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第五章 相交线与平行线
5.3 平行线及其判定（基础巩固）
【要点梳理】
要点一、平行线的定义及画法
1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作
a∥b．
要点诠释：
(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三
者缺一不可；
(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交
并不意味着它们就平行．
(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视
为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．
2.平行线的画法：
用直尺和三角板作平行线的步骤：
①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.
②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.
③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.
④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.
要点二、平行公理及推论
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
要点诠释：
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性
质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．
（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.
要点三、直线平行的判定
判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠3＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠1＝∠2
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.
【典型例题】
类型一、平行线的定义及表示
例1．下列叙述正确的是 ( )
A．两条直线不相交就平行
B．在同一平面内，不相交的两条线叫做平行线
C．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
D．在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线
【答案】C
【解析】在同一平面内两条直线的位置关系是不相交就平行，但在空间就不一定了，
故A选项错；平行线是在同一平面内不相交的两条直线，不相交的两条曲线就不是平行线，
故B选项错；平行线是针对两条直线而言．不相交的两条线段所在的直线不一定不相交，
故D选项错．
【总结升华】本例属于对概念的考查，应从平行线的概念入手进行判断．举一反三：
【变式】下列说法错误的是（ ）
A．无数条直线可交于一点
B． 直线的垂线有无数条，但过一点与垂直的直线只有一条
C． 直线的平行线有无数条，但过直线外一点的平行线只有一条
D．互为邻补角的两个角一个是钝角，一个是锐角
【答案】D
类型二、平行公理及推论
例2．下列说法中正确的有 ( )
①一条直线的平行线只有一条；②过一点与已知直线平行的直线只有一条；
③因为a∥b，c∥d，所以a∥d；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．1个 B 2个 C．3个 D．4个
【答案】 A
【解析】一条直线的平行线有无数条，故①错；②中的点在直线外还是在直线上位置
不明确，所以②错，③中b与c的位置关系不明确，所以③也是错误的；根据平行公理可
知④正确，故选A．
【总结升华】本题主要考察的是“平行公理及推论”的内容，要正确理解必须要抓住
关键字词及其重要特征，在理解的基础上记忆，在比较中理解．
举一反三：
【变式】直线a∥b，b∥c，则直线a与c的位置关系是 .
【答案】平行
类型三、两直线平行的判定
例3. 如图，在下列条件中，不能判定直线 与 平行的是（ ）
A．∠1=∠2
B． ∠2=∠3
C． ∠3=∠5
D．∠3+∠4=180°
【思路点拨】根据平行线的判定方法进行判断．
【答案】C
【解析】解：∠3与∠5不是同位角，不是内错角，也不是同旁内角，所以∠3=∠5不
能判定AB∥CD．【总结升华】正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关
键，熟练掌握平行线的判定定理．
举一反三：
【变式1】如图，下列条件中，不能判断直线 ∥ 的是（ ）.
A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠4=∠5 D．∠2+∠4=1800
【答案】B
【变式2】已知，如图，BE平分ABC，CF平分BCD，1=2，求证：AB//CD．
【答案】∵ 1=2
∴ 21=22 ，即∠ABC＝∠BCD
∴ AB//CD （内错角相等，两直线平行）
例4.如图所示，由(1)∠1＝∠3，(2)∠BAD＝∠DCB，可以判定哪两条直线平行．
【思路点拨】试着将复杂的图形分解成“基本图形”．
【答案与解析】
解：(1)由∠1＝∠3，
可判定AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；
(2)由∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3得：
∠2＝∠BAD-∠1＝∠DCB-∠3＝∠4（等式性质），即∠2＝∠4可以判定AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
综上，由（1）（2）可判定：AD∥BC，AB∥CD.
【总结升华】本题探索结论的过程采用了“由因索果”的方法．即在条件下探索由这
些条件可推导出哪些结论，再由这些结论推导出新的结论，直到得出结果．
例5.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？
为什么？
【答案与解析】
解：这两条直线平行.理由如下：
如图：
∵ b⊥a, c⊥a
∴ ∠1＝∠2＝90°
∴ b∥c (同位角相等，两直线平行) ．
【总结升华】本题的结论可以作为两直线平行的判定方法.
