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第九章 不等式与不等式（组）
9.1 不等式及其性质（能力提升）
【要点梳理】
知识点一、不等式的概念
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用
“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
要点诠释：
(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较
大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
符号 读法 意义
它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪
“≠” 读作“不等于”
个大，哪个小
“＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小
“＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大
读作“小于或等 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
“≤”
于”
读作“大于或等 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量
“≥”
于”
(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5
中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两
边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．
要点二、不等式的解及解集
1.不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
2.不等式的解集：
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
要点诠释：
不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围
是一个集合，是一个范围．
不等式的解集 其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立
②能够使不等式成立的所有数值都在解集中3.不等式的解集的表示方法
（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是
一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．
(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无
限个解．如图所示：
要点诠释：
借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要
注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点
是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方
向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画．
注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．
要点三、不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或 )．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或 )．
要点诠释：
不等式的基本性质的掌握注意以下几点：
(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的
两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘
(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要
改变．
【典型例题】
类型一、不等式的概念例1．有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，其中大砝码皆为5克、小砝码皆为1克，
且下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形．判断下列正确的情形是 ( )
【思路点拨】根据图示可知1个糖果的质量＞5克，3个糖果的质量＜16克，依此求出
1个糖果的质量取值范围，再在4个选项中找出情形正确的．
【答案】D
【解析】
解：由图(1)知，每一个糖果的重量大于5克，由图(2)知：3个糖果的重量小于16克，
即每一个糖果的重量小于 克．故A选项错；两个糖果的重量小于 克故B选项
错；三个糖果的重量大于15克小于16克故C选项错，四个糖果的重量小于
克故D选项对．
【总结升华】观察图示，确定大小．本题涉及的知识点是不等式，涉及的数学思想是
数形结合思想，解决问题的基本思路是根据图示信息列出不等式．
类型二、不等式的解及解集
例2.若关于 的不等式x≤a只有三个正整数解，求 的取值范围.
【思路点拨】首先根据题意确定三个正整数解，然后再确定a的范围．
【答案】3≤a＜4
【解析】
解：∵不等式x≤a只有三个正整数解，∴三个正整数解为：1，2，3，
∴3≤a＜4，
【总结升华】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，做此题的关键是确定好三个
正整数解．
例3. 如图所示，图中阴影部分表示x的取值范围，则下列表示中正确的是( )
A．-3≤x＜2 B．-3＜x≤2 C．-3≤x≤2 D．-3＜x＜2
【思路点拨】x表示-3右边的数，即大于-3，并且是2以及2左边的数，即小于或等
于2的数．
【答案】B
【解析】
解： A、因为-3≤x＜2，在数轴上-3的点应该是实心的圆点；
C、因为-3≤x≤2，在数轴上-3和2的点应该都是实心的圆点；
D、因为-3＜x＜2，在数轴上-3和2的点应该都是空心的圆点；
故选B．
【总结升华】在数轴上 表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，
“＞”要用空心圆点表示，“＞”，“≥”向右画；“＜”，“≤”向左画．
举一反三：
【变式】根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为________．
【答案】4
提示：由程序图可知，计算求值时所使用的数学表达式为 ．把x＝1输
入求值，若求得的结果大于0，则直接得到输出值y；若求得的结果小于0，则需要把得到的结果作为输入值再代入计算，循环往复，直到使最终的结果大于0为止．
类型三、不等式的基本性质
例4.若关于x、y的二元一次方程组 的解满足x+y＜2，则a的取值范围
是________．
【思路点拨】观察方程组不难发现只要把两个方程相加即能求出x+y的值．因为x+y＜
2，故可以构建关于a的不等式．然后利用不等式的性质就能求出a的取值范围．
【答案】a＜4
【解析】
解：将两方程相加得：4x+4y＝4+a．
将方程的两边同除以4得 ．
依题意： ．
将不等式的两边同乘以4得4+a＜8．
将不等式的两边同时减去4得a＜4．
故a的取值范围是a＜4．
【总结升华】解关于x的一元一次不等式，就是要将不等式逐步化为x＞a或x＜a的形
式，化简的依据是不等式的性质．
举一反三：
【变式1】若关于x的不等式（1﹣a）x＞3可化为 ，则a的取值范围是
．
【答案】a＞1．
解：关于x的不等式（1﹣a）x＞3可化为 ，1﹣a＜0，a＞1.
