文档内容
义务教育教科书
数学
s h u x u e
九年级下册
湖 南 教 育 出 版 社Contents
目 录
第 1 章 二次函数 !!!!!!!!!!!!!! 1
1.1 二次函数 !!!!!!!!!!!!!!! 2
1.2 二次函数的图象与性质 !!!!!!!!! 5
*1.3 不共线三点确定二次函数的表达式 !!! 21
1.4 二次函数与一元二次方程的联系 !!!! 24
1.5 二次函数的应用 !!!!!!!!!!! 29
IT教室 用计算机研究二次函数的图象与性质 ! 33
小结与复习 !!!!!!!!!!!!!!! 35
综合与实践 汽车能通过隧道吗？ !!!!!! 40
第 2 章 圆 !!!!!!!!!!!!!!! 42
2.1 圆的对称性 !!!!!!!!!!!!! 43
2.2 圆心角、 圆周角 !!!!!!!!!!! 47
*2.3 垂径定理 !!!!!!!!!!!!!! 58
2.4 过不共线三点作圆 !!!!!!!!!! 61
2.5 直线与圆的位置关系 !!!!!!!!! 64
2.6 弧长与扇形面积 !!!!!!!!!!! 77
2.7 正多边形与圆 !!!!!!!!!!!! 83
小结与复习 !!!!!!!!!!!!!!! 87
数学与文化 圆的再认识 !!!!!!!!! 92
1第 3 章 投影与视图 !!!!!!!!!!!!! 94
3.1 投 影 !!!!!!!!!!!!!!! 95
3.2 直棱柱、 圆锥的侧面展开图 !!!!! 101
3.3 三视图 !!!!!!!!!!!!!!! 105
小结与复习 !!!!!!!!!!!!!!! 114
第 4 章 概 率 !!!!!!!!!!!!!! 118
4.1 随机事件与可能性 !!!!!!!!!! 119
4.2 概率及其计算 !!!!!!!!!!!! 124
4.3 用频率估计概率 !!!!!!!!!!! 134
IT教室 用计算机模拟掷硬币试验 !!!!! 140
小结与复习 !!!!!!!!!!!!!!! 141
数学与文化 漫谈小概率事件 !!!!!!! 145
数学词汇汉英对照表 !!!!!!!!!!!!!!!! 147
后 记 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １４８
21
第 章
二次函数
物体运动的轨迹并不总是呈直线形的，有时会成为一条
曲线.例如在跳水比赛中，运动员在空中划过一道优美的曲
线，像这样的曲线与我们将要学习的二次函数的图象很相似.
那么什么是二次函数呢？二次函数的图象有什么特征？
二次函数具有哪些性质？学完本章知识，你将能回答上述问
题，并能运用二次函数的知识去解决一些实际问题.
第1章 二次函数 11.1 二次函数
学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆墙围成一个矩形植物园， 如图
1-1 所示. 已知篱笆墙的总长度为
100 m， 设与围墙相邻的一面篱笆
墙的长度为x（m）， 那么矩形植物园
的面积 Ｓ（m2） 与x之间有何关系？
图
1－１
由于与围墙相邻的一面篱笆墙的长度为 ｘ ｍ， 可知， 与围墙相对的一面篱
笆墙的长度为（１００－２ｘ） ｍ． 于是矩形植物园的面积 Ｓ 与 ｘ 之间有如下关系：
Ｓ＝ｘ（１００－２ｘ）， ０＜ｘ＜５０，
为什么有 ？
00？ 当x取
45 9 "
何值时， y=0？ 当x取何值时， y<0？ ，-
２ 4
11郾 当 ｂ２－４ａｃ 分别满足什么条件时， 抛物线 ｙ＝ （第 题图）
10
ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ与ｘ轴有两个不同的交点、 有两个重合的交
点、 没有交点？ 试判断下列抛物线与x轴的交点情况：
（1） y=2x2-3x+1； （2） y=4x2+4x+1； （3） y=-x2+2x-4.
12郾 如图， 排球运动员站在点 O 处练习发球， 将球从 O 点正上方 2m 的 A
处发出， 把球看成点， 其运行的高度y（m）与运行的水平距离 x（m）满足表达式
y=a（x-6）2+h．已知球网与O点的水平距离为9m， 高度为2.43m， 球场的边
界距O点的水平距离为18m．
38 数学 九年级下册（第 题图）
12
（1） 当h=2.6时， 求y关于x的函数表达式；
（2） 当h=2.6时， 球能否越过球网？ 球会不会出界？ 试说明理由.
13郾 在矩形ABCD中， AB＝6 cm， BC＝12 cm， 点 P 从点 A 出发， 沿 AB
边向点 B 以1 cm/s的速度移动， 同时， 点 Q 从点 B 出发， 沿 BC 边向点C以
2 cm/s的速度移动. 如果 P， Q 两点在分别到达 B， C 两点后就停止移动， 回
答下列问题：
（1） 设运动开始后第 t s 时， 五边形 APQCD 的面积为 S（cm2），
求S关于t的函数表达式， 并指出自变量t的取值范围；
（2） 当t为何值时， S最小？ 并求出S的最小值.
（第 题图）
C 组 13
14. 抛物线 y=ｘ２-4ｘ+3.5与 x 轴交于 A， B 两点， 抛物线的顶点为 P， 求
△PAB的面积.
15. 某地发生旱情， 为抗旱保丰收， 当地政府制定农户投资购买抗旱设备
的补贴办法， 其中购买Ⅰ型、 Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的金额存
在下表所示的函数对应关系.
型 号
金 额 Ⅰ型设备 Ⅱ型设备
投资金额x / 万元 x 5 x 2 4
y=kx y=ax2+bx
补贴金额y / 万元 1 2 2 2.4 3.2
（k≠0） （a≠0）
（1） 分别求出y， y 的函数表达式；
1 2
（2） 有一农户同时对Ⅰ型、 Ⅱ型两种设备共投资10万元购买， 请你设计一
个能获得最大补贴金额的方案， 并求出按此方案能获得的最大补贴金额.
第1章 二次函数 39汽车能通过隧道吗？
在离李亮同学所在学校不远的
一条双行线公路上有一个隧道， 如
图1所示.
