ 19 第1章 二次根式5． 整式运算的法则和方法也适用于二 填空． 次根式的加减运算． 1． 像姨ａ2＋4，姨b－3,姨5 这样表 示 的代数式叫做二次根式.二 次根式根号内字母的取值范围必须满足 大于零或等于零. 填表. 2． 二次根式的性质： 学会程度 技能内容 （姨ａ）2＝ （ａ≥0）； 学 会 基本学会 不 会 （ａ≥0）； 运用二次根式的性 姨ａ2＝｜ａ｜＝ （ａ＜0）； 质将二次根式化简 姨ａｂ＝ （ａ≥0，ｂ≥0）； 简单的二次根式 ａ 的四则运算 姨 ＝ ｂ （ａ≥0，ｂ＞0）． 运用二次根式及 其运算解决简单 3． 在根号内不含 ， 不含 的实际问题 ，这样的二次根式称为最简二 次根式. 4． 二次根式的乘除运算法则： 姨ａ ×姨ｂ ＝ （ａ≥0，ｂ≥0）； 姨ａ ＝ （ａ 0，ｂ 0）． 姨ｂ 20 数学 八年级下册●了解二次根式的概念． ●会求二次根式的值． 1．1节 １． 当ａ＝－2时，二次根式姨2－ａ的值是 ． ２． 当x＝ 时，姨2x－6的值最小. 3． 求下列二次根式中字母ａ的取值范围. （1） 姨5ａ. （2） 姨ａ＋3. 2 （3） 姨ａ2＋1. （4） 姨 － ． ａ ●了解二次根式的性质，了解最简二次根式的概念. ●会运用二次根式的性质将二次根式化简． 1．2节 4． 填空： 姨 5 $2 （1） 姨 ＝ ． 3 （2） 姨（－13）2＝ ． （3） 姨（姨2 －2）2＝ ． 5． 将姨32×8 化简，正确的结果是（ ） （Ａ） 3姨8 . （B） ±3姨8 . （C） 6姨2 . （D） ±6姨2 . 6． 化简： （1） 姨（－11）2＋｜－11｜. （2） 姨108. 8 （3） 姨82＋25 . （4） 姨 . 27 3 （5） . （6） 姨0．06×0．27 . 姨3 1 4 1 （7） 姨1－ . （8） 姨1 ． 4 5 4 7． 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ=Ｒｔ∠，ＡＢ＝ｃ，ＢＣ＝ａ，ＡＣ＝ｂ． （1） 已知ｂ＝ａ＝5，求ｃ. （2） 已知ｃ＝10，ｂ＝1，求ａ. 5 12 （3） 已知ａ＝ ，ｂ＝ ，求ｃ． 13 13 21 第1章 二次根式8． 在直角坐标系中，求下列各点到原点的距离. " # 姨3 （1） 1， . （2）（－姨2 ，姨6）． 2 ●了解二次根式加、减、乘、除的运算法则． ●会进行二次根式的四则运算． 1．3节 ●会运用二次根式的运算解决简单的实际问题． 9． 计算： （1） 姨8 ×姨18. （2） 姨0郾1×姨0郾4. （3） 姨2 3 ×姨 2 . （4） 姨24 ． 4 11 姨3 10． 化简： 1 （1） 2姨20－姨5 ＋3姨 . 5 姨 1 & （2） 3姨3 － 姨12＋姨 ． 3 １1． 计算： （1）（姨18－姨3）×姨12. （2）（2姨3 ＋3姨5）2. （3） 姨2 . （4） 姨 1 － 10 ． 姨6 －姨2 5 姨125 １2． 求当ａ＝1＋姨2 ，ｂ＝姨3 时，代数式ａ2＋ｂ2－2ａ＋1的值． １3． 设实数姨7 的整数部分为 a，小数部分为 b，求（2a＋b）（2a－b） 的值. １4． 如图，台阶阶梯每一层高20ｃｍ，宽40ｃｍ，长50ｃｍ．一只蚂蚁从Ａ 点爬到Ｂ点，最短路程是多少？ 单位：ｃｍ 50 Ｂ 40 20 40 2 4 20 40 Ａ （第14题） （第15题） １5． 如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为4和2. 求图中阴影 部分的面积. 22 数学 八年级下册１6． 根据爱因斯坦的相对论，当地面上 的时间经过1秒时，宇宙飞船内时 间只经过姨1- !ｖ " 2 秒（ｃ是光速， ｃ 为 3×105千米/秒，ｖ 是宇宙飞船 的速度）． 假定有一对兄弟，哥哥 18岁，弟弟15岁，哥哥乘着宇宙飞船作宇宙旅行，宇宙飞船的速 度是光速的0．98倍．问：弟弟20岁时，刚从宇宙旅行回来的哥哥 是几岁？ １7． 如图，一块长方形场地 ＡＢＣＤ 的长 ＡＢ 与宽 ＡＤ 之比为姨2 ∶1， ＤＥ⊥ＡＣ于点Ｅ，ＢＦ⊥ＡＣ于点Ｆ，连结ＢＥ，ＤＦ．现计划在四边形 ＤＥＢＦ区域内种植花草，求四边形 ＤＥＢＦ 与长方形 ＡＢＣＤ 的面 积之比． Ｄ Ｃ Ｆ Ｅ Ａ Ｂ （第17题） 23 第1章 二次根式根据2008～2012年我国年新增风电装机容量的统计图，你知道 从2008～2010年我国新增风电装机容量平均每年增长百分之几？ 一名高尔夫球手某次击出的球的 足 高 关 度 系 ｈ（ 式 ｍ） ｈ 和 ＝ｄ 经 － 过 ０． 的 ０1 水 ｄ２． 平 当 距 球 离 所 ｄ（ 经 ｍ 过 ）满 的 2008～2012年我国年新增风电装机容量的统计图 容量（万千瓦） 水平距离为50m时，球的高度是多少？ 2500 1893 1763 上述问题都可以用一元二次方程 2000 1380 1296 来解决．本章我们将学习一元二次方程 1500 1000 及其应用． 500 0 615 2008 2009 2010 2011 2012 年份2·1一元二次方程 单位：ｃｍ 30 ｘ ｘ 15 将一个容积为750ｃｍ3的包装盒剪开、铺平，纸样如图 所示.图中ｘ（ｃｍ）应满足怎样的方程？ 单位：ｍ 列出下列问题中关于未知数 ｘ 的方程： （1） 把面积为 4m2的一张纸分割成如 ｘｘ ｘ 图 2-1 所示的正方形和长方形两个部分， ｘｘ 3 求正方形的边长． 图2-1 设正方形的边长为 ｘ（m），可列出方程： . 1 （2） 某放射性元素经 2 天后，质量衰变为原来的 . 这种放射性元 2 素平均每天减少率为多少？ 设平均每天减少率为 ｘ，可列出方程： ． 观察上面所列方程，说出这些方程与一元一次方程的相同和不同之处． 1 方程ｘ2＋3ｘ＝4和（1－ｘ）2＝ 的两边都是整式，只含有一个未知数，并且 2 未知数的最高次数是2次．我们把这样的方程叫做一元二次方程（ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｎ ｏｎｅ ｕｎｋｎｏｗｎ）． 能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做 一元二次方程的解（或根）． １． 判断下列方程是否为一元二次方程. （1） 10ｘ2＝9. （2） 2（ｘ－1）＝3ｘ. 1 2 （3） 2ｘ2－3ｘ－1＝0. （4） － ＝0． ｘ2 ｘ ２． 判断未知数的值ｘ＝－1，ｘ＝0，ｘ＝2是不是方程ｘ2－2＝ｘ的根． 26 数学 八年级下册一般地，任何一个关于 ｘ 的一元二次方程都可以 化为 ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ=０ 的形式. 我们把 ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝0 为什么要限制 （ａ，ｂ，ｃ 为已知数，ａ≠0）称为一元二次方程的一般 ａ≠0？ ｂ，ｃ可以为零 吗？ 形式，其中 ａｘ2，ｂｘ，ｃ 分别称为二次项、一次项和常数 项，ａ，ｂ 分别称为二次项系数和一次项系数． 例1 把下列方程化成一元二次方程的一般形式， 并写出它的二次项 系数、一次项系数和常数项． （1） 9ｘ2＝5－4ｘ. （2）（2－ｘ）（3ｘ＋4）＝3． 解 （1） 移项，整理，得 9ｘ2＋4ｘ－5＝0． 这个方程的二次项系数是 9，一次项系数是 4，常数项是－5． （2） 方程左边多项式相乘，得－3ｘ2＋2ｘ＋8＝3， 移项，整理，得－3ｘ2＋2ｘ＋5＝0． 这个方程的二次项系数是－3，一次项系数是 2，常数项是 5． 5 例2 已知一元二次方程 2x2＋bx＋c＝0 的两个根为 ｘ ＝ 和 ｘ ＝－3， 1 2 2 求这个方程. 5 解 将 ｘ ＝ ，ｘ ＝－3 代入方程 2x2＋bx＋c＝0，得 1 2 2 0 25 " 2 5 %2× ＋ b＋c＝0， % 2 2 $ % 2 %2×（－3） ＋（－3）b＋c＝0， & b＝1， 解得 c＝－15. 所以这个一元二次方程是 2x2＋x－15＝0. 我们在写一元二次方程的一般形式时， 通常按未知数的次数从高到 低排列，即先写二次项，再写一次项，最后是常数项． 27 第2章 一元二次方程１． 在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） 2 （Ａ） ｘ2＋3ｘ＝ ． （Ｂ） 2（ｘ－1）＋ｘ＝2． ｘ （Ｃ） ｘ2＝2＋3ｘ． （Ｄ） ｘ2－ｘ3＋4＝0． ２． 填表： 二次项 一次项 方程 一般形式 常数项 系数 系数 2ｘ2－ｘ＝4 姨2 ｙ－4ｙ2＝0 （2ｘ）2＝（ｘ＋1）2 ３． 已知关于ｘ的一元二次方程ｘ2＋ａｘ＋ａ＝0的一个根是3，求ａ的值． １． 在下列方程中，不属于一元二次方程的是（ ） 1 姨2 （Ａ） ｘ2－ ＝ｘ． （Ｂ） 7ｘ2＝0． 5 2 （Ｃ） 0郾3ｘ2＋0郾2ｘ＝4． （Ｄ） ｘ（1－2ｘ2）＝2ｘ2． ２． 把一元二次方程（ｘ－姨5）（ｘ＋姨5）＋（2ｘ－1）2＝0化成一般形 式，正确的是（ ） （Ａ） 5ｘ2－4ｘ－4＝0． （Ｂ） ｘ2－5＝0． （Ｃ） 5ｘ2－2ｘ＋1＝0． （Ｄ） 5ｘ2－4ｘ＋6＝0． ３． 填表： 二次项 一次项 方程 一般形式 常数项 系数 系数 ｘ2－4ｘ－3＝0 2ｘ2＝0 1 ｘ2＝姨9 2 （2ｙ－3）2＝ｙ（ｙ＋2） ４． 判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根． （1） ｘ2－3ｘ＋2＝0 （ｘ＝1，ｘ＝2，ｘ＝3）. １ 2 3 " 1 # （2） 2ｙ2－5ｙ＋2＝0 ｙ＝ ，ｙ＝1，ｙ＝2 . 1 2 2 3 28 数学 八年级下册1 3 5 " （3） （3ｘ－1）2－8＝0 ｘ＝－1，ｘ＝1，ｘ＝ . 2 1 2 3 3 3 2 " （4）（2ｘ－3）2＝（ｘ＋1）2 ｘ＝ ，ｘ＝0，ｘ＝1 ． 1 3 2 3 ５． 将一个容积为750ｃｍ3的包装盒剪开、铺 单位：ｃｍ 30 平，纸样如图所示．写出关于ｘ的方程．该 ｘ ｘ 方程是一元二次方程吗？ 如果是，把它化 为一元二次方程的一般形式． 15 ６． 写一个一元二次方程，它的二次项系数为 1，其中一个根为－2，另一个根为3. （第5题） 2·2一元二次方程的解法 Ａ 如图，工人师傅为了修屋顶，把一架梯子搁在墙上．已 知梯子长ＡＢ＝5米，墙高ＡＣ是梯子底端点离墙的距离 Ｃ ＢＣ的2倍，求墙高ＡＣ. Ｂ 1. 若 A×B＝0，下面两个结论正确吗？ （1） A 和 B 都为 0，即 A＝0，且 B＝0. （2） A 和 B 中至少有一个为 0，即 A＝0，或 B＝0. 2. 你能用上面的结论解方程（2x＋3）（2x－3）＝0 吗？ 试一试. 例1 解下列方程： （1） x2－3x＝0. （2） 25ｘ2＝16． 解 （1）将原方程的左边分解因式，得 ｘ（ｘ－3）＝0， 则 ｘ＝0，或 ｘ－3＝0， 解得ｘ ＝0，ｘ ＝3. 1 2 29 第2章 一元二次方程（2）移项，得25ｘ2－16＝0． 将方程的左边分解因式，得（5ｘ－4）（5ｘ＋4）＝0， 则5ｘ－4＝0，或5ｘ＋4＝0， 4 4 解得 ｘ ＝ ，ｘ ＝－ . 1 5 2 5 像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解 （ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ）法． 这种方法把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次 方程. 例2 解下列一元二次方程： （1）（ｘ－5）（3ｘ－2）＝10. （2）（3ｘ－4）2＝（4ｘ－3）2． 解 （1） 化简方程，得3ｘ2－17ｘ＝0． 将方程的左边分解因式，得 ｘ（3ｘ－17）＝0， 则ｘ＝0，或3ｘ－17＝0， 17 解得ｘ ＝0，ｘ ＝ ． 1 2 3 （2） 移项，得（3ｘ－4）2－（4ｘ－3）2＝0． 将方程的左边分解因式，得 ［（3ｘ－4）＋（4ｘ－3）］［（3ｘ－4）－（4ｘ－3）］＝0， 即（7ｘ－7）（－ｘ－1）＝0． 则7ｘ－7＝0，或－ｘ－1＝0， 解得ｘ ＝1，ｘ ＝－1． 1 2 例3 解方程 ｘ2＝2姨 2 ｘ－2． 解 移项，得 ｘ2－2姨 2 ｘ＋2＝0， 即 ｘ2－2姨 2 ｘ＋（姨 2）2＝0． 则（ｘ－姨 2）2＝0， 解得ｘ ＝ｘ ＝姨 2 髴． 1 2 髴表示一元二次方程有两个相等的实数根． 30 数学 八年级下册用因式分解法解下列方程： ｘ2 （1） 7ｘ2＝21ｘ. （2） －9＝0. 4 （3） 27ｘ2－18ｘ＝－3. （4）（ｘ＋2）2＝2ｘ＋4. （5） 4（ｘ－3）2－ｘ（ｘ－3）＝0. （6）（7ｘ－1）2＝4ｘ2． １． 填空： （1） 方程ｘ2＋ｘ＝0的根是 ． （2） 方程ｘ2－25＝0的根是 ． ２． 用因式分解法解下列方程： （1） 3ｙ2－5ｙ＝0. （2） 4ｘ2＝12ｘ. （3） ｘ2＋9＝－6ｘ. （4） 9ｘ2＝（ｘ－1）2． ３． 用因式分解法解下列方程： （1）（ｘ－2）（2ｘ－3）＝6. （2） ｘ（ｘ－4）＝－4． ４． 已知一个数的平方等于这个数本身，求这个数（要求列出一元二次 方程求解）. ５． 用因式分解法解下列方程： （1）（2ｘ－1）2＝－8ｘ. （2）（ｘ－2）2＝2ｘ（ｘ－2）. （3） ｘ2－2姨3 ｘ＝－3． 6． 构造一个一元二次方程，要求：①常数项不为零；②有一个根为－3. 一般地，对于形如 ｘ2＝ａ（ａ≥0）的方程，根据平方根的定义，可得 ｘ ＝姨 ａ ，ｘ ＝－姨 ａ ． 这种解一元二次方程的方法叫做开平方（ｓｑｕａｒｅ 1 2 ｒｏｏｔ ｅｘｔｒａｃｔｉｏｎ）法． 31 第2章 一元二次方程例4 用开平方法解下列方程： （1） 3ｘ2－48＝0. （2）（2ｘ－3）2＝7． 解 （1） 移项，得3ｘ2＝48． 方程的两边同除以3，得 ｘ2＝16． 解得 ｘ ＝4，ｘ ＝－4． 1 2 （2） 由原方程，得2ｘ－3＝姨 7 ，或2ｘ－3＝－姨 7 ， 3＋姨 7 3－姨 7 解得 ｘ ＝ ，ｘ ＝ ． 1 2 2 2 探讨怎样解方程 ｘ2－10ｘ＝－16． 你能将方程 ｘ2－10ｘ＝－16 转化成（ｘ＋ａ）2＝ｂ 的形式吗？ 请尝试解 这个方程． 像上面这样，把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一 个非负常数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方 （ｃｏｍｐｌｅｔｉｎｇ ｔｈｅ ｓｑｕａｒｅ）法． 例5 用配方法解下列一元二次方程： （1） ｘ2＋6ｘ＝1. （2） ｘ2＋5ｘ－6＝0． 解 （1） 方程的两边同加上 9，得 ｘ2＋6ｘ＋9＝1＋9，即（ｘ＋3）2＝10． 由ｘ2＋2ａｘ＋ａ2 则 ｘ＋3＝姨10，或 ｘ＋3＝－姨10， ＝（ｘ＋ａ）2可知，这里 两边同加的应是一 解得 ｘ ＝－3＋姨10，ｘ ＝－3－姨10． 次项系数的一半的 1 2 平方. （2） 移项，得 ｘ2＋5ｘ＝6． 25 # 2 25 2 2 25 2 2 方程的两边同加上 ，得 ｘ2＋5ｘ＋ ＝6＋ ， 2 2 2 2 5 2 2 49 即 ｘ＋ ＝ ． 2 4 5 7 5 7 则 ｘ＋ ＝ ，或 ｘ＋ ＝－ ， 2 2 2 2 解得 ｘ ＝1，ｘ ＝－6． 1 2 32 数学 八年级下册１． 填空： （1） 方程ｘ2＝0．25的根是 . （2） 方程2ｘ2＝18的根是 ． ２． 填空： （1） ｘ2＋8ｘ＋ ＝（ｘ＋4）2. 2 3 #2 （2） ｘ2－3ｘ＋ ＝ ｘ－ . 2 （3） ｘ2－12ｘ＋ ＝（ｘ－ ）2． ３． 选择适当的方法解下列方程： （1） ｘ2－81＝0. （2） 2ｘ2＝50. （3）（ｘ＋1）2＝4． ４． 用配方法解下列方程： （1） ｘ2＋12ｘ＝－9. （2） －ｘ2＋4ｘ－3＝0． １． 填空： （1） ｘ2＋14ｘ＋ ＝（ｘ＋7）2. （2） ｘ2－9ｘ＋ ＝（ｘ－ ）2. ２． 用开平方法解下列方程： （1） ｘ2＝2．25. （2） 4ｘ2＝3. （3） 7ｘ2－56＝0. （4） 2（ｘ－7）2＝14． ３． 用配方法解下列方程： （1） ｘ2－6ｘ＝－8. （ 2） ｘ2－8ｘ－4＝0. （3） ｘ2＋3ｘ＋2＝0. （ 4） －ｘ2＋5ｘ＋6＝0． ４． 用配方法解方程ｘ2＝4姨3 ｘ－11． ５． 一个长方形牧场的面积为8100平方 米，长比宽多19米．这个牧场的周长 是多少米？ （第5题） 33 第2章 一元二次方程６． 先用配方法解下列方程： ① ｘ2－2ｘ－1＝0； ② ｘ2－2ｘ＋4＝0； ③ ｘ2－2ｘ＋1＝0． 然后回答下列问题： （1） 你在求解过程中遇到什么问题？你是怎样处理所遇到的问题的？ （2） 对于形如ｘ2＋ｐｘ＋ｑ＝0这样的方程，在什么条件下才有实数根？ 例6 用配方法解下列一元二次方程： （1） 2ｘ2＋4ｘ－3＝0. （2） 3ｘ2－8ｘ－3＝0． 分析 这两个方程的二次项系数都不是 1，但只要在方程的两边同除 以二次项系数，就化归为我们已能求解的一元二次方程类型． 3 解 （1） 方程的两边同除以 2，得 ｘ2＋2ｘ－ ＝0． 2 3 移项，得 ｘ2＋2ｘ＝ ． 2 3 5 方程的两边同加上 1，得 ｘ2＋2ｘ＋1＝ ＋1，即（ｘ＋1）2＝ ， 2 2 1 1 则 ｘ＋1＝ 姨10，或 ｘ＋1＝－ 姨10， 2 2 1 1 ∴ ｘ ＝－1＋ 姨10，ｘ ＝－1－ 姨10． 1 2 2 2 8 （2） 方程的两边同除以 3，得 ｘ2－ ｘ－1＝0． 3 8 移项，得 ｘ2－ ｘ＝1． 3 34 # 2 8 34 3 2 34 3 2 方程的两边同加上 ，得 ｘ2－ ｘ＋ ＝1＋ ， 3 3 3 3 3 4 3 2 25 4 5 4 5 即 ｘ－ ＝ ，则 ｘ－ ＝ ，或 ｘ－ ＝－ ， 3 9 3 3 3 3 1 ∴ ｘ ＝3，ｘ ＝－ ． 1 2 3 34 数学 八年级下册例7 已知 4x2＋8（n＋1）x＋16n 是一个关于 x 的完全平方式，求常数 n 的值. 解 4x2＋8（n＋1）x＋16n ＝4［x2＋2（n＋1）x］＋16n ＝4［x2＋2（n＋1）x＋（n＋1）2］－4（n＋1）2＋16n. 已知 4x2＋8（n＋1）x＋16n 是一个完全平方式，则－4（n＋1）2＋16n＝0. 化简，得 n2－2n＋1＝0，即（n－1）2＝0， 解得 n ＝n ＝1. 1 2 所以常数 n 的值为 1. １． 用配方法解下列方程： （1） 2ｘ2＋6ｘ＋3＝0. （2） 2ｘ2－7ｘ＋5＝0． ２． 用配方法解下列方程： ｎ（ｎ－1） 3 1 1 （1） －3ｎ＝1. （2） ｘ2－ ｘ－ ＝0． 2 4 2 8 １． 用配方法解方程2ｘ2－ｘ－1＝0时，配方结果正确的是（ ） 2 1 "2 3 2 1 "2 3 （Ａ） ｘ－ ＝ ． （Ｂ） ｘ－ ＝ ． 2 4 4 4 2 1 "2 17 2 1 "2 9 （Ｃ） ｘ－ ＝ ． （Ｄ） ｘ－ ＝ ． 4 16 4 16 ２． 用配方法解下列方程： （1） ｘ2＋14ｘ＋2＝0. （2） ｘ2＋4ｘ－3＝0． ３． 用配方法解下列方程： 1 5 （1） 3ｚ2－4ｚ－7＝0. （2） 2－ ｘ2＝ ｘ． 3 3 ４． 用配方法解下列方程： （1） 0郾1ｘ2＋ｘ＋0郾5＝0. （2） 姨2 ｘ2－2ｘ－姨2 ＝0． ５． 已知9ｘ2＋18（n－1）ｘ＋18n是完全平方式，求常数n的值． 35 第2章 一元二次方程下面我们来探讨怎样用配方法解用一般形式表示的一元二次方程 ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝0（ａ≠0）． 请完成下面的填空： ｂ ｃ 方程的两边同除以 ，得 ｘ2＋ ｘ＋ ＝0． ａ ａ ｂ 移项，得 ｘ2＋ ｘ＝ ． ａ ｂ ｃ 方程的两边同加上 ，得 ｘ2＋ ｘ＋ ＝－ ＋ ， ａ ａ ｂ2－4ａｃ 即（ｘ＋ ）2＝ ． 4ａ2 若 ｂ2－4ａｃ≥0， ｂ 姨ｂ2－4ａｃ ｂ 姨ｂ2－4ａｃ 可得 ｘ＋ ＝ ，或 ｘ＋ ＝－ （为什么？）． 2ａ 2ａ 2ａ 2ａ －ｂ＋姨ｂ2－4ａｃ －ｂ－姨ｂ2－4ａｃ ∴ ｘ ＝ ，或 ｘ ＝ ． 1 2ａ 2 2ａ －ｂ±姨ｂ2－4ａｃ 我们也可以简单地表示为 ｘ＝ . 2ａ 对于一元二次方程 ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝0（ａ≠0），如果 ｂ2－4ａｃ≥0，那么方程的 两个根为 －ｂ±姨ｂ2－4ａｃ ｘ＝ ． 2ａ 这个公式叫做一元二次方程的求根公式． 利用求根公式，我们可以由一 元二次方程的系数 ａ，ｂ，ｃ 的值，直接求得方程的根． 这种解一元二次方程的 方法叫做公式（ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｆｏｒｍｕｌａ）法． 例8 用公式法解下列一元二次方程： 3 1 （1） 2ｘ2－5ｘ＋3＝0. （2） 4ｘ2＋1＝－4ｘ. （3） ｘ2－2ｘ－ ＝0． 4 2 解（1） 对方程 2ｘ2－5ｘ＋3＝0， 36 数学 八年级下册ａ＝2，ｂ＝－5，ｃ＝3，ｂ2－4ａｃ＝（－5）2－4×2×3＝1， －（－5）±姨 1 5±1 ∴ ｘ＝ ＝ ， 2×2 4 5＋1 3 5－1 ∴ ｘ ＝ = ，ｘ ＝ ＝1． 1 4 2 2 4 （2） 移项，得 4ｘ2＋4ｘ＋1＝0， 则 ａ＝4，ｂ＝4，ｃ＝1，ｂ2－4ａｃ＝42－4×4×1＝0， －4±姨 0 1 ∴ ｘ＝ ＝－ ， 2×4 2 1 ∴ ｘ ＝ｘ ＝－ ． 1 2 2 （3） 方程的两边同乘 4，得 3ｘ2－8ｘ－2＝0． 则 ａ＝3，ｂ＝－8，ｃ＝－2， ｂ2－4ａｃ＝（－8）2－4×3×（－2）＝88， 8±姨88 4±姨22 ∴ ｘ＝ ＝ ， 2×3 3 4＋姨22 4－姨22 ∴ ｘ ＝ ，ｘ ＝ ． 1 3 2 3 !1 " 例9 解方程： ｘ ｘ－1 ＝!ｘ－2 "2． 2 1 解 去括号，得 ｘ2－ｘ＝ｘ2－4ｘ＋4， 2 1 化简，得 ｘ2－3ｘ＋4＝0． 2 1 则 ａ＝ ，ｂ＝－3，ｃ＝4， 2 你能用因式分解 1 法解本例的方程吗？ ｂ2－4ａｃ＝（－3）2－4× ×4＝1， 2 3±1 ∴ ｘ＝ ＝3±1， 1 2× 2 即 ｘ ＝4，ｘ ＝2． 1 2 37 第2章 一元二次方程从一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式的推导过程中不难看 出，方程的根的情况由代数式 b2－4ac 的值来决定.因此 b2－4ac 叫做一元 二次方程的根的判别式，它的值与一元二次方程的根的关系是: b2－4ac＞0圳方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根； b2－4ac＝0圳方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个相等的实数根； b2－4ac＜0圳方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）没有实数根. １． 用判别式判别下列方程根的情况（不要求解方程）： 27 （1） 2x2－3x＋1＝0. （2） 3x2－9x＋ ＝0. 4 （3） 姨 摇 2 x2＝姨 摇 3 x－1. 2． 用公式法解下列方程： （1） ｘ2＋3ｘ－4＝0. （2） 2ｘ2－13ｘ＋15＝0. 1 1 （3） ｘ2－ ｘ＝1． 2 4 3． 选择适当的方法解下列方程： 16 （1） ｘ2＝1. （2） 5ｘ2＝2ｘ. 25 （3） 3ｘ2＋1＝4ｘ. （4）（ｘ－2）2＝9ｘ2． １． 用判别式判别下列方程根的情况（不要求解方程）： 7 1 （1） －x2－3x＋1＝0. （2） 2x2－ x＋ ＝0. 2 4 2 3 7 （3） 4x2＋5＝4姨 摇 5 x. （4） x2－ x＋ ＝0. 