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第七章 平面直角坐标系
7.2 坐标方法的简单应用（能力提升）
【要点梳理】
要点一、用坐标表示地理位置
根据已知条件，建立适当的平面直角坐标系，是确定点的位置的必经过程，只有建立
了适当的直角坐标系，点的位置才能得以确定，才能使数与形有机地结合在一起．
利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况的过程：
（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴，y轴的正方向；
（2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；
（3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．
要点诠释：
(1)建立坐标系的关键是确定原点和坐标轴的位置，我们一般选择那些使点的位置比较
容易确定的方法，例如借助于图形的某边所在直线为坐标轴等，而建立平面直角坐标系的
方法是不唯一的．所建立的平面直角坐标系也不同，得到的点的坐标不同．
(2)应注意比例尺和坐标轴上的单位长度的确定．
要点二、用坐标表示平移
1.点的平移：
在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x
＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋
b)或(x，y－b)．
要点诠释：
（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；
（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；
（3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标
不
变．
2.图形的平移：
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，
相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都
加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．要点诠释：
（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的
平移问题可以转化为点的平移问题来解决．
（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.
【典型例题】
类型一、用坐标表示地理位置
例1．小明写信给他的朋友介绍学校的有关情况：校门正北方 100米处是教学楼，从
校门向东50米，再向北50米是科教楼，从校门向西100米，再向北150米是宿舍楼……
请画出适当的平面直角坐标系表示校门、教学楼、科技楼、宿舍楼的位置，并写出这
四个点的坐标．
【思路点拨】选取校门所在的位置为原点，并以正东，正北方向为 x轴、y轴的正方
向，可以容易地写出三个建筑物的坐标．否则就较复杂．
【答案与解析】
解：(1)平面直角坐标系及学校的建筑物位置如图所示，比例尺为1:10000．
(2)校门的坐标为(0，0)；教学楼的坐标为(0，100)；科技楼的坐标是(50，50)；
宿舍楼的坐标为(-100，150)．
【总结升华】选取的坐标原点不同，各个据点的坐标也不同，不论是哪个点表示原点，
都要让人一听一看就清楚所描述的位置．
举一反三：
【变式】一个探险家在日记上记录了宝藏的位置，从海岛的一块大圆石 O出发，向东
1000m，向北1000m，向西500m，再向南750m，到达点P，即为宝藏的位置．
(1)画出坐标系确定宝藏的位置；(2)确定点P的坐标．
【答案】
解：根据数据的特点，选择250作为单位长度，以大圆石O为原点，建立平面直角坐
标系．
(1)如图，中心带有箭头的线是行动路线，点P的位置如图所示．
(2)点P的坐标是(500，250)
例2.如图是一所学校的平面示意图，已知国旗杆的坐标为(-1，1)，写出其他几个建
筑物位置的坐标．若国旗杆的坐标为(3，1)，则其他几个建筑物位置的坐标是否发生改变?
若改变，请写出坐标，若不改变，请说明理由．
【答案与解析】
解：当国旗杆的坐标是(-1，1)时，校门的坐标是(-4，1)，实验楼的坐标是(2，-2)，
教学楼的坐标是(2，1)，图书馆的坐标是(1，4)；若国旗杆的坐标是(3，1)，则校门的坐
标是(0，1)，实验楼的坐标是(6，-2)，教学楼的坐标是(6，1)，图书馆的坐标是(5，4)．
【总结升华】根据已知点确定平面直角坐标系，进一步求得要求点的坐标．
举一反三：【变式】如图，是象棋棋盘的一部分．若 位于点（1，﹣2）上， 位于点（3，
﹣2）上，则 位于点 上．
【答案】（﹣2，1）．
解：∵ 位于点（1，﹣2）上， 位于点（3，﹣2）上，∴ 位于点（﹣2，1）
上．
类型二、用坐标表示平移
例3. 如如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为（1，
2）．
（1）写出点A、B的坐标：
A（ ， ）、B（ ， ）
（2）将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A′B′C′，
则A′B′C′的三个顶点坐标分别是A′（ ， ）、B′（ ， ）、C′（ ，
）．
（3）△ABC的面积为 ．【思路点拨】（1）A在第四象限，横坐标为正，纵坐标为负；B的第一象
限，横纵坐标均为正；