通过隧道的车辆应该有一个限
制高度， 这个限制高度怎样确定呢？
为了解决这个问题， 李亮和他的
同学经实地考察获取了以下情况：
（1） 隧道的纵截面由一个矩形
图
1
和一段抛物线构成；
（2） 隧道内路面的总宽度为 ８ ｍ， 双行车道宽度为 ６ ｍ， 隧道顶部最
高处距路面 ６ｍ， 矩形的高为 ２ｍ；
（3） 为了保证安全， 交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧
道顶部在竖直方向上的高度差至少要有 ０．５ｍ．
李亮和他的同学运用已学的数学知识， 解决了这个实际问题， 其过
程如下：
画出隧道的截面图. 设双行车道的两个
端点分别为 Ａ， Ｂ， 以 ＡＢ 为 ｘ 轴的正方向，
ＡＢ的中点为原点建立直角坐标系， 如图 2 所
示， 于是（０， ６）为抛物线的顶点， 因此可设
抛物线的表达式为
ｙ＝ａｘ２＋６， －４≤ｘ≤４．
又因为抛物线经过点（４， ２）， 所以
２＝１６ａ＋６． 图
２
１
解得 ａ＝－ ．
４
１
这样， 抛物线的表达式确定为 ｙ＝－ ｘ２＋６．
４
40 数数学学 九九年年级级下下册册令 ｘ＝３， 得 ｙ＝３．７５．
所以 ３．７５－０．５＝３．２５≈３．２．
李亮和他的同学把通过隧道的车辆限制高度定为 ３．２ｍ．
从李亮和他的同学解决这个实际问题的过程中， 我们看到， 将一个
实际问题， 用所学过的数学语言加以抽象概括， 建立数学模型（这里是建
立适当的直角坐标系， 求函数的表达式）， 再应用数学方法来求出能够反
映实际问题所要求的实际结果（这里是求当 ｘ＝３时，ｙ 的值，所求的限制高
度则为 ｙ－０．５）， 这就是简单数学建模的全过程.
简单数学建模的过程， 我们可用下面的框图来说明：
抽象、 概括、 数学化
实际问题 数学问题
求解数学问题
实际结果 数学结果
结合实际加以检验
若有一辆宽为4郾5 m， 高度为4郾5 m的超宽超高车辆欲通过该隧道，
能通过吗？ 是否要采取单向限行措施呢？ （假设车辆顶部与隧道顶部
在竖直方向上的高度差不小于20cm）？
交 流
请你收集一些素材， 建立函数模型， 并求出问题的解.
在老师的组织下， 将自己或小组研究问题的思路 （或方案）、 求解
过程中使用的方法、 反思与发现以报告的形式与全班同学交流， 总结
建立数学模型解决实际问题的策略与收获.
第1章综合二与次实函践数 412
2
第 章
圆
在日常生活中， 我们常常会见到圆形的物体， 如车轮、
钟表、 摩天轮等， 国际奥林匹克标志图案也是用五个圆组
成的. 圆的应用非常广泛.
圆是最基本也是最重要的平面图形之一， 本章我们将学
习关于圆的一些知识， 这包括： 什么样的图形叫圆？ 圆有哪
些基本性质？ 平面上的点、 直线与圆有哪些位置关系？ 怎样
求圆的弧长和扇形面积以及正多边形与圆有哪些关系？ 等等.
42 数学 九年级下册2.1 圆的对称性
在生活中， 我们经常看到圆的形象（如图2-1）．
图2-1
圆（circle）是平面内到一定点的距离等于定长
的所有点组成的图形， 这个定点叫作圆心（center of
a circle）， 定长叫作半径（radius）.
如图 2－2， 点 Ｏ 是圆心， 圆心 O 与圆上一点
的连线段叫作半径， 线段 ＯＡ 是一条半径， 线段
图2－2
OA 的长度也叫作半径， 记作半径 r. 以点 Ｏ 为圆
心的圆叫作圆 Ｏ， 记作⊙Ｏ．
圆也可以看成是平面内一个动
r
·半径
点绕一个定点旋转一周所形成的图 圆心O
形（如图2-3）， 定点叫作圆心， 定点
与动点的连线段叫作半径.
图2－3
我们把到圆心的距离小于半径的点叫作圆内的点； 到圆心的距离大于半
径的点叫作圆外的点.
第2章 圆 43你能说出同一平面内的点与圆有几种位置关系？ 怎样确定点与圆的位置
关系？ 请与同学交流.
一般地， 设⊙Ｏ的半径为ｒ， 点 P 到圆心 Ｏ 的距离OP=d， 则有：
（1） 点 P 在圆内 圳①d < ｒ；
（2） 点 P 在圆上 圳 d = ｒ；
（3） 点 P 在圆外 圳 d > ｒ.
连接圆上任意两点的线段叫作弦（ｃｈｏｒｄ）， 经过圆
心的弦叫作直径（ｄｉａｍｅｔｅｒ）. 如图2－4， 线段AB， CD 是
⊙Ｏ 的弦， 弦 AB 经过圆心 Ｏ， 因此线段 AB 是⊙Ｏ 的
直径.
圆上任意两点间的部分叫作圆弧， 简称弧（ａｒｃ），
弧用符号 “
1.如图2-6， 在一块硬纸板和一张薄的白纸上分别画一个圆， 使它们的
半径相等， 把白纸放在硬纸板上面， 使两个圆的圆心重合， 观察这两个圆是
否重合.
2.如图2-7， 用一根大头针穿过上述两个圆的圆心． 让硬纸板保持不动，
让白纸绕圆心旋转任意角度． 观察旋转后白纸上的圆是否仍然与硬纸板上的
圆重合. 这体现圆具有什么样的性质？
数学 九年级下册
# ” 表示． 如图 2－5， ⊙Ｏ 上两点 Ａ， Ｂ 间
小于半圆的部分叫作劣弧（ｍｉｎｏｒ ａｒｃ）， 记作 A # B ； Ａ， Ｂ
间大于半圆的部分叫作优弧 （ｍａｊｏｒ ａｒｃ）， 记作 AM #
图2－4
B ，
其中点 Ｍ 是优弧上一点．
图2－5
·
图2－6 图2－7
① “圳” 是双向推出符号， 表示从左端可以推出右端， 并且从右端可以推出左端.