3 2 6 2． 用公式法解下列方程： （1） ｘ2－5ｘ＝6. （2） 3ｘ2－11ｘ－4＝0. （3） 3ｘ2＋10ｘ＋3＝0. （4） 6ｔ2－13ｔ＋5＝0． 3． 用公式法解下列方程： 2 1 1 （1） 4ｘ2＋9＝12ｘ. （2） ｘ2－ ｘ－ ＝0. 3 6 2 38 数学 八年级下册北 航速为30ｋｍ/ｈ， 方向正东 Ａ Ｃ 东 500ｋｍ ｍ 200ｋ Ｂ 台风中心移动的速度 为20ｋｍ/ｈ，方向正北 例1 某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每 盆株数构成一定的关系． 每盆植入 3 株时，平均单株盈利 3 元；以同样的栽 培条件，若每盆每增加 １ 株，平均单株盈利就减少 0郾5 元． 要使每盆的盈利 第2章 一元二次方程 ｍｋ003 （3） 2ｘ2－姨2 ｘ－1＝0. （4） 0郾1ｙ2－ｙ－0郾2＝0． 4． 选择适当的方法解下列方程： 49 （1） ｘ（2ｘ－7）＝2ｘ. （2） ｘ（2ｘ－7）＝－ . 8 （3）（2ｘ－1）2＝（3ｘ＋1）2. （4）（ｘ＋1）（ｘ－1）＝2姨2 ｘ． 5． 已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的系数满足ac＜0，判别方程根的 情况，并说明理由. 6． 如图，某小区规划在一个长40ｍ、 Ａ Ｄ 宽26ｍ的长方形场地ＡＢＣＤ上修 建三条同样宽的通道， 使其中两条 与ＡＢ平行，另一条与ＡＤ平行，其 余部分种花草．要使每一块草坪 的面积都为 144ｍ2，则通道的宽 Ｂ Ｃ 应设计成多少米？ （第6题） 2·3一元二次方程的应用 距台风中心200km的区域（包括 边界）为受台风影响区.如图，如果轮船 不改变航向，会进入台风影响区吗？ 一元二次方程在生活和生产实际中有着广泛的应用． 39为 10 元，则每盆应植多少株？ 分析 本题涉及的主要数量有每盆的花苗株数，平均单株盈利，每盆 花苗的盈利． 主要数量关系有： 平均单株盈利×株数＝每盆盈利； 列一元二次方 平均单株盈利＝3－0郾5×每盆增加的株数． 程解应用题的基本 解 设每盆花苗增加 ｘ 株，则每盆花苗有（3＋ｘ） 步骤与列一元一次 方程解应用题相同 株，平均单株盈利为（3－0郾5ｘ）元． 由题意，得 吗？ 列一元二次方程 解应用题时，你认为 （ｘ＋3）（3－0郾5ｘ）＝10． 有哪些地方更需引 化简、整理，得 ｘ2－3ｘ＋2＝0． 起注意？ 解这个方程，得 ｘ ＝1，ｘ ＝2． 1 2 经检验，ｘ ＝1，ｘ ＝2 都是方程的解，且符合题意． 1 2 答：要使每盆的盈利为 10 元，则每盆应植入 4 株或 5 株． 例2 根据图 2-2 的统计图，求从 2008 年到 2010 年，我国风电新增装 机容量的平均年增长率（精确到 0郾1％）. 2008～2012年我国年新增风电装机容量的统计图 容量（万千瓦） 2500 1893 2000 1763 1380 1500 1296 1000 数据来源:中国 615 500 可再生能源学会 0 2008 2009 2010 2011 2012 年份 图2-2 解 设从 2008 年到 2010 年我国风电新增装机容量的平均年增长率 为 x，由题意可以列出方程 615（1＋x）2＝1893. 解这个方程，得 摇 1893 x ＝－1＋姨 ≈75.4％， 1 615 摇 1893 x ＝－1－姨 （不合题意，舍去）. 2 615 答：从 2008 年到 2010 年，我国风电新增装机容量的平均年增长率 为 75.4％. 40 数学 八年级下册１． 已知两个连续正奇数的积是63，利用一元二次方程求这两个数． ２． 某校坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少．据统 计，今年的近视学生人数是前年近视学生人数的75％，那么这两年 平均每年近视学生人数降低的百分率是多少（精确到1％）？ １． 某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润 12 元． 为 了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价． 据测算，每箱每降价 1元，平均每天可多售出20箱．若要使每天销售饮料获利1400元， 则每箱应降价多少元？ ２． 随着科技水平的提高，某种电子产品的价格呈下降趋势，今年年底 1 的价格是两年前的 ．这种电子产品的价格在这两年中平均每年下 4 降百分之几？ 3． 对于向上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：ｈ＝ｖ ｔ－ 0 1 ｇｔ（2 ｈ是物体离起点的高度，ｖ 是初速度，ｇ是重力系数，取10m/s2， 2 0 ｔ是抛出后经过的时间）． 杂技演员抛球表演时，以10m/s的初速度 把球向上抛出，几秒后球离起点的高度达到1郾8m？ 4． 某人把2万元存入银行，定期一年（无利息税），到期时他支取了1万 元，然后把其余的钱仍存入银行，定期一年（利率不变），再到期时他 取得本利合计为1.1232万元.求这种定期储蓄的年利率. 下面我们继续来探讨有关一元二次方程的实际应用问题． 例3 如图 2-3，有一张长 40ｃｍ，宽 25ｃｍ 的长方形硬纸片，裁去角上 四个小正方形之后，折成如图 2-4 的无盖纸盒． 若纸盒的底面积是 450ｃｍ2， 则纸盒的高是多少？ 41 第2章 一元二次方程分析 设纸盒的高为 ｘ（ｃｍ），那么裁去的四 单位：ｃｍ 40 个小正方形的边长也为 ｘ（ｃｍ），这样就可以用关 于 ｘ 的代数式表示纸盒底面长方形的长和宽． 根 25 据纸盒的底面积是 450ｃｍ2，就可以列出方程． 解 设纸盒的高为 ｘ（ｃｍ），则纸盒底面长方 形的长和宽分别为（40－2ｘ）ｃｍ，（25－2ｘ）ｃｍ． 图2-3 由题意，得（40－2ｘ）（25－2ｘ）＝450． 化简、整理，得 2ｘ2－65ｘ＋275＝0． 解这个方程，得 ｘ ＝5，ｘ ＝27郾5（不合题意， 1 2 ｘ 舍去）． 答：纸盒的高为 5ｃｍ． 图2-4 一轮船（C）以 30ｋｍ/ｈ 的速度由西向东 北 航行（图 2-5），在途中接到台风警报，台风中 心（B）正以 20ｋｍ/ｈ 的速度由南向北移动． 已 Ｃ １ Ａ 东 知距台风中心 200ｋｍ 的区域（包括边界）都 Ｃ 属于受台风影响区． 当轮船接到台风警报时， 500 ｋｍ Ｂ 1 ｋ ｍ 测得 ＢＣ＝500ｋｍ，ＢＡ＝300ｋｍ． Ｂ200 （1） 如果轮船不改变航向，轮船会不会进 入台风影响区？ 你采用什么方法来判断？ 图2-5 （2） 如果你认为轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经多 少时间就进入台风影响区？ 建议： ①假设经 ｔ小时后，轮船和台风中心分别在 Ｃ ，Ｂ 的位置； 1 1 ②运用数形结合的方法寻找相等关系，并列出方程； ③通过相互交流，检查列方程、计算等过程是否正确； ④讨论：如果把航速改为 10ｋｍ/ｈ，结果将怎样？ 42 数学 八年级下册Ａ １． 已知一长方形公园的面积为4800ｍ2， 围绕这个公园的栅栏长为 280ｍ．求这个公园的长与宽． ２． 如图，斜靠在墙上的一根竹竿，ＡＢ＝6．5ｍ，ＢＣ＝2．5ｍ．若Ａ端沿垂 Ｃ Ｂ 直于地面的方向ＡＣ下移1ｍ，则Ｂ端将沿ＣＢ方向移动多少米（精 （第2题） 确到0．01ｍ）？ １． 如图，在一个长方形客厅ＡＢＣＤ的一角铺上一块正方形地毯作为会 客区．已知长方形客厅的面积为35ｍ2，问应选边长为多少米的地毯？ Ａ Ｄ 4ｍ ｘ ｘ 2ｍ Ｂ Ｃ （第1题） （第2题） ２． 如图，一块长方形绿地长 100ｍ，宽 50ｍ.在绿地中开辟两条道路 后，绿地面积缩小到原来的88．32％，求ｘ. ３． 取一张长与宽之比为5∶2的长方形纸板， 剪去四个边长为5ｃｍ的 小正方形（如图），并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒．要使 包装盒的容积为200ｃｍ（3 纸板的厚度略去不计），这张长方形纸板 的长与宽分别为多少厘米？ 5ｃｍ （第3题） ４． 某水库计划修建一条横截面为梯形的输水 渠道．已知横截面面积为4郾05ｍ2， 上口宽比 渠底宽大1郾4ｍ， 渠深比渠底宽小0郾5ｍ.求 渠道的上口宽和渠深． （第4题） 43 第2章 一元二次方程５． 如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝90°．点Ｐ从点Ａ Ｃ 开始沿 ＡＢ 边向点 Ｂ 以 1ｃｍ/ｓ 的速度移 Ｑ 动，与此同时，点Ｑ从点Ｂ开始沿ＢＣ边向 8ｃｍ 点 Ｃ 以 2ｃｍ/ｓ 的速度移动． 如果 Ｐ，Ｑ 分 别从Ａ，Ｂ同时出发， 经过几秒，△ＰＢＱ的 面积等于8ｃｍ2？ Ｐ Ａ 6ｃｍ Ｂ （第5题） ６． 从一块腰长为20cm的等腰直角三角形白 铁皮零料上裁出一块长方形白铁皮， 要求长方形的四个顶点都在 三角形的边上，裁出的长方形白铁皮的面积为75ｃｍ2，应怎样裁？ 2·4一元二次方程根与系数的关系 如一元二次方程这样的方程根与系数的关系是法国数学家韦达 （F.Vieta，1540~1603年）发现的，人们称之为韦达定理. 先解下列方程，然后计算这些方程的两根之和与两根之积： （1） x2－12x＋11＝0. （2） 2x2－13x＝0. （3） 4x2＋20x＋25＝0. 你发现了什么？ 一般地，一元二次方程的根与系数有如下关系： 如果 x ，x 是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根，那么 x ＋x ＝ 1 2 1 2 b c － ； x·x ＝ . 1 2 a a 下面我们来证明这一结论. 设一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（b2－4ac≥0）的两个根为 x ，x ，则 1 2 摇 摇 －b＋姨b2－4ac －b－姨b2－4ac x ＝ ，x ＝ . 1 2a 2 2a 44 数学 八年级下册摇 摇 －b＋姨b2－4ac －b－姨b2－4ac ∴ x ＋x ＝ ＋ 1 2 2a 2a 摇 摇 －b＋姨b2－4ac－b－姨b2－4ac b ＝ ＝－ ； 2a a 摇 摇 －b＋姨b2－4ac －b－姨b2－4ac x·x ＝ · 1 2 2a 2a （－b）2－ 5 姨 摇 b2－4ac "2 4ac c ＝ ＝ ＝ . a 4a2 4a2 例1 设 x ，x 是一元二次方程 5x2－7x－3＝0 的两个根，求 x2＋x2和 1 2 1 2 1 1 ＋ 的值. x x 1 2 解 由一元二次方程的根与系数的关系，得 7 3 x ＋x ＝ ，x·x ＝－ . 1 2 5 1 2 5 57 "2 5 3 " 79 ∴ x2＋x2＝（x ＋x）2－2x·x ＝ －2× － ＝ ； 1 2 1 2 1 2 5 5 25 1 1 x ＋x 7 5 3 " 7 5 5 " 7 ＋ ＝ 1 2 ＝ ÷ － ＝ × － ＝－ . x x x·x 5 5 5 3 3 1 2 1 2 在解决上述这类问题时，利用一元二次方程的根与系数的关系，我们不 必先求出方程的根，给计算带来方便. 例2 已知一个一元二次方程的二次项系数是 3，它的两个根分别是 1 ，1.写出这个方程. 3 解 设这个方程为 3x2＋bx＋c＝0，由一元二次方程根与系数的关系，得 b 1 4 c 1 1 － ＝ ＋1＝ ，解得 b＝－4； ＝ ×1＝ ，解得 c＝1. 3 3 3 3 3 3 所以这个一元二次方程是 3x2－4x＋1＝0. 45 第2章 一元二次方程１． 设x，x分别是一元二次方程的根，填空： 1 2 （1） x2＋3x＋1＝0. x＋x＝摇摇摇 摇摇，x·x＝摇摇摇 摇摇. 1 2 1 2 （2） 2x2－3x－5＝0. x＋x＝摇摇 摇摇摇，x·x＝摇摇摇 摇摇. 1 2 1 2 （3） x2＋px＋q＝0. x＋x＝摇摇 摇摇摇，x·x＝摇摇摇 摇摇. 1 2 1 2 2． 设 x ，x 是一元二次方程 3x2＋2x－1＝0 的两个根，求 x2x ＋xx2 1 2 1 2 1 2 的值. １． 设x，x分别是一元二次方程的根，填空： 1 2 （1） 7x2＋2x－1＝0. x＋x＝摇摇 摇摇摇，x·x＝摇摇 摇摇. 1 2 1 2 （2） 4x2＝11x－2. x＋x＝摇摇 摇摇摇，x·x＝摇摇 摇摇摇. 1 2 1 2 2． 设x，x 是一元二次方程2x2＋6x－3＝0的两个根.求： 1 2 （1）（x－x）2. （2） x 2 ＋ x 1. 1 2 x x 1 2 3． 已知长方形相邻两边长是一元二次方程x2－12x＋9＝0的两个根， 求这个长方形的周长和面积. 4． 已知：x，x 是方程 ax2＋bx＋c＝0（a＞0，b2－4ac≥0）的两个根. 1 2 摇 姨b2－4ac 求证：|x－x|＝ . 1 2 a 5． 已知一个一元二次方程的二次项系数是2，常数项是－14，它的一 个根是－7.写出这个方程. 6． 已知：x，x 是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根. 1 2 求证：ax2＋bx＋c＝a（x－x）（x－x）. 1 2 46 数学 八年级下册一元二次方程的发展小记 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月． 早在公元前 2000 年左 右，为了交换钱币和商品，分配粮食，划分土地，以及挖运河和修堤坝时计算 的需要，居住在底格里斯河和幼发拉底河流域（今伊拉克一带）的巴比伦人已 经能够解一些特殊的一元二次方程． 古希腊数学家丢番图（Ｄｉｏｐｈａｎｔｕｓ，公元 250 年前后）在《算术》中就已提出一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还 没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法求解． 在欧几里得的《原本》中，形如ｘ2＋ａｘ＝ｂ2的方程的图解法是： ａ 如图 2-6，以 和 ｂ 为两直角边作 Ｒｔ△ＡＢＣ，再 Ｃ 2 ａ ａ 在斜边上截取 ＢＤ＝ ，则 ＡＤ 的长就是所求方程的 ｂ 2 2 解．显然，用这个方法只能求出其中的一个正根． Ａ Ｄ Ｂ 阿拉伯人在一元二次方程的发展历程中作出了 图2-6 突出贡献.11 世纪阿拉伯的花拉子米（al-Khwarizmi，约 783～850 年）独立发展 了一套公式用以求方程的正数解，首先提出了方程的一般性解法. 我国是世界上最早研究一元二次方程的国家之一． 在《九章算术》“勾股”章 里就有涉及求方程 ｘ2＋34ｘ－71000＝0 的正根的问题． 三国时期的赵爽（约 182～250 年）对二次方程做出的贡献十分突出， 他巧妙地应用出入相补原理， 从几何图形的直观出发，在《勾股圆方图注》中列出了关于直角三角形三边关系 和由此引申的一系列有关二次方程的命题和结果． 729 年，唐朝天文学家张遂 （又名一行）在他的《大衍历》中，用文字叙述给出了一元二次方程 ｘ2＋ｐｘ＋ｑ＝0 1 （ｐ＞0，ｑ＜0）的求根公式：ｘ＝ （姨ｐ2－4ｑ－ｐ）．宋朝著名数学家杨辉在《田亩 2 比类乘除捷法》（1275 年）一书中，详细记载了一元二次方程的四种解法，里面 包含配方法． 你能验证图 2-6 中 ＡＤ 的长就是方程 ｘ2＋ａｘ＝ｂ2的一个根吗？ 张遂的求根 公式完整吗？ 请用配方法求出 ｘ2＋ｐｘ＋ｑ＝0（ｐ2－4ｑ≥0）的求根公式，并与之 作一比较． 47 第2章 一元二次方程填空． 填表. 1. 方程的两边都是 摇 摇摇摇，只含 学会程度 有一个未知数，并且未知数的最高次数是 技能内容 学 会 基本学会 不 会 摇摇 摇摇次，这样的方程叫做一元二次方程. 用因式分解法解一 元二次方程 2. 一元二次方程的一般形式是 用开平方法解一元 摇摇摇摇摇 摇摇摇， 其中 a，b，c 是已知数，且 二次方程 用配方法解一元二 a≠摇 摇摇摇摇. 次方程 用公式法解一元二 3. 当 摇 摇摇摇 摇≥0 时，一元 次方程 二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的求根公式是 用判别式判别一元 二次方程的根的情 摇摇摇摇 摇摇摇摇. 况 4. 摇摇摇摇 摇摇摇 叫做一元二次 列一元二次方程解 应用题 方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式. 利用一元二次 b2－4ac＞0圳 摇摇 摇摇摇； 方程的根与系数的 关系解决一些代数 b2－4ac摇摇 摇摇0圳方程ax2＋bx＋c＝0 式求值等简单问题 （a≠0）有两个相同的实数根； b2－4ac摇摇 摇摇0圳方程ax2＋bx＋c＝0 （a≠0）没有实数根. 5. 如果 x，x 是一元二次方程 ax2＋ 1 2 bx＋c＝0（a≠0）的两个根，那么 x＋x＝摇摇摇 摇 摇摇摇，x·x＝摇 摇摇摇摇. 1 2 1 2 48 数学 八年级下册●理解一元二次方程的概念． ●了解一元二次方程的一般形式，会辨别一元二次方程的二次项系 2．1节 数、一次项系数和常数项． １． 下列方程中，属于一元二次方程的有 （填题号）． 2 ①2ｘ2－3ｙ－5＝0； ② ｘ2－5＝0； ③ｘ2＝2ｘ； 3 1 ④ ＋4＝ｘ2； ⑤ｙ2-姨2 ｙ－3＝0． ｘ ２． 方程（ｘ－1）2＋5＝（3ｘ＋2）（2ｘ－3）化为一般形式是 ， 其中二次项是 ，二次项系数是 ；一次项是 ， 一次项系数是 ；常数项是 ． 1 ３． 已知一元二次方程2ｘ2－ｍｘ－ｍ＝0的一个根是－ .求ｍ的值和 2 方程的另一个根． ●会用因式分解法、开平方法、配方法、公式法解一元二次方程． ４． 方程（ｘ＋2）2－9＝0的根是 ． 2．2节 ５． 方程3ｘ2＝16ｘ的根是 ． 2 ６． 方程 ｘ2＝14的根是 ． 7 ７． 用配方法解下列方程： （1） ｘ2＋4ｘ＋3＝0. （2） 2ｘ2＋7ｘ－4＝0． ８． 选择适当的方法解下列方程： （1） 2（ｘ－2）2＝18. （2） 2ｘ（ｘ－3）＋ｘ＝3. （3） ｘ2－2ｘ－15＝0. （4） 4（ｘ－1）2＝9（ｘ－5）2. （5） ｘ2－2姨7 ｘ＋7＝0. （6） 2ｘ2－ｘ－6＝0. 3 （7） ｘ2－7ｘ＋2＝0. （8） ｘ2－ｘ－2＝0． 2 ９． 解方程：（ｘ－3）2＝（2ｘ－1）（ｘ＋3）． 49 第2章 一元二次方程●能用一元二次方程的根的判别式判别方程的根的情况. ●了解一元二次方程的根与系数的关系. 2．2节 2．4节 １０． 利用一元二次方程的根的判别式判别下列方程根的情况： （1） x2＋9x＋20＝0. （2） 5x2－4x＋1＝0. （3） 4x2－4姨 摇 3 x＋3＝0. １1． 设x，x是方程2x2－3x－5＝0的两个根.利用根与系数的关系，求 1 2 1 1 $2 1 & 1＋ 1＋ 的值. x x 1 2 １2． 已知 x ，x 是方程 3x2－7姨 摇 3 x＋1＝0 的两个根， 求 x3x ＋xx3 1 2 1 2 1 2 的值. 1 １3． 写出二次项系数为5，以x＝－3，x＝ 为根的一元二次方程. 1 2 5 １4． 求一个一元二次方程，使它的两根分别为2＋姨 摇 3 ，2－姨 摇 3 . １5． 已知方程3x2＋kx－2＝0的一个根为2，求它的另一根及k的值. ●会用一元二次方程解决简单的实际问题． ●体会方程在现实生活中的具体应用． 2．3节 １6． 有一张长方形桌子的桌面长 100ｃｍ， 宽60ｃｍ．有一块长方形台布的面积是 桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时， 各边垂下的长度相等． 求台布的长和 宽（精确到１ｃｍ）． １7． 某种音乐播放器MP3原来每只售价400元， 经过连续两次降价 后，现在每只售价为256元.求平均每次降价的百分率. １8． 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元． 为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措 施． 经调查发现，每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2件．若商场每天要盈利 1200 元，请你帮助商场算一算，每件衬 衫应降价多少元？ 50 数学 八年级下册１9． 把一个足球垂直地面向上踢，ｔ（秒）后该足球的高度 ｈ（米）适用 公式ｈ＝20ｔ－5ｔ2． （1） 经多少秒后足球回到地面？ （2） 经多少秒时球的高度为15米？ 20． 一高尔夫球手某次击出一个高尔夫 球的高度 ｈ（ｍ）和经过的水平距 离 ｄ（ｍ）可用公式 ｈ＝ｄ－0郾01ｄ2来 估计． （1） 当球的水平距离达到50ｍ时，球 上升的高度是多少？ （2） 当球的高度第一次达到16ｍ时， 球的水平距离是多少？ 21． 某租赁公司拥有汽车100辆．据统计，当每辆车的月租金为3000 元时，可全部租出．每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将 增加1辆．租出的车每辆每月的维护费为150元，未租出的车每辆 每月只需维护费50元． （１） 当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆？ （2） 当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金 收入扣除维护费）可达到306600元？ 22． 一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比 赛 1局），参赛者少于10人.关于比赛的总局数有以下两种不同 的说法：一种是说比了 28 局；另一种说法是比了 24 局.如果比 赛中没有人中途退出，你认为哪一种说法正确？如果有一人中途 退出比赛呢？ 请说明理由. 51 第2章 一元二次方程在许多大型的文艺比赛中，统计评委的评分时，为什么要去掉一 个最高分和一个最低分？ 三峡工程是世界最大的水利枢纽工程. 如果我们获得大坝下 闸蓄水前后8个地点的水位海拔，我们可以用什么统计量来说明大 坝下闸蓄水后长江出现“高峡出平湖”的景象？ 本章将学习平均数、中位数、众数、方差和标准差等内容． 通过 本章的学习，我们将对数据的作用有更多的认识，能够对统计的结果 作出判断和预测.3·1平均数 水果在收获前，果农常会先估计果园里果树的产量.你认 为可以怎样估计呢？ 某果农种植的 100 棵苹果树即将收获． 果品公司在付给果农定金 前，需要估计这些苹果树的总产量． （1） 果农随机摘下 20 个苹果，称得总质量为 4 千克．这 20 个苹果的 平均质量是多少千克？ （2） 果农从 100 棵苹果树中随机选出 10 棵，数出每棵树上的苹果个 数，得到以下数据（单位：个）： 154， 150， 155， 155， 159， 150， 152， 155， 153， 157． 你能估计出平均每棵树的苹果个数吗？ （3） 根据上述两个问题，你能估计出这 100 棵苹果树的总产量吗？ 1 一般地，有ｎ个数ｘ，ｘ，…，ｘ，我们把 （ｘ＋ｘ＋…＋ｘ）叫做这 ｎ个数的 1 2 ｎ 1 2 ｎ ｎ 算术平均数（ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃ ｍｅａｎ），简称平均数（ｍｅａｎ），记做 ｘ（读做“ｘ拔”）． 在生活实际中，常用样本的平均数来估计总体的平均数． 例如，在上面 的例子中，用 20 个苹果的平均质量（0．2 千克）来估计 100 棵苹果树上苹果 的平均质量，用 10 棵苹果树的平均苹果个数（154 个）来估计 100 棵苹果树 的平均苹果个数． 某中学足球队20名队员的身高如下（单位：ｃｍ）： 170， 167， 171， 168， 160， 172， 168， 162， 172， 169， 164， 174， 169， 165， 175， 170， 165， 167， 170， 172． 