（2）让三个点的横坐标减2，纵坐标加1即为平移后的坐标；
（3）△ABC的面积等于边长为3，4的长方形的面积减去2个边长为1，3
和一个边长为2，4的直角三角形的面积，把相关数值代入即可求解．
【答案与解析】
解：（1）写出点A、B的坐标：A（2，﹣1）、B（4，3）
（2）将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到
△A′B′C′，则A′B′C′的三个顶点坐标分别是A′（0，0）、B′（2，4）、C′（﹣
1，3）．
（3）△ABC的面积=3×4﹣2× ×1×3﹣ ×2×4=5．
【总结升华】用到的知识点为：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；
上下移动改变点的纵坐标，下减，上加；格点中的三角形的面积通常用长方形
的面积减去若干直角三角形的面积表示．
举一反三：
【变式】已知三角形ABC三个顶点的坐标为A(-2，3)，B(-4，-1)，C(2，0)．三角形
ABC中任意一点P(x，y)经平移后对应点为P(x+5，y+3)．将三角形ABC作同样的平移得
0 0 1 0 0
到三角形ABC：
1 1 1
（1）求ABC 的坐标．
1 1 1
（2）求三角形ABC和△ABC 的面积大小．
1 1 1
【答案】解：（1）A(3，6)，B(1，2)，C(7，3)．
1 1 1
(2) ＝24-4-3-6＝11．
类型三、综合应用
例4.在A市北300km处有B市，以A市为原点，东西方向的直线为x轴，南北方向的
直线为y轴，并以50km为1个单位建立平面直角坐标系．根据气象台预报，今年7号台风
中心位置现在C(10，6)处，并以40千米/时的速度自东向西移动，台风影响范围半径为
200km，问经几小时后，B市将受到台风影响?并画出示意图．
【思路点拨】当台风中心移动到据B点200千米时，B市将受到台风影响，从而求出台
风中心的移动距离，除以速度，即可求出所需时间．
【答案与解析】
解：∵台风影响范围半径为200km，∴当台风中心移动到点（4，6）时，B市将受到台风的影响．
所用的时间为：50×（10-4）÷40=7.5（小时）．
所以经过7.5小时后，B市将受到台风的影响．
（注：图中的单位1表示50km）
【总结升华】考查类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．解决此类问题
需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左
减，上加下减”来确定坐标．
举一反三：
【变式】一长方形住宅小区长400m，宽300m，以长方形的对角线的交点为原点，过原
点和较长边平行的直线为x轴，和较短边平行的直线为y轴，并取50m为1个单位．住宅
小区内和附近有5处违章建筑，它们分别是A(3，3．5)，B(－2，2)，C(0，3．5)，D(－
3，2)，E(－4，4)．在坐标系中标出这些违章建筑位置，并说明哪些在小区内，哪些不在
小区内．
【答案】在小区内的违章建筑有B、D；不在小区内的违章建筑有A、E、C.【提升练习】
一、选择题
1．如图所示，某战役缴获敌人防御工事坐标地图碎片，依稀可见，一号暗堡的坐标为
(4，2)，四号暗堡的坐标为(-2，4)，原有情报得知：敌军指挥部的坐标为(0，0)，你
认为敌军指挥部的位置大约是( )．
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
2．某镇初级中学在镇政府的南偏西60°方向上，且距离镇政府1500m，则如图所示的
表示法正确的是( )．
3. 已知△ABC顶点坐标分别是A（0，6），B（﹣3，﹣3），C（1，0），将△ABC
平移后顶点A的对应点A 的坐标是（4，10），则点B的对应点B 的坐标为（ ）
1 1
A．（7，1） B．（1，7） C．（1，1） D．（2，1）
4. 点P（﹣2，﹣3）向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得到的点的坐标
为（ ）
A．（﹣3，0） B．（﹣1，6） C．（﹣3，﹣6） D．（﹣1，0）
5．如图所示，△ABC的顶点坐标分别为A(-4，-3)，B(0，-3)，C(-2，1)，将B点向
右平移2个单位长度后，再向上平移4个单位长度，到达B 点．若设△ABC的面积为S ，
1 1
△AB C的面积为S ，则S ，S 的大小关系为( )．
1 2 1 2A．S ＞S B．S ＝S C．S ＜S D．不能确定
1 2 1 2 1 2
6．如图所示，海上二救护中心收到一艘遇难船只的求救信号后，发现该船位于点
A(5，-4)，并且正以缓慢的速度向北漂移，同时发现在点B(5，2)和C(-1，-4)处各有一
艘救护船．如果救护船的速度相同，问救护中心应派哪处的救护船前去救护可以在最短时
间内靠近遇难船只? ( )
A．派C处 B．派B处 C．派C或B处 D．无法确定
二、填空题
7. 以足球场中心O为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，1个单
位表示1米，10号队员在足球场中心O处，向东传给10米远的5号队员，5号队员接着又
向北传给20米远的9号队员，9号队员又向东传给15米远的15号队员，则此时足球位置
的坐标为________．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），
将线段AB平移，使其一个端点到C（3，2），则平移后另一端点的坐标为 ．
9．如图，某宾馆在重新装修后，准备在大厅的楼梯上铺上某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要