44我们把能够重合的两个圆叫作等圆， 把能够互相重合的弧叫作等弧 .
由于圆是由一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形， 因此圆绕圆心旋
转任意角度， 都能与自身重合．
特别地， 将圆绕圆心旋转 180°时能与自身重合， 所以，
圆是中心对称图形， 圆心是它的对称中心．
如图 2-8， 在纸上任画一个⊙O， 并剪下来. 将⊙O 沿任意一条直径（例
如直径CD） 对折， 你发现了什么？
直径 CD 两侧的两个
半圆能完全重合.
由此我们得到: 图2－8
圆是轴对称图形， 任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
如图2-9， 为什么通常要把车轮设计成圆形？ 请说说理由.
古代车轮的演变
图2－9
第2章 圆 45练习
1．下面的说法对吗？ 如不对， 请说明理由.
（1） 直径是弦； （2） 弦是直径；
（3） 半径相等的两个圆是等圆；
（4） 圆既是中心对称图形， 又是轴对称图形.
2．已知⊙Ｏ的半径为4 cm， B为线段OA的中点， 当线段OA满足下列条
件时， 分别指出点B与⊙Ｏ的位置关系：
（1） OA＝6 cm； （2） OA＝8 cm； （3） OA=10 cm.
习题 2.1
A 组
１．如图， 线段AB过圆心O， 点A， B， C， D均
在⊙O上， 请指出哪些是直径、 半径、 弦， 并把它们
表示出来.
2．下面的说法对吗？ 如不对， 请说明理由.
（1） 同一个圆的直径的长是半径的2倍；
（2） 圆是轴对称图形， 过圆心的任意一条直线
（第1题图）
均是圆的对称轴；
（3） 过圆心的线段是圆的直径；
（4） 圆是中心对称图形， 圆心是它的对称中心；
（5） 弦过圆心.
3． 如图， 在Rt△ABC中， ∠ACB＝90°， AC＝4 cm，
AB＝5 cm. D， E分别是AB， BC的中点， 以点A为圆心，
AC为半径画圆， 试判断点C， D， E与⊙A的位置关系.
（第3题图）
B 组
4．矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上吗？ 请说说理由.
46 数学 九年级下册如图 2－13， 已知在⊙O中， 圆心角∠ＡＯＢ＝
∠ＣＯＤ． 它们所对的弧A
第2章 圆
# B与C #
2.2 圆心角、 圆周角
2郾2郾1 圆心角
观察图 2-10 中的∠AOB， 可以发现它的顶点在
圆心， 角的两边与圆相交， 像这样的角叫作圆心角
（ｃｅｎｔｒａｌ ａｎｇｌｅ）， 我们把∠AOB 叫作A
图2－10
D相等吗？它们所对的
弦ＡＢ与ＣＤ相等吗？
图2－13
# B 所对的圆心
角， A # B叫作圆心角∠ＡＯＢ 所对的弧．
在生活中， 我们常遇到圆心角， 如飞镖靶中有圆心
角（如图 2-11）， 还有手表的时针与分针所成的角（如图
2-12）等也是圆心角．
图2－11 图2－12
47因为将圆绕圆心旋转任一角度都能与自身重合，
所以可以将⊙O绕圆心Ｏ旋转， 使点Ａ与点Ｃ重合． 由
于∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ， 因此， 点Ｂ与点Ｄ重合． 从而Ａ
由此得到下述结论：
在同圆中， 如果圆心角相等， 那么它们所对的弧相等， 所对的
弦也相等．
一般地， 有以下结论：
在同圆或等圆中， 如果两个圆心角、 两条弧和两条弦中有一组量相等， 那
么它们所对应的其余各组量都分别相等.
数学 九年级下册
# Ｂ ＝
C # D， ＡＢ＝ＣＤ．
上述结论对于等圆也成立.
在同圆或等圆中， 如果弧相等， 那么它们所对的圆心角相等吗？ 所对的
弦相等吗？
在同圆或等圆中， 如果弦相等， 那么它们所对的圆心角相等吗？ 所对的
弧相等吗？
例1 如图 2-14， 等边△ABC 的顶点 A， B， C 在⊙O 上， 求圆心角
∠AOB的度数.
解 ∵ △ABC为等边三角形，
∴ AB=BC=AC.
∴ ∠AOB=∠BOC=∠COA .
又∵ ∠AOB+∠BOC+∠COA=360°，
1
∴ ∠AOB= （∠AOB+∠BOC+∠COA）
3
1
= ×360°=120° . 图2－14
3
48练习
1.在⊙O中， 已知∠AOB=40°， A
图2－16
第2章 圆
A B=C A D， 求∠COD的度数.
2．如图， 在⊙Ｏ中， ＡＢ是直径， ∠AOE=60°， 点C， D是BE A
（第1题图） （第2题图）
的三等分
点， 求∠COE的度数.
观察图 2－15 中的∠ＢＡＣ， 可以发现它的顶点 Ａ 在圆上， 它的两边都与圆
相交， 像这样的角叫作圆周角（ｃｉｒｃｕｍｆｅｒｅｎｃｅ ａｎｇｌｅ）．
我们把∠BAC 叫作BC A 所对的圆周角， BC A
2郾2郾2 圆周角
叫作圆
周角∠BAC所对的弧.
圆周角在我们生活中处处可见， 比如， 我们从共
青团团旗上的图案抽象出如图 2－16 所示的图形， 该图
形中就有许多圆周角．
图2－15
49分别测量图2-15中B
数学 九年级下册
! C 所对的圆周角∠ＢＡＣ和圆心角∠ＢOC的度数，它
们之间有什么关系？
每位同学任画一个圆， 并在圆上任取一条弧， 作出这条弧所对的圆周角
和圆心角， 测量出它们的度数. 你能得出同样的结论吗？ 由此你能发现什么
规律？
通过度量， 我发现圆周角的度数等
于它所对弧上的圆心角度数的一半.
下面我们来证明这个结论.