计算这20名队员的平均身高． 54 数学 八年级下册例1 统计一名射击运动员在某次训练中 15 次射击的中靶环数，获得 如下数据： 6， 7， 8， 7， 7， 8， 10， 9， 8， 8， 9， 9， 8， 10， 9． 求这次训练中该运动员射击的平均成绩． 解 成绩为 6 环的数据有 1 个，7 环的数据有 3 个，8 环的数据有 5个，9 环的数据有 4 个，10 环的数据有 2 个， 所以该运动员各次射击的平 均成绩为 6×1＋7×3＋8×5＋9×4＋10×2 123 ｘ＝ ＝ ＝8．2（环）． 1＋3＋5＋4＋2 15 答：这次训练中该运动员射击的平均成绩为 8．2 环． 6×1＋7×3＋8×5＋9×4＋10×2 上例中，ｘ＝ 这种形式的平均数叫做 1＋3＋5＋4＋2 加权平均数（ｗｅｉｇｈｔｅｄ ｍｅａｎ），其中 1，3，5，4，2 表示各相同数据的个数，称 为权（ｗｅｉｇｈｔ）．“权”越大，对平均数的影响就越大． 加权平均数的分母恰好 为各权的和． 例2 某校在一次广播操比赛中，801 班，802 班，803 班的各项得分 如表 3-1. 表3-1 服装统一 动作整齐 动作准确 801班 80 84 87 802班 98 78 80 803班 90 82 83 （1） 如果根据三项得分的平均数从高到低确定名次，那么三个班的排 名顺序怎样？ （2） 如果学校认为这三个项目的重要程度有所不同，而给予“服装统 一”“动作整齐”“动作准确” 三个项目在总分中所占的比例分别为 15％， 35％，50％，那么三个班的排名顺序又怎样？ 解 （1） 这三个班三项得分的平均数分别为： 1 ｘ ＝ （80＋84＋87）≈83．7（分）； １ 3 55 第3章 数据分析初步1 ｘ ＝ （98＋78＋80）≈85．3（分）； 2 3 1 ｘ ＝ （90＋82＋83）＝85（分）. 3 3 答：这三个班的排名顺序为 802 班，803 班，801 班. （2） 为了反映“服装统一”“动作整齐”“动作准确”各项目不同的重要 程度，通常我们按以下方式计算这三个班得分的平均数. ｘ′ ＝80×15％＋84×35％＋87×50％＝84．9（分）； 1 ｘ′ ＝98×15％＋78×35％＋80×50％＝82（分）； 2 ｘ′ ＝90×15％＋82×35％＋83×50％＝83．7（分）． 3 答：这三个班的排名顺序为 801 班，803 班，802 班． １． 某公司6名员工在一次义务募捐中的捐款额为（单位：元）： 50， 30， 50， 60， 50， 30． 这6名员工的平均捐款额是多少？ 你能否用两种不同的方法计算 结果？ ２． 某校学生的数学期末总评成绩由参与数学活动、作业、期末考试成 绩三部分组成，各部分所占比例如图所示. 小明参与数学活动、作业 和期末考试得分依次为84分、92分、88分，则小明的数学期末总评 成绩是多少？ 数学期末总评成绩各部分所占比例的统计图 参与数 作业 学活动 25％ 35％ 40％ 期末考试成绩 （第2题） 56 数学 八年级下册１． 为了解八年级三班学生的血色素平均水平， 任意抽取了8名学生 的血样进行血色素检测，测得结果如下（单位：ｇ/Ｌ）： 138， 125， 106， 110， 147， 124， 136， 122． 这8名学生血色素的平均数为 ｇ/Ｌ． ２． 某校5个小组参加植树活动，平均每组植树10株．已知第一、二、三、 五组分别植树9株、12株、9株、8株，那么第四小组植树（ ） （Ａ） 12株． （Ｂ） 11株． （Ｃ） 10株． （Ｄ） 9株． ３． 某住宅小区6月1日～6月5日每天用水量变化情况如图所示，那 么这5天平均每天的用水量是 立方米. 某住宅小区6月1日～6月5日用水量统计图 用水量（立方米） 36 34 32 30 28 0 1 2 3 4 5 日期 （第3题） ４． 一次中学生田径运动会上，男子跳高项目的成绩统计如下： 成绩（ｍ） 1．50 1．55 1．60 1.65 1.70 人数 2 8 6 4 1 这次男子跳高项目的平均成绩是多少（精确到0.01m）？ ５． 某地共有62家供应快餐的饭店．环保部门为了了解这些饭店一天 共用了多少个一次性快餐饭盒，随机抽取其中8家饭店，调查一天 使用一次性快餐饭盒的个数，获得以下数据（单位：个）： 125， 115， 140， 270， 110， 120， 100， 140． （1） 这8家饭店平均每家一天使用一次性快餐饭盒多少个？ （2） 估计这62家饭店一天共使用一次性快餐饭盒的个数． ６． 某商场用加权平均数来确定什锦糖的单价．由单价为每千克15元 的甲种糖果30千克，单价为每千克12元的乙种糖果50千克，单 价为每千克10元的丙种糖果 20 千克混合成的什锦糖果的单价 应定为每千克多少元？ 57 第3章 数据分析初步7． 我国从2008年6月1日起执行“限塑令”“. 限塑令”执行前，某社区 居委会随机调查了10户家庭平均每月使用塑料袋的数量，结果如 下（单位：只）： 65， 70， 85， 75， 85， 79， 74， 91， 81， 95. （1） 计算这10户家庭每个家庭月均使用塑料袋的只数. （2）“限塑令”执行后，家庭月使用塑料袋数量预计将减少50％，根 据上面的计算结果，估计该社区1000户家庭月均使用塑料袋 可减少多少只. 3·2中位数和众数 老师带着一群幼儿园小朋友在公园里玩游戏，他们的年龄分 别是（岁）：39，5，6，6，5，6，5，6，6，6.能用平均数表示这一群体的年 龄特征吗？ 我们除了用平均数来刻画一组数据外，还常用众数和中位数． 一组数据 中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数（ｍｏｄｅ）． 将一组数据按从 小到大（或从大到小）的顺序排列，位于最中间的一个数据（当数据个数为 奇数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数为偶数时）叫做这组数 据的中位数（ｍｅｄｉａｎ）． 例如，节前语的一组数据，其众数是 6 岁，中位数是 6＋6 ＝6（岁）． 2 1． 求下面数据的平均数、中位数和众数． 8， 10， 10， 13， 13， 13， 14， 15， 17， 18． ２．（1） 在一组数据1，0，4，5，8中加入一个数ｘ，使加入ｘ后这组数据 的中位数为3，则ｘ＝ ． 58 数学 八年级下册（2） 某学校八年级有四个绿化小组，在植树节这天种下柏树的棵数 如下：10，10，x，8.若这组数据的众数和平均数相等，那么它们 的中位数是摇摇 摇摇摇棵. 例 某工程咨询公司技术部门员工一月份的工资报表如下（单位：元）. 表3-2 技术部 总工 工程 技术 技术 技术 技术 技术 技术 技术 见习 门员工 程师 师 员Ａ 员Ｂ 员Ｃ 员Ｄ 员Ｅ 员Ｆ 员Ｇ 生H 工资 10000 6000 4000 4000 3000 2800 2800 2800 2400 800 （1） 求该公司技术部门员工一月份工资的平均数、中位数和众数. （2） 作为一般技术员，若考虑应聘该公司技术部门工作，该如何看待 工资情况？ 1 解 （1） ｘ＝ （10000＋6000＋4000＋4000＋3000＋2800×3＋2400＋ 10 800）＝3860（元）． 将员工的工资数按从大到小的顺序排列后，中间两个数是 3000， 1 2800，所以中位数是 （3000＋2800），即工资的中位数是 2900 元． 2 员工的工资数中，出现次数最多的是 2800元，所以众数是 2800元． （2） 虽然该技术部门员工一月份的月平均工资是 3860 元，但它不能 代表普通员工该月收入的一般水平． 如果除去总工程师、见习生的工资，那 么其余 8 人的平均工资为 3475 元，比较接近这组数据的中位数和众数． 因 此，如果你是一名普通技术人员，你可根据该部门员工工资的中位数和众 数来考虑是否应聘． 从这个例子中我们看到，在一组存在极端值（如 10000，800）的数据中，用中位数或众数作为表示这组 数据特征的统计量有时会更贴近实际． 在歌手大奖赛中， 去掉一个最高分和一 平均数、中位数和众数都是数据的代表，它们从不 个最低分后，将剩下分 数的平均数作为这位 同侧面反映了数据的集中程度， 但也存在各自的局限 歌手的最后得分，为什 性． 如平均数容易受极端值的影响；众数、中位数不能 么？ 充分利用全部数据信息． 59 第3章 数据分析初步１． 某风景区在“十一”黄金周期间，每天接待的旅游人数统计如下表. 日期 10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日 人数 1．2 2 2．5 2 1．2 2 0．6 （万人） 表中表示人数的一组数据中，众数和中位数分别是（ ） （Ａ） 1．2万，2万． （Ｂ） 2万，2．5万． （Ｃ） 2万，2万． （Ｄ） 1．2万，2．5万． 2． 某工厂第一车间有工人15人，每人日均加工螺杆数统计如图. 该车 间工人日均加工螺杆数的中位数和众数分别是多少？ 若要从平均 数、中位数、众数中选一个作为该车间工人日生产定额，超额部分给 予奖励.为鼓励大多数工人，你认为选哪一个统计量比较合适？ 第一车间工人日均生产能力的统计图 人数 10 6 5 4 4 1 0 10 12 14 16 日均加工螺杆数（个） （第2题） １． 数据2，4，4，5，3，9，4，5，1，8的众数是 ， 中位数是 ， 平均数是 ． ２．（1） 在演唱比赛中，评委给一名歌手的打分如下（单位：分）： 9．73， 9．66， 9．83， 9．76， 9．86， 9．79， 9．85， 9．68， 9．86， 9．74． 去掉一个最高分和一个最低分，这名歌手的最后得分（平均 数）是 ． （2）某班七个兴趣小组人数分别为3，3，4，x，5，5，6.已知这组数据 的平均数是4，则这组数据的中位数是 ． 60 数学 八年级下册3． 据调查，某班30名学生所穿鞋子鞋号统计如下： 鞋号 20 21 22 23 24 频数 1 7 6 15 1 求该班学生所穿鞋子鞋号的平均数（精确到0．01）、中位数和众数． 4． 上海世博会自2010年5月1日开幕， 到10月31日闭幕， 共历时 184天． 根据统计图求5月11日～5月20日每天入园人数的众数 和中位数. 2010年5月11日～5月20日上海世博会入园人数统计图 人数（万） 40 35 34 30 29 30 26 25 22 24 24 24 20 18 18 15 10 5 日期 0 11日 12日 13日14日 15日16日 17日 18日19日 20日 （第4题） 5． 某校元旦文艺演出中，10位评委给某个节目打分如下（单位：分）： 7．20， 7．25， 7．00， 7．10，9．50， 7．30， 7．20， 7．20， 6．10， 7．25． （1） 该节目得分的平均数，中位数和众数． （2） 在平均数、中位数、众数这三个统计量中，你认为哪一个统计量 比较恰当地反映了该节目的水平？ 请你设计一个能较好反映 节目水平的统计方案． 61 第3章 数据分析初步3·3方差和标准差 如果要选拔射击手参加射击比赛， 应该挑选测试成绩中 曾达到最好成绩的选手，还是成绩最稳定的选手？ 甲、乙两人的测试成绩统计如下： 表3-3 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲命中环数 7 8 8 8 9 乙命中环数 10 6 10 6 8 （1） 分别算出甲、乙两人的平均成绩. （2） 根据这两人的成绩，在图 3-1中画出折线统计图. （3） 现要从甲、乙两人中挑选一人参加比赛，你认为挑选哪一位比较 适宜？ 为什么？ 甲、乙两人射击成绩的折线统计图 成绩（环） 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5 射击次序 图3-1 甲、乙两人的平均成绩相同，但是甲每次的射击成绩都接近平均数 8， 而乙每次的射击成绩偏离平均数较大． 在评价数据的稳定性时， 我们通常 将各数据偏离平均数的波动程度作为指标． 现在我们来计算甲、乙两人每次射击成绩与平均成绩的偏差的平 方和． 62 数学 八年级下册甲：（7－8）2＋（8－8）2＋（8－8）2＋（8－8）2＋（9－8）2 ＝2； 如果直接计算甲、 乙：（10－8）2＋（6－8）2＋（10－8）2＋（6－8）2＋（8－8）2 乙每次射击成绩与平 均数的偏差的和，结果 ＝16． 如何？ 你发现了什么？ 容易看出，上述各偏差的平方和的大小还与射击的次数有关． 所以我们 可进一步用各偏差平方的平均数来衡量数据的稳定性． 一般地，各数据与平均数的差的平方的平均数 1 Ｓ2＝ ［（ｘ －ｘ）2＋（ｘ －ｘ）2＋…＋（ｘ －ｘ）2］ ｎ 1 2 ｎ 叫做这组数据的方差（ｖａｒｉａｎｃｅ）． 方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定． 例 为了考察甲、乙两块地小麦的长势，分别从中抽出 10 株苗，测得 苗高如下（单位：ｃｍ）： 甲：12， 13， 14， 15， 10， 16， 13， 11， 15， 11； 乙：11， 16， 17， 14， 13， 19， 6， 8， 10， 16． 哪块地小麦长得比较整齐？ 1 解 ｘ ＝ （12＋13＋14＋15＋10＋16＋13＋11＋15＋11）＝13（ｃｍ）； 甲 10 1 ｘ ＝ （11＋16＋17＋14＋13＋19＋6＋8＋10＋16）＝13（ｃｍ）． 乙 10 1 Ｓ2＝ ［（12－13）2＋（13－13）2＋（14－13）2＋（15－13）2＋（10－13）2 甲 10 ＋（16－13）2＋（13－13）2＋（11－13）2＋（15－13）2＋（11－13）2］ ＝3．6（ｃｍ2）； 1 Ｓ2＝ ［（11－13）2＋（16－13）2＋（17－13）2＋（14－13）2＋（13－13）2 乙 10 ＋（19－13）2＋（6－13）2＋（8－13）2＋（10－13）2＋（16－13）2］ ＝15．8（ｃｍ2）． 因为Ｓ2＜Ｓ2，所以甲这块地的小麦长得比较整齐． 甲 乙 63 第3章 数据分析初步一般地，一组数据的方差的算术平方根 1 Ｓ＝姨 ［（ｘ －ｘ）2＋（ｘ －ｘ）2＋…＋（ｘ －ｘ）2］ 1 2 ｎ ｎ 称为这组数据的标准差（ｓｔａｎｄａｒｄ ｄｅｖｉａｔｉｏｎ）． 上例中，两个标准差分别是： Ｓ ＝姨3．6≈1．90（ｃｍ）；Ｓ ＝姨15．8≈3．97（ｃｍ）． 甲 乙 1． 数据－2，－1，0，3，5的方差是 ，标准差是 （精确到0．01）． 杭州市某天气温统计图 2． 如图是小强同学根据杭州 温度（℃） 22.5 市某天上午和下午各四个 22 整点时的气温绘制成的折 21 20 线统计图. 根据该统计图 19 回答：该天上午和下午的 18.5 18 气温哪个更稳定？ 时间（时） 答： ； 0 91011121314151617 理由是 . （第2题） 已知数据99，97，96，98，95，把这组数据的每个数都减去97，得到一组新数 据．将这两组数据画成折线图， 并用一条平行于横轴的直线来表示这两组数据 的平均数．观察你画的两个图形，你发现了哪些有趣的结论？ 数据 数据 100 3 99 2 98 1 97 0 96 －1 数据 数据 95 －2 序号 序号 94 －3 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 图3-2 图3-3 64 数学 八年级下册１．（1） 已知一组数据－1，2，0，－3，－2，3，0，1.计算这组数据的方差 和标准差（精确到0．1）. （2） 已知一组数据1，3，2，5，ｘ的平均数是3，求这组数据的方差和标 准差． 2． 小明和小聪最近5次数学测验的成绩如下： 小聪：76， 84， 80， 87， 73； 小明：78， 82， 79， 80， 81. 哪位同学的数学成绩比较稳定？ 3． 某果园实验基地种植了甲、乙两个品种的葡萄树各100棵，到了收 获季节,为了分析收成情况，工作人员随机从甲、乙两品种的葡萄树 中各采摘了四棵，每棵的产量如下统计表.试通过计算说明，哪个品 种的葡萄产量较稳定. 甲、乙两品种葡萄产量统计表 ① ② 譻訛 訛譼 甲品种产量（千克） 25 18 20 17 乙品种产量（千克） 18 20 24 18 ４． 甲、乙两人加工同一种直径为10.00mm的零件，现从他们加工好 的零件中各抽取6个，量得它们的直径如下（单位：mm）： 甲：9.98， 10.02， 10.00， 10.00， 10.01， 9.99； 乙：10.00， 10.03， 10.00， 9.97， 10.10， 9.90. 根据上述数据，你认为如何评价两人的加工质量？ ５． 已知一组数据ｘ，ｘ，ｘ，把每个数据都减去2，得到一组新数据ｘ′＝ 1 2 3 1 ｘ －2，ｘ′＝ｘ－2，ｘ′＝ｘ－2． 1 2 2 3 3 （1） 这两组数据的平均数有什么关系？ （2） 这两组数据的方差相等吗？为什么？由此你能得到怎样的一般 规律？ 65 第3章 数据分析初步数据分析应用举例 平均数、中位数、众数描述一组数据的集中程度，方差、标准差描述一组数 据的离散程度．在实际生活中，我们不仅关注数据的集中程度，也关注数据的 离散程度，在数据分析时要合理选择和恰当运用． 例1 车间有15名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如下： 表3-4 生产零件的个数（个） 6 7 8 9 10 11 13 15 16 工人人数（人） 1 2 4 1 2 1 1 2 1 为了提高工作效率和工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超 产有奖”的措施．如果你是管理者，你将如何确定这个定额？ 分析 管理者所确定的定额应该是大多数工人经过努力能够完成的生产 零件个数． 定额太低，不利于提高效率；定额太高，不利于提高积极性，因此我 们可以从平均数、中位数、众数这几个统计量中考虑如何确定定额． 解 15名工人这一天生产的机器零件的平均个数是 6×1＋7×2＋8×4＋9×1＋10×2＋11×1＋13×1＋15×2＋16×1 ｘ＝ 15 ≈10．1（个）． 如果以平均个数“10”作为定额，那么将有 8 名工人 可能完不成任务，因此不可取． 在实际情境中， 工人生产零件个数的中位数是 9个． 如果以中位数 车间管理者在决策 时可能还需要考虑 “9”作为定额，那么可能有 7名工人完不成任务． 其他一些因素，如 工人生产零件个数的众数是 8个． 如果以众数“8” 技术的更新、工人素 质的提高等. 作为定额， 那么大多数工人都能完成或超额完成任务， 有利于调动工人的积极性．因此可以把定额确定为 8个． 例2 某公司计划从两家皮具生产能力相近的制造厂选择一家来承担外 销业务．这两家厂生产的皮具款式和材料都符合要求，因此只需要检测皮具质 量的克数是否稳定．现从两家提供的样品中各抽查 10 件， 测得它们的质量如 下（单位：ｇ）： 66 数学 八年级下册甲厂：500， 499， 500， 500， 503， 498， 497， 502， 500， 501； 乙厂：499， 500， 498， 501， 500， 501， 500， 499， 500， 502. 你认为哪一家生产的皮具的质量比较稳定？ 1 解 ｘ ＝ （500＋499＋500＋500＋503＋498＋497＋502＋500＋501） 甲 10 ＝500（ｇ）； 1 ｘ ＝ （499＋500＋498＋501＋500＋501＋500＋499＋500＋502） 乙 10 ＝500（ｇ）． 可见两厂家生产的皮具的平均质量都是 500ｇ． 1 Ｓ2＝ ［（500－500）2＋（499－500）2＋（500－500）2 甲 10 ＋（500－500）2＋（503－500）2＋（498－500）2＋（497－500）2 ＋（502－500）2＋（500－500）2＋（501－500）2］ ＝2．8（ｇ2）； 1 Ｓ2＝ ［（499－500）2＋（500－500）2＋（498－500）2 乙 10 ＋（501－500）2＋（500－500）2＋（501－500）2＋（500－500）2 ＋（499－500）2＋（500－500）2＋（502－500）2］ ＝1．2（ｇ2）． 因为Ｓ2＞Ｓ2，所以乙厂制造的皮具的质量比较稳定． 甲 乙 1. 开机，进入统计功能： . 2. 选择单变量统计计算功能： . 3. 依次输入甲厂的数据，如500，499，500，500，503，498，497，502，500，501，输入完成后按 键. 4. 求方差： ，得滓2x＝2.8. 5. 类似的，依次输入乙厂的数据，得乙厂数据的方差为滓2x＝1.2. 6. 根据计算器屏幕提供的选项，还可以计算数据的平均数x等特征数. 试一试： 1． 用某型号的全自动磨床加工一批零件内孔，零件内径合格尺寸是（单位： 毫米）：10．000≤ΦＤ≤10．010，质检员每隔一定时间抽取 20 件进行检测． 除要求每件都符合合格尺寸外，还要求样本方差Ｓ2≤4．5×10－6（ 单位： 平方毫米）． 如果 Ｓ2＞4．5×10－6， 就要停机调试． 现测得 20 件零件的内 径数据如下： 67 第3章 数据分析初步内径（毫米） 10．001 10．002 10．003 10．004 10．005 10．006 10．007 10．008 10．010 件数 1 3 2 2 3 4 2 2 1 请你分析是否需要停机调试． 2． 某工艺品厂草编车间共有 16 名工人，调查每个工人的日均生产能力，获 得数据如下表： 日均生产能力（件） 10 11 12 13 14 15 人数 1 3 5 4 2 1 （1） 求这 16名工人日均生产件数的平均数、众数、中位数. （2） 若要使占75％的工人都能完成任务，应选什么统计量（平均数、中位 数、众数）作日生产件数的定额？ 为了了解学校各年级男、女生在身高方面的 差别，你认为应怎样抽样并获取数据？ 对所得数 据应计算哪些统计量（如平均数、中位数、众数、 方差、标准差等）？ 以 4～6 人为一组，先设计一个方案，选择某 一年级进行收集数据，再作必要的整理和分析，并 写一份书面报告.要求报告中包括以下内容：介绍所作抽样、调查、统计的具体过 程，并阐述所选择年级男、女生身高的差别和得到该结论的依据. 68 数学 八年级下册填空． 填表. 1． 如果有ｎ个数 ｘ，ｘ，…，ｘ，我们把 1 2 ｎ 学会程度 叫做这ｎ个数的算术平均 技能内容 学 会 基本学会 不 会 数，简称平均数． 求一组数据的平均 一组数据按从小到大（或从大到小）的 数、加权平均数 顺序排列，位于最中间的一个数据（当数 求一组数据的中位 据个数为奇数时）或最中间两个数据（当数 数和众数 据个数为偶数时）的平均数叫做这组数据 求一组数据的方差 和标准差 的 ． 各种统计量的简单 一组数据中出现次数最多的那个数 实际应用 据，叫做这组数据的 ． 2． 各数据与平均数的差的平方的平 均数 Ｓ2＝ ，叫做这 组数据的 ． 方差越大，说明数据的 波动 ． 方差的算术平方根Ｓ＝ ， 叫做这组数据的 ． 69 第3章 数据分析初步●理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，了解它们是数 据集中趋势的描述． 3．1节3．2节 ●能解释统计的结果，根据结果作出简单的判断和预测，并能进行交流． ●知道可以通过样本的平均数来估计推断总体的平均数． 1． 某班30名学生的身高情况如下表： 身高（m） 1．45 1．48 1．50 1．53 1．56 1．60 人数 2 5 6 8 5 4 这30名学生的平均身高是 ． 2． 某小组6名同学的英语口试成绩（满分30分）依次为：25，23，25，27， 30，25，这组数据的中位数是 ，众数是 . 3． 