8.1二元一次方程（组）的相关概念（能力提升）-七年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）(27700933)_初中全科电子版试卷练习试题_数学_7下初中人教版数学练习、试卷

第八章 二元一次方程（组） 8.1 二元一次方程（组）的相关概念（能力提升） 【要点梳理】 知识点一、二元一次方程 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方 程． 要点诠释：二元一次方程满足的三个条件： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 要点二、二元一次方程的解 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组 解． 要点诠释： (1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如： x2, ．  y 5. (2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程． 要点三、二元一次方程组 把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 3x10 要点诠释：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如 也是  x2y 5 二元一次方程组. 要点四、二元一次方程组的解 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 要点诠释：（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般 xa 写成 的形式．  y b 2x y 5 (2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组  2x y 6 x y 1 无解，而方程组 的解有无数个．  2x2y 2 【典型例题】 类型一、二元一次方程 例1．已知方程（m﹣2）xn﹣1+2y|m﹣1|=m是关于x、y的二元一次方程，求m、n的值． 【答案与解析】 解：∵（m﹣2）xn﹣1+2y|m﹣1|=m是关于x、y的二元一次方程， ∴n﹣1=1，|m﹣1|=1， 解得：n=2，m=0或2， 若m=2，方程为2y=2，不合题意，舍去， 则m=0，n=2． 举一反三： 1 【变式1】已知方程2xm3  y24n 5是二元一次方程，则m= ，n= . 2 1 【答案】-2， 4 【 变 式 2 】 方 程 ， 当 (a1)x(a1)y 0 时，它是一元一次方程． a___时，它是二元一次方程，当a___ 【答案】1；1或1 类型二、二元一次方程的解例2.已知 是方程2x﹣6my+8=0的一组解，求m的值． 【答案与解析】 解：∵ 是方程2x﹣6my+8=0的一组解， ∴2×2﹣6m×（﹣1）+8=0， 解得m=﹣2． 举一反三： xm1 【变式】已知方程2x-y+m-3=0的一个解是 ，求m的值.  y m1 【答案】 xm1 解：将 代入方程2x-y+m-3=0得 ，解得 .  2(m1)(m1)m30 m3 y m1 答：m的值为3. 例3.写出二元一次方程 的所有正整数解. 4x y 20 【答案与解析】 解：由原方程得 ，因为 都是正整数， y 204x x、y 所以当 时， . x1， 2， 3， 4 y 16，1 2， 8， 4 x1 x2 x3 x4 所以方程 的所有正整数解为： ， ， ， . 4x y 20     y 16 y 12 y 8 y 4 举一反三： 【变式1】已知 是关于x、y的二元一次方程ax﹣（2a﹣3）y=7的解，求a的 值． 【答案】 解：把 代入方程ax﹣（2a﹣3）y=7，可得：2a+3（2a﹣3）=7， 解得：a=2． 1 【变式2】在方程3x4y20中，若 y 分别取2、 、0、－1、－4，求相应的x 4 的值. 24y 【答案】将3x4y20变形得x . 3 把已知y值依次代入方程的右边，计算相应值，如下表： 1 y 2 0 －1 －4 4 24y 1 2 x －2 2 6 3 3 3 类型三、二元一次方程组及解 ax5y 15 ① 例4.甲、乙两人共同解方程组 由于甲看错了方程①中的a，得到  4xby 2 ② x3 x5 方程组的解为 ．乙看错了方程②中的b．得到方程组的解为 ．试计算：   y 1 y 4 2011  1  的值． a2010   b    10  【答案与解析】 x3 解：把 代入②，得-12+b＝-2，所以b＝10．  y 1 x5 把 代入①，得5a+20＝15，所以a＝-1，  y 4 2011 2011 所以  1   1  ． a2010   b (1)2010   10 1(1)0      10   10  举一反三：xay 4 x1 【变式】已知关于x,y的二元一次方程组 的解是 ，   by3x2 y 3 求 ． ab的值 【答案】 a1 x 1 13a4  解：将 代入原方程组得： ，解得 ，    1 y  3 3b32  b  3 2 所以ab ． 