已知： 在⊙O中， B
图2－17
! C 所对的圆周角是∠ＢＡＣ， 圆心角是∠ＢOC.
１
求证： ∠ＢＡＣ= ∠ＢＯＣ.
２
在画图时， 可以发现圆心 O与圆周角的位置关系有以下三种情形：
（1） 圆周角的一边通过圆心；
（2） 圆心在圆周角的内部；
（3） 圆心在圆周角的外部．
对于第（1）种情况， 如图 2－１7， 圆心 O 在∠ＢＡＣ
的一边 ＡＢ 上．
∵ ＯＡ＝ＯＣ，
∴ ∠Ｃ＝∠BAC，
∴ ∠ＢＯＣ＝∠Ｃ＋∠BAC
＝２∠BAC，
１
即 ∠BAC＝ ∠ＢＯＣ．
２
对于第（2）种情况， 如图 2－１8， 圆心 Ｏ 在∠ＢＡＣ
的内部．
作直径 ＡＤ， 根据第（1）种情况的结果得
图2－18
50图2－19
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
如图 2-20， ∠C， ∠C， ∠C 都是A
1 2 3
第2章 圆
"
１ １
∠ＢＡＤ＝ ∠BOD， ∠ＤＡＣ＝ ∠DＯＣ．
２ ２
∴ ∠ＢＡＣ＝∠ＢＡＤ＋∠ＤＡＣ
１ １
＝ ∠BOD+ ∠DＯＣ
２ ２
１
＝ ∠BOC.
２
对于第（3）种情况， 如图 2－１9， 圆心 Ｏ 在∠ＢＡＣ
的外部．
１
请你完成∠ＢＡＣ＝ ∠ＢＯＣ 的证明.
２
由此得到圆周角定理：
B 所对
的圆周角， 那么∠C =∠C =∠C 吗？
1 2 3
图2－20
在图 2-20中， 连接 AO， BO， 则∠C， ∠C， ∠C 所对弧上的圆心角均为
1 2 3
∠AOB. 由圆周角定理， 可知∠C =∠C =∠C .
1 2 3
由此得到以下结论：
在同圆 （或等圆） 中， 同弧或等弧所对的圆周角相等； 相
等的圆周角所对的弧也相等．
51例2 如图2-21， OA， OB， OC都是⊙O的半径， ∠AOB=50°， ∠BOC=
70°. 求∠ACB和∠BAC的度数.
解 ∵ 圆心角∠AOB与圆周角∠ACB所对的弧为A
数学 九年级下册
A B ，
1
∴ ∠ACB＝ ∠AOB=25°.
2
1
同理 ∠BAC＝ ∠BOC=35°.
2
图2－21
练习
1． 下图中各角是不是圆周角？ 请说明理由.
（1） （2） （3） （4）
（第1题图）
2． 如图， 在⊙O中， 弦AB与CD相交于点M， 若∠CAB=25°， ∠ABD=
95°， 试求∠CDB和∠ACD的度数.
（第2题图） （第3题图）
3． 如图， 点 A， B， C 在⊙Ｏ 上， AC∥OB． 若∠OBA=25°， 求∠BOC的
度数.
52 在图 2-22 中， AB 是⊙O的直径， 那么∠C， ∠C， ∠C 的度数分别是
1 2 3
多少呢？
图2－22
因为圆周角∠C， ∠C， ∠C 所对弧上的圆心角是∠AOB，
1 2 3
只要知道∠AOB的度数， 利用圆周角定理， 就可以求出∠C，
1
∠C， ∠C的度数.
2 3
因为 A， O， B 在一条直线上， 所以圆心角∠AOB
是一个平角， 即∠AOB=180°. 故∠C ＝∠C ＝∠C ＝
1 2 3
1
×180°=90°.
2
在图2-22中， 若已知∠C =90°， 它所对的弦AB是直径吗？
1
由此得到以下结论：
直径所对的圆周角是直角； ９０°的圆周角所对的弦是直径.
第2章 圆 53例3 如图 2-23， BC 是⊙O 的直径， ∠ABC=60°，
点Ｄ在⊙O上， 求∠ADB的度数.
解 ∵ BC为直径，
∴ ∠BAC=90°.
又 ∠ABC=60°，
∴ ∠C=30°.
又∵ ∠ADB与∠C都是A
数学 九年级下册
A
图2－23
B 所对的圆周角，
∴ ∠ADB=∠C=30°.
如图2-24， A， B， C， D是⊙O上的四点， 顺次连接
A， B， C， D四点， 得到四边形ABCD， 我们把四边形
ABCD称为圆内接四边形.
这个圆叫作这个四边形的外接圆.
图2－24
在图2-24的四边形ABCD中， 两组对角∠A与∠C， ∠B与∠D有什么关系？
在图2-24中， 连接OB， OD， 得图2-25.
∵ ∠A所对的弧为BC A D ， ∠C所对的弧为BA A D ，
又 BC A D与 BA A D 所对的圆心角之和是周角，
360°
∴ ∠A+∠C= =180°.
2
由四边形内角和定理可知， ∠ABC+∠ADC=180°.
图2－25
由此得到以下结论：
圆内接四边形的对角互补.
54例4 如图2-26， 四边形ABCD为⊙O的内接四边形， 已知∠BOD 为 100°， 求
∠BAD及∠BCD的度数.
解 ∵ 圆心角∠BOD与圆周角∠BAD所对的弧为 B
第2章 圆
B D ，
∠BOD=100°,
1 1
∴ ∠BAD= ∠BOD= ×100°=50°.
2 2
∵ ∠BCD+∠BAD=180°，
∴ ∠BCD=180°-∠BAD=180°-50°＝130°.
图2－26
练习
1．如图， 在⊙Ｏ中， ＡＢ是直径， Ｃ， Ｄ是圆上两点， 且ＡＣ＝ＡＤ．
求证： ＢＣ＝ＢＤ．
（第1题图） （第2题图）
2.怎样运用三角板画出如图所示的圆形件表面上的直径， 并标出圆心，
试说明画法的理由.
3．如图， 圆内接四边形ABCD的外角
∠DCE=85°， 求∠A的度数.