已知5个正数a，a，a，a，a 的平均数是a， 且a＞a＞a＞a＞a， 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 则数据a，a，a，0，a，a 的平均数和中位数是（ ） 1 2 3 4 5 a＋a 5 a 5 a＋a （A） a，a. （B） a， 3 4. （C） a， 3. （D） a， 3 4. 3 2 6 2 6 2 4． 某班随机抽查5名同学，请他们分别记录自己家中一周内丢弃的塑料 袋的数量，结果如下（单位：个）： 33， 25， 28， 26， 23． 如果该班有45名学生， 估计一周内该班全体同学家中丢弃的塑料 袋数量． 5． 对一种环保电动汽车性能抽测， 获得如下的条形统计图.根据统计 图估计被抽检电动汽车一次充电后平均里程数（精确到0.1千米）. 某电动汽车一次充电后能行里程的统计图 电动汽车（辆） 25 20 20 16 15 14 12 10 10 5 4 4 一次充电后行 驶里程（千米） 0 150 155 160 165 170 175 180 （第5题） 70 数学 八年级下册6． 某商贸公司10名销售员上月完成的销售额情况如下： 销售额（万元） 3 4 5 6 7 8 10 销售员人数 1 3 2 1 1 1 1 （1） 求销售额的中位数、众数，以及平均每人完成的销售额. （2） 如果以销售额的中位数作为每月定额任务指标，那么没有完成 定额任务的销售员有多少人？ 若以销售额的众数作定额任务 指标呢？ ●了解方差、标准差的概念． 会计算简单数据的方差，体会刻画数据离 散程度的意义． 3．3节 ●知道可以通过样本的方差来推断总体的方差． 能解释统计结果，根 据结果作出简单的判断和预测，并进行交流. 7． 已知样本数据1，2，4，3，5，下列说法不正确的是（ ） （A） 平均数是3. （B） 中位数是4. （C） 标准差是姨 摇 2 . （D） 方差是2. 8． 从一个养鸡场里任意抽取 5只鸡，称得它们的质量如下（单位：千 克）：3．0，3．4，3．1，3．3，3．2． 这组数据的方差Ｓ2＝ ． 9． 某校从甲、乙两名优秀选手中选一名参加全市中小学生运动会的男 子 100 米跑项目，该校预先对这两名选手测试了 8 次，测试成绩 如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 甲的成绩（秒） 12 12．3 13 12．9 13．1 12．5 12．4 12．6 乙的成绩（秒） 12．1 12．4 12．8 13 12．2 12．７ 12．3 12．5 为了衡量这两名选手100米跑的水平，你认为可进行怎样的数据分析？ 10． 如图为Ａ，Ｂ两家酒店去年下半年的月营业额折线统计图． Ａ，Ｂ两酒店7～12月月营业额的折线统计图 月营业额（百万元） 4 Ａ酒店： 4 3．5 3 3．6 Ｂ酒店： 2．7 3 2．2 2 2 1．6 1 1．7 1．8 1．7 1 0 7 8 9 10 11 12 月份 （第10题） 71 第3章 数据分析初步（1） 要评价两家酒店7～12月的月营业额的平均水平，你选择什么 统计量？求出这个统计量. （2） 分别求出两家酒店7～12月月营业额的方差. （3） 根据（1），（2）两题的结果和折线统计图，你认为哪家酒店经营 状况较好？请简述理由. ●能综合运用统计知识解决一些简单的实际问题． １1． 在学校组织的知识竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为 A，B，C，D 四个等级， 其中相应等级的得分依次记为 100 分，90 分，80分，70分， 学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如 下的统计图. 一班竞赛成绩统计图 二班竞赛成绩统计图 人数 12 12 D级 10 16％ 8 Ａ级 6 6 5 Ｃ级 44％ 4 36％ 2 2 0 A B C D 等级 Ｂ级4％ （第11题） 请你根据以上提供的信息解答下列问题： （1） 此次竞赛中，一班成绩在C级以上（包括C级）的人数为摇 摇摇摇. （2） 将表格补充完整. 成绩 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 班级 一班 87.6 90 二班 87.6 100 １2． 为了了解八年级学生的课外阅读情况，学校随机调查了该年级25 名学生，得到他们上周双休日课外阅读时间（记为t，单位：时）的一 组样本数据，其扇形统计图如图所示. 八年级25名学生双休日课外阅读时间的统计图 t＝6 t＝1 t＝5 8％ 12％ t＝2 12％ 16％ ？ 24％ t＝4 t＝3 （第12题） 72 数学 八年级下册（1） 阅读时间为4小时的占百分之几？ （2） 试确定这个样本的中位数和众数，并求出平均数. １3． 世界最大的水利枢纽三峡工程， 在2003年5月31日大坝下闸蓄 水前，大坝库区内的巴东、巫山、万县等8个地点的水位的海拔分 别为（m）： 103．30，103．35，103．58，104．33，109．27，124．40，141．75，150．30． 而在6月1日下闸后半月内上述地点的水位的海拔分别为（m）： 135，138，140，142，147，150，162，172． （1） 分别求出上述两组数据的平均数、方差和标准差（精确到 0．01m）. （2） 利用什么统计量可以说明大坝下闸蓄水后长江出现“高峡出 平湖”的景象？ 这种景象在下闸前后有哪些主要的变化？ 73 第3章 数据分析初步为什么可伸缩的机械装置与器具多采用平行四边形的结构？ 如图，Ｄ，Ｅ分别是ＡＢ，ＡＣ的中点．你能说明为什么只要量出ＤＥ的 长，就能求出Ｂ，Ｃ两地的距离吗？ 本章将学习多边形，平行四边形的定义、性质、 判定及其应用，以及反证法等有关知识． Ｃ Ｂ Ｅ Ｄ Ａ4·1多边形 4 1 3 2 2 2 3 1 3 1 4 能用全等的任意四边形纸片既不重叠、又不留空隙地组成一幅 4 4 1 3 镶嵌图吗？ 为什么？ 2 如图 4-1，在同一平面内，由任意两条都不在同 边 一条直线上的若干条线段（线段的条数不小于 3）首 对 角 尾顺次相接形成的图形叫做多边形（polygon）髴． 组 顶点 线 内 成多边形的各条线段叫做多边形的边. 角 外角 边数为 3 的多边形叫三角形，边数为 4 的多边 图4-1 形叫四边形.类似地，边数为 5 的多边形叫五边形……边数为 n 的多边 形叫 n 边形（n 为正整数，且 n≥3）. 如图4-1，多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形一边的延 长线与相邻的另一边所组成的角叫做多边形的外角.多边 Ｄ 形每一个内角的顶点叫做多边形的顶点. 连结多边形不 Ａ 相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 说出如图 4-2 所示的四边形 ＡＢＣＤ 的各条边和各个 Ｂ Ｃ 内角，并画出各条对角线和任意一个外角. 图4-2 在纸上任意画一个四边形，剪下它的四个角，把 它们拼在一起（四个角的顶点重合）． 你发现了什么？ 其他同学与你的发现相同吗？ 你能把你的发现概括成 一个命题吗？ 你能证明这个命题吗？ 髴本套教科书所说的多边形，都指凸多边形（convex polygon），即多边形的各条边都在任意一条边所在直线的同一侧． 76 数学 八年级下册四边形有以下的定理： Ｄ 四边形的内角和等于 360°． Ａ 已知：四边形 ＡＢＣＤ． 求证：∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠Ｄ＝360°． Ｂ Ｃ 证明 如图 4-3，连结 ＢＤ． 图4-3 ∵ ∠Ａ＋∠ＡＢＤ＋∠ＡＤＢ=180°， ∠Ｃ＋∠ＣＢＤ＋∠ＣＤＢ＝180°， ∴ ∠Ａ＋∠ＡＢＤ＋∠ＡＤＢ＋∠Ｃ＋∠ＣＢＤ＋∠ＣＤＢ 你还有其他证明 ＝180°＋180°＝360°， 方法吗？ 即∠Ａ＋∠ＡＢＣ＋∠Ｃ＋∠ＣＤＡ＝360°． 例1 如图4-4，四边形风筝的四个内角∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ， Ａ ∠Ｄ 的度数之比为 1∶1∶0郾6∶1. 求它的四个内角的度数． 解 ∵ ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠Ｄ＝360° （四边形的内 Ｂ Ｄ 角和等于 360°）， 又 ∵ ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ，∠Ｄ 的度数之比为 1∶1∶0郾6∶1， 设∠Ａ＝ｘ 度，则有 ｘ＋ｘ＋0．6ｘ＋ｘ＝360， Ｃ 解得 ｘ＝100． ∴ ∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｄ＝100°，∠Ｃ＝100°×0郾6＝60°． 图4-4 １． 在四边形ＡＢＣＤ中，∠Ａ与∠Ｃ互补，∠Ｂ＝80°.求∠Ｄ的度数． ２． 已知：在四边形ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝∠Ｄ，∠Ｂ＝∠Ｃ.求证：ＡＤ∥ＢＣ. 3． 请解答本节节前语中的问题. Ｄ Ａ 110° 85° １． 一个四边形四个内角的度数之比为1∶2∶3∶3.求这四个内角的度数． 71° α β ２． 如图，在四边形 ＡＢＣＤ 中，∠Ａ＝85°，∠Ｄ＝110°，与∠α相邻的外 Ｂ Ｃ 角是71°.求∠α和∠β的度数． （第2题） 77 第4章 平行四边形３． 在四边形 ＡＢＣＤ 中，∠Ａ 与∠Ｃ 互补，∠Ｂ 比∠Ｄ 大 15°.求∠Ｂ， ∠Ｄ的度数． ４． 在四边形ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝∠Ｃ，∠Ｂ＝∠Ｄ． （1） 找出互相平行的边. Ａ （2） 若∠Ａ与∠Ｂ的度数之比是2∶1，求各内角的度数． Ｄ Ｅ Ｆ ５． 已知：如图，在四边形 ＡＢＣＤ 中，∠Ａ＝∠Ｃ＝ 90°，ＢＥ平分∠ＡＢＣ， 交ＣＤ于点Ｅ，ＤＦ平分 Ｂ Ｃ ∠ＡＤＣ，交ＡＢ于点Ｆ．求证：ＢＥ∥ＤＦ． （第5题） 下面我们来探索任意一个多边形的内角和与外角和的规律． 填写下表： 表4-1 从某顶点出发 划分成的三 多边形的 边数 图形 的对角线条数 角形个数 内角和 3 0 1 1×180° 4 1 2 2×180° 5 6 … … … … … ｎ 你从表中得到了什么结论？ 78 数学 八年级下册对于 ｎ 边形，从某一个顶点出发的（ｎ－3）条对角线把 ｎ 边形划分成 （ｎ－2）个三角形，所以 ｎ 边形的内角和就等于这（ｎ－2）个三角形的所有内 角之和.于是就有下面的定理： ｎ边形的内角和为（ｎ－2）×180°（ｎ≥3）． 由于每一个外角与和它相邻的内角互补，所以 ｎ 边形的外角和（每一个 顶点只取一个外角）为 ｎ×180°－（ｎ－2）×180°＝360°． 任何多边形的外角和为360°． 例2 一个六边形如图 4-5． 已知 ＡＢ∥ＤＥ， Ｅ Ｄ ＢＣ∥ＥＦ，ＣＤ∥ＡＦ. 求∠Ａ＋∠Ｃ＋∠Ｅ 的值． Ｃ Ｆ 分析 因为两条平行线被一条直线所截，有 许多等角关系， 所以我们不妨连结 ＡＤ 试试看，如 Ａ Ｂ 图4-5 图 4-6．不难发现，∠1＝∠3，∠2＝∠4．由此可得本 Ｅ Ｄ 题解法． 1 2 Ｃ 解 如图 4-6，连结 ＡＤ． Ｆ 4 ∵ ＡＢ∥ＤＥ，ＣＤ∥ＡＦ（已知）， 3 Ａ Ｂ ∴ ∠1＝∠3，∠2＝∠4. 图4-6 ∴ ∠1＋∠2＝∠3＋∠4，即∠ＦＡＢ＝∠ＣＤＥ． 同理，∠Ｂ＝∠Ｅ，∠Ｃ＝∠Ｆ． ∵ ∠ＦＡＢ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠ＣＤＥ＋∠Ｅ＋∠Ｆ 你还有其他解法 吗？ ＝（6－2）×180°＝720°， 1 ∴ ∠ＦＡＢ＋∠Ｃ＋∠Ｅ＝ ×720°＝360°． 2 １． 如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么它是几边形？ 2． 求十边形的内角和与外角和． 3． 已知一个多边形的内角和为900°，这个多边形是几边形？ 79 第4章 平行四边形１． 已知一个多边形的内角和为1800°，这个多边形是几边形？ ２． 已知多边形的内角和等于外角和的两倍，求这个多边形的边数. 3． 如图，点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ在长方形ＡＢＣＤ的四条边上．已知∠1＝∠2＝30°， ∠3＝20°. 求五边形EＦＧＣＨ各个内角的度数． Ｄ Ｈ Ｃ 1 Ｅ 2 Ｇ 3 Ａ Ｂ Ｆ （第3题） Ｂ 4． 一个五角星图案如图．已知五边形ＡＡＡＡＡ的各个内角都相等， 3 1 2 3 4 5 Ｂ Ａ 3 2 分别求∠Ｂ，∠Ｂ，∠Ｂ，∠Ｂ，∠Ｂ 的度数． Ａ 1 2 3 4 5 4 Ａ Ｂ 4 2 5． 一个多边形剪去一个角后（剪痕不过任何一个其他顶点），内角和 Ａ 5 Ａ 1 Ｂ 1 为1980°，则原多边形是几边形？ Ｂ 5 （第4题） 6． 一个内角和为1620°的多边形可连多少条对角线？ 4·2平行四边形及其性质 你知道遮阳篷的伸缩架为什么采用平行四边形的结 构吗？ 我们在小学里已经学过， 两组对边分别平行的 Ｄ Ｃ 四边形叫做平行四边形（ｐａｒａｌｌｅｌｏｇｒａｍ）． 平行四边 形用符号“荀”表示，如图 4-7，平行四边形ＡＢＣＤ 可 Ａ Ｂ 记做“荀ＡＢＣＤ”． 图4-7 平行四边形有许多奇妙的性质，在日常生活中有着广泛的应用． 80 数学 八年级下册用两块相同的三角板拼一个平行四边形.讨论下面的问题： （1） 怎样拼能拼出一个平行四边形？你能拼出多少个形状不同的平 行四边形？ （2） 怎样证明你拼出的四边形是平行四边形？ （3） 通过上述活动，你发现平行四边形有哪些性质？ 你能证明这些 性质吗？ 平行四边形有以下性质定理： 平行四边形的对角相等． 平行四边形的对边相等． D C 已知：四边形 ABCD 是平行四边形（图 4-8）. 求证：∠A＝∠C，∠ABC＝∠CDA； AB＝CD，BC＝DA. A B 证明 连结 BD（图 4-8）. 图4-8 在四边形 ABCD 中，AB∥CD（平行四边形的定义）， ∴ ∠ABD＝∠CDB. 同理，∠ADB＝∠CBD. 又 BD＝DB， ∴ △ABD≌△CDB. ∴ AB＝CD，BC＝DA，∠A＝∠C. 同理可得，∠ABC＝∠CDA. 例1 已知：如图 4-9， Ｅ， Ｆ分别是荀ＡＢＣＤ 的边 ＡＤ，ＢＣ 上的点，且 ＡＦ∥ＣＥ． 求证：ＤＥ＝ＢＦ，∠BAF＝∠DCE. Ａ Ｅ Ｄ 证明 如图 4-9， 在荀ＡＢＣＤ 中，ＡＤ∥ＢＣ， AＤ＝CＢ（平行四边形的对边相等）. Ｂ Ｆ Ｃ ∵ ＡＦ∥ＣＥ， 图4-9 ∴ 四边形 ＡＦＣＥ 是平行四边形（平行四边形的定义）． 81 第4章 平行四边形∴ ＡＥ＝ＣＦ（平行四边形的对边相等）． ∵ ＡＤ＝ＣＢ， ∴ ＡＤ－ＡＥ＝ＣＢ－ＣＦ，即 ＤＥ＝ＢＦ． ∵ ∠BAD＝∠DCB，∠EAF＝∠FCE（平 行四边形的对角相等）， 你还有其他证明 ∴ ∠BAD－∠EAF＝∠DCB－∠FCE， 方法吗？ 即∠BAF＝∠DCE. 与三角形的稳定性相反，四边形具有不稳定性的特点． 如图 4-10，这三 个平行四边形的边长都对应相等，但它们的形状却不相同． 图4-10 平行四边形的不稳定性在日常生活和生产实际中有许多应用， 如衣帽 架、伸缩门（图 4-11）、可伸缩的遮阳篷（如节前图）等，都反映了四边形的不 稳定性的应用． 图4-11 1． 已知在荀ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝55°.求其余内角的度数． 2． 已知：如图，在荀ＡＢＣＤ中，E是ＣＤ上一点， Ｄ E Ｃ ＢE＝ＢＣ.求证：AD＝BE，∠Ａ＝∠ＡBE. Ａ Ｂ （第2题） 82 数学 八年级下册１． 已知荀ＡＢＣＤ（如图），将它沿ＡＢ方向平移， Ｄ Ｃ 1 平移的距离为 ＡＢ． 2 （1） 作出经平移后所得的图形荀Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′. Ａ Ｂ （2） 写出荀Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′与荀ＡＢＣＤ 构成的图形 （第1题） 中所有的平行四边形（不必证明）． ２． 已知平行四边形相邻两条边的长度之比为3∶2，周长为20cm.求平行 四边形各条边长． ３． 已知平行四边形的最大角比最小角大100°，求它的各个内角的度数． ４． 如图，在荀ＡＢＣＤ中，∠ＡＤＣ＝135°，∠ＣＡＤ＝23°.求∠ＡＢＣ，∠ＣＡＢ的 度数． Ａ Ｄ Ｄ Ａ Ｅ Ｆ Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ （第4题） （第5题） Ｄ Ｅ Ｃ 5． 已知：如图，在荀ＡＢＣＤ中，ＡＣ是对角线，ＢＥ⊥ＡＣ，ＤＦ⊥ＡＣ，垂足分 别为点E，F.求证：ＢＥ＝ＤＦ． 6． 如图，一块平行四边形场地中，道路ＡＦＣＥ的两条边ＡＥ，ＣＦ分别平 分荀ＡＢＣＤ的两个对角．这条道路的形状是平行四边形吗？证明你 Ａ Ｆ Ｂ （第6题） 的判断． 如图 4-12，已知直线 l ∥l .任意画两条夹在直线 l 1 2 1 l 与 l 之间的平行线段，并比较它们的长短. 你发现了 1 2 l 2 什么？你能证明你的发现吗？试一试. 图4-12 如果任意画两条夹在直线 l 与 l 间，与直线 l ，l 垂直的线段呢？ 1 2 1 2 （请与你的同伴交流） 83 第4章 平行四边形一般地，平行线有下面的性质定理： 夹在两条平行线间的平行线段相等． 根据这个性质定理有以下推论： 夹在两条平行线间的垂线段相等． 如图 4-13，直线 l ∥l ，AB∥CD，则 AB＝CD. 1 2 A C E G l l 1 1 l l B D 2 F H 2 图4-13 图4-14 如图 4-14，直线 l ∥l ，EF⊥l ，GH⊥l ，则 EF＝GH. 1 2 2 2 如果两条直线平行， 那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都 相等. 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两 条平行线之间的距离. 如图 4-14，线段EF（或GH）的长就是平行线 l 与 l 之 1 2 间的距离. 例 2 如图 4-15，放在墙角的立柜的上、下底面是 一个等腰直角三角形，腰长为 1郾4m.现要将这个立柜 搬过宽为 1郾2m 的通道，能通过吗？ 解 因为腰长 1郾4m 大于通道宽 1郾2m，所以在搬 这个立柜时，如果沿立柜上、下底面任一条直角边方向 平移，都不能通过. 图4-15 如图 4-16，作立柜底面三角形 ABC斜边上的高线 CD. ∵ AC＝BC＝1郾4， C 摇 ∴ AB＝姨AC2＋BC2 摇 ＝姨1郾42＋1郾42＝1郾4姨 摇 2（m）. A B D ∵ CD⊥AB， 图4-16 ∴ CD 是 AB 边上的中线， 1 1 摇 摇 ∴ CD＝ AB＝ ×1郾4姨 2 ＝0郾7姨 2（m）. 2 2 84 数学 八年级下册摇 ∵ 0郾7姨 2 ＜1郾2，即 CD 长小于通道的宽， 所以使 AB 边平行通道两边来平移立柜就可以通过. １． 填空： （1） 如图， 已知 l ∥l ，l 与 l 之间的距离为姨 摇 3 ，∠α＝60°，则 1 2 1 2 ＡＢ＝ . B l 1 Ｄ Ｃ 姨 摇 2cm α 45° l A 2 Ａ Ｂ （第1（1）题） （第1（2）题） D C （2） 如图，在荀ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝45°，BC＝姨 摇 2 ｃｍ，则ＡＢ 与 ＣＤ 之 间的距离为 ． 2． 如图，在荀ＡＢＣＤ中，AB与AD的长度之比为2∶1.求AB，CD之间的 A Ｂ （第2题） 距离与AD，BC之间的距离之比. 先观察图4-17，直线l∥l，点A，B在直线l上，点C，C，C，C在直线l 上. 1 2 2 1 2 3 4 1 △ABC ，△ABC ，△ABC ，△ABC 这些三角形的面积有怎样的关系？ 请说明 1 2 3 4 理由. 现在我们来探讨以下问题： （1）若把图4-18的四边形ABCD改成一个三角形，并保持面积不变，可怎 样改？你有多少种不同的改法？ （2）已知四边形ABCD（图4-18）.若把它改成一个以AB为一条底边的梯 形或平行四边形，并保持面积不变，可怎样改？请画图说明. C 1 C 2 C 3 C 4 l C 1 D l A B 2 A B 图4-17 图4-18 85 第4章 平行四边形１． 如图，Ｅ是直线ＣＤ上的一点．已知荀ＡＢＣＤ Ｄ Ｃ Ｅ 的面积为 52ｃｍ2，则△ＡＢＥ 的面积为 ｃｍ2． 2． 画直线l ∥l ，并使直线l 与l 之间的距离 Ａ Ｂ 1 2 1 2 为1cm. （第1题） 3． 已知：如图，等边三角形ＡＢＣ与等边三角 Ｃ D 形ＤＢＣ的一边ＢＣ重合． （1） 求证：四边形ＡＢＤＣ是平行四边形. （2） 若△ＡＢＣ的边长为2姨3 ｃｍ，求所组 Ａ Ｂ 成的平行四边形各组对边之间的距离． （第3题） 4． 若平行四边形的两邻边长分别为16和20，两条较长边之间的距离 为8.求两条较短边之间的距离． 5． 如图，在荀ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝8ｃｍ，ＡＤ＝5ｃｍ，∠ＢＡＤ的平分线交ＣＤ于 点Ｅ，∠ＡＢＣ的平分线交ＣＤ于点Ｆ.求线段ＥＦ的长． E F Ｄ Ｆ Ｅ Ｃ C Ｄ Ａ Ｂ A B （第5题） （第6题） 6． 如图， 一块草地的中间有一条弯路，ＡC∥BD，CE∥DF. 请给出一 种方案，把道路改直，且草地的种植面积保持不变. 任意画一个平行四边形，连结它的两条对角线. 你发现了什么？ 你能证 明你发现的结论吗？ （请与你的同伴交流） 86 数学 八年级下册平行四边形还有如下性质： 平行四边形的对角线互相平分． 已知：在荀ＡＢＣＤ 中，对角线 ＡＣ，ＢＤ 交于点 Ｏ（图 4-19）． 求证：ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ． 证明 如图 4-19，在荀ＡＢＣＤ 中， Ａ Ｄ 1 3 ＡＤ∥ＢＣ（平行四边形的定义）， Ｏ ∴ ∠1＝∠2，∠3＝∠4． 4 2 Ｂ Ｃ 又 ∵ ＡＤ＝ＣＢ（平行四边形的对边相等）， 图4-19 ∴ △ＡＯＤ≌△ＣＯＢ． ∴ ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ． 例3 已知： 如图 4-20，荀ＡＢＣＤ 的对角线 ＡＣ，ＢＤ 交于点 Ｏ． 过点 Ｏ 作直线 ＥＦ，分别交 ＡＢ，ＣＤ 于点 Ｅ，Ｆ． 求证：ＯＥ＝ＯＦ． 证明 如图 4-20，在荀ＡＢＣＤ 中， Ｄ Ｆ Ｃ 1 ＡＢ∥ＣＤ（平行四边形的定义）， 3 Ｏ ∴ ∠1＝∠2． 4 又 ∵ ＯＡ＝ＯＣ（平行四边形的对角线互 2 Ａ Ｅ Ｂ 相平分），∠3＝∠4， 图4-20 ∴ △ＡＯＥ≌△ＣＯＦ． ∴ ＯＥ＝ＯＦ． 例4 如图 4-21，在荀ＡＢＣＤ 中，对角线 ＡＣ，ＢＤ 交于点 Ｅ，ＡＣ⊥ＢＣ． 若 ＡＣ＝4，ＡＢ＝5，求 ＢＤ 的长． Ａ Ｄ 分析 如图 4-21， 因为平行四边形的两条对 角线互相平分，所以要求 ＢD 的长，只需求出 ＢＥ的 Ｅ 长． 在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中，ＡＢ，ＡＣ 长已知，可求得 ＢＣ的 1 长． 又 ＣＥ＝ ＡＣ，则 ＢＥ 可求． Ｂ Ｃ 2 图4-21 请你完成求解过程． 想一想，你还有其他求解方法吗？ 87 第4章 平行四边形１． 已知 Ｏ 是荀ＡＢＣＤ 两条对角线的交点，ＡＣ＝24ｍｍ，ＢＣ＝38ｍｍ， ＯＤ＝28ｍｍ，则△ＯＢＣ的周长为 ． ２． 有没有这样的平行四边形，它的两条对角线长分别为14ｃｍ和20ｃｍ， Ａ Ｄ Ｅ 它的一边长为18ｃｍ？为什么？ Ｏ Ｆ ３． 