3 【巩固练习】 一、选择题 1．一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为6，那么符合条件的两位数的个数有 （ ） A．5 个 B. 6 个 C.7 个 D.8 个 2.方程2x﹣ =0，3x+y=0，2x+xy=1，3x+y﹣2x=0，x2﹣x+1=0中，二元一次方程的个 数是（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3.已知x=2，y=﹣3是二元一次方程5x+my+2=0的解，则m的值为（ ） A．4 B．﹣4 C． D．﹣ 4.若5x-6y=0，且xy≠0，则 的值等于（ ） 2 3 A． B. C.1 D. -1 3 2 5.若x、y 均为非负数，则方程6x=-7y 的解的情况是（ ） A．无解 B.有唯一一个解 C.有无数多个解 D.不能确定 6.在早餐店里，王伯伯买5个馒头，3个包子，老板少拿2元，只要50元．李太太买 了11个馒头，5个包子，老板以售价的九折优待，只要90元．若馒头每个x元，包子每个 y元，则下列哪一个二元一次联立方程式可表示题目中的数量关系? ( )5x3y 502 5x3y 502 A． B．   11x5y 900.9 11x5y 900.9 5x3y 502 5x3y 502 C． D．   11x5y 900.9 11x5y 900.9 二、填空题 1 7．已知方程2xm3  y24n 5是二元一次方程，则m＝________，n＝_________． 2 8．若方程组 的解为 ，则点P（a，b）在第 象限．  1 x 9．在   3 x0 ， x2 ， x3 这四对数值中，是二元一次方程组  ,     7 y 4 y 1 y 3 y   2 3x2y 8 的解的是________ ．  2x y 3 10. 方程2x+3y=10 中，当3x-6=0 时，y=_________； 11. 方程|a|+|b|=2 的自然数解是_____________； 12.若二元一次方程组 的解中 ，则 等于____________. 三、解答题 13．请你写出一个二元一次方程组，使它的解是 ．mx2y 6 ① 14．甲、乙二人共同解方程组 由于看错了方程①中的m值，得到  2xny 3 ② x3 x5 方程组的解为 ；乙看错了方程②中的n的值，得到方程组的解为 ，试求   y 2 y 2 代数式 的值． m2 n2 m n  15．某球迷协会组织36名球迷租乘汽车赴比赛场地，为中国国家男子足球队呐喊助威， 可租用的汽车有两种：一种是每辆车可乘8人，另一种是每辆车可乘4人．要求租用的车 子不留空座，也不超载． （1）请你给出三种不同的租车方案； （2）若8个座位的车子租金是300元/天，4个座位的车子租金是200元/天，请你设 计费用最少的租车方案，并简述你的理由．【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】B； 2. 【答案】D； 【解析】解：2x﹣ =0是分式方程，不是二元一次方程； 3x+y=0是二元次方程； 2x+xy=1不是二元一次方程； 3x+y﹣2x=0是二元一次方程； x2﹣x+1=0不是二元一次方程． 故选：D． 3.【答案】 【解析】把x=2，y=﹣3代入二元一次方程5x+my+2=0，得10﹣3m+2=0，解得m=4． 4. 【答案】A； 【解析】将5x＝6y代入后面的代数式化简即得答案． 5. 【答案】B； 7 【解析】x y可知：x,y异号或均为0，所以不可能同时为正，只能同时为0. 6 6. 【答案】B； 【解析】根据题意知，x，y同时满足两个相等关系:①老板少拿2元，只要50元；②老板以售价的九折优待，只要90元，故选B． 二、填空题 1 7. 【答案】-2， ； 4 m2 【解析】由二元一次方程的定义可得：m31 ，所以   1 24n1  n  4 8.【答案】四 【解析】：将x=2，y=1代入方程组得： ，解得：a=2，b=﹣3，则P（2，﹣ 3）在第四象限． x2 9. 【答案】 ；  y 1 【解析】把４组解分别代入方程组验证即可． 10．【答案】2； 【解析】将x2代入2x+3y=10中可得 y 值． 11.【答案】 ； 12.【答案】－3∶4； 【解析】将 代入 中，得 ，即 ；将 代入 ，得 ，即 ，即 . 三、解答题 13.【解析】 解：答案不唯一， 例如：∵ ，∴x+y=5, x-y=-1, ∴所求的二元一次方程组可以是 ．14.【解析】 x3 3 解：将 代入②中 ， ．  2(3)2n3 n y 2 2 x5 将 代入①中-5m+4＝-6，m＝2．  y 2 9 37 ∴ m2 n2 mn4 3 ． 4 4 15.【解析】 解：（1）设8个座位的车租x辆，4个座位的车租y辆． 则8x+4y＝36，即2x+y＝9．∵ x，y必须都为非负整数， ∴ x可取0，1，2，3，4， ∴ y的对应值分别为9，7，5，3，1． 因此租车方案有5种，任取三种即可． （2）因为8个座位的车座位多，相对日租金较少，所以要使费用最少，必须尽量多租 8个座位的车．所以符合要求的租车方案为8个座位的车租4辆． 4个座位的车租1辆，此时租车费用为4×300+1×200＝1400(元)．