（第3题图）
55A 组
１．如图， 点A， B， C， D在⊙O上， A
数学 九年级下册
A C =B A D ， AB与CD相等吗？ 为什么？
2．如图， OA， OB， OC是⊙O的三条半径， A A C =B A
习题 2.2
（第1题图） （第2题图）
C ， 点M， N分别是OA，
OB的中点.
求证： MC=NC.
3．如图， 已知圆心角∠AOB的度数为100°， 求圆周角∠ACB的度数.
（第3题图） （第4题图）
4．如图， 点A， B， C在⊙O上， ∠A=72°， 求∠BOC和∠OBC的度数.
5． 如图， 在⊙O中， 弦AB与CD相交于点F， ∠BCD=40°， ∠BFD=70°， 求
∠ADC的度数.
（第5题图）
566． 如图， 一工件的凹面要求做成半圆， 如何用一把曲尺 （它的角是直角）
检查工件的凹面是否符合要求？
（第6题图） （第7题图）
7.如图， 把一根圆柱形的木头锯成正方体形的柱子， 使截面正方形的四个
顶点均在圆上.
（1） 正方形的对角线与圆的直径有什么关系？
（2） 设⊙Ｏ的半径为2， 求图中阴影部分的面积之和.
B 组
8．如图， 点A， P， B， C是⊙O上的四点， ∠APC＝∠CPB=60°.
求证： △ABC为等边三角形.
（第8题图） （第9题图）
1
9．如图， △ABC的三个顶点都在⊙O上， 直径AD＝3cm， ∠B＝ ∠DAC.
2
试求AC的长.
10．如图， ⊙O 和⊙O 都经过A， B两点， 经
1 2
过点 A 的直线 CD 与⊙O 交于点 C， 与⊙O 交于
1 2
点 D. 经过点 B 的直线 EF 与⊙O 交于点 E， 与
1
⊙O 交于点F.求证： CE∥DF. （提示： 连接AB）
2
（第10题图）
第2章 圆 57鄢2.3
垂径定理
在图2-27的⊙O中， AB是任一条弦， CD是⊙O的直
径， 且CD⊥AB， 垂足为E. 试问： AE与BE， A
数学 九年级下册
A C 与
B A C ， A A D 与B A D 分别相等吗？
图2－27
下面我们来证明这个结论.
在图 2-27中， 连接 OA， OB.
∵ OA=OB，
∴ △OAB是等腰三角形.
∵ OE⊥AB，
∴ AE=BE， ∠AOD=∠BOD.
从而 ∠AOC=∠BOC.
∴ A A C =B A C ， A A D =B A
因为圆是轴对称图形， 将⊙O沿直径CD对折， 如
图 2-28， 我发现 AE 与 BE 重合， A
D .
由此得到垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧.
A C ， A A D 分别与
B A C ， B A D 重合， 即AE=BE， A A C =B A C ， A A D =B A D .
图2－28
鄢 本节为选学内容.
58例1 如图2-29， 弦AB=8 cm， CD是⊙O的直径， CD⊥AB， 垂足为E，
DE＝2cm， 求⊙O的直径 CD的长.
解 连接 OA.
设OA=r cm， 则 OE＝r-2（cm）.
∵ CD⊥AB，
AB
由垂径定理得 AE＝ ＝4 （cm）.
2
在Rt△AEO中， 由勾股定理得
OA2＝OE2+AE2.
即 r2＝（r-2）2+42.
解得 r＝5.
∴ CD=2r=10 （cm）.
例2 证明： 圆的两条平行弦所夹的弧相等．
已知： 如图2－30， 在⊙Ｏ中， 弦ＡＢ与弦ＣＤ平行．
求证： A
练习
如图， AB 是⊙Ｏ的直径， C 是⊙Ｏ上一点，
AC＝8cm， AB＝10cm， OD⊥BC于点 D， 求 BD
的长.
第2章 圆
A Ｃ ＝Ｂ A Ｄ ．
证明 作直径 ＥＦ⊥ＡＢ，
∴ A A Ｅ ＝Ｂ A Ｅ .
又∵ ＡＢ∥ＣＤ， ＥＦ⊥ＡＢ，
∴ ＥＦ⊥ＣＤ．
∴ C A E ＝D A E ．
因此 A A Ｅ －Ｃ A Ｅ ＝Ｂ A Ｅ －Ｄ A Ｅ ，
即 A A Ｃ ＝Ｂ A
图2－29
图2－30
Ｄ ．
59习题 2.3
A 组
1． 如图， 这是一种水管的横截面， 它的内径 ｄ ＝50 ｃｍ， 如果水面宽为
4０ ｃｍ， 那么此时水的深度是多少？
（第1题图） （第2题图）
2． 如图， AB是⊙O的弦， 点C， D是弦AB
上两点， 并且OC＝OD.
求证： AC＝BD.
3． 如图， １4００ 年前， 我国隋代建造的赵
州桥的桥拱是圆弧形， 它的跨度（弧所对的弦
长）是 ３７．４ｍ， 拱高（弧的中点到弦的距离）
为７．２ｍ， 求桥拱的半径（精确到０．１ｍ）.
（第3题图）
B 组
4． 圆心相同， 半径不同的两个圆叫同心圆. 如图， 以点 Ｏ为圆心的两个同
心圆中， 小圆的弦AB的延长线交大圆于点C.若AB=4， BC=1， 求圆环的面积.
（第4题图） （第5题图）
5．如图， 你能平分这段圆弧吗？ 说说你的作法及理由.
60 数学 九年级下册2.4 过不共线三点作圆
1． 如何过一点Ａ作一个圆？ 过点Ａ可以作多少个圆？
2． 如何过两点Ａ， Ｂ作一个圆？ 过两点可以作多少个圆？
对于问题 1， 以不与点 Ａ 重合的任意一点为圆心，
以这个点和点 Ａ 的距离为半径画圆即可， 如图 2－31.
由画图可知， 过点A可作无数个圆．
图2－31 图2－32
对于问题2， 作线段AB的垂直平分线l， 以l上任意一
点为圆心， 以这点和点Ａ（或点 B）的距离为半径画圆即可，
如图2-32. 由画图可知， 过两点A， B可以作无数个圆.