已知： 如图，荀ＡＢＣＤ 的对角线 ＡＣ，ＢＤ 相交于点 Ｏ，Ｅ，Ｆ 分别为 Ｂ Ｃ （第3题） ＯＡ，ＯＣ的中点．求证：△ＯＢＥ≌△ＯＤＦ． １． 如图，荀ＡＢＣＤ的两条对角线相交于点Ｏ． （1） 图中有多少对全等三角形？把它们写出来. （2） 图中有多少对面积相等的三角形？ Ａ Ｄ Ｄ Ｃ Ｏ Ｏ Ｂ Ｃ Ａ Ｂ （第2题） （第1题） ２． 如图，荀ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ．已知ＡＢ＝5ｃｍ，△ＯＡＢ 的周长比△ＢＯＣ的周长小3ｃｍ，求ＡＤ的长． ３． 已知：如图，荀ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，点Ｅ，Ｆ分别在 ＡＯ，ＣＯ上，且ＡＥ＝ＣＦ．求证：∠ＥＢＯ＝∠ＦＤＯ． Ａ Ｄ Ｅ Ａ Ｄ Ｏ Ｏ Ｆ Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ （第3题） （第4题） ４． 如图， 在荀ＡＢＣＤ中，Ｏ是对角线ＡＣ，ＢＤ的 Ｆ 交点．已知ＡＢ＝4，△ＡＯＢ的周长是11.求对 Ｄ Ｃ 角线ＡＣ与ＢＤ的和． Ｏ ５． 已知：如图，在荀ＡＢＣＤ中，过ＡＣ的中点Ｏ Ａ Ｂ 的直线分别交 ＣＢ，ＡＤ 的延长线于点 Ｅ，Ｆ． Ｅ 求证：ＢＥ＝ＤＦ． （第5题） 88 数学 八年级下册4·3中心对称 你能在图案中找出一点，使图案绕该点旋转180°后仍和原图案重合吗？ 如图 4-22，Ｏ 是荀ＡＢＣＤ 的对角线 ＡＣ，ＢＤ 的交 Ｄ Ｃ 点． 以 Ｏ 为旋转中心，把荀ＡＢＣＤ 按顺时针方向旋转 Ｏ 180°，作出所得的图形． Ａ Ｂ 你发现了什么？ 请剪出图形动手试一试，观察旋 图4-22 转 180°前后原图形和新图形的位置情况． 如果一个图形绕着一个点旋转 180°后， 所得到的图形能够和原来的图 形互相重合，那么这个图形叫做中心对称（ｐｏｉｎｔ ｓｙｍｍｅｔｒｙ）图形，这个点叫 对称中心． 如图 4-22 的荀ＡＢＣＤ 是中心对称图形，两条对角线的交点是它的 对称中心． 类似地，如果一个图形绕着一个点 Ｏ 旋转 180°后，能够和另外一个图 形互相重合，我们就称这两个图形关于点 Ｏ 成中心对称． 如图 4-22，△AOD 绕点 O 旋转 180°后与△COB 重合，△AOD 与△COB 关于点 O 成中心对称. 下列哪些图形是中心对称图形？ （1） （2） 89 第4章 平行四边形（3） （4） 根据中心对称图形的定义，容易得出中心对称图形的以下性质： 对称中心平分连结两个对称点的线段． 例1 如图 4-23，已知△ＡＢＣ 和点 Ｏ，作△Ａ′Ｂ′Ｃ′，使△Ａ′Ｂ′Ｃ′与△ＡＢＣ 关于点 Ｏ 成中心对称． Ａ Ｃ′ Ｂ′ Ａ Ｏ Ｏ Ａ′ Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ 图4-23 图4-24 解 如图 4-24． （1）连结 ＡＯ 并延长到 Ａ′，使 Ａ′Ｏ＝ＡＯ，则点 Ａ′即点 A 关于点 O 成中 心对称的对称点. （2）同理，作出点 Ｂ，Ｃ 的对称点 Ｂ′，Ｃ′. （3）连结 Ａ′Ｂ′，Ｂ′Ｃ′，Ｃ′Ａ′． △Ａ′Ｂ′Ｃ′即为所求作的三角形． 例2 求证：在直角坐标系中，点 A（x，y）与点 B（－x，－y）关于原点成 中心对称. 分析 由中心对称的定义知，要证明 A，B 两点 y A（x，y） 关于原点 O 对称，只需证明 A，O，B 三点共线，且 AO＝BO 即可. D O C x 证明 如图 4-25，连结 AO，BO，作 AC⊥x 轴， BD⊥x轴，C，D分别为垂足. B（－x，－y） ∵ |x|＝|－x|，|y|＝|－y|， 图4-25 ∴ CO＝DO，AC＝BD， 90 数学 八年级下册∴ Rt△AOC≌Rt△BOD. ∴ AO＝BO，∠AOC＝∠BOD. ∴ ∠BOD＋∠AOD＝∠AOC＋∠AOD＝180°， 即 A，O，B 在一条直线上，当将点 A 绕点 O 旋转 180°时，点 A 与点 B 重合. 所以点 A，B 关于原点成中心对称(我们也称为点 A，B 关于原点对称). １． 观察图形，并回答下面的问题： （1） 哪些是轴对称图形？ （2） 哪些是中心对称图形？ （3） 哪些既是中心对称图形，又是轴对称图形？ （4） 哪些既不是中心对称图形，又不是轴对称图形？ Ａ Ｂ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ （第1题） ２． 在直角坐标系中，找出下列各点中关于原点对称的点. （－1，0），（2，1），（－3，－1），（1，0），（－3，1）， （3，1），（－2，－1），（4，－姨 摇 2），（3，－1），（－4，姨 摇 2）. １． 观察如图图形，并回答下面的问题： （1） 哪些是轴对称图形？ （2） 哪些是中心对称图形？ 91 第4章 平行四边形（3） 哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ （第1题） ２． 在直角坐标系中，点Ａ（－7，姨 摇 5）关于原点对称的点的坐标是 ， 关于x轴对称的点的坐标是 . 3． 已知△ＡＢＣ（如图）．以点Ｏ为对称中心，求作与△ＡＢＣ成中心对称 的图形． Ａ Ｄ Ｃ Ｏ Ｏ Ｂ Ｃ Ａ Ｂ （第3题） （第4题） 4． 如图，Ｏ 是荀ＡＢＣＤ 的对称中心.这个图形是不是中心对称图形？ 如果认为是，请说明理由；如果认为不是，在原图上添加一些线，使 它成为中心对称图形. 5． 下面两幅图案是中心对称图形吗？如果认为是，标出它们的对称中 心． 对于图②，至少把图形绕整个圆的圆心旋转多少度，就能和原图 重合？ ① ② （第5题） 6． 举出两个在现实生活中体现中心对称图形的例子. 92 数学 八年级下册7． 如图是五个小正方形拼成的图形．请你移动其中一个小正方形，重 新拼一个图形，使得所拼成的新图形： （1） 是轴对称图形，但不是中心对称图形. （2） 是中心对称图形，但不是轴对称图形. （3） 既是轴对称图形，又是中心对称图形． 请分别画出示意图． （第7题） 4·4平行四边形的判定定理 C D O B A 你见过如图这样的简易晒衣架吗？如果依次连结A， B，C，D四个端点，得到的四边形一定是平行四边形吗？ 命题“平行四边形的一组对边平行且相等”是真命题吗？ 写出它的逆命题. 这个逆命题是真命题吗？ （请与你的同伴交流） 我们知道， 根据平行四边形的定义可以判定一个四边形是不是平行四边 形．除此之外，我们还有以下判定一个四边形是平行四边形的定理： 一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形． 已知：如图 4-26，在四边形 ＡＢＣＤ 中，ＡＤ 髴ＢＣ． Ａ Ｄ 求证：四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形． 分析 因为 ＡＤ∥ＢＣ，根据平行四边形的定义，只要 再证明 ＡＢ∥ＤＣ 即可． 而要证明 ＡＢ∥ＤＣ，可连结 ＡＣ，证 Ｂ Ｃ 明相应的内错角相等． 图4-26 证明 如图 4-27，连结 ＡＣ． 髴符号“ ”表示平行且相等． 93 第4章 平行四边形∵ ＡＤ∥ＢＣ， Ａ Ｄ ∴ ∠ＡＣＢ＝∠ＣＡＤ． 又 ∵ ＡＤ＝ＢＣ，ＡＣ＝ＡＣ， ∴ △ＡＢＣ≌△ＣＤＡ． Ｂ Ｃ 图4-27 ∴ ∠ＡＣＤ＝∠ＣＡＢ． ∴ ＡＢ∥ＣＤ． ∴ 四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形（根据什么？）． 例1 已知：如图 4-28，在荀ＡＢＣＤ 中，Ｅ，Ｆ 分别是 ＡＢ，ＣＤ 的中点． 求证：ＥＦ∥ＡＤ． Ａ Ｄ 证明 在荀ＡＢＣＤ 中， Ｅ Ｆ ＡＢ ＣＤ（为什么？）． 又 ∵ Ｅ，Ｆ 分别是 ＡＢ，ＣＤ 的中点， Ｂ Ｃ 图4-28 ∴ ＡＥ ＤＦ． ∴ 四边形 ＡＥＦＤ 是平行四边形（一组对边平行并且相等的四边形是 平行四边形）． ∴ ＥＦ∥ＡＤ（平行四边形的定义）． 我们还有以下判定一个四边形是平行四边形的定理： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 请你完成这一定理的证明． １． 如图，把线段AB平移到线段A′B′.AB与A′B′平行吗？请说明理由. Ａ Ｄ A′ B′ A Ｂ Ｂ Ｃ （第1题） （第2题） 2． 已知：如图，ＡＤ⊥ＡＣ，ＢＣ⊥ＡＣ，且ＡＢ＝ＣＤ． 求证：ＡＢ∥ＣＤ． 94 数学 八年级下册1． 已知：如图，Ｅ，Ｆ是荀ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ上的两点，且ＡＥ＝ＣＦ． 求证：四边形ＢＦＤＥ是平行四边形． Ａ Ｅ Ｄ Ｄ Ｃ Ｆ Ｅ Ａ Ｂ Ｂ Ｆ Ｃ （第1题） （第2题） A ２． 已知： 如图，Ｅ，Ｆ分别是荀ＡＢＣＤ的边ＡＤ，ＢＣ 的中点．求证：ＢＥ＝ＤＦ． F E 3． 已知：如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别 为各边的中点.求证： 四边形DEFB是平行四 B D C 边形． （第3题） D C ４． 已知：如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，AD＝BC，E 是 AB 上一点， 且AE＝CD，∠B＝60°. 求证：△EBC是等边三角形． 5． 已知直角坐标系内四个点Ａ（ａ，1），Ｂ（ｂ，1），Ｃ（ｃ，－1），Ｄ（ｄ，－1）．以 A E B 点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ为顶点的四边形一定是平行四边形吗？如果你认为是， （第4题） 请给出证明；如果你认为不一定是，请添加一个条件，使它成为平 行四边形． 判定一个四边形是平行四边形，还有以下的定理： 对角线互相平分的四边形是平行四边形． 已知：如图 4-29，在四边形 ＡＢＣＤ 中，对角线 ＡＣ 与 ＢＤ 相交于点 Ｏ，且 ＡＯ＝ＣＯ，ＢＯ＝ＤＯ． Ａ Ｄ 求证：四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形． 证明 在△ＡＯＤ 与△ＣＯＢ 中， Ｏ ∵ ＡＯ＝ＣＯ，ＤＯ＝ＢＯ，∠ＡＯＤ＝∠ＣＯＢ， Ｂ Ｃ ∴ △ＡＯＤ≌△ＣＯＢ． 图4-29 ∴ ＡＤ＝ＣＢ． 95 第4章 平行四边形同理，ＡＢ＝ＣＤ． ∴ 四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行 四边形）． 例2 已知：如图 4-30，在荀ＡＢＣＤ 中，Ｅ，Ｆ 是对角线 ＢＤ 上的两点， 且∠ＢＡＥ＝∠ＤＣＦ． 求证：四边形 ＡＥＣＦ 是平行四边形． 分析 不难发现， 四边形 ＡＥＣＦ 与荀ＡＢＣＤ 有相同的对角线 ＡＣ． 连结 ＡＣ，交 ＢＤ 于点 Ｏ，则 ＡＯ＝ＣＯ，ＢＯ＝ＤＯ．因此只要证明 ＢＥ＝ＤＦ，就能证明 ＥＯ＝ＦＯ.根据定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”就能证明四 边形 ＡＥＣＦ 是平行四边形． Ａ Ｄ Ａ Ｄ Ｆ Ｆ Ｏ Ｅ Ｅ Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ 图4-30 图4-31 证明 如图 4-31，连结 ＡＣ，交 ＢＤ 于点 Ｏ． 在荀ＡＢＣＤ中，ＢＯ＝ＤＯ，ＡＯ＝ＣＯ（平行四边形的对角线互相平分）． ∵ ＡＢ∥ＣＤ（平行四边形的定义）， ∴ ∠ＡＢＥ＝∠ＣＤＦ． 又 ∵ ∠ＢＡＥ＝∠ＤＣＦ， ＡＢ＝ＣＤ（平行四边形的对边相等）， ∴ △ＡＢＥ≌△ＣＤＦ． ∴ ＢＥ＝ＤＦ． ∴ ＢＯ－ＢＥ＝ＤＯ－ＤＦ，即 ＥＯ＝ＦＯ． ∴ 四边形ＡＥＣＦ是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． ａ １． 已知：线段ａ，ｂ，∠α（如图）．用直尺和圆规作一个平行四边形，使它 ｂ 的两条对角线长分别等于线段ａ，ｂ，两条对角线所成的一个角等于 ∠α． α 2． 请回答4.4节节前语中的问题，并说明理由. （第1题） 96 数学 八年级下册3． 已知：如图，在荀ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ是 Ｄ Ｃ Ｇ Ｆ 对角线 ＡＣ 上的两个点，Ｇ，Ｈ 是 对角线 ＢＤ 上的两点，ＡＥ＝ＣＦ， Ｏ Ｅ Ｈ ＤＧ＝ＢＨ. 求证：四边形 ＥＨＦＧ 是 Ａ Ｂ 平行四边形． （第3题） 任意画一个三角形和三角形一条边上的中线.比较这条中线的2倍与三 角形另外两边的和的大小，你发现了什么？再画几个三角形试一试，你发现的 规律仍然成立吗？试证明你的发现. １． 求作荀ＡＢＣＤ，使对角线 ＡＣ＝4ｃｍ，ＢＤ＝3ｃｍ，两条对角线所成的 一个角为60°． ２． 已知：如图，ＡＣ是荀ＡＢＣＤ的一条对角线．延长ＡＣ至Ｆ，反向延长 ＡＣ至Ｅ，使ＡＥ＝ＣＦ．求证：四边形ＥＢＦＤ是平行四边形． Ｆ Ａ Ｄ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ Ａ Ｂ Ｂ Ｃ Ｅ （第2题） （第3题） ３． 已知：如图，在荀ＡＢＣＤ 中，∠ＢＡＤ 和∠ＢＣＤ 的平分线 ＡＦ，ＣＥ 分 别与对角线ＢＤ交于点Ｆ，Ｅ．求证：四边形ＡＦＣＥ是平行四边形． 4． 已知在直角坐标系中，四边形 ＡＢＣＤ 四个顶点的坐标分别为 Ａ（－ 姨3 ，－姨2），Ｂ（1，－1），Ｃ（姨3 ，姨2 ），Ｄ（－1，1）． 以 点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ为顶点的四边形是不是平行四边形？请给出证明． 5． 已知：如图，荀ＡＢＣＤ 的两条对角线相 Ａ Ｅ Ｄ 交于点Ｏ，直线ＥＦ，ＧＨ过点Ｏ，分别交 Ｈ ＡＤ，ＢＣ，ＡＢ，ＣＤ 于点 Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ． 求证： Ｇ Ｏ 四边形ＧＦＨＥ是平行四边形． Ｂ Ｆ Ｃ （第5题） 97 第4章 平行四边形4·5三角形的中位线 Ｃ Ｂ Ｅ Ｄ 若Ｄ，Ｅ分别是ＡＢ，ＡＣ的中点，则只需测量出ＤＥ的 长，就可以求出池塘的宽ＢＣ.你知道为什么吗？ Ａ 在本节中，我们将运用平行四边形的有关知识，探索三角形中位线的 性质． 任意画一个△ＡＢＣ，然后分别取 ＡＢ，AC 的中点 D，E，连结 DE. 通过 观察、测量等方法，你发现线段 DE 有哪些性质？ 你能用命题的形式表述 你所发现的性质吗？ 试一试. 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 如图 4-32，在△ＡＢＣ 中，Ｄ，Ｅ 分别是 ＡＢ，ＡＣ 的中点，ＤＥ 就是△ＡＢＣ 的一条中位线． 我们可得到 下面三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 已知：如图 4-32，ＤＥ 是△ＡＢＣ 的中位线． Ａ 1 求证：ＤＥ ＢＣ． 2 Ｄ Ｅ 分析 因为 Ｅ 是 ＡＣ 的中点，可以考虑以点 Ｅ为 Ｂ Ｃ 中心，把△ＡＤＥ 按顺时针方向旋转 180°，得到 图4-32 △ＣＦＥ，如图 4-33． 这样就只需证明四边形 ＢＣＦＤ 是 平行四边形． Ａ 证明 如图 4-33，以点 Ｅ 为旋转中心，把△ＡＤＥ 绕点 Ｅ，按顺时针方向旋转 180°，得△ＣＦＥ，则 Ｄ，Ｅ，Ｆ Ｄ Ｅ Ｆ 同在一直线上，ＤＥ＝ＥＦ，且△ＡＤＥ≌△ＣＦＥ． Ｂ Ｃ ∴ ∠ＡＤＥ＝∠Ｆ，ＡＤ＝ＣＦ， 图4-33 98 数学 八年级下册∴ ＡＢ∥ＣＦ． 又 ∵ ＢＤ＝ＡＤ＝ＣＦ， ∴ 四边形 ＢＣＦＤ 是平行四边形（一组对 边平行并且相等的四边形是平行四边形）， 你能用不同的方 ∴ ＤＦ ＢＣ（根据什么？）， 法加以证明吗？ 1 ∴ ＤＥ ＢＣ． 2 例 已知：如图 4-34，在四边形 ＡＢＣＤ 中，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ 分别是 ＡＢ，ＢＣ， ＣＤ，ＤＡ 的中点． Ａ 求证：四边形 ＥＦＧＨ 是平行四边形． Ｈ Ｄ 分析 由 Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ 分别是四边形 ＡＢＣＤ 各边 Ｅ Ｇ 的中点，联想到运用三角形的中位线定理来证明． 证明 如图 4-35，连结 ＡＣ． Ｂ Ｆ Ｃ 图4-34 ∵ ＥＦ 是△ＡＢＣ 的中位线， 1 ∴ ＥＦ＝ ＡＣ （三角形的中位线等于第三边 Ａ 2 Ｈ 的一半）． Ｄ Ｅ 1 Ｇ 同理，ＨＧ＝ ＡＣ． 2 Ｂ Ｆ Ｃ ∴ ＥF＝ＨＧ． 图4-35 同理可得 ＥH＝FＧ． 所以四边形 ＥＦＧＨ 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平 行四边形）． １． 任意作一个三角形，然后作出它的三条中位线． 2． 要测量Ｂ，Ｃ两地的距离，小明想出一个 方法：在池塘外取点 Ａ，得到线段 ＡＢ， Ｃ Ｂ ＡＣ，并取ＡＢ，ＡＣ的中点Ｄ，Ｅ，连结ＤＥ． Ｅ 只要测出ＤＥ的长，就可以求得Ｂ，Ｃ两地 Ｄ 的距离．你认为这个方法正确吗？请说 明理由． Ａ （第2题） 99 第4章 平行四边形１． 三角形的周长为 18ｃｍ， 它的三条中位线围成的三角形的周长 Ａ 是 ． Ａ ２． 已知：如图，ＤＥ，ＥＦ是△ＡＢＣ的两条中位线．求 Ｄ Ｅ 证：四边形ＢＦＥＤ是平行四边形． Ｄ Ｏ Ｅ Ｂ Ｃ ３． 已知：如图，ＤＥ是△ＡＢＣ的中位线，ＡＦ是ＢＣ边 Ｆ 上的中线，ＤＥ和ＡＦ交于点 Ｏ． 求证：ＤＥ 与 ＡＦ Ｂ Ｃ （第2题） Ｆ 互相平分． （第3题） ４． 取任意一张三角形纸片，你能把它剪成四个全等的三角形吗？说明 你的方法，并画出示意图． 5． 已知：如图，△ＡＢＣ 是锐角三角形． 分 Ｍ 别以 ＡＢ，ＡＣ 为边向外侧作等边三角 Ａ Ｎ 形 ＡＢＭ 和等边三角形 ＡＣＮ． Ｄ，Ｅ，Ｆ Ｄ 分别是ＭＢ，ＢＣ，ＣＮ的中点，连结ＤＥ， Ｆ ＦＥ． 求证：ＤＥ＝ＦＥ． Ｂ Ｅ Ｃ （第5题） 4·6反证法 根据路边的李树上结满了成熟的果子，有人推断这棵树上李子 的味道一定是苦的.你认为有道理吗？ 为什么？ 中国古代有一个叫《路边苦李》的故事： 王戎 7 岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子. 小伙 伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动. 有人问王戎为什么，王戎回 答说“： 树在道边而多子，此必苦李.”小伙伴摘取李子尝了一下，果然是苦李． 王戎是怎样知道李子是苦的？ 他运用了怎样的推理方法？ 100 数学 八年级下册在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经 过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出 假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确． 这种证明方法叫做反证法 （ｐｒｏｏｆｂｙ ｃｏｎｔｒａｄｉｃｔｉｏｎ）． 例 求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角. 已知：四边形 ABCD（图 4-36）. A 求证：四边形 ABCD 中至少有一个角是钝角或直角. D 证明 假设四边形 ABCD 中没有一个角是钝角或 B 直角，即∠A＜90°，∠B＜90°，∠C＜90°，∠D＜90°， 于是∠A＋∠B＋∠C＋∠D＜360°. C 图4-36 这与“四边形的内角和为 360°”矛盾. 所以四边形 ABCD 中至少有一个角是钝角或直角. 求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这 两条直线也互相平行． （1） 你会选择哪一种证明方法？ （2） 如果你选择反证法，先怎样假设？ 结果和什么产生矛盾？ １． 用反证法证明（填空）：两直线平行，同位角相等. 已知：如图，直线 l 1 ，l 2 被 l 3 所截，A，B 为 l 3 交点，l 1 ∥l 2 . l 1 3 l 4 1 求证：∠1＝∠2. A 证明：假设所求证的结论不成立， 2 l 2 即摇摇摇摇摇摇摇摇摇≠摇摇摇摇摇摇摇摇摇. B 过点A作直线 l，使l 与l 所成的∠3与 （第1题） 4 4 3 101 第4章 平行四边形∠2相等，则∠3摇摇摇摇摇摇摇摇摇∠1， 所以直线l 与直线l 不重合. 4 1 但 l ∥l（ ），又已知 l ∥l，这与基本事实 4 2 1 2 “摇摇摇摇摇摇摇摇摇 摇摇摇”产生矛盾.所以摇摇摇 摇摇摇摇不成立. 所求证的结论成立. 2． 证明：在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°． 1． 已知：两条不重合的直线ＡＢ，ＣＤ相交.求证：ＡＢ，ＣＤ只有一个交点． ２． 求证：在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°． 3． 求证：在同一平面内，如果一条直线与两 l 条平行直线中的一条相交，那么和另一条 l 1 也相交. 1 l 2 2 4． 已知：如图，直线 ｌ 与 ｌ，ｌ，ｌ 都相交，且 l 1 2 3 3 ｌ∥ｌ，ｌ∥ｌ．求证：∠1＝∠2． （第4题） 1 2 1 3 5． 反证法的思想也时常体现在人们的日常交流中，下面是有关的一个 例子： 妈妈：小华，听说邻居小芳全家这几天正在外地旅游． 小华：妈妈，不可能，我昨天和今天上午都还在学校碰到了她和 她妈妈呢！ 上述对话中，小华要告诉妈妈的命题是什么？他是如何推断该命题 的正确性的？在你的日常生活中也有类似的例子吗？ 请举一至两 个例子. 6． 一块铁皮零料的形状如图所示，要从中裁出 Ｃ 一块平行四边形铁皮，并使四个顶点分别 Ｄ 落在原铁皮零料的四条边上．可以怎样裁？ Ｂ Ａ （第6题） 102 数学 八年级下册格点多边形的面积计算 如图4-37，多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点） 上，这样的多边形称为格点多边形. 要计算格点多边形的面积，当然我们可 以通过统计多边形所围成的方格数得到.有没有更简便的方法呢？ 我们进行 如下的探索. 譹訛 譺訛 譻訛 譼訛 图4-37 记格点多边形内的格点数为 a，边界上的格点数为b，格点多边形的面积 为S. 图4-37譹訛中，a＝4，b＝5；图4-37譺訛中，a＝4，b＝6. 观察图4-37，多边形内的格点数a均为4，统计各多边形所围成的方格数， 求出各多边形的面积，并填写右表. 图4-37 譹訛 訛譺 譻訛 譼訛 在图4-38的直角坐标系中画出S b（个） 关于b的函数图象.判断S关于b的函数 S（平方单位） 是哪一类函数，并求出函数表达式. 上面你求出的函数表达式是当a＝4 时的情况. 更一般地， 格点多边形 的面积公式可表示为S＝ma＋nb－1（其中m，n为常数），你能猜测出m，n的值 吗？ 说出你的结论及理由. 用图4-39验证你所得到的公式是否也适合凹多边形的情形. S 8 7 6 5 4 3 2 1 O 12345678 b 图4-38 图4-39 奥地利数学家皮克（G.Pick，1859～1942年）证明了格点多边形的面积公 式.查找有关皮克定理的资料，并和你探索的结果作比较. 103 第第44章章 平平行行四四边边形形5． 连结三角形 的线段叫 填空． 做三角形的中位线． 1． 在平面内，由不在同一条直线上的 三角形的中位线 第三边，并 若干条线段（线段的条数不小于3） 且等于第三边的 ． 而成的图形叫做多边形． 边数为4的多边形叫 . 四边 6． 先假设命题不成立. 从假设出发， 形的内角和等于 ， 外角和等于 经过推理得出和摇摇 矛盾，或者与 摇摇摇摇、 ．ｎ边形的内角和为 ， 摇摇 摇摇摇、摇摇摇 摇摇等矛盾，从而得出假设命 外角和为 ． 题不成立是错误的， 即所求证命题正确. 