元．
10.在数轴上，用有序数对表示点的平移，若（2，1）得到的数为1，（1，－2）得到
的数为3，则（3，5）是将表示数_____的点向_____平移_____个单位长度，得到的数为
______.
11．某飞行监控中心发现某飞机从某个飞机场起飞后沿正南方向飞行 100千米，然后
向正西方向飞行300千米，又测得该机场的位置位于监控中心的西 100千米，北300千米
的地方，若以监控中心为坐标原点，以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，请指出该飞
机现在的位置________(用坐标表示)．
12．初二三年级某班有54名学生，所在教室有6行9列座位．用(m，n)表示第m行
第n列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为(m，n)，如果调整后的座
位为(i，j)，则称该生作了平移[a，b]＝[m-i，n-j]，并称a+b为该生的位置数，若某生的位
置数为10，则当m+n取最小时，mn的最大值为______．
三、解答题
13.小明要在电话中告诉小敏同学如图所示的图形，为了描述清楚，他使用了直角坐标
系的知识，叙述得一清二楚，你知道小明是怎样描述的吗?14．王霞和爸爸、妈妈到人民公园游玩，回到家后，她利用平面直角坐标系画出了公
园的景区地图，如图所示．可是她忘记了在图中标出原点和x轴、y轴．只知道游乐园D
的坐标为（2，﹣2），你能帮她求出其他各景点的坐标吗？
15．已知甲运动方式为：先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向右运动2个单位
长度；乙运动方式为：先竖直向下运动2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度．
在平面直角坐标系中，现有一动点P第1次从原O出发按甲方式运动到点P ，第2次从点
1
P 出发按乙方式运动到点P ，第3次从点P 出发再按甲方式运动到点P ，第4次从点P 出
1 2 2 3 3
发再按乙方式运动到点P ，……，依此运动规律，则经过第11次运动后，动点P所在位置
4
P 的坐标是什么?请你画出运动的路线．
11【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】B；
【解析】根据点的坐标分为横坐标和纵坐标，横坐标是点到y轴的距离，纵坐标是
点到x轴的距离，即可确定原点的位置．
2. 【答案】A；
3. 【答案】C；
【解析】∵点A（0，6）平移后的对应点A 为（4，10），4﹣0=4，10﹣6=4，
1
∴△ABC向右平移了4个单位长度，向上平移了4个单位长度，
∴点B的对应点B 的坐标为（﹣3+4，﹣3+4），即（1，1）．
1
4. 【答案】A．
5. 【答案】B；
【解析】解：△ABC的面积为S= ，
1
将B点平移后得到B 点的坐标是（2，1），此时△ABC的面积为S= ，
1 1 2
所以S=S．故选B．
1 2
6. 【答案】B．
二.填空题
7. 【答案】(25，20)；
【解析】10+15＝25，
8. 【答案】（1，3）或（5，1）．
【解析】①如图1，当A平移到点C时，
∵C（3，2），A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），
∴点A的横坐标增大了1，纵坐标增大了2，平移后的B坐标为（1，3）；
②如图2，当B平移到点C时，∵C（3，2），A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），
∴点B的横坐标增大了3，纵坐标增大2，∴平移后的A坐标为（5，1）；
故答案为：（1，3）或（5，1）．
9. 【答案】504；
【解析】 （元）.
10．【答案】3,左，5，-2；
【解析】由（2，1）得到的数为1，（1，－2）得到的数为3，可得在数轴上，用
有序数对表示点的平移的规律：第一个数表示数轴上点的开始位置，第二个数表示在数轴
上平移的方向和距离．
11.【答案】(-400，200)；
12．【答案】36；
【解析】依题意， ，所以 ，又1≤
≤6，1≤ ≤6，，当m+n取最小值时，即i+j最小，而当 时，取到最小值2，可
得m+n的最小值为12，所以当 时， 有最大值36．
三.解答题
13.【解析】
解：以O为坐标原点，以OA、OE所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，A(8，
0)，B(8，2)，C(3，2)，D(3，5)，E(0，5)，O(0，0)．
14.【解析】
解：由题意可知，本题是以点F为坐标原点（0,0），FA为y轴的正半轴，建立平面直
角坐标系，则A、B、C、E的坐标分别为：A（0，4）；B（-3，2）；C（-2，-1）；E
（3，3）.
15.【解析】解：由题意：动点P经过第11次运动，那么按甲运动了6次，按乙运动了5次，
横坐标为：2×6-3×5=-3，纵坐标为：1×6-2×5=-4，
∴P 的坐标是（-3，-4）．
11
故答案为：（-3，-4）．
图略．