如何过不在同一直线上的三个点作圆？ 可以作多少个圆？
第2章 圆 61已知： 不在同一直线上的三点 Ａ， Ｂ， Ｃ．
求作： ⊙Ｏ， 使它经过点 Ａ， Ｂ， Ｃ．
分析 由于圆心 Ｏ 与三点 Ａ， Ｂ， Ｃ 的距离相
等， 因此圆心 Ｏ 既在线段 ＡＢ 的垂直平分线上， 又
在线段ＢＣ的垂直平分线上．
作法：
（1） 连接 ＡＢ， 作线段 ＡＢ的垂直平分线 ＥＦ； 图2－33
（2） 连接 ＢＣ， 作线段 ＢＣ的垂直平分线 ＭＮ；
（3） 以ＥＦ和ＭＮ的交点Ｏ为圆心， 以ＯＡ为半径作圆．
则⊙Ｏ就是所求作的圆， 如图 2－33．
由作法和上面的分析可知， 过不在同 过在同一直线上的三点
A， B， C可以作一个圆吗？
一直线上的三点Ａ， Ｂ， Ｃ 可以作一个圆且
只可以作一个圆．
经过△ＡＢＣ的三个顶点可以作一个圆吗？
由于△ＡＢＣ的三个顶点不在同一直线上， 因此过这
三个顶点可以作一个圆， 并且只可以作一个圆．
经过三角形各顶点的圆叫作这个三角形的外接圆
（ｃｉｒｃｕｍｃｉｒｃｌｅ）， 外接圆的圆心叫作这个三角形的外心
（ｃｉｒｃｕｍｃｅｎｔｅｒ）， 这个三角形叫作这个圆的内接三角形
（ｉｎｓｃｒｉｂｅｄ ｔｒｉａｎｇｌｅ）， 如图 2－34． 从前面的讨论知道，
三角形的外心是它的三条边的垂直平分线的交点．
图2－34
62 数学 九年级下册练习
1． 任意画一个三角形， 作这个三角形的外接圆.
2． 如图是一块破残的圆形玻璃镜， 现要复制一
块同样大小的圆形玻璃， 你能画出要复制的圆形玻璃
镜图吗？
（第2题图）
习题 2.4
A 组
１．如图是某一圆弧管道， 请想办法作出圆弧管道的圆心．
（第1题图） （第2题图）
2． 如图， 在△ABC中， ∠ＢＡＣ=70°， ∠ABC=50°， 点 O是△ABC的外心，
求∠AOB的度数.（提示： 作△ABC的外接圆）
B 组
3．求边长为a的等边三角形的外接圆的半径.
4． 如图2-34， △ABC 是锐角三角形， 它的外心 O 在三角形的内部. 如果
△ABC 是钝角三角形， 外心 O 在三角形的什么位置？ 如果△ABC 是直角三角
形， 外心O在△ABC的什么位置？ 分别画出它们的外接圆， 并给予判断.
第2章 圆 632.5 直线与圆的位置关系
2郾5郾1 直线与圆的位置关系
图2-35是小明在海边观日出时所看到的景象示意图.
地平线
图2－35
观察上图， 你发现了什么？
若将图中太阳看作圆， 地平线看作直线，
我发现直线与圆有三种位置关系， 如图2-36.
（1） （2） （3）
图2－36
可以说明： 在平面内， 直线与圆的位置关系有三种情况．
设圆心到直线的距离为 ｄ， 圆的半径为 ｒ， 则：
当 ｄ＜ｒ 时， 直线与圆恰好有两个不同的公共点， 这时称直线与圆相交，
这条直线叫作圆的割线；
64 数学 九年级下册当 ｄ＝ｒ时， 直线与圆只有一个公共点， 这时称直线与圆相切， 这条直线
叫作圆的切线 （ｔａｎｇｅｎｔ ｌｉｎｅ）， 这个公共点叫作切点 （ｐｏｉｎｔ ｏｆ ｔａｎｇｅｎｃｙ）；
当 ｄ＞ｒ时， 直线与圆没有公共点， 这时称直线与圆相离．
一般地， 设⊙O 的半径为 ｒ， 圆心 O 到直线 l 的距离为 d， 则有：
（1） 直线 l 和⊙O 相交 圳 d < ｒ；
（2） 直线 l 和⊙O 相切 圳 d = ｒ；
（3） 直线 l 和⊙O 相离 圳 d > ｒ.
例1 如图2-37， ∠C＝30°， O为BC上一点， 且CO＝6 cm， 以O为圆心， r
为半径的圆与直线CA有怎样的位置关系？ 为什么？
（1） r=2.5 cm；
（2） r=3 cm；
（3） r=5 cm.
解 过O作OD⊥CA交CA于D.
在Rt△CDO中， ∠C=30°，
图2-37
1
∴ OD= CO=3（cm）.
2
即圆心O到直线CA的距离d＝3cm.
（1） 当r＝2.5cm时， 有d>r， 因此⊙O与直线CA相离；
（2） 当r＝3cm时， 有d＝r， 因此⊙O与直线CA相切；
（3） 当r＝5cm时， 有d0.5, “正” ,
“反”）”， 然后利用填充柄一直拖动到 A5000. 这是让计算机随机生成 [0,1]
之间的数， 假设大于0.5， 则认为是正面， 否则就是反面.
2. 在B1栏输入 “=COUNTIF （A1:A5000， “正”） /5000” , 在B2栏输
入 “=COUNTIF （A1:A5000， “反”） /5000” . B1和B2分别是统计 “正面
朝上” 和 “反面朝上” 的频率.
3. 以B1和B2为数据源作柱形图.
4. 选择一个空白单元格， 不断按 Delete 键， 那么 A 列数据会不断更
新， 从而 B1， B2 数据更新， 柱形图也在不断发生变化. 但变化是有规律
的， 就是两个柱形图的高度总是在0.5左右波动. 如图.
请你动手在计算机上操作这个试验.
140 数数学学 九九年年级级下下册册小结与复习
回顾
1. 试举例说明什么是随机事件、 不可能事件与必然事件.
2. 什么是事件A发生的概率？
3. 如何用列表法和树状图法求随机事件的概率？
4. 说一说随机事件的概率与频率的区别与联系.