这种证明方法叫做 摇摇摇摇 摇. 2． 中心对称图形的性质：对称中心平 分连结两个 的线段． 7． 在同一平面内，如果两条直线都和 在直角坐标系中，点（ｘ，ｙ）与点 摇摇摇摇 第三条直线平行，那么这两条直线也 摇摇摇. 关于原点对称． 3． 平行四边形的性质： 平行四边形的对边 ． 填表. 平行四边形的对角 ． 学会程度 平行四边形的 互相平分． 技能内容 学 会 基本学会 不 会 夹在两条平行线间的 相等． 运用平行四边形的 夹在 间的垂线段相等． 性质定理和判定定 理进行论证或计算 两条平行线中，一条直线上的点到另 写出一个命题的逆 一条直线的距离，叫做这两条摇 摇摇摇. 命题 平行四边形是 对称图形， 在直角坐标系中， 是它的对称中心. 求一个已知点关 于原点对称的点 4． 平行四边形的判定： 的坐标 一组对边 的四边 运用反证法证明 命题 形是平行四边形． 两组对边 的四边 形是平行四边形． 对角线 的四边 形是平行四边形． 104 数学 八年级下册●了解多边形的定义以及内角、外角、对角线等概念． ●探索并掌握多边形的内角和与外角和公式． 4.1节 １． 如图， 在四边形 ＡＢＣＤ 中，ＡＢ⊥ＢＣ，∠Ａ＝ Ａ ∠Ｃ＝100°，则∠Ｄ的度数为 ． Ｂ ２．（1） 十二边形的内角和的度数是 . Ｄ （2） 一个多边形的内角和是它的外角和的5郾5 倍，这个多边形的边数是 . Ｃ （第1题） 3． 一个十边形有多少条对角线？ 4． 如图，在四边形ＡＢＣＤ中，∠Ｃ＝110°，与∠ＢＡＤ，∠ＡＢＣ相邻的外角都 是120°. 求∠ＡＤＣ的外角α的度数． Ｃ E D Ｄ α 110° F C 120° Ｂ Ａ 120° A B （第4题） （第5题） ５． 如图，在六边形ABCDEF中，∠B＝∠E，∠A＝∠D，BC∥EF. （1） 求证：AF∥CD. （2） 求∠A＋∠B＋∠C的度数. ●理解平行四边形的概念． ●了解四边形的不稳定性． 4．2节 ６． 如图， 点Ａ，Ｂ，Ｃ在同一直线上， 点Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ在同一直线上，且 ＡＣ∥ＤＧ，ＡＤ∥ＢＥ∥ＣＦ，ＡＦ∥ＢＧ． 图中平行四边形有 个. Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ Ｇ Ａ Ｂ （第6题） （第7题） 7． 如图，窗户的支撑装置（四边形ＡＢＣＤ）被设计成平行四边形． 你能 说明其中的理由吗？ 105 第4章 平行四边形8． 如图，已知线段a，b和∠α． a （1） 以线段 a，b 为一组邻边作一个平行四 b 边形.这样的平行四边形能作几个？ （2） 以线段a，b为一组邻边，它们的夹角为 α ∠α，作一个平行四边形．这样的平行 （第8题） 四边形能作几个？ ●探索并掌握平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等，对角 相等，对角线互相平分． 4．2节 ●了解两条平行线之间的距离的意义，能度量两条平行线之间的距离. 9． 已知：如图，在荀ＡＢＣＤ 中，点 Ｅ 在 ＡＢ 的延 Ａ Ｄ 长线上，且ＥＣ∥ＢＤ． 求证：ＢＥ＝ＡＢ． Ｂ Ｃ １0． 已知：如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD， ∠A＝∠B＝60°，AB＝2CD＝10cm. （1） 求证：AD＝BC. Ｅ （第9题） （2） 求AB与CD的距离. Ｄ Ｃ Ａ Ｄ Ｏ Ａ Ｂ Ｂ Ｃ （第10题） （第11题） 11． 如图，Ｏ 是荀ＡＢＣＤ 的对角线的交点．已知△ＯＢＣ 的周长为 59， ＢＤ＝38，ＡＣ＝24.求ＡＤ的长． １2．已知：如图，在荀ＡＢＣＤ中，ＭＮ∥ＡＣ，分别交ＤＡ，ＤＣ的延长线于点 Ｍ，Ｎ，交ＡＢ，ＣＢ于点Ｐ，Ｑ．求证：ＭＱ＝ＮＰ． Ａ Ｍ Ｄ Ａ Ｐ Ｆ Ｇ Ｄ Ｅ Ｃ Ｂ Ｑ Ｎ Ｂ Ｃ （第12题） （第13题） １3． 已知：如图，在△ＡＢＣ中，ＦＧ∥ＤＥ∥ＢＣ，且ＢＤ＝ＤＦ＝ＦＡ． 求证：ＤＥ＋ＦＧ＝ＢＣ． 106 数学 八年级下册●探索并掌握平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形 是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线 4．4节 互相平分的四边形是平行四边形． １4． 已知：如图，在荀ＡＢＣＤ 中，点 Ｅ，Ｆ 分别在ＡＢ，ＣＤ上，且ＡＥ＝ＣＦ． 求证：四边形ＥＢＦＤ是平行四边形． Ｄ Ｆ Ｃ Ａ Ｄ Ｅ Ｇ Ｈ Ｆ Ａ Ｅ Ｂ Ｂ Ｃ （第14题） （第15题） １5． 已知：如图，在荀ＡＢＣＤ中，点Ｇ，Ｈ分别是ＡＢ，ＣＤ的中点，点Ｅ，Ｆ 在ＡＣ上，且ＡＥ＝ＣＦ．求证：四边形ＥＧＦＨ是平行四边形． １6． 已知：如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝Ｒｔ∠，ＡＣ＝4，ＢＣ＝3．将△ＡＢＣ 沿ＡＢ方向平移至△Ａ′Ｂ′Ｃ′，使Ａ′Ｃ′经过ＢＣ的中点Ｄ． （1） 求证：ＡＡ′＝Ａ′Ｂ＝ＢＢ′. （2） 求梯形ＡＢ′Ｃ′Ｃ的面积． E D C Ｃ Ｃ′ O Ｄ A B Ａ Ａ′ Ｂ Ｂ′ F （第16题） （第17题） １7． 已知：如图，在荀ABCD 中，O 为 AC 的中点，EF 过点 O，分别交 AD，CB的延长线于点E，F.求证：四边形AFCE是平行四边形. ●探索并掌握三角形中位线的性质． １8． 已知：如图，在△ＡＢＣ中，中线ＢＥ，ＣＦ交于点Ｏ，Ｇ，Ｈ分别是ＯＢ， 4．5节 ＯＣ的中点，连结ＧＨ，ＥＦ，FG，EH．求证：ＦＧ∥ＥＨ． Ａ Ａ Ｆ Ｅ Ｆ Ｅ Ｏ Ｇ Ｈ Ｂ Ｃ Ｂ Ｄ Ｈ Ｃ （第18题） （第19题） １9． 已知：如图，在△ＡＢＣ中，ＡＨ⊥ＢＣ于点Ｈ，Ｄ，Ｅ，Ｆ分别是ＢＣ，ＡＣ， ＡＢ的中点．求证：△ＤＥＦ≌△ＨＦＥ． 107 第4章 平行四边形●了解中心对称的概念，了解平行四边形是中心对称图形． ●了解中心对称的性质． 会作与已知图形关于已知点成中心对称的图形． 4．3节 ●会在直角坐标系中求已知点关于原点对称的点的坐标． 20． 下列各图案中， 哪些是中心对称图形？ 哪些是轴对称图形？ 哪些 既是中心对称图形，又是轴对称图形？ 哪些既不是轴对称图形，也 不是中心对称图形？ （1） （2） （3） （4） （5） （6） （第20题） 21． 一块蛋糕的形状如图，表面是平行四边形，且有一个圆孔．你能切 一刀把它分成大小相等的两块吗？说出你的切法，并画出示意图． （第21题） ２2． 已知荀ＡＢＣＤ的两条对角线相交于直角坐标系的原点Ｏ，点Ａ，Ｂ的 坐标为（－1，3），（1，2）.求点Ｃ，Ｄ的坐标． ●体会反证法的含义. ●了解定理：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么 4．6节 这两条直线也互相平行. ●会综合运用本章知识解决有关作图、计算和证明问题． 23． 用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空）. 已知：如图，直线l，l 被直线l 所截，∠1＋∠2摇摇 摇摇摇180°. 1 2 3 求证：直线l 与l摇摇 摇摇摇. 1 2 证明：假设l摇摇摇 摇摇l， 1 2 则∠1＋∠2摇摇 摇摇摇180°（ ）. 108 数学 八年级下册这与摇摇摇摇 摇矛盾，故摇摇摇 摇摇不成立. 所以摇摇摇摇摇摇摇摇 摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇. D F C l 3 l 1 2 1 l 2 A E B （第23题） （第24题） 24． 已知：如图，在荀ABCD中，E为AB的中点，EF∥BC，交CD于F. 求证：CF＝DF. 25． 用反证法证明：如果一个三角形的两条较短边的平方和不等于较 长边的平方，那么这个三角形不是直角三角形. 26． 在直角坐标系中，已知点 Ａ（2ａ，ａ－ｂ＋1），Ｂ（ｂ，ａ＋1）关于原点对 称，求ａ，ｂ的值，并写出这两个点的坐标． 27． 如图，Ｏ是等边三角形ＡＢＣ内任意一点，ＯＤ∥ＢＣ，ＯＥ∥ＡＣ，ＯＦ∥ ＡＢ，点Ｄ，Ｅ，Ｆ分别在ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ上．求证：ＯＤ＋ＯＥ＋ＯＦ＝ＢＣ． A F D O B C E （第27题） 109 第4章 平行四边形矩形、菱形、正方形这些特殊四边形具有许多有用的性质，而且 图形工整、匀称、美观，设计方便，在人们的生活和生产实际中有着广 泛的应用． 本章我们将学习矩形、菱形、正方形这些特殊四边形的概念、性 质和判定．5·1矩形 矩形由于具有工整、美观、设计方便等特点，广泛地被人们所采用. 你知道矩形具有哪些一般平行四边形所没有的性质吗？ 用 6 根火柴棒首尾相接摆成一个平行四边形（图 5-1）． ① ② 图5-1 议一议： （1） 能摆成多少个不同的平行四边形？它们有什么共同的特点？ （2） 在这些平行四边形中，有没有面积最大的一个平行四边形？ 说 出你的理由. （3） 这个面积最大的平行四边形的内角有什么特点？ 比较它的两条 对角线的长度，你又发现了什么？ 如图 5-2，我们把有一个角是直角的平行四边形叫做 矩形（ｒｅｃｔａｎｇｌｅ）． 小学里学过的长方形、正方形都是矩形． 在人们的日常生活和生产实际中， 矩形有着广泛的应用， 如书本、黑板、电视机屏幕的表面等一般都采用矩形的形 图5-2 状（如图 5-3）． 图5-3 112 数学 八年级下册矩形是特殊的平行四边形，所以它不但具有一般平行四边形的性质，而 且还具有一些特殊的性质． 定理 1 矩形的四个角都是直角． 定理 2 矩形的对角线相等． 根据矩形的定义和平行四边形内角的性质，容易推得定理 1，请你写出 证明过程． 下面给出定理 2 的证明． Ａ Ｄ 已知：ＡＣ，ＢＤ 是矩形 ＡＢＣＤ 的对角线（图 5-4）． 求证：ＡＣ＝ＢＤ． 证明 在矩形 ＡＢＣＤ 中， Ｂ Ｃ ＡＢ＝ＣＤ（根据什么？）， 图5-4 ∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢ＝Ｒｔ∠（矩形的四个角都是直角）. 又 ＢＣ＝ＣＢ， ∴ Ｒｔ△ＡＢＣ≌Ｒｔ△ＤＣＢ． ∴ ＡＣ＝ＢＤ． 例1 已知：如图5-5， 矩形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，∠ＡＯＤ＝ 120°，ＡＢ＝4ｃｍ． Ａ Ｄ （1） 判断△ＡＯＢ 的形状. 120° （2） 求矩形对角线的长． Ｏ 解 （1） 在矩形 ＡＢＣＤ 中， Ｂ Ｃ ＡＣ＝ＢＤ（矩形的对角线相等）． 图5-5 1 1 ∵ ＯＡ＝ＯＣ＝ ＡＣ，ＯＢ＝ＯＤ＝ ＢＤ（平行四边形的对角线互相 2 2 平分）， ∴ ＯＡ＝ＯＣ＝ＯＢ＝ＯＤ． ∵ ∠ＡＯＤ＝120°， ∴ ∠ＡＯＢ＝60°， ∴ △ＡＯＢ 是等边三角形． （2） ∵ ＡＢ＝4ｃｍ， ∴ ＡＣ＝ＢＤ＝2ＡＢ＝8ｃｍ，即矩形对角线的长为 8ｃｍ． 113 第5章 特殊平行四边形从上例可以看到， 矩形的对角线相等且互相平 ｌ 1 Ｄ Ｃ 分， 并把矩形划分成四个等腰三角形． 如果过对角 线交点 Ｏ 作两条直线 ｌ ，ｌ 分别垂直于矩形的两条 ｌ 1 2 2 Ｏ 相邻的边（图 5-6），那么直线 ｌ ，ｌ 必定分别垂直平 1 2 Ａ Ｂ 分两组对边． 所以，矩形既是中心对称图形，又是轴 图5-6 对称图形，它至少有两条对称轴． １． 已知押如图，在矩形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＣＤ的中点．求证：四 边形ＡＥＦＤ是矩形． Ｄ Ｆ Ｃ Ｄ Ｃ Ｏ Ａ Ｂ Ｅ Ａ Ｂ （第1题） （第2题） ２． 如图，矩形ＡＢＣＤ的两条对角线相交于点Ｏ．图中有多少对全等三角 形？把它们写出来． 3． 已知矩形的周长为56，对角线的交点到短边的距离比到长边的距离 大4.求矩形的各边长. 1． 如图， 矩形ＡＢＣＤ的两条对角线相交于点Ｏ．图中和∠α相等的角 有几个？把它们写出来． Ｄ Ｃ Ａ Ｄ Ｏ α Ｂ Ｃ Ａ Ｂ Ｍ （第1题） （第2题） 2． 已知：如图，在矩形ＡＢＣＤ中，Ｍ为ＢＣ的中点．求证：ＡＭ＝ＤＭ． 3． 已知：如图，过矩形ＡＢＣＤ的顶点作 Ｄ Ｃ ＣＥ∥ＢＤ，交ＡＢ的延长线于点Ｅ． 求证：∠ＣＡＥ＝∠ＣＥＡ． Ｅ Ａ Ｂ （第3题） 114 数学 八年级下册4．（1） 判断如图5×5方格内四边形ＡＢＣＤ是不 Ｃ 是矩形，请说明理由. （2） 以ＤＥ为一边作一个矩形，要求另外两个 Ｄ Ｂ 顶点也在方格顶点上． Ａ 5． 利用矩形的性质定理“矩形的对角线相等”证 Ｅ 明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （第4题） 6． 已知：如图，在矩形ＡＢＣＤ中，Ｅ是ＢＣ上一点， Ａ Ｄ 且ＡＥ＝ＡＤ，ＤＦ⊥ＡＥ于点Ｆ．求证：ＣＥ＝ＦＥ． Ｆ Ｂ Ｅ Ｃ （第6题） 要判定一个四边形是矩形，除了利用定义之外，还有以下的定理： 定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形． 定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形． 请你自己完成定理 1 的证明过程． 下面给出定理 2 的证明． 已知：如图 5-7，在荀ＡＢＣＤ 中，ＡＣ＝ＢＤ． 求证：荀ＡＢＣＤ 是矩形． 分析 要证明荀ＡＢＣＤ 是矩形，只要证明其中一个角是直角，这可以通 过证明一组邻角相等得到． 证明 如图 5-7，在荀ＡＢＣＤ 中，ＡＢ＝ＣＤ． Ａ Ｄ 又 ∵ ＡＣ＝ＤＢ，ＢＣ＝ＣＢ， ∴ △ＡＢＣ≌△ＤＣＢ． ∴ ∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢ． Ｂ Ｃ ∵ ＡＢ∥ＣＤ（根据什么？）， 图5-7 ∴ ∠ＡＢＣ＋∠ＤＣＢ＝180°． 1 ∴ ∠ＡＢＣ＝ ×180°＝90°． 2 ∴ 荀ＡＢＣＤ 是矩形（矩形的定义）． 115 第5章 特殊平行四边形例2 如图 5-8， 一张四边形纸板 ＡＢＣＤ 的两条对角线互相垂直． 若要 从这张纸板中剪出一个矩形，并使它的四个顶点分别落在四边形 ＡＢＣＤ 的 四条边上，可怎样剪？ Ｄ Ｃ Ｄ Ｇ Ｃ Ｏ Ｏ Ｈ Ｆ Ａ Ｂ Ａ Ｅ Ｂ 图5-8 图5-9 解 如图 5-9，分别取 ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ的中点 Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，依次连结 ＥＦ， ＦＧ，ＧＨ，ＨＥ．沿四边形 ＥＦＧＨ 的各条边剪，就能剪出符合要求的矩形．下面 给出证明． ∵ ＥＦ 是△ＡＢＣ 的一条中位线， ∴ ＥＦ∥ＡＣ（根据什么？）． ∵ ＡＣ⊥ＢＤ， ∴ ＥＦ⊥ＢＤ． ∵ ＥＨ 是△ＡＢＤ 的一条中位线， ∴ ＥＨ∥ＢＤ， ∴ ＥＦ⊥ＥＨ，即∠ＨＥＦ＝Ｒｔ∠． 同理，∠ＥＨＧ＝Ｒｔ∠，∠ＨＧＦ＝Ｒｔ∠． ∴ 四边形 ＥＦＧＨ 是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）． １． 判断下列命题是否正确，并说明理由. （1） 对角互补的平行四边形是矩形. （2） 一组邻角相等的平行四边形是矩形. （3） 对角线相等的四边形是矩形. （4）内角都相等的四边形是矩形． 2． 已知：如图，ＡＣ，ＢＤ是矩形ＡＢＣＤ的两 Ｄ Ｃ Ｈ 条对角线，ＡＥ＝ＣＧ＝ＢＦ＝ＤＨ． Ｇ 求证：四边形ＥＦＧＨ是矩形． Ｏ Ｆ Ａ Ｅ Ｂ （第2题） 116 数学 八年级下册1． 已知：如图，在荀ＡＢＣＤ 中，对角线 ＡＣ，ＢＤ 相交于点 Ｏ，∠1＝∠2． 求证：荀ＡＢＣＤ是矩形． Ｄ Ｃ Ｄ Ｃ Ｏ 1 2 Ａ Ｂ Ａ Ｂ （第1题） （第2题） 2． 已知：如图，Ｒｔ△ＡＢＣ≌Ｒｔ△ＣＤＡ，其中点Ａ，Ｄ的对应点分别是Ｃ，Ｂ， ∠Ｂ＝∠Ｄ＝Ｒｔ∠．求证：四边形ＡＢＣＤ是矩形． 3． 已知：如图，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＡＤ，ＣＢ＝ＣＤ，点Ｍ，Ｎ，Ｐ，Ｑ分 别是ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ的中点．求证：四边形ＭＮＰＱ是矩形． A D Ｄ Ｑ Ｐ Ａ Ｃ B C Ｍ Ｎ Ｂ E （第3题） （第4题） 4． 如图，BC是等腰三角形BED的底边ED上的高线，四边形ABEC是 平行四边形.求证：四边形ABCD是矩形. 5． 已知：如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折 H A D 起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形 J EFGH. E G K （1） 求证：四边形EFGH是矩形. （2） 若EH＝3cm，EF＝4cm，求边AD的长. B F C （第5题） 117 第5章 特殊平行四边形5·2菱形 菱形是一种美观且性质丰富的图形.如图是甘肃永昌出土的菱形 图案彩纹陶罐. 观察以下由火柴棒摆成的图形（如图 5-10）． ① ② ③ 图5-10 议一议： （1） 三个图形都是平行四边形吗？ （2） 与图①相比，图②与图③有什么共同特点？ 我们把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（ｒｈｏｍｂｕｓ）．例如，图 5-10 中，图②，图③都是菱形． 菱形具有工整、匀称、美观等许多优点，常被人们用 在图案设计上，如图 5-11． 窗花 比利时地毯 中国古代墙面装饰 图5-11 菱形也是特殊的平行四边形，所以它除具有一般平行四边形的性质外， 还具有一些特殊的性质． 118 数学 八年级下册定理 1 菱形的四条边都相等． 定理 2 菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角． 定理1的证明比较简单，请你自己完成．下面我们给出定理2的证明． 已知：在菱形 ＡＢＣＤ 中（图 5-12），对角线 ＡＣ，ＢＤ 相交于点 Ｏ． 求证：ＡＣ⊥ＢＤ，ＡＣ 平分∠ＢＡＤ 和∠ＢＣＤ，ＢＤ 平 Ｄ 分∠ＡＢＣ 和∠ＡＤＣ． 证明 ∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是菱形， Ｏ Ａ Ｃ ∴ ＡＢ＝ＡＤ（菱形的定义）， ＢＯ＝ＤＯ（根据什么？）． Ｂ 图5-12 ∴ ＡＣ⊥ＢＤ，ＡＣ 平分∠ＢＡＤ． 同理，ＡＣ 平分∠ＢＣＤ，ＢＤ 平分∠ＡＢＣ 和∠ＡＤＣ． 由定理 2 可以得出，菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都 是它的对称轴． 例1 如图5-13，在菱形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，∠ＢＡＣ＝ 30°，ＢＤ＝6. 求菱形的边长和对角线 ＡＣ 的长． 解 在菱形 ＡＢＣＤ 中， Ｄ ＡＢ＝ＡＤ（根据什么？）， Ａ Ｃ ＡＣ 平分∠ＢＡＤ（菱形的每条对角线平 30° Ｏ 分一组对角）． Ｂ 又 ∵ ∠ＢＡＣ＝30°， 图5-13 ∴ ∠ＢＡＤ＝60°， ∴ △ＡＢＤ 是等边三角形， ∴ ＡＢ＝ＢＤ＝6． 又 ∵ ＯＢ＝ＯＤ＝3， ＡＣ⊥ＢＤ（菱形的对角线互相垂直）， 由勾股定理，得 ＡＯ＝姨ＡＢ2－ＢＯ2 ＝姨62－32 ＝3姨 3 ， ∴ ＡＣ＝2ＡＯ＝6姨 3 ． 119 第5章 特殊平行四边形１． 菱形具有而矩形不一定有的性质是（ ） （Ａ） 对角线互相平分． （Ｂ） 四条边都相等． Ａ （Ｃ） 对角相等． Ｂ Ｄ （Ｄ） 邻角互补． Ｅ Ｆ ２． 已知：如图，在菱形 ＡＢＣＤ 中，ＡＥ⊥ＢＣ， Ｃ ＡＦ⊥ＣＤ，垂足为Ｅ，Ｆ．求证：ＡＥ＝ＡＦ． （第2题） １． 已知菱形的两条对角线长分别为ａ，ｂ，求菱形的面积． ２． 已知：如图，在菱形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别是ＣＢ，ＣＤ上的点，且ＢＥ＝ Ａ ＤＦ．求证：∠ＡＥＦ＝∠ＡＦＥ． Ａ Ｂ Ｄ ３． 如图，四边形ＡＢＣＤ和四边形ＡＥＣＦ 都是 菱形，点Ｅ，Ｆ在ＢＤ上． 已知∠ＢＡＤ＝100°， Ｂ Ｄ Ｅ Ｆ Ｅ Ｆ Ｃ ∠ＥＡＦ＝60°，求： （第2题） （1） ∠ＡＢＤ的度数. Ｃ （2） ∠ＢＡＥ的度数． （第3题） ４． 如图，在菱形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别是ＢＣ，ＣＤ的中点，且ＡＥ⊥ＢＣ，ＡＦ⊥ ＣＤ．求菱形各个内角的度数． Ａ Ａ Ｅ Ｂ Ｄ Ｂ Ｄ Ｅ Ｆ Ｃ Ｃ （第4题） （第5题） ５． 如图，在菱形ＡＢＣＤ中，ＣＥ⊥ＡＢ于点Ｅ．已知∠ＢＣＥ＝30°，ＣＥ＝3ｃｍ， 求菱形ＡＢＣＤ的周长和面积． ６． 剪两个全等的等腰三角形（三边不全相等）纸片，拼成一个平行四边 形．有几种拼法？拼出的平行四边形都是菱形吗？如果不都是菱形， 怎样拼才是菱形？说明拼法，并画出示意图． 120 数学 八年级下册取一张长方形纸片，按图 5-14 的方法对折两次，并沿图③中的斜线 （虚线）剪开，把剪下的 I 这部分展开，平铺在桌面上． Ⅱ Ⅰ ① ② ③ 图5-14 议一议： （1） 剪出的这个图形是哪一种四边形？一定是菱形吗？ （2） 根据折叠、裁剪的过程，这个四边形的边和对角线分别具有什么 性质？ （3） 一个平行四边形具备怎样的条件，就可以判定它是菱形？ 一般地，判定菱形有以下的定理： 定理 1 四条边相等的四边形是菱形． 定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 请你自己完成定理 1 的证明． 下面我们给出定理 2 的证明． 已知：如图 5-15，在荀ＡＢＣＤ 中，ＢＤ⊥ＡＣ，Ｏ 为垂足． 求证：荀ＡＢＣＤ 是菱形． Ｄ 证明 在荀ＡＢＣＤ 中， ＡＯ＝ＣＯ（平行四边形的对角线互相平分）． Ａ Ｃ Ｏ ∵ ＢＤ⊥ＡＣ， ∴ ＡＤ＝ＣＤ（根据什么？）． Ｂ 图5-15 ∴ 荀ＡＢＣＤ 是菱形（菱形的定义）． 121 第5章 特殊平行四边形例2 如图 5-16，在矩形 ＡＢＣＤ 中，对角线 ＡＣ 的垂直平分线与边 ＡＤ， ＢＣ 分别交于点 Ｅ，Ｆ． 求证：四边形 ＡＦＣＥ 是菱形． 证明 ∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是矩形， Ａ Ｅ Ｄ ∴ ＡＥ∥ＣＦ（矩形的定义）， 1 Ｏ ∴ ∠1＝∠2． 又 ∵ ∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＦ，ＡＯ＝ＣＯ， Ｂ Ｆ 2 Ｃ ∴ △ＡＯＥ≌△ＣＯＦ， 图5-16 ≌ ∴ ＥＯ＝ＦＯ． ∴ 四边形 ＡＦＣＥ 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四 边形）． 又 ∵ ＥＦ⊥ＡＣ， ∴ 四边形 ＡＦＣＥ 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． １． 如图， 将菱形ＡＢＣＤ沿ＡＣ方向平移至Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′，Ａ′Ｄ′交ＣＤ于点 Ｅ，Ａ′Ｂ′交ＢＣ于点Ｆ．判断四边形Ａ′ＦＣＥ是不是菱形，并说明理由． Ｄ Ｄ′ Ｅ Ａ Ｃ′ Ａ′ Ｃ Ｆ Ｂ Ｂ′ （第1题） ２． 说出命题“菱形的对角线互相垂直”的逆命题，并判断它是否成立． 如图5-17，ＤＦ，ＥＦ是△ＡＢＣ的两条中位线．我们探究的问题是：这两条中 位线和三角形的两条边所围成的四边形的形状与原 Ａ 三角形的边或角有什么关系？ 建议按下列步骤探索： （1） 围成的四边形是否必定是平行四边形？ Ｄ Ｆ （2） 在什么条件下，围成的四边形是菱形？ （3） 在什么条件下，围成的四边形是矩形？ Ｂ Ｅ Ｃ （4） 你还能发现其他什么结论吗？ 图5-17 122 数学 八年级下册１． 如图，在△ＡＢＣ 中，ＡＢ＝ＡＣ． △ＡＢＣ 经怎样的 Ｃ 运动，所得图形与△ＡＢＣ组成一个菱形？ 叙述 α 图形的运动过程，并作出所得的图形． Ｂ ａ ２． 已知∠α和线段ａ，如图． 用直尺和圆规作一个 Ａ （第1题） （第2题） 菱形，使它的一个内角等于∠α，边长为ａ． ３． 已知：如图，在四边形 ＡＢＣＤ 中，ＡＣ＝ＢＤ． Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ 依次是 ＡＢ， ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ的中点．求证：四边形ＥＦＧＨ是菱形． Ｄ Ｇ Ｃ Ｅ Ｈ Ｄ Ｃ Ｆ Ａ Ｏ Ｅ Ａ Ｂ Ｂ （第3题） （第4题） ４． 已知：如图，Ｏ 是矩形 ＡＢＣＤ 的对角线的交点． 作ＤＥ∥ＡＣ，ＣＥ∥ ＢＤ，ＤＥ，ＣＥ相交于点Ｅ．求证：四边形ＯＣＥＤ是菱形． ５． 在直角坐标系中， 四边形 ＡＢＣＤ 的顶点 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ 的坐标依次为 （－1，0），（ｘ，ｙ），（－1，5），（－7，ｚ）．求ｘ，ｙ，ｚ的值，使得四边形ＡＢＣＤ 是菱形． 5·3正方形 给你一张正方形的彩色纸，你能一刀剪出如图所示的 正方形孔吗？ 回顾并思考： 1． 我们已经学习过哪些特殊的平行四边形？ 2． 是否存在一组邻边相等的特殊的矩形？ 若存在，它是什么图形？ 3． 是否存在一个角是直角的菱形？ 若存在，它是什么图形？ 123 第5章 特殊平行四边形在图 5-18 中填上各种图形的名称和转化的条件. 条件： 条件： （ ） 条件： （ ） （ ） （ ） （ ） 条件： 条件： 图5-18 我们把有一组邻边相等， 并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方 形（ｓｑｕａｒｅ）． 正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形. 完成图 5-18 的填空 后，我们就能得到一些正方形的判定定理，如： 有一组邻边相等的矩形是正方形. 有一个角是直角的菱形是正方形. 你还得到哪些判定一个四边形是正方形的定理？把它们写下来，与你的 同伴交流. 判断题（对的在括号内打“菁”，错的在括号内打“×”）： （1） 对角线互相垂直，一个角是直角的四边形是正方形. （ ） （2） 如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形. （ ） （3） 如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它一定是正方形. （ ） （4） 四条边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形. （ ） 例1 已知：如图 5-19，在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中，∠ＡＣＢ＝90°，ＣＤ 是∠ＡＣＢ 的平分线，ＤＥ⊥ＢＣ，ＤＦ⊥ＡＣ，垂足分别是 Ｅ，Ｆ． Ｃ 求证：四边形 ＣＦＤＥ 是正方形． Ｆ 12 Ｅ 证明 ∵ ＤＥ⊥ＢＣ，ＤＦ⊥ＡＣ， ∴ ∠ＤＥＣ＝∠ＤＦＣ＝90°． Ａ Ｄ Ｂ 图5-19 而∠ＡＣＢ＝90°， ∴ 四边形 ＣＦＤＥ 是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）． 又 ∵ ＣＤ 是∠ＡＣＢ 的平分线， ∴ ∠1＝∠2， ∴ ＤＥ＝ＤＦ（为什么？）． ∴ 四边形 ＣＦＤＥ 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）． 124 数学 八年级下册Ａ Ｄ １． 已知：如图，△ABD 和△BCD 都是等腰直角三角形，∠A＝∠C＝ Rt∠.求证：四边形ABCD是正方形. Ｂ Ｃ ２． 求证：依次连结正方形各边中点所成的四边形是正方形． （第1题） １． 将一张正方形纸片按如图步骤①，②，沿虚线对折两次，然后沿③中 的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（ ） ① ② ③ （第1题） （Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） 2． 判断命题“对角线互相垂直且相等的四边形是正方形”是否成立. 如果认为不成立，请增加一个条件使它成立. G Ｄ Ｃ 3． 求证：矩形的各内角平分线围成的四边形是正 H 方形. Ｆ 4． 已知：如图，在正方形 ABCD 中，E，F，G，H 分 别是它的四条边上的点，且 AE＝BF＝CG＝ Ａ Ｂ Ｅ DH.求证：四边形EFGH是正方形. （第4题） 5． 已知在直角坐标系中，四边形ABCD的四个顶点坐标依次是A（－a，－b）， B（a，－b），C（a，b），D（－a，b）.这个四边形是正方形吗？ 如果认为 是正方形，给出证明；如果认为不一定是正方形，请增加一个条件， 使它是正方形（不必证明）. 125 第5章 特殊平行四边形正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，所以正方形同时具有矩形和 菱形的所有性质，于是就有以下定理： 正方形的四个角都是直角，四条边相等． 正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组 对角． 例2 已知：如图 5-20，在正方形 ABCD 中，G 是对角线 BD 上的一点， GE⊥CD，GF⊥BC，E，F 分别为垂足，连结 AG，EF.求证：AG＝EF. 分析 由已知可得，BD 平分∠ADC，AD＝CD.如果连结 CG，那么很 容易发现△AGD≌△CGD，得 AG＝CG.由此我们只需证明四边形 FCEG 是矩形，就能完成证明. 证明 如图 5-20，连结 CG. Ａ Ｄ 在△AGD 和△CGD 中， G Ｅ ∠ADG＝∠CDG（正方形的对角线平分一组对角）， DG＝DG，AD＝CD（正方形的四条边相等）， ∴ △AGD≌△CGD， Ｂ Ｆ Ｃ ∴ AG＝CG. 图5-20 ∵ GE⊥CD，GF⊥BC， ∴ ∠GFC＝∠GEC＝Rt∠. 又 ∵ ∠BCD＝Rt∠（正方形的四个角都是直角）， ∴ 四边形 FCEG 是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）， ∴ EF＝CG（矩形的两条对角线相等）， ∴ AG＝EF. １． 正方形具有而菱形不一定有的性质是（ ） （Ａ） 四条边相等． （Ｂ） 对角线互相垂直平分． （Ｃ） 对角线平分一组对角． （Ｄ） 对角线相等． 126 数学 八年级下册2． 如图，在正方形 ABCD 中，延长 BC 至 E，使 CE＝CA.求∠CAE 的 度数. A D A D M B C E B C （第2题） （第3题） 3． 如图，在正方形ABCD中，M是正方形内一点，且 MC＝MD＝AD. 求∠BAM的度数. １． 正方形具有而矩形不一定有的性质是（ ） （Ａ） 四个角相等． （Ｂ） 对角线互相垂直． （Ｃ） 对角线相等． （Ｄ） 对角互补． 2． 如图，正方形ABCD的边长为8，E为边AD上一点.若 BE＝10，则 CE＝摇摇摇摇 摇. Ａ Ｄ A E D D F C M E Ｆ B C A B Ｂ Ｅ Ｃ （第2题） （第3题） （第4题） 3． 已知：如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AD，CD上的点，且DE＝ DF，BM⊥EF于点M.求证：ME＝MF. 4． 已知：如图，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别是ＢＣ，ＣＤ上的点，ＡＥ⊥ＢＦ． 求证：ＡＥ＝ＢＦ． 5． 如图，在直角坐标系中，正方形ＡＢＣＤ的对角 ｙ 线交点是原点Ｏ，两组对边分别与ｘ轴，ｙ轴 Ｄ Ｃ 平行．若正方形的对角线长为２姨２，求正方 Ｏ ｘ 形各顶点的坐标． Ａ Ｂ （第5题） 127 第5章 特殊平行四边形6． 如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大正方形的边长为7ｃｍ． （1） 求Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四个正方形的面积之和. （2） 若其中每个直角三角形的最短边与最长边的长度之比都为3∶5， 求正方形Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的面积． Ｃ Ｂ Ｄ Ａ 7ｃｍ （第6题） 准备一张矩形纸片和一张平行四边形纸片，尝试以下操作. 1. 把平行四边形纸片割补成一个矩形.怎样操作能使分割线的条数最少？ 2. 把矩形纸片割补成有一个角为60°的平行四边形.怎样 D C 操作能使分割线最少？ 通过上述活动，你获得哪些经验？ G F (请与你的同伴交流) 试一试：两张正方形纸片拼在一起，如图5-21.把它割补 A B E 成一个更大的正方形，并使分割线的条数最少. 图5-21 128 数学 八年级下册有趣的拼图 让我们先做一个简单的游戏. 如图 5-22 表示一个乒乓球放在由四根木棒搭成的“杯 子”里. 你能只移动其中的两根木棒，使乒乓球跑到“杯子” 外面吗？ 试一试. 图5-22 现在我们来讨论下面的问题. 如图 5-23 是由8个全等的正方形拼成的图形. 能否只剪两刀，将它分成三 块，拼成一个大正方形？ 我们可以这样来思考： 如果设每个小正方形的面积为 1，则拼成的大正方 形的面积为 8，其边长为 2姨 2 . 由此可见，剪痕应是 2×2 方格的对角线.如图 5-24，沿 AB，CD 各剪一刀，就可以拼成如图 5-25 的大正方形. Ｃ Ａ Ｄ Ｂ 图5-23 图5-24 图5-25 试一试： 如图 5-26 是由 5 个全等的正方形拼成的图形. 把它剪拼成一个大正方 形，并使剪痕的条数最少. 本文开头有关乒乓球的拼图游戏你做出来了吗？ 答案如图 5-27. 图5-26 图5-27 129 第5章 特殊平行四边形填空． 有一个角是直角的 是正 方形. 1． 有一个角是 的 4． 几种四边形的关系可表示为： 叫做矩形． 矩形的 个角都是直角． 条件： 矩形的对角线 ． （ ） （ ） 矩形既是 对称图形，又是 条 对称图形，它至少有 条对称轴． 件 ： ： 有 个角是直角的四边形是矩 件 条 形． 对角线相等的 是矩形． （ ） （ ） 2． 一组 相等的 条 叫做菱形． 件 ： ： 菱形的 条边都相等． 件 条 菱形的 互相垂直，并且每条 （ ） 对角线平分 ． 菱形既是 对称图形，又是 图5-28 对称图形，它至少有 条对称轴． 四条边相等的四边形是 ． 填表. 对角线 的平行四边形 是菱形． 学会程度 技能内容 学 会 基本学会 不 会 3． 有一组 相等，并且有一个 运用矩形、菱形和 角是 的平行四边形叫做正方形． 正方形的性质进 行计算和证明几 正方形的 个角都是直角，四条 何命题 边都 ． 判定一个平行四 正方形的对角线 ， 并且 边形是矩形、菱 形、正方形 ，每条对角线平分一组 ． 正方形既是 对称图形，又是 对称图形，有 条对称轴． 有一组邻边相等的 是 正方形. 130 数学 八年级下册●理解矩形、菱形的概念，探索并证明矩形、菱形的性质定理，以及它 们的判定定理. 5．1节5．2节 ｙ １． 在矩形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ相交于 Ｄ 2 Ｃ 点Ｏ，ＡＣ＝10，∠ＡＣＢ＝30°，则∠ＡＯＢ＝ 1 Ｐ ，ＣＤ＝ ． Ａ Ｂ －2 －1 O 1 2 ｘ ２． 如图，在直角坐标系中，已知矩形 ＡＢＣＤ. －1 写出它的各个顶点及对角线 ＡＣ，ＢＤ 的 －2 交点P的坐标． （第2题） ３． 已知：如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＥ⊥ＢＤ于点Ｅ，ＢＦ⊥ＡＣ于点Ｆ． 求证：ＡＥ＝ＢＦ． Ａ Ｄ Ｃ Ｅ Ｆ Ｅ Ｄ Ｏ Ａ Ｂ Ｐ Ｂ Ｃ （第3题） （第4题） ４． 已知：如图，Ｐ，Ｂ，Ｃ在同一条直线上，ＢＤ，ＢＥ分别是∠ＡＢＣ与∠ＡＢＰ 的平分线，ＡＥ⊥ＢＥ，ＡＤ⊥ＢＤ，Ｅ，Ｄ为垂足．求证：四边形ＡＥＢＤ是矩形． ５． 已知：如图，在荀ABCD中，E，F为BC上的两点，且BE＝CF，AF＝ DE.求证： （1） △ABF≌△DCE. （2） 荀ABCD是矩形. A D B E F C （第5题） Ｄ Ｃ 6． 已知菱形的周长为16ｃｍ，一个内角为60°， 求菱形的面积． Ｏ 7． 如图，菱形 ＡＢＣＤ 的对角线交于点 Ｏ． 已知 ＡＣ＝16ｃｍ，ＢＤ＝12ｃｍ，求菱形ＡＢＣＤ的高 Ａ Ｂ （第7题） 线长． 131 第5章 特殊平行四边形8． 如图图案由6个正三角形组成．找出图中所有的菱形． Ｅ Ｄ Ｆ Ｏ Ａ Ｄ Ｆ Ｃ Ｏ Ｂ Ｃ Ａ Ｂ Ｅ （第8题） （第9题） 9． 如图，在矩形 ＡＢＣＤ 中，Ｏ 是 ＡＣ 与 ＢＤ 的交点，过 Ｏ 的直线分别 与 ＡＢ，ＣＤ的延长线交于点 Ｅ，Ｆ． 当 ＡＣ 与 ＥＦ 满足什么条件时， 四边形ＡＥＣＦ是菱形？请给出证明． ●理解正方形的概念， 探索并掌握正方形的对称性及其他有关性质， 以及一个四边形是正方形的条件． 5．3节 10． 如图，以正方形 ＡＢＣＤ 的一边 ＡＤ为边向外作等边三角形ＡＤＥ， 则∠ＢＥＤ等于（ ） （Ａ） 30°． （Ｂ） 37．5°． （Ｃ） 45°． （Ｄ） 50°． Ｂ Ａ Ａ Ｄ Ｏ Ｅ Ｅ Ｐ Ｆ Ｃ Ｄ Ｂ Ｃ （第10题） （第11题） 11． 已知：如图，在正方形 ＡＢＣＤ 中，ＡＣ，ＢＤ 相交于点 Ｏ，Ｅ 为 ＯＢ 上 一点，ＤＦ⊥ＥＣ于点Ｆ，交ＣＯ于点Ｐ．求证：ＯＥ＝ＯＰ． 12． 如图，在荀ＡＢＣＤ中，AB边上的高线长与AB边的长相等.你能把 荀ＡＢＣＤ割补成一个正方形吗？若能，请说明方法及理由. D C D C F E A B A B H （第12题） （第13题） 13． 已知：如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，EF⊥AC， 交AD，AB于点F，H.求证：CF＝CH. 132 数学 八年级下册●会初步综合应用特殊平行四边形的知识，解决一些简单的实际问题． １4． 如图，菱形花坛ＡＢＣＤ的边长为６m，∠Ｂ＝60°，其中由两个正六 边形（各条边都相等，各个内角都相等）组成的图形部分种花，求种 花部分的周长和面积． Ａ Ｂ Ｄ Ｃ （第14题） １5． 如图所示的红丝带是全世界关心艾滋病患者行动的标志，它将宽 1cm的红丝带交叉成60°角重叠在一起.求重叠部分四边形的面积. 60° 16． 有一张三角形纸片，要把它剪拼成一个矩形，要求剪的刀数尽可能 （第15题） 少.应怎样剪拼？请画出示意图. 133 第5章 特殊平行四边形 一名工人一天能做６～８个某种型号的工艺品．若某工艺品厂每 天生产６０个这种工艺品，则需要工人多少人？ 如下图，阻力为１０００Ｎ，阻力臂长为５ｃｍ，那么动力ｙ（Ｎ）与动力 臂长ｘ（ｃｍ）之间有怎样的函数关系？ 解决上述问题涉及反比例函数的概念．反比例函数是刻画现实世 界的重要数学模型，在人们的生活、生产以及科研中有着广泛的应用． 本章我们将学习反比例函数的概念、图象和性质，以及反比例函数的 一些简单的实际应用． /6·1反比例函数 一辆汽车前灯灯泡的亮度与通过的电流大小有关.电 流越大，灯就越亮.如果电压不变，电阻增大了，那么汽车前 灯的亮度将发生什么变化？你能用数学方法给出解释吗？ 在小学里我们已经学过，如果两个变量的积是一个不为零的常数，我 们就说这两个变量成反比例． 思考并回答下面的问题． 1． 北京到杭州铁路线长为1661ｋｍ．一列火车从北京开往杭州，记火车全 程的行驶时间为ｘ（ｈ），火车行驶的平均速度为ｙ（ｋｍ/ｈ），你能完成表 6-1 吗？ ｙ 与 ｘ 有什么数量关系？能用一个函数表达式表示吗？ 表6-1 ｘ（ｈ） 12 15 17 22 ｙ（ｋｍ/ｈ） 87．4 2． 测量质量都是 100ｇ 的金、铜、铁、铝四种金属块的体积 Ｖ（ｃｍ3），获 得数据如表 6-2 所示． 表中 ρ（ｇ/ｃｍ3）表示金属块的密度． 已知锌的密度 是 7．14ｇ/ｃｍ3，金的密度是 19．30ｇ/ｃｍ3，请完成表 6-2． Ｖ与ρ有什么数量关 系？能用一个函数表达式表示吗？ 表6-2 金属种类 金 铜 铁 锌 铝 相关量 Ｖ（ｃｍ3） 5．18 11．21 12．82 35．84 ρ（ｇ/ｃｍ3） 19．30 7．14 ｋ 我们把函数 ｙ＝ （ｋ 为常数，ｋ≠0）叫做反比例函数（ｒｅｃｉｐｒｏｃａｌ ｆｕｎｃ－ ｘ ｔｉｏｎ）． 这里 ｘ 是自变量，ｙ 是关于 ｘ 的函数，ｋ 叫做比例系数． 例如，前面得到 1661 100 的 ｙ＝ ，ρ＝ 都是反比例函数，其中比例系数分别是 1661，100． ｘ Ｖ 显然，反比例函数的自变量 ｘ 的取值不能为零． 136 数学 八年级下册下列函数中，哪些是反比例函数？是反比例函数的，指出其比例 系数和自变量的取值范围. 1 －3 1 2 （1）ｙ＝ ｘ.（2） ｙ＝ .（3） ｙ＝ .（4） ｙ＝ ． 2 ｘ 3ｘ ｘ－3 例1 如图 6-1，阻力为 1000Ｎ，阻力臂长为 5ｃｍ．设动力为 ｙ（Ｎ），动力 臂长为 ｘ（ｃｍ）（图中杠杆本身所受重力略去不计．杠杆平衡时，动力×动力 臂＝阻力×阻力臂）． 动力 阻力 动力臂 阻力臂 图6-1 （1） 求 ｙ 关于 ｘ 的函数表达式． 这个函数是反比例函数吗？ 如果是，说 出比例系数. （2）求当 ｘ＝50 时，函数 ｙ 的值，并说明这个值的实际意义. （3） 利用ｙ关于 ｘ的函数表达式，说明当动力臂长扩大到原来的ｎ（ｎ＞1） 倍时，所需动力将怎样变化？ 解 （1）根据题意，得 ｙ×ｘ＝1000×5， 5000 所以所求函数的表达式为 ｙ＝ ． ｘ 这个函数是反比例函数，比例系数是 5000． （2）当 ｘ＝50 时， 5000 5000 ｙ＝ ＝ ＝100（Ｎ）． ｘ 50 这个函数值的实际意义是，当动力臂长为 50ｃｍ 时，所需动力为 100Ｎ． （3）设原来的动力臂长为 ｄ（ｃｍ），动力为 ｙ（Ｎ）；扩大后的动力臂长为 1 ｎｄ（ｃｍ）（ｎ＞1），动力为 ｙ（Ｎ）． 2 5000 将 ｘ＝ｄ，ｘ＝ｎｄ 分别代入 ｙ＝ ， ｘ 137 第6章 反比例函数5000 5000 得 ｙ ＝ ， ｙ ＝ ． 1 ｄ 2 ｎｄ 1 ∴ ｙ ＝ ｙ ． 如果把动力臂长缩 2 ｎ 1 1 小到原来的 ，那么所 ｎ 所以当动力臂长扩大到原来的 ｎ 倍时，所需动 需动力将怎样变化？ 1 力缩小到原来的 ． ｎ 5 １． 已知反比例函数ｙ＝－ ． 3ｘ （1） 说出比例系数. （2） 求当ｘ＝－10时函数的值. 1 （3） 求当ｙ＝2 时自变量ｘ的值． 2 ２． 设面积为10ｃｍ2的三角形的一条边长为 ａ（ｃｍ），这条边上的高线 长为ｈ（ｃｍ）． （1） 求ｈ关于ａ的函数表达式和自变量ａ的取值范围. （2） ｈ 关于 ａ 的函数是不是反比例函数？ 如果是，说出它的比例 系数. （3） 求当边长ａ＝2郾5ｃｍ时，这条边上的高线长． １． 下列各问题情境中均包含一对变量，其中哪些成正比例，哪些成反 比例，哪些既不成正比例，又不成反比例？ （1） 汽车沿一条公路从Ａ地驶往Ｂ地所需的时间ｔ与平均速度ｖ. （2） 圆的周长ｌ与圆的半径ｒ. （3） 圆的面积Ｓ与圆的半径ｒ. （4） 100元钱购买糖果的千克数y与糖果的单价x． ２． 下列y关于x的函数中，哪些是反比例函数？是反比例函数的，指出 它的比例系数． π （1） ｙ＝ . （2） ｙ＝姨2 ｘ. ｘ 4 ｋ （3） ｙ＝－ . （4） ｙ＝ （ｋ≠0）． ｘ ｘ2 138 数学 八年级下册12 ３． 已知反比例函数ｙ＝－ ． ｘ （1） 说出这个函数的比例系数和自变量的取值范围. （2） 求当ｘ＝－3时函数的值. （3） 求当ｙ＝－姨3 时自变量ｘ的值. ４． Ａ，Ｂ两地相距200ｋｍ.一辆汽车从Ａ地驶往Ｂ地，速度为ｖ（ｋｍ/ｈ）， 驶完全程的时间为ｔ（ｈ）.求ｖ关于ｔ的函数表达式.若汽车驶完全 程用了1郾8ｈ，求汽车的速度（精确到1ｋｍ/h）． ５． 一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，所受的重力为250Ｎ，木桶 对杆的拉力的作用点到支点的杆长为1郾2ｍ.杆与水平线的倾斜角 为45°.设在杆的另一端施加的 阻力臂 动力臂 压力为 ｐ（Ｎ），压力作用点到支 点的距离为ｄ（ｍ）（杆自身所受 阻力 的重力略去不计）. （1） 求ｐ关于ｄ的函数表达式. （2） 若ｄ＝2郾4ｍ，则杆的另一端 动力 所加压力为多少牛？ （第5题） ６． 已知变量ｘ，ｙ满足（ｘ＋ｙ）2＝ｘ2＋ｙ2－2.问：ｘ，ｙ是否成反比例？请说 明理由． ｋ 要确定一个反比例函数 ｙ＝ 的表达式，只需求出比例系数 ｋ．如果已 ｘ 知一对自变量与函数的对应值，就可以由此求出比例系数，然后写出所求 的反比例函数． 例2 已知 ｙ 是关于 ｘ 的反比例函数， 当 ｘ＝0郾3 时，ｙ＝－6． 求 ｙ 关于 ｘ 的函数表达式和自变量 ｘ 的取值范围． 解 ∵ ｙ 是关于 ｘ 的反比例函数， ｋ ∴ 可设 ｙ＝ （ｋ 为常数，ｋ≠0）． ｘ 139 第6章 反比例函数ｋ ｋ 将 ｘ＝0郾3，ｙ＝－6 代入 ｙ＝ ，得－6＝ ， ｘ 0郾3 解得 ｋ＝－1郾8． －1郾8 所以所求的函数表达式为 ｙ＝ ， 自变量 ｘ的取值范围为 ｘ≠0的 ｘ 全体实数． 例3 一辆汽车前灯电路上的电压保持不变， 通过灯泡的电流越大， 灯就越亮. 设选用灯泡的电阻为 Ｒ（Ω），通过的电流强度为（Ｉ Ａ）． （1） 若电阻为 30Ω，通过的电流强度为 0．40Ａ，求 Ｉ关于 Ｒ 的函数表达 式，并说明比例系数的实际意义. （2） 如果电阻大于 30Ω，那么与原来的相比，汽车前灯的亮度将发生 什么变化？ 解 （1） 在题设条件下，电压 Ｕ 是不为零的常数． 由欧姆定律知，Ｉ 与 Ｕ Ｒ 成反比例，设 Ｉ＝ ． Ｒ 由题意知，当 Ｒ＝30Ω 时， Ｉ＝0郾40Ａ， Ｕ ∴ 0郾40＝ ， 30 ∴ Ｕ＝0郾40×30＝12（Ｖ）． 12 所以所求的函数表达式为 Ｉ＝ ． 比例系数是 12，在本题中的实际意 Ｒ 义是指汽车前灯的电压为 12Ｖ． 12 （2） 设电阻 Ｒ′＞30Ω，此时通过灯泡的电流强度 Ｉ′＝ ． Ｒ′ ∵ Ｒ′ ＞30， 12 12 ∴ ＜ ，即 Ｉ′ ＜0郾40. Ｒ′ 30 也就是说，当电阻大于30Ω时，电流强度Ｉ变小，汽车前灯将变暗． 3 １． 已知ｙ是关于ｘ的反比例函数，当ｘ＝－ 时，ｙ＝2．求这个函数的 4 表达式和自变量的取值范围． 140 数学 八年级下册1 ｋ 2 ２． 若当ｘ＝ 时，正比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠0）与反比例函数ｙ＝ （ｋ≠0） 2 1 1 ｘ 2 的值相等，则ｋ 与ｋ 的比是（ ） 1 2 （Ａ）4∶1. （Ｂ）2∶1. （Ｃ）1∶2. （Ｄ）1∶4． ３． 已知ｙ与ｚ成正比例，ｚ与ｘ成反比例．当ｘ＝－4时，ｚ＝3，ｙ＝－4． 求： （1） ｙ关于ｘ的函数表达式. （2） 当ｚ＝－1时，ｘ，ｙ的值． ｋ １． 已知反比例函数ｙ＝ （ｋ≠0），当ｘ＝姨2 时，ｙ＝－2姨2 ，则比例 ｘ 系数ｋ的值是 ． 3 4 2． 已知ｘ与ｙ成反比例，且当ｘ＝－ 时，ｙ＝ ．求： 4 3 （1） ｙ关于ｘ的函数表达式. 2 （2） 当ｘ＝－ 时，ｙ的值． 3 3． 在面积为定值的一组矩形中，当矩形的一边长为7郾5ｃｍ时，它的另 一边长为8ｃｍ． （1） 设矩形相邻的两边长分别为 ｘ（ｃｍ），ｙ（ｃｍ），求 ｙ 关于 ｘ 的 函数表达式． 