举一反三：
【变式】已知，如图，EFEG，GMEG，1=2，AB与CD平行吗？请说明理由．
【答案】
解：AB∥CD．理由如下：如图：
∵ EFEG，GMEG (已知)，
∴ ∠FEQ＝∠MGE＝90°(垂直的定义)．
又∵ ∠1＝∠2(已知)，
∴ ∠FEQ -∠1＝∠MGE -∠2 (等式性质)，
即∠3＝∠4．∴ AB∥CD (同位角相等，两直线平行)．
【巩固练习】
一、选择题
1.下列关于作图的语句正确的是 （ ）.
A．画直线AB=10厘米.
B．画射线OB=10厘米.
C．已知A，B，C三点，过这三点画一条直线.
D．过直线AB外一点画一条直线和直线AB平行.
2．有下列四种说法：
（1）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
（2）平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直
（3）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
（4）平行于同一条直线的两条直线平行．
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．若直线a∥b，b∥c，则a∥c的依据是 ( ).
A．平行的性质
B．等量代换
C．平行于同一直线的两条直线平行.
D．以上都不对
4．下列说法中不正确的是 ( ).
A．同位角相等，两直线平行.
B．内错角相等，两直线平行.
C．同旁内角相等，两直线平行.
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行.
5．如图所示，给出了过直线 外一点P作已知直线l的平行线的方法，其依据是 (
).A．同位角相等，两直线平行. B．内错角相等，两直线平行.
C．同旁内角互补，两直线平行. D．以上都不对.
6．如图所示，有以下四个条件：①∠B+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；
④∠B＝∠5．其中能判定AB∥CD的序号是( ).
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
7.两条射线或线段平行，是指 .
8．如图所示，直线a，b被c所截，∠1＝30°，∠2:∠3＝1:5，则直线a与b的位置关
系是________．
9．如图，直线a和b被直线c所截，∠1＝110°，当∠2＝________时，有直线a∥b成
立．
10. 如图，是小明学习三线八角时制作的模具，经测量∠2=100°，要使木条 与 平
行，则∠1的度数必须是 ．
11．小军在一张纸上画一条直线，再画这条直线的平行线，然后依次画前一条直线的
平行线，当他画到第十条直线时，第十条直线与第一条直线的位置关系是________．12. 已知直线a、b都过点M，且直线a∥l，b∥l，那么直线a、b是同一条直线，根据
是________．
三、解答题
13.读下列语句，用直尺和三角尺画出图形．
(1)点P是直线AB外的一点，直线CD经过点P，且CD与AB平行；
(2)直线 AB 与 CD 相交于点 O，点 P 是 AB、CD 外的一点，直线 EF 经过点 P，且
EF∥AB，与直线CD相交于点E．
14．已知如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别是∠ABC、∠ADC的角平分线，∠1＝
∠2，那么CD与AB平行吗?写出推理过程．
15．如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE=∠E．求证：
AD∥BC．【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】D
2.【答案】D.
【解析】（1）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确；
（2）平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直，正确；
（3）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确；
（4）平行于同一条直线的两条直线平行，正确；
正确的有4个，故选：D．
3．【答案】C
【解析】这是平行线的传递性，其实质是平行公理的推论．
4. 【答案】C
【解析】同旁内角互补，两直线平行.
5. 【答案】A
【解析】这种作法的依据是：同位角相等，两直线平行．
6. 【答案】C
【解析】∠1=∠2，但∠1、∠2不是截AB、CD所得的内错角，所以不能判定AB∥CD.
二、填空题
7. 【答案】射线或线段所在的直线平行；
8．【答案】平行；
【解析】由已知可得：∠2＝30°，所以∠1＝∠2，可得：a∥b.
9．【答案】70°；
10.【答案】80°．
【解析】因为 与 平行，所以∠1=∠3，又∠2=100°，所以∠3=80°，∴∠1=80°.11.【答案】平行;
【解析】平行公理的推论
12.【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
【解析】这是平行公理的具体内容.
三、解答题
13.【解析】
解：
14．【解析】
解：CD∥AB．理由如下：
∵ BF、DE分别是∠ABC、∠ADC的角平分线，
∴ ∠3＝ ∠ADC，∠2＝ ∠ABC．
∵ ∠ABC＝∠ADC，
∴ ∠3＝∠2．
又∵ ∠1＝∠2，
∴ ∠3＝∠1．
∴ CD∥AB(内错角相等，两直线平行)．
15.【解析】
证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∵AB∥CD，∠CFE=∠E，
∴∠1=∠CFE=∠E，
∴∠2=∠E，
∴AD∥BC．
