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第八章 二元一次方程（组）
8.3 二元一次方程（组）的解法Ⅱ——加减法（基础巩固）
【要点梳理】
知识点一、加减消元法解二元一次方程组
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或
相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加
减法．
要点诠释：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么
就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；
(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数
的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．
要点二、选择适当的方法解二元一次方程组
解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和
加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．
【典型例题】
类型一、加减法解二元一次方程组
例1. 直接加减：已知 是二元一次方程组 的解，则 的值为
．
【思路点拨】方程组利用加减消元法即可确定出 的值．
【答案】3．
【解析】
解：把 代入 ，得 ，①+②得：
【总结升华】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代
入消元法与加减消元法．
例2.先变系数后加减：
【思路点拨】注意到方程组中x的系数成2倍关系，可将方程①的两边同乘2，使两个
方程中x的系数相等，然后再相减消元．
【答案与解析】
解：②－①×2，得13y＝65．解得y＝5．
将y＝5代入①，得2x-5×5＝-21，解得x＝2．
所以原方程组的解为 ．
【总结升华】如果两个方程中未知数的系数的绝对值不相等，但某一未知数的系数成
整数倍，可将一个方程的系数进行变化，使这个未知数的系数的绝对值相等．
举一反三：
【变式】已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足x﹣y=a，求该方程
组的解．
【答案】
解： ，
②×2﹣①得，
y= a﹣ ，
把y= a﹣ 代入②得，
x= a﹣ ，
则 a﹣ ﹣（ a﹣ ）=a，
解得，a=5方程组的解为： ．
例3.建立新方程组后巧加减：解方程组
【思路点拨】注意到两个方程中两个未知数的系数的和相等、差互为相反数，所以可
将两个方程分别相加、相减，从而得到一个较简单的二元一次方程组．
【答案与解析】
解：①+②，得7x+7y＝7，整理得x+y＝1． ③
②－①，得3x-3y＝-15，整理得x-y＝-5． ④
解由③、④组成的方程组 得原方程组的解为
【总结升华】解方程组时，我们应根据方程组中未知数的系数的特点，通过将两个方
程相加或相减，把原方程组转化为更简单的方程组来解．
例4.先化简再加减：解方程组
【思路点拨】方程组中未知数的系数是分数或小数，一般要先化成整数后再消元．
【答案与解析】
解：①×10，②×6，得
③×3-④，得11y＝33，解得y＝3．
将y＝3代入③，解得x＝4．
所以原方程组的解为
【总结升华】当二元一次方程组的形式比较复杂时，通常是先通过变形(如去分母、去
括号等)，将它化为形式简单的方程组，再消元求解．类型二、用适当方法解二元一次方程组
例5. （1） （2）
【思路点拨】观察方程特点选择方法：（1）代入消元法；（2）先化简再加减或代入
消元法．
【答案与解析】
解：（1）
由①得 ③
将③代入②得
解得：
将 代入③得
∴原方程组的解为： ．
（2）原方程组可化为：
①+②，得 ，即 ③
将③代入①得 ，代入③得
∴原方程组的解为： ．
【总结升华】方程组的解法不唯一，只是有的计算简便，有的繁琐．
举一反三：
【变式】用两种方法解方程组
【答案】
解：法Ⅰ：由（1）：2y=9－x将其整体代入（2）：3x－(9－x)=－1
解得x=2
∴2y=9－x=7
∴原方程组的解为：
法Ⅱ：（1）+（2）：4x=8，
x=2，
代入（1）：2+2y=9，
2y=7， ．
∴原方程组的解为： ．
【巩固练习】
一、选择题
1．用加减消元法解二元一次方程组时，必须使这两个方程中（ ）
A．某个未知数的系数是1 B．同一个未知数的系数相等
C．同一个未知数的系数互为相反数 D．某一个未知数的系数的绝对值相等
2．已知 ，则 的值是（ ）
A．3 B．1 C．﹣6 D．8
3．用加减消元法解二元一次方程组 ，下列步骤可以消去未知数x
的是（ ）
A．①×4+②×3 B．①×2-②×5 C．①×5+②×2 D．①×5-②×2
4．解方程组① ，② 比较简便的方法是（ ）
A．均用代入法 B．均用加减法
C．①用代入法，②用加减法 D．①用加减法，②用代入法5．方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
6．若关于x，y的二元一次方程组 的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，
则k的值为（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
二、填空题
7．用加减法解方程组 时，①+②得________，即________；②－①
得________，即________，所以原方程组的解为________．
8．已知二元一次方程 ，用含x的代数式表示y为________．
9．如果x=1，y=2 满足方程 ，那么a=________．
10．已知二元一次方程组 ，则x-y＝________，x+y＝________．
11．若 与 的和是单项式，则m＝_______，n＝_______．
12．已知关于x，y的方程组 满足 ，则k = ．
三、解答题
13．解下列二元一次方程组（1）
（2）
14. 若关于x、y的二元一次方程组 的解满足x+y＞﹣ ，求出满足条
件的m的所有正整数值．
15．代数式 ，当x＝-2时，代数式的值为4；当x＝2时，代数式的值为
10，则x＝-1时，求代数式的值．【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】D；
【解析】当相同字母的系数相同时，用作差法消元，当相同字母的系数互为相反数时，
用求和法消元.
2. 【答案】D；
【解析】由题意可得 ，①+②得： .
3. 【答案】D；
4. 【答案】C；
【解析】方程组②中将 看作一个整体.
5. 【答案】C；
【解析】将选项代入验证.
6.【答案】B.
【解析】 ，①+②得：2x=14k，即x=7k，
将x=7k代入①得：7k+y=5k，即y=﹣2k，
将x=7k，y=﹣2k代入2x+3y=6得：14k﹣6k=6，
解得：k= ．
二、填空题
7. 【答案】6x＝2， ， 2y＝-10， y＝-5， ；
8.【答案】 ；
9.【答案】 ；【解析】将x=1，y=2 代入 ，得 ，即 .
10．【答案】-1，5；
11.【答案】1， ；
【解析】 ，解得 .
12.【答案】2．
【解析】 ，①×3﹣②×2得，y=﹣k﹣2，
把y值代入①得，x=2k+3，
∵x+y=3，∴2k+3﹣k﹣2=3，解得：k=2；
三、解答题
13.【解析】
解：（1）
将①②去括号，整理得
③+④得 ，即 ，
将 代入④得， ，解得 ，
将 代入 得 ，
所以原方程组的解为 .
（2）将“ ”看作整体，将①代入②得， ，解得 ，
将 代入①得， ，
所以原方程组的解为 .
14.【解析】
解： ，
①+②得：3（x+y）=﹣3m+6，即x+y=﹣m+2，
代入不等式得：﹣m+2＞﹣ ，
解得：m＜ ，
则满足条件m的正整数值为1，2，3．
15.【解析】
解：由题意可得：
解得， ，
∴ 代数式为 ，
将x＝-1代入，得 .