本章知识结构
事件
确定性事件 随机事件
必然事件 不可能事件 概率的概念
用列举法求概率 用频率估计概率
列表法 树状图法
注意
1. 概率是随机事件自身固有的性质， 随机事件可能性大小可以用概率来
刻画， 随机事件A的概率P（A）满足：0≤P（A）≤1. 必然事件的概率为1， 不
可能事件的概率为0， 它们可看作随机事件的两种极端情形.
2. 频率和概率都是随机事件可能性大小的定量的刻画， 概率是随机事件
自身的固有的性质. 当试验次数非常多时， 在大多数情况下， 频率与概率会
很接近， 频率可以作为概率的估计.
第4章 概 率 141复习题 4
A组
1郾下列事件中， 哪些是必然事件， 哪些是不可能事件， 哪些是随机事件？
（1） 明天当地降水；
（2） 抛掷硬币三次， 全都正面朝上；
（3） 抛两枚骰子， 点数之和小于13；
（4） 1kg棉花比1kg铁块轻；
（5） 任意摸一把围棋子， 恰好取得偶数个.
2郾100个产品中有10个是次品， 从中随意取出1个：
（1） 取出的产品可能是次品吗？
（2） 取出的产品为正品的可能性大， 还是为次品的可能性大？
（3） 如果从这100个产品中随意取出10个， 在这10个产品中， 是 “正品
数量多” 这一事件的可能性大， 还是 “次品数量多” 这一事件的可能性大？
3郾如图是一个能自由转动的转盘， 盘面被分成8个相同的扇形， 颜色分为
红、 黄、 绿 3 种. 指针的位置固定， 让转盘自由转动，
当它停止后， 求下列事件的概率：
（1） 指针指向绿色；
（2） 指针指向红色或黄色；
（3） 指针不指向黄色.
（第 题图）
4郾 在猜一商品价格的游戏中， 参与者事先不知道 3
该商品的价格， 主持人要求他从右图中的 4 张卡片中
任意拿走一张， 使剩下的卡片从左到右连成一个三位
数， 该数就是他猜的价格． 若商品的价格是360元， 求
（第 题图）
4
他一次就能猜中的概率．
5郾 如图， 有一游戏棋盘和一个质地均匀的正四面体骰子 （各面依次标有
1， 2， 3， 4四个数字）． 游戏规则是游戏者每掷一次骰子， 棋子按骰子着地一面
所示的数字前进相应的格
数．请用列表法 （或树状
图法） 求掷骰子两次后，
棋子恰好由起点前进 6 格
到达A处的概率. （第 题图）
5
142 数学 九年级下册6郾某科技小组做黄豆在相同条件下的发芽试验， 结果如下表所示：
每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000
发芽的粒数m 96 282 382 570 948 1912 2850
m
发芽的频数 0.960 0.940 0.955 0.950 0.948 0.956 0.950
n
则黄豆发芽的概率估计值是多少？
B 组
7郾笔筒中有10支笔， 将它们逐一标上1～10的号码， 现在
若从笔筒中任意抽出1支笔， 则：
（１） 抽到编号是3的倍数的结果有几种？ 概率是多少？
（2） 抽到编号是5的倍数的结果有几种？ 概率是多少？
（3） 抽到编号既是 3 的倍数又是 5 的倍数的结果有几种？
概率是多少？
8郾有5 、 6 、 7 三张纸牌， 将这三张牌任意排成一个三位数， 试问：
（１） 共可排出几个不同的三位数？
（2） 排出的三位数是奇数的概率是多少？
（3） 排出的三位数是4的倍数的概率是多少？
9郾 如图， 共有 12个大小相同的正方形， 其中阴影部分的
5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分， 现从其余
的小正方形中任取一个涂上阴影， 求能构成这个正方体的表面
（第 题图）
9
展开图的概率.
10郾小刚很擅长球类运动， 课外活动时， 足球队、 篮球队都力邀他到自己的
阵营， 小刚左右为难， 最后决定通过掷硬币来确定. 游戏规则如下： 连续抛掷
硬币三次， 如果三次正面朝上或三次反面朝上， 则由小刚任意挑选两球队； 如
果两次正面朝上一次正面朝下， 则小刚加入足球阵营； 如果两次反面朝上一次
反面朝下， 则小刚加入篮球阵营.
（1） 用树状图法表示三次抛掷硬币的所有结果；
（2） 小刚任意挑选两球队的概率有多大？
（3） 这个游戏规则对两个球队是否公平？ 为什么？
第4章 概 率 14311郾某地区在连续４６年中， 每年干燥月份（即降水量低于这４６年的平均月降
水量）的统计情况如下表：
每年干燥月份的月数 ０ １ ２ ３ ４ ５
相应的年数 ０ ０ ０ １ ５ ８
每年干燥月份的月数 ６ ７ ８ ９ １０ ≥１１
相应的年数 ９ ９ ７ ３ ２ ２
从上述统计表估计：
（１） 一年中恰有５个月是干燥月份的概率是多少（精确到０郾０１，以下同此规
定）？
（２） 一年中干燥月份小于７个月的概率是多少？
（３） 一年中干燥月份大于９个月的概率是多少？
C 组
12郾下面是一则漫画：
1
某种疾病的手术成功率是 ， 李某到一家医院就诊.
10
你找到我， 是你的
幸运， 在我这就诊的前
9 个病人都失败了， 你
一定会成功!
你认为这位医生讲得对吗？
13郾为了检验一枚骰子是否质地均匀， 小李、 小张、 小王各投掷了100次.
