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第九章 不等式与不等式（组）
9.5 《不等式与不等式组》章末复习（基础巩固）
【要点梳理】
知识点一、不等式
1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等
式.
要点诠释：
（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解
集．
解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如 ， 等；另
一种是用数轴表示，如下图所示：
（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．
2. 不等式的性质：
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或 )．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或 )．
要点二、一元一次不等式
1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的
最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，
要点诠释：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．
2.解法：
解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.
3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大
于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；
（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；
（5）解：解出所列的不等式的解集；
（6）答：检验是否符合题意，写出答案.
要点诠释：
列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超
过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式
解决问题的关键.
要点三、一元一次不等式组
关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.
要点诠释：
（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的
解集.
（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.
（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解
集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.
（4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由
不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．
【典型例题】
类型一、不等式
例1. 用适当的符号语言表达下列关系。
（1）a与5的和是正数.
（2）b与-5的差不是正数.
（3）x的2倍大于x.
（4）2x与1的和小于零.
（5）a的2倍与4的差不少于5.【答案与解析】
解：（1）a+5>0；（2）b-（-5）≤0； （3）2x>x； （4）2x+1<0；（5）
2a-4≥5.
【总结升华】正确运用不等符号翻译表述一些数学描述是学好不等式的关键，要关注
一些常见的描述语言，如此处：不是、不少于、不大于……
举一反三：
【变式】用适当的符号语言表达下列关系：
（1）y的 与3的差是负数.
（2）x的 与3的差大于2.
（3）b的 与c的和不大于9.
【答案】（1） ； （2） ；（3） 。
例2.用适当的符号填空：
（1）如果a；（2）＜．
【变式2】判断
（1）如果 ，那么 ；
（2）如果 ，那么 .
【答案】（1）×；（2）√．
类型二、一元一次不等式
例3. 解不等式
【思路点拨】不等式中含有分母，应先根据不等式的基本性质 2去掉分母，再作其他
变形．去分母时，不要忘记给分子加括号．
【答案与解析】
解：去分母，得8x+3(x+1)＞8-4(x-5)，
去括号，得8x+3x+3＞8-4x+20，
移项，得8x+3x+4x＞8+20-3，
合并同类项，得15x＞25，
系数化为1．得 ．
∴不等式的解集为 ．
【总结升华】解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤异同见下表：
ax＝b ax＞b ax＜b
解：当a＞0时， ； 解：当a＞0时， ；
解：当a≠0时， ；
当a＜0时， ； 当a＜０时， ；
当a＝0，b≠0时，无解；
当a＝0，b＝0时，x为任意 当a＝0，b≥0时，无解； 当a＝0，b≤0时，无解；
有理数． 当a＝0，b＜0时，x为任意 当a＝0，b＞0时，x为任意
有理数． 有理数．
举一反三：【变式】解不等式 ，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】
解：去分母得5x-1-3x＞3，
移项、合并同类项，得2x＞4，
系数化为1，得x＞2，
解集在数轴上的表示如图所示．
例4.某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表：
一户居民每月用电量x（单位：度） 电费价格（单位：
元/度）
0＜x≤200 a
200＜x≤400 b
x＞400 0.92
（1）已知李叔家四月份用电286度，缴纳电费178.76元；五月份用电316度，缴纳
电费198.56元，请你根据以上数据，求出表格中a，b的值．
（2）六月份是用电高峰期，李叔计划六月份电费支出不超过300元，那么李叔家六月
份最多可用电多少度？
【思路点拨】（1）根据题意即可得到方程组，然后解此方程组即可求得答案；
（2）根据题意列不等式，解不等式．
【答案与解析】
解：（1）根据题意得： ，
解得： ．
（2）设李叔家六月份最多可用电x度，
根据题意得：200×0.61+200×0.66+0.92（x﹣400）≤300，
解得：x≤450．
答：李叔家六月份最多可用电450度．
类型三、一元一次不等式组例5. 解不等式组： ，并求出正整数解。
【思路点拨】分别解出各不等式，取所有的公共部分。
【答案与解析】
解：由不等式①得 ≤2，
由不等式②得 ，
∴由①②得 ，即
∴原不等式组的解集是 ，正整数解为1,2．
【总结升华】求不等式(组)的特殊解的一般步骤是先求出不等式(组)的解集，再从中
找出符合要求的特殊解．
举一反三：
【变式】解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】
解：
∵解不等式①得：x＞﹣3，
解不等式②得：x≤2，
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2，
在数轴上表示不等式组的解集为： ．
类型四、综合应用
例6.若关于x,y的方程组 的解满足 ，求k的整数值.
【思路点拨】从概念出发，解出方程组（用k表示x、y），然后解不等式组.
【答案与解析】解：解方程组
∵ ，
解得： ,
∴整数k的值为0，1，2.
【总结升华】方程组的未知数是x、y，k在方程组里看成常数.通过求解方程组可以用
k表示x、y.方程组的解满足不等式，那么可以将x、y用含k的式子替换，得到关于k的
不等式组，可以求出k的取值范围，进而可以求出k的整数值.