【变式2】a、b是有理数，下列各式中成立的是( )．
A．若a＞b，则a2＞b2； B．若a2＞b2，则a＞b
C．若a≠b，则｜a｜≠|b| D．若｜a｜≠|b|，则a≠b
【答案】D
【巩固练习】
一、选择题1．下列不等式中，一定成立的有 ( )
①5＞-2；② ；③x+3＞2；④ +1≥1；⑤ ．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．关于不等式-2x+a≥2的解集如图所示，则a的值是 ( )
A．0 B．2 C．-2 D．-4
3．下列不等式变形正确的是（ ）
A．由a＞b得ac＞bc
B．由a＞b得﹣2a＞﹣2b
C．由a＞b得﹣a＜﹣b
D．由a＞b得a﹣2＜b﹣2
4．若0＜x＜1，则x， ，x2的大小关系是 ( )
A．
B．
C．
D．
5. 不等式2x+1＞-3的解集在数轴上表示正确的是 ( )
6．如果a＞b，那么下列不等式一定成立的是 ( )
A．a+c＞b-c B．a-c＜b-c C． D．-a＜-b
二、填空题
7．（2015春•盐城校级期中）给出下列表达式：①a（b+c）=ab+ac；②﹣2＜0；
③x≠5；④2a＞b+1；⑤x2﹣2xy+y2；⑥2x﹣3＞6，其中不等式的个数是 ．8．(1)若 ，则a_________b；
(2)若m＜0，ma＜mb，则a_________b．
9．已知 ，若y＜0，则m________．
10．已知关于x的方程3x-(2a-3)=5x+(3a+6)的解是负数，则a的取值范围是________．
11．下列结论：①若a＞b，则ac2＞bc2；②若ac＞bc，则a＞b；③若a＞b，且c＝d，
则ac＞bd；④若ac2＞bc2，则a＞b，其中正确的有_________．(填序号)
12．如果不等式3x-m≤0的正整数解有且只有3个，那么m的取值范围是________．
三、解答题
13．用适当的符号表示下列关系：
（1）x的 与x的2倍的和是非正数；
（2）一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；
（3）三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；
（4）明天下雨的可能性不小于70%；
（5）小明的身体不比小刚轻．
14．已知不等式(m-1)x＞m-1的解集是x＜1，则m应满足什么条件?
15．已知-2＜a＜3，化简|a-3|-|3a+6|+4(a-1)．16．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法．若A-B＞0，
则A＞B；若A-B＝0，则A＝B；若A-B＜0，则A＜B．这种比较大小的方法称为“作差法
比较大小”，请运用这种方法尝试解决下列问题．
(1)比较3a2-2b+1与5+3a2-2b+b2的大小；
(2)比较a+b与a-b的大小；
(3)比较3a+2b与2a+3b的大小．
答案与解析
一、选择题
1. 【答案】B；
【解析】一定成立的是：①④⑤；2. 【答案】A；
【解析】根据不等式的性质可得，不等式的解集为 ，由图可得，不等式的
解集为： ，因为它们是一个解集，所以 ，解得 .
3.【答案】C．
【解析】∵a＞b，∴①c＞0时，ac＞bc；②c=0时，ac=bc；③c＜0时，ac＜bc，
∴选项A不正确；∵a＞b，∴﹣2a＜﹣2b，∴选项B不正确；∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，
∴选项C正确；∵a＞b，∴a﹣2＞b﹣2，∴选项D不正确．
4. 【答案】C；
【解析】∵0＜x＜1，∴ x2≤x≤ .
5.【答案】Ｃ；
【解析】用数轴表示不等式的解集时，要注意“＞”与“≥”、“＜”与“≤”的区
别，大于号向右画，小于号向左画，有等号需画实心圆点，无等号需画空心圆圈．
6. 【答案】D；
二、填空题
7. 【答案】4.
8. 【答案】(1)＜， (2)＞；
【解析】（1）两边同乘以 （ ）；（2）两边同除以 ；
9. 【答案】＞8；
【解析】由已知可得：x＝4，y＝2x-m＝8-m＜0，所以m＞8；
10．【答案】
11.【答案】④
12.【答案】9≤m＜12；
【解析】3x-m≤0，x≤ ，3≤ ＜4，∴ 9≤m＜12
三、解答题
13.【解析】
解：（1） x+2x≤0；（2）设炮弹的杀伤半径为r，则应有r≥300；
（3）设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有3a+4b≤268；
（4）用P表示明天下雨的可能性，则有P≥70%；
（5）设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有a≥b．
14.【解析】
解：m-1＜0，即m＜1．
15.【解析】
解： ∵ -2＜a＜3，∴ a-3＜0．当3a+6≥0，即a≥-2时，3a+6就为非负数．
又∵ -2＜a＜3，3a+6≥0．∴ 原式＝-(a-3)-(3a+6)+4a-4＝-7
16.【解析】
解：(1) ．
∴ ．
(2)a+b-(a-b)＝a+b-a+b＝2b，当b＞0时，a+b-(a-b)＝2b＞0，a+b＞a-b；
当b＝0时，a+b-(a-b)＝2b＝0，a+b=a-b；
当b＜0时，a+b-(a-b)＝2b＜0，a+b＜a-b．
(3)3a+2b-(2a+3b)＝a-b 当a＞b时，3a+2b＞2a+3b；
当a＝b时，3a+2b＝2a+3b；
当a＜b，3a+2b＜2a+3b．