1
（1） 若出现 1， 2， 3， 4， 5， 6 点的频率均是 ， 你认为这枚骰子质地均
6
匀吗？
（2） 若出现 1， 2， 3， 4， 5， 6 点的频率各不相等， 随后每人又加投 100
次， 出现各点的频率基本相同， 你认为这枚骰子质地均匀吗？
144 数学 九年级下册漫谈小概率事件
成语词典上对 “万无一失” 的解释是：“比喻有绝对把握．” 这仅仅是
比喻而已． 从数学上看， 虽然一万无一失， 但是也许一万零一次就失败
了呢？ 尽管可以 “亿无一失”， 但十亿次、 百亿次后出现失误的可能性不
是依然存在吗？ 因此， “万无一失” 只能说出现失败的可能性很小， 毕
竟不能和 “有绝对把握” 画等号．
概率论中把发生的概率很小的事件， 称作 “小概率事件”． 小概率事
件是我们经常会碰到的事情． 比如：
●某地的 “福利彩票”， 10 万户设一个特等奖， 奖金为 １００ 万元．
因此， 中特等奖的概率是十万分之一．
●我国 ２０11 年因交通事故而死亡的人数为 6.7 万余人． 以全国人口
１３7053万计算， 某人一年内因车祸死亡的概率约为二万分之一．
●生产某种零件， 正品率要达到 ０．９９９ ９， 意思是生产 1 万个零件，
大约有 1个次品， 即次品率为万分之一．
●完成一件任务， 有九成把握， 即 “十
９
拿九稳”． 此时成功的概率达到 ， 失败的
１０
１
概率为 ．
１０
那么， 多大的概率算 “小概率”？ 这是因人、 因地、 因事而异的， 没
有统一的标准．
中国古代军事学有 “六十庙算” 的说法， 意思是有六成把握就应该
攻打． 实际上把 ０．４ 也看成小概率了． 一般地说， ９５％的把握是大家最常
见的底线． 也就是说， ０．０５通常被认为是小概率． 但是这不可一概而论．
一台设备有 １ ０００ 个零件是常见的． 假如每个零件的合格率是 ０．９９９，
而且其中一个零件失效， 就会导致整个系统失效． 那么， 整台设备正常
工作的概率只有
０．９９９１０００≈０．３６８．
第第44章章 概概 率率 145１
这意味着这台机器只有 的时间能够正常
３
使用． 这样的产品怎么卖得出去？ 如果是发
射宇宙飞船， 涉及的零件和部件非常之多，
其可靠性的要求必须非常严格． ０．０００ １ 的次
品率已经很高， 不是小概率事件了．
人们对于小概率事件的理解， 还与人的
心理因素有关． 比如， 有些人觉得自己肯定
会中奖 （十万分之一）， 却认为绝对不会出
车祸 （二万分之一）．
确实， 如何对待小概率事件， 是人们处
神舟九号发射现场
理工作和生活问题的必备科学素质． 完全忽
视小概率事件， 会因麻痹大意而酿成大祸． 但也不必过分害怕小概率事
件， 以致谨小慎微， 裹足不前． 事实上， 你不必因担心天上的飞机会掉
落在你的头上而忧心忡忡， 但更不可因疏忽大意使飞机的安全受到威胁．
只有对具体的小概率事件做具体分析， 科学地加以处理， 才能在 “十拿
九稳” “万无一失” “绝对把握” 等之间做出正确的抉择．
146 数学 九年级下册数学词汇汉英对照表
（按词汇所在页码出现的先后排序）
二次函数 外 心
ｑｕａｄｒａｔｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ 3 ｃｉｒｃｕｍｃｅｎｔｅｒ ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ 62
抛物线 内接三角形
ｐａｒａｂｏｌａ ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ 9 ｉｎｓｃｒｉｂｅｄｔｒｉａｎｇｌｅ ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ 62
圆 切 线
ｃｉｒｃｌｅ ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ 43 ｔａｎｇｅｎｔｌｉｎｅ ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ 65
圆 心 切 点
ｃｅｎｔｅｒｏｆａｃｉｒｃｌｅ ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ 43 ｐｏｉｎｔｏｆｔａｎｇｅｎｃｙ ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ 65
半 径 内切圆
ｒａｄｉｕｓ ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ 43 ｉｎｓｃｒｉｂｅｄｃｉｒｃｌｅ ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ 73
弦 内 心
ｃｈｏｒｄ ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ 44 ｉｎｃｅｎｔｅｒ ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ 73
直 径 外切三角形
ｄｉａｍｅｔｅｒ ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ 44 ｅｘｔｅｒｎａｌｌｙｔａｎｇｅｎｔｔｒｉａｎｇｌｅ ｎｎｎｎｎｎｎ 73
弧 扇 形
ａｒｃ ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ 44 ｓｅｃｔｏｒ ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ 79
劣 弧 正多边形
ｍｉｎｏｒａｒｃ ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ 44 regularpolygon ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ 83
优 弧 投 影
ｍａｊｏｒａｒｃ ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ 44 ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ 95
圆心角 平行投影
ｃｅｎｔｒａｌａｎｇｌｅ ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ 47 ｐａｒａｌｌｅｌｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ 95
圆周角 中心投影
ｃｉｒｃｕｍｆｅｒｅｎｃｅａｎｇｌｅ ｎｎｎｎｎｎｎｎｎ 49 ｃｅｎｔerｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ 96
外接圆 概 率
ｃｉｒｃｕｍｃｉｒｃｌｅ ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ 62 ｐrobability ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ 124
数学词汇汉英对照表 147后 记
本册教科书是依据教育部颁布的 《义务教育数学课程标准》 （2011
年版）， 在原实验教科书的基础上修订而成的， 经国家基础教育课程教
材专家工作委员会 2013 年审查通过.
本书在修订过程中， 吸收了基础教育课程改革实验的优秀成果， 凝
聚了参与课程改革实验的广大数学家、 数学课程专家、 教研人员以及一
线教师的集体智慧. 一大批数学教师为本书的修订提出了宝贵的意见.
在此， 对所有为本次修订提供过帮助和支持的社会各界朋友表示衷心的
感谢.
在本书出版之前， 我们通过多种渠道与教科书所选用资料和图片的
作者进行了联系， 得到了他们的大力支持. 对此， 我们表示诚挚的感
谢！ 但仍有部分作者未能取得联系， 恳请这些作者尽快与我们联系， 以
便支付稿酬.
教材建设是一项长期的任务， 我们真诚地希望广大教师、 学生及家
长在使用本册教科书的过程中提出宝贵意见， 并将这些意见和建议及时
反馈给我们. 让我们携起手来， 共同完成义务教育教科书建设这一光荣
的使命！
湖南教育出版社
2013 年 5 月
148 数数学学 九九年年级级下下册册