这个函数是反比例函数吗？如果是，指出比例 系数. （2） 若其中一个矩形的一条边长为 5ｃｍ，求这个矩形与之相邻的 另一边长． 4． 已知ｙ是关于ｘ的反比例函数，ｘ，ｙ 和 ｘ，ｙ 是自变量与函数的两 1 1 2 2 组对应值.下面关系式中，哪些成立？哪些不成立？你是怎样判断的？ （1）ｘｙ＝ｘｙ. （2） ｘ 1＝ ｙ 1. 1 1 2 2 ｘ ｙ 2 2 （3） ｘ 1 ＝ ｘ 2. （4） ｘ 1 ＝ ｙ 2． ｙ ｙ ｘ ｙ 1 2 2 1 k 1 5． 已知反比例函数ｙ＝ （k≠0），当自变量 ｘ 变为原来的 （n 为正 ｘ n 整数，且n≥2）时，函数ｙ将怎样变化？请说明理由. 141 第6章 反比例函数6·2反比例函数的图象和性质 已知一盏电灯的额定电压为220Ｖ．要使灯泡钨丝的电流强度限定为 不得超过0郾1136Ａ，如何确定灯泡电阻的选择范围? 6 1． 根据下列步骤，在直角坐标系中画出反比例函数 ｙ＝ 的图象． ｘ （1） 列表． 根据表 6-3 中 ｘ 的取值，求出对应的 ｙ值，填入表 6-3 内． 观察 ｘ 值的取法，从中你能获得哪些经验？ 表6-3 ｘ … －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 … ｙ … －2 … （2） 以表中各组对应值为点的坐标，在直角坐标系中描出相应的点. （3） 先在第一象限内，按自变量由小到大的顺序，将点用光滑曲线 连结，得到图象的一个分支；再在第三象限内画出图象的另一个分支． 2． 如图6-2，在图象的任一个分支上 ｙ 任意取一些点，如（3，2），（－6，－1），然后 6 6 ｙ＝ ｘ 在直角坐标系中分别作出它们关于原 4 点的对称点． 你发现了什么？ 你认为反 （3，2） 2 比例函数的图象具有怎样的对称性？ 3． 在同一个直角坐标系中画出反比 －6 －4 －2 Ｏ 2 4 6 ｘ （－6，－1） －6 －6 －2 例函数 ｙ＝ 的图象，并比较ｙ＝ ｘ ｘ －4 6 与 ｙ＝ 的图象， 概括出反比例函数 ｘ －6 图6-2 ｋ ｙ＝ （ｋ≠0）的图象在位置和对称性方面的性质． ｘ 142 数学 八年级下册ｋ 一般地，反比例函数 ｙ＝ （ｋ≠0）的图象有下面的特征： ｘ ｋ 反比例函数 ｙ＝ （ｋ≠0）的图象是由两个分支组成的曲线髴．当ｋ＞0 ｘ 时，图象在一、三象限；当ｋ＜0时，图象在二、四象限． ｋ 反比例函数 ｙ＝ （ｋ≠0）的图象关于直角坐标系的原点成中心 ｘ 对称． ｋ 例1 已知反比例函数 ｙ＝ （ｋ≠0）的图象的一支如图 6-3 所示，它 ｘ 经过点 B（－4，2）． （1） 判断 ｋ 是正数还是负数. （2） 求这个反比例函数的表达式. （3） 补画这个反比例函数图象的另一支． ｙ Ｄ 8 6 Ｃ 4 Ｂ（－4，2） Ａ 2 －8－6－4－2Ｏ 2 4 6 8 ｘ －2 －4 －6 －8 图6-3 ｋ 解 （1） 因为反比例函数ｙ＝ （ｋ≠0）的图象的一支在第二象限，所以 ｘ 图象上的点的横坐标与纵坐标异号，即 ｋ＝ｘｙ ＜0． ｋ （2） 将图象上点Ｂ的横坐标－4，纵坐标2分别代入表达式ｙ＝ （ｋ≠0）， ｘ ｋ 得 2＝ ，解得 ｋ＝－8. －4 髴是双曲线的一种，双曲线的定义将在高中阶段学习． 143 第6章 反比例函数－8 所以所求的反比例函数的表达式是ｙ＝ ． ｘ （3） 在已知图象上分别取一些点 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，作出它们关于原点中心 对称的点 Ａ′，Ｂ′，Ｃ′，Ｄ′，然后用光滑曲线把它们依次连结，这样就得到反 －8 比例函数 ｙ＝ 的图象中的另一分支（图 6-4）. ｘ ｙ Ｄ 8 6 Ｃ 4 Ｂ（－4，2） Ａ 2 －8－6－4－2Ｏ 2 4 6 8 ｘ －2 Ａ′ Ｂ（′ 4，－2） －4 Ｃ′ －6 －8 Ｄ′ 图6-4 １． 下列反比例函数的图象分别在哪两个象限？ ｙ 3 1 （1）ｙ＝ . （2）ｙ＝－ ． ｘ ｘ ｋ ２． 如图，已知反比例函数ｙ＝ （ｋ≠0）的图象 ｘ Ｏ ｘ 的一个分支，补画它的另一个分支． ｋ ３． 已知反比例函数ｙ＝ （ｋ≠0）的图象上一 ｘ （第2题） 点的坐标为（－姨2 ，2），求这个反比例函数的表达式． 12 １． 用描点法画出反比例函数ｙ＝ 的图象． ｘ ｋ ２． 分别根据下列条件判断反比例函数 ｙ＝ （ｋ≠0）的图象所在的 ｘ 象限： 144 数学 八年级下册（1） ｋ＜0. （2） ｋ ＞0. （3） 图象上一点的坐标为（π，－姨17）. （4） 与正比例函数ｙ＝－4ｘ 的图象有公共点． ｋ 3． 已知反比例函数ｙ＝ （ｋ≠0）的图象上一点的坐标为（－1，－4）， ｘ 求这个反比例函数的表达式，并画出它的图象． 4 4． 已知一次函数y＝kｘ＋b的图象与反比例函数y＝ 的图象交于点 x A（2，2），B（－1，m），求一次函数的表达式. ｋ 5． 已知反比例函数 ｙ＝ （ｋ＞0）的图象如图． 你认为利用怎样的图 ｘ ｋ 形运动就能得到反比例函数 ｙ＝－ （ｋ＞0）的图象？ 请画出这个 ｘ 图象． ｙ ｋ ｙ＝ ｘ Ｏ ｘ （第5题） ｋ 我们知道，反比例函数 ｙ＝ （ｋ≠0）的图象关于坐标原点成中心对称.仔细观 ｘ 察，反比例函数的图象还具备怎样的对称性？ 你能设计一个实验来验证你的判断吗？ 在班上交流你的方法.你能用推理的方法证明你的判断吗？这有一定的难度，试试看！ 145 第6章 反比例函数观察表 6-4 中反比例函数的图象，你能根据反比例函数的图象发现 反比例函数的有关性质吗？ 把你的思考结果简要地填入表 6-4 相应的空 格部分． （可与你的同伴交流） 表6-4 在图象所在的每一个象 反比例 图象的 图象的 图象 限内，当 ｘ 增大时，ｙ 的 函数 位置 对称性 变化规律 ｙ ｋ ｙ＝ ｘ Ｏ ｘ （ｋ＞0） ｙ ｋ ｙ＝ ｘ Ｏ ｘ （ｋ＜0） ｋ 一般地，反比例函数 ｙ＝ （ｋ≠0）还有以下性质： ｘ 当 ｋ＞0 时，在图象所在的每一象限内，函数值 ｙ 随自变量 ｘ 的增大 而减小；当 ｋ＜0 时，在图象所在的每一象限内，函数值 ｙ 随自变量 ｘ 的 增大而增大． 用“＞”或“＜”填空： π （1） 已知ｘ，ｙ 和ｘ，ｙ 是反比例函数ｙ＝ 的两对自变量与函数的对 1 1 2 2 ｘ 应值．若ｘ＜ｘ＜0，则0 ｙ ｙ. 1 2 1 2 ａ2 （2） 已知ｘ，ｙ 和 ｘ，ｙ 是反比例函数 ｙ＝－ （ａ≠0）的两对自变量 1 1 2 2 ｘ 与函数的对应值．若ｘ ＞ｘ ＞0，则0 ｙ ｙ． 1 2 1 2 146 数学 八年级下册例2 从 A 市到 B 市列车的行驶里程为 120 千米.假设火车匀速行 驶，记火车行驶的时间为 t 小时，速度为 v 千米/时，且速度限定为不超过 160千米/时． （1） 求 ｖ 关于 ｔ 的函数表达式和自变量 ｔ 的取值范围. （2） 画出所求函数的图象. （3） 从 A 市开出一列火车，在 40 分钟内（包括 40 分钟）到达 B 市可能 吗？50 分钟内（包括 50 分钟）呢？ 如有可能，此时对火车的行驶速度有什么 要求？ 解 （1） 从 A 市到 B 市的里程为 120 千米，所以所求的函数表达式为 120 120 3 ｖ＝ ． 当 ｖ＝160 时，ｔ＝ ＝ ． ｔ 160 4 ∵ ｖ 随 ｔ 的增大而减小， 3 3 ∴ 由 ｖ≤160，得 ｔ≥ ，所以自变量的取值范围是 ｔ≥ ． 4 4 120 4 3 " （2） 列函数 ｖ＝ ｔ≥ 与自变量 ｔ 的对应值表. ｔ 4 表6-5 3 5 3 7 9 （ｔ 时） 1 2 … 4 4 2 4 4 4 1 ｖ（千米/时） 160 120 96 80 68 60 53 … 7 3 120 4 3 " 用描点法画出函数 ｖ＝ ｔ≥ 的图象（图 6-5）． ｔ 4 ｖ（千米/时） 175 150 125 100 怎样确定具有实 75 际情境的反比例函数 的自变量的取值范围？ 50 在自变量的取值范围 内画函数图象应注意 25 什么？ Ｏ 3 1 5 3 7 2 9 （ｔ 时） 4 4 2 4 4 图6-5 147 第6章 反比例函数3 （3） 因为自变量的取值范围为 ｔ≥ ，即在题设条件下，火车到达 B 市 4 的最短时间为 45 分，所以火车不可能在40分钟内到达 B 市． 在50分钟内 3 5 到达是有可能的，此时由 ≤ｔ≤ ，可得 144≤ｖ≤160． 4 6 也就是说，如果火车要在 50 分钟内到达 B 市，那么它行驶的速度必须 不小于 144 千米/时． 但根据题设，也不能超过 160 千米/时，因此行驶的速 度应在 144 千米/时到 160 千米/时之间． 对上述例题及解法，请与你的同伴讨论下面的问题：第（1）题求函数自 120 变量的取值范围时，能否先画出 ｖ＝ （ｔ ＞0）的图象，然后利用图象，根 ｔ 据 ｖ≤160，求出 ｔ 的范围（参考图 6-5）？ 如果速度不小于 50 千米/时，ｔ 的 取值范围又如何？ 第（3）题求 ｖ 的取值范围能否也利用图 6-5 的图象来求？ 5 １． 已知反比例函数ｙ＝ ．当ｘ＞5时，0 ｙ 1；当ｘ≤5，且x≠0 ｘ 时，ｙ 1，或ｙ＜ ． 12 2． 已知反比例函数y＝－ ，当x＞－3，且x≠0时，y＞ ，或 x y＜ ． ３． 记面积为 18ｃｍ2的平行四边形的一条边长为 ｘ（ｃｍ），这条边上的 高线长为ｙ（ｃｍ）． ｙ（ｃｍ） （1） 求 ｙ 关于 ｘ 的函数表 24 22 达式，以及自变量ｘ的 20 取值范围. 18 16 （2） 在如图的直角坐标系 14 12 中，用描点法画出所求 10 函数的图象. 8 6 （3） 求当边长满足0＜ｘ＜ 4 15时，这条边上的高线 2 Ｏ 2 4 6 81012141618202224ｘ（ｃｍ） 长ｙ的取值范围． （第3题） 148 数学 八年级下册6 1． 对于反比例函数y＝ ，当x＞1时，y的取值范围是 ； x 当x≤1，且x≠0时，y的取值范围是 ． 10 5 2． 对于反比例函数 ｙ＝－ ，当 ｙ≥4 时，有－ ｘ 0；当 ｙ＜ ｘ 2 4，且y≠0时，有ｘ＞ ，或ｘ＜ ． 4 ３． 已知反比例函数ｙ＝－ ． ｘ （1）画出这个反比例函数的图象. （2）利用所画图象求当ｙ＜2时，ｘ的取值范围. （3）已知（－3，ｙ），（－15，ｙ），（1，ｙ）是所画图象上的三个点． 比较 1 2 3 ｙ，ｙ，ｙ 的大小，并用反比例函数的性质说明理由． 1 2 3 ４． 已知电灯电路两端的电压Ｕ为220Ｖ， 设灯泡内钨丝的电阻为Ｒ（Ω）， 通过的电流强度为（Ｉ Ａ）． （1） 求Ｉ关于Ｒ的函数表达式和自变量Ｒ的取值范围. （2） 画出这个函数的图象. （3） 如果通过钨丝的电流强度的最大限度不得超过0郾1136Ａ，求选 用灯泡电阻的允许值范围（精确到1Ω）． 5． 下列函数在自变量的取值范围内，自变量越大，函数值越小的函数 有哪几个？ 9 11 3 ① ｙ＝－ ； ② ｙ＝ ； ③ ｙ＝ （ｘ＜0）； ｘ ｘ ｘ ④ ｙ＝2ｘ－9； ⑤ ｙ＝－3ｘ． 6． 如图所示的曲线是一个反比例函数的图象的一支，它过点（1,3）. （1） 求该曲线所表示的函数的表达式和自变量ｔ的取值范围. （2） 若y≤2郾5，求自变量ｔ的取值范围． y（℃） 4 （1，3） 3 2 1 Ｏ 1 2 3 4 （ｔ ｈ） （第6题） 149 第6章 反比例函数6·3反比例函数的应用 设1根火柴的长度为1，能否用若干根火柴首尾相接摆出一个 面积为12的矩形？面积为12的正方形呢？ 在现实世界中，成反比例的量广泛存在着． 用反比例函数的表达式和图 象表示问题情境中成反比例的量之间的关系， 能帮助我们分析和判断问题 情境中的有关过程和结果，确定变量在一定条件下的特殊值或特定的范围， 了解变量的变化规律． 例1 设△ＡＢＣ 中 ＢＣ 边的长为 ｘ（ｃｍ），ＢＣ 上的高线 ＡＤ 为 ｙ（ｃｍ）， △ＡＢＣ 的面积为常数． 已知 ｙ 关于 ｘ 的函数图象过点（3，4）． （1） 求 ｙ 关于 ｘ 的函数表达式和△ＡＢＣ 的面积. （2） 画出函数的图象，并利用图象，求当 2＜ｘ＜8 时 ｙ 的取值范围． 1 2Ｓ 解 （1） 设△ＡＢＣ 的面积为 Ｓ，则 ｘｙ＝Ｓ，所以 ｙ＝ ． 2 ｘ 2Ｓ 因为函数图象过点（3，4），所以 4＝ ，解得 Ｓ＝6（ｃｍ2）． 3 12 所以所求函数的表达式为 ｙ＝ ，△ＡＢＣ 的面积为 6ｃｍ2． ｘ 12 （2） 因为 ｘ ＞0，所以图象在第一象限． 用描点法画出函数 ｙ＝ 的图 ｘ 象，如图 6-6． ｙ（ｃｍ） 当 ｘ＝2 时，ｙ＝6； 8 3 当 ｘ＝8 时，ｙ＝ ． 6 2 4 3 由图 6-6，得 ＜ ｙ ＜6. 12 2 2 ｙ＝ ｘ Ｏ 2 4 6 8 ｘ（ｃｍ） 图6-6 150 数学 八年级下册 例2 如图 6-7，在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部 的活塞加压，测出每一次加压后汽缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生 的压强． （1） 根据表 6-6 中的数据求出压强 ｐ（ｋＰａ）关于体积 Ｖ（ｍＬ）的函数表 达式. （2） 当压力表读出的压强为 72ｋＰａ 时，汽缸内气体的体积压缩到多少 毫升？ 表6-6 体积V（mL） 压强ｐ（ｋＰａ） 100 60 90 67 80 75 70 86 60 100 图6-7 解 （1） 根据表中的数据，可画出 ｐ 关于 Ｖ 的函数图象（图 6-8）． 根 ｋ 据图象的形状，选择反比例函数模型进行尝试． 设它的函数关系式为 ｐ= Ｖ ｋ （ｋ≠0），选点（60，100）的坐标代入，得 100＝ ． 60 ∴ ｋ＝6000， ｐ（ｋＰａ） 6000 ∴ ｐ＝ ． Ｖ 100 将点（70，86），（80，75），（90，67）， 90 6000 80 （100，60）的坐标一一代入 ｐ＝ 验证： Ｖ 70 6000 6000 6000 ≈86， ＝75， ≈67， 70 80 90 60 ｙ＝ 6000 ｘ 6000 ＝60． Ｏ 60 70 80 90 100 Ｖ（ｍＬ） 100 图6-8 6000 可见 ｐ＝ （Ｖ＞0）相当精确地反映了在温度不变时气体体积和 Ｖ 所产生的压强之间的关系，也就是所求的函数关系式． 151 第6章 反比例函数（2） 当从压力表中读出气体的压强为 72ｋＰａ 6000 时，有 72＝ ， Ｖ 这一结果也能从 图6-8中获得吗？ 6000 解得 Ｖ＝ ≈83（ｍＬ）． 72 答：当压力表中读出压强为 72ｋＰａ 时，汽缸内 气体的体积约为 83ｍＬ． 解决例 2 中的问题的过程就是建立数学模型的过程， 具体过程可概 括为：由实验获得数据———用描点法画出图象———根据图象和数据判断或 估计函数的类别———用待定系数法求出函数关系式———用实验数据验证函 数关系式———应用函数关系式解决问题． １． 设每名工人一天能做某种型号的工艺品ｘ个．若某工艺品厂每天要 生产这种工艺品60个，则需工人ｙ名． （1） 求ｙ关于ｘ的函数表达式. （2） 若一名工人每天能做的工艺品个数最少6个，最多8个，估计 该工艺品厂每天需要做这种工艺品的工人多少人． ２． 本节例 2 中，若压强 80＜ｐ＜90，估计汽缸内气体体积的取值范 围，并说明理由． 某一农家计划利用已有的一堵长为7.9ｍ的墙， 用篱笆围成一个面积为12ｍ2 的矩形园子．现有可用的篱笆总长为11ｍ． （1） 你能给出一种围法吗？ （2） 若取园子的长、宽都为整数（单位：ｍ），一共有几种围法？ （3） 若要使11ｍ长的篱笆恰好用完，应怎样围？ 152 数学 八年级下册１． 一批相同型号衬衣的单价为每件60元至80元之间（包括60元和80 元），用720元钱至少可买多少件衬衣？至多可买多少件衬衣？用反 比例函数的性质或图象说明理由． ２． 某汽车的油箱一次加满汽油45升，可行驶ｙ千米，设该汽车行驶每 100千米耗油ｘ升． 求ｙ关于ｘ的函数表达式（假设汽车能行驶至 油用完）． 1 ３． 圆锥的体积Ｖ＝ Ｓｈ（Ｓ表示圆锥的底面积，ｈ表示圆锥的高线长）． 3 某工厂要制作一系列圆锥模型，要求体积保持不变．测得其中一个 30 已做成的圆锥模型的底面半径为姨 ｃｍ，高线长为10ｃｍ． π （1） 求这一系列圆锥模型的底面积Ｓ（ｃｍ2）关于高线长ｈ（ｃｍ）的函 数表达式，并画出函数图象. （2） 利用所画的函数图象，求当高线长限定为 50≤ｈ＜100 时，底 面积的取值范围． ４． 用若干根火柴首尾相接摆成一个长方形． 设一根火柴的长度为1， 长方形两条邻边的长分别为ｘ，ｙ，要求摆成的长方形的面积为12． （1） 求ｙ关于ｘ的函数表达式和自变量ｘ的取值范围. （2） 能否摆成正方形？请说明理由． ５． 经过实验获得两个变量ｘ（ｘ＞0），ｙ（ｙ＞0）的一组对应值如下表． ｘ 1 2 3 4 5 6 ｙ 6 2．9 2．1 1．5 1．2 1 （1） 画出相应函数的图象. （2） 求这个函数的表达式. 3 （3） 求当ｙ＝ 时，ｘ的值． 10 153 第6章 反比例函数填空． 填表. 1． 函数 （ｋ是常数，ｋ≠ ） 学会程度 叫做反比例函数，ｋ叫做 ． 技能内容 学 会 基本学会 不 会 根据已知条件，确 ｋ 2． 反比例函数ｙ＝ （ｋ≠0）的图象是 定反比例函数的 ｘ 表达式 由两个分支组成的曲线．当ｋ＞0时， 函数图 画反比例函数的 象在 、 象限，在每一象限内，ｙ随 图象 ｘ的增大而 ； 当ｋ＜0时， 函数图象在 利用反比例函数 、 象限，在每一象限内，ｙ 随ｘ 的 性 质 或 图 象 解 决 简 单 的 实 的增大而 ． 际问题 ｋ 反比例函数ｙ＝ （ｋ≠0）的图象关于直 ｘ 角坐标系的 成中心对称． 154 数学 八年级下册●结合具体情境体会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念． ●掌握并会求反比例函数的表达式． 6．1节 １． 下列各问题情境中，哪些量成正比例，哪些量成反比例？ （1） 在压力不变的情况下，压强ｐ与支承面的面积Ｓ. （2） 在利息不变的条件下，本金ａ与利率ｒ. （3） 在电阻不变的情况下，电流强度Ｉ与电压Ｕ． 16 4 ２． 反比例函数ｙ＝－ 的比例系数是 ． 当ｘ＝－ 时， 函数ｙ ｘ 3 的值是 ． ３． 设大米的单价为x元/千克，用50元钱可购买大米y千克. （1） 求y关于x的函数表达式. （2） 若ｙ＝12.5，求x的值，并说明此时x的值的实际意义． ｋ 4 ４． 已知反比例函数ｙ＝ （ｋ≠0），当ｘ＝－3时，ｙ＝ ．求： ｘ 3 （1） ｙ关于ｘ的函数表达式及自变量ｘ的取值范围. （2） 当ｘ＝－4时，函数ｙ的值． ●会画反比例函数的图象． ｋ 6．2节 ●能根据反比例函数的图象和表达式 ｙ＝ （ｋ≠0）探索并理解其 ｘ 性质． 0.8 ５． 已知点（－2，y），（－3，y），（2，y）在函数 y＝－ 的图象上，则 1 2 3 x （ ） （A） y＜y＜y． （B） y＜y＜y． 1 2 3 2 1 3 （C） y＜y＜y． （D） y＜y＜y． 3 1 2 3 2 1 ６． 用“＞”或“＜”填空： 姨2 （1） ｘ，ｙ 和ｘ，ｙ 是反比例函数ｙ＝ 的两对自变量与函数的 1 1 2 2 ｘ 对应值．若ｘ＜ｘ＜0，则0 ｙ ｙ. 2 1 2 1 5 （2）（ｘ，ｙ）和（ｘ，ｙ）是函数 ｙ＝－ 的图象在第二象限内的两个 1 1 2 2 ｘ 点．若ｘ＞ｘ，则ｙ ｙ 0． 2 1 2 1 155 第6章 反比例函数７． 若正方形 AOBC 的边 OA，OB 在坐标轴上， 顶点 C 在第一象限， 1 且在反比例函数y＝ 的图象上，则点C的坐标是摇 摇摇摇摇. x k ８． 如图，点A在反比例函数y＝ （k＞0）的图象上，AM⊥x轴于点M. x 若△AMO的面积为3，则k＝摇 摇摇摇摇. y 2 y＝ y x P 1 S 1 P 2 A S 2 S 3 P 3 P 4 x O 1 2 3 4 O M x （第8题） （第9题） 2 ９． 如图，在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上有点P，P，P，P，它们 x 1 2 3 4 的横坐标依次为1，2，3，4，分别过这些点作x轴与y轴的垂线.图中 所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 S ，S ，S ，则 S ＋S ＋ 1 2 3 1 2 S＝摇摇摇 摇摇. 3 12 4 10． 已知反比例函数ｙ＝－ ，求当ｙ≤ ，且y≠0时自变量ｘ的取值 ｘ 3 范围． １1． 某游泳池每次换水前后水的体积基本保持不变．当该游泳池以每 小时300立方米的速度放水时，经3小时能将池内的水放完．设放 水的速度为ｖ立方米/时，将池内的水放完需ｔ小时． （1） 求ｖ关于ｔ的函数表达式，并画出函数图象. （2） 若要求在 2郾5 小时内（包括 2郾5 小时）把游泳池内的水放完， 则游泳池的放水速度至少为多少立方米/时（要求用反比例 函数的性质和图象两种方法求解）？ ●能用反比例函数的性质和图象解决某些实际问题． １2． 请做一个实验：移动一只夹在 6．3节 铅笔芯上的鳄鱼夹（如图），观 察小灯泡的亮度怎样变化 （对于这个小灯泡，通过的电 流越大，就越亮）．找出变化规 律，并用反比例函数的性质解 释这个规律． （第12题） 156 数学 八年级下册１3． 如图是一个光学仪器上用的曲面横截面示意图，图中的曲线是一 段反比例函数的图象，端点 A 的纵坐标为 80，另一端点 B 的坐 标为 B（80，10）．求这段图象的函数表达式和自变量的取值范围. ｙ（ｃｍ） Ａ 80 60 40 20 Ｂ（80，10） Ｏ 20 40 60 80 ｘ（ｃｍ） （第13题） （第14题） １4． 假设一张桌面所能承受的最大压强为104Ｐａ，有一个长方体铁块 的长、宽、高分别为50ｃｍ，20ｃｍ，10ｃｍ，能否把这个铁块放在这张 桌面上？ 用反比例函数的性质说明理由（铁的密度为7郾8ｇ/ｃｍ3）． １5． 某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强 ｐ（ｋＰａ）与气体的体积 Ｖ（ｍ3）成反比例． 当气体的体积 Ｖ＝0．8ｍ3 时，气球内气体的压强ｐ＝112．5ｋＰａ． （1）当气体的体积为1ｍ3时，它的压强是多少？ （2）当气球内气体的压强大于150ｋＰａ时，气球就会爆炸．问：气球 内气体的体积应不小于多少气球才不会爆炸？ １6． 为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”.已知药物燃烧阶 段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（min）成正 比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）.现测得药物10分钟燃 完，此时教室内每立方米空气含药量为 8mg.据以上信息解答下 列问题： （1） 求药物燃烧时y关于x的函数表达式. （2） 求药物燃烧后y关于x的函数表达式. （3） 当每立方米空气中含药量低于1郾6 mg 时，对人体方能无毒害 作用，那么从消毒开始，在哪个时段学生不能停留在教室里？ y（mg） 8 O 10 x（min） （第16题） 157 第6章 反比例函数１7． 测得不同国家六种硬币的质量和体积数据如下表： 硬币 质量（ｇ） 体积（ｃｍ3） Ａ 3．1 0．41 Ｂ 4．0 0．50 Ｃ 8．6 1．2 D 8．0 0．95 Ｅ 9．8 1．1 Ｆ 5．0 0．67 （1） 设用质量为ｍ（ｇ）的某种金属制作成的硬币体积为Ｖ（ｃｍ3）， 求该种金属的密度ρ. （2） 从前，奥地利硬币由铜和锌的合金制成，其密度为8郾42ｇ/ｃｍ3． 你认为上表中，哪一种硬币可能来自奥地利？ （3） 已知铜的密度为8郾92ｇ/ｃｍ3，锌的密度为7郾15ｇ/ｃｍ3．Ａ，Ｂ 两 种硬币都由铜和锌的合金制成，哪一种含锌量较多？请说明 理由． 158 数学 八年级下册