举一反三：
【变式】m为何值时，关于x的方程： 的解大于1？
【答案】
解：由 ，得 ，
∴ ，解得 ．
∴当 时，关于x的方程： 的解大于1.
例7.某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚
好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位．
（1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数；
（2）已知35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元．根据租车
资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆（可以坐不满）．请你计
算本次社会实践活动所需车辆的租金．
【思路点拨】（1）设单独租用35座客车需x辆．根据单独租用35座客车若干辆，则
刚好坐满和单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位，分别表示出总人数，
从而列方程求解；（2）设租35座客车y辆，则租55座客车（4-y）辆．根据不等关系：①两种车坐的总人数不小于175人；②租车资金不超过1500元．列不等式组分析求解．
【答案与解析 】
解：（1）设单独租用35座客车需x辆，由题意得：
,
解得： .
∴ （人）.
答：该校八年级参加社会实践活动的人数为175人．
（2）设租35座客车y辆，则租55座客车（ ）辆，由题意得：
，
解这个不等式组，得 ．
∵ 取正整数，∴ = 2.
∴4－ = 4－2 = 2（辆）.
∴320×2＋400×2 = 1440（元）.
所以本次社会实践活动所需车辆的租金为1440元．
【总结升华】本题考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式组的应用，解决问题
的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
【巩固练习】
一、选择题
1. 已知a>b>0，则下列不等式不一定成立的是（ ）．
A. ab>b2 B. a+c>b+c C. < D. ac>bc
2. 如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1g，则物体A的质量m (g)的取值范围，
在数轴上可表示为（ ）．
0 1 2 0 1 2 A
A B A
0 1 2 0 1 2
3.下列不等式变形正确的是（ ）
C D
A．由a＞b得ac＞bcB．由a＞b得﹣2a＞﹣2b
C．由a＞b得﹣a＜﹣b
D．由a＞b得a﹣2＜b﹣2
4. 如果关于x的不等式 (a+1)x>a+1的解集为x<1，那么a的取值范围是( ) ．
A. a>0 B. a<0 C. a>-1 D. a<-1
5. 不等式组 的正整数解的个数是（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6. 以下各式中，一元一次不等式个数为（ ）．
① ；② ；③ ；④ ；⑤
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
7.不等式9－ x＞x＋ 的正整数解的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．无数个
8.三个连续自然数的和小于11，这样的自然数组共有（ ）组．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9. 当x_____时,代数式－3x+5的值不大于4．
10.一个不等式的解集如图所示，则这个不等式的正整数解是_____.
11．不等式组 的整数解是_______.
12．已知 ， 是正数，则 的取值范围 .
13．不等式组 的解集为 ．
14．关于x的方程2x+3k=1的解是负数,则k的取值范围是_______.15．若不等式（ｍ－２）x＞2的解集是x＜ ,则ｍ的取值范围是_______.
16．小明借到一本有72页的图书,要在10天之内读完,开始2天每天只读5页,那么以后
几天里每天至少要读多少页?设以后几天里每天至少要读x页,所列不等式为___________.
三、解答题
17．我市某初中举行“八荣八耻”知识抢答赛，总共 50道抢答题. 抢答规定：抢答对
1题得3分，抢答错1题扣1分，不抢答得0分. 小军参加了抢答比赛，只抢答了其中的20
道题，要使最后得分不少于50分，问小军至少要答对几道题？
18. 在数学学习中，及时对知识进行归纳、类比和整理是提高学习效率的有效策略，
善于学习的小明在学习解一元一次不等式中，发现它与解一元一次方程有许多相似之处．
小明列出了一张对照表：
从表中可以清楚地看出，解一元一次不等式与解一元一次方程有一定的联系，利用这种联
系解决下列问题：
（1）若不等式kx＞b的解集是x＜1，求方程kx=b的解；
（2）若方程kx=b的解是x=-1，求不等式kx＞b的解集．19.解下列不等式（组），并把不等式的解集表示在数轴上．
（1）
（2）
20．某电器商场销售A、B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，
40元，商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台
B型号计算器，可获利润120元．
（1）求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格﹣
进货价格）
（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A、B两种型号计算器共70台，问最少需
要购进A型号的计算器多少台？答案与解析
一.选择题
1. 【答案】D；
【解析】不等式的基本性质．
2. 【答案】A；
3. 【答案】C；
4. 【答案】D；
【解析】不等号的方向改变，说明a+1＜0，即a＜﹣1．
5. 【答案】B；
【解析】解得原不等式的解集为0≤x＜3,其中正整数有1、2，共2个．
6. 【答案】B；
【解析】是一元一次不等式的是①和⑤．
７.【答案】B；
【解析】解不等式得 ，则正整数解为1，2．
８.【答案】C；
【解析】 ，解得n=0、1、2，共３组 ．
二．填空题
9. 【答案】 ；
【解析】－3x+5 4，解得 ．
10. 【答案】1、2；
【解析】由图可得 ，所以正整数有1、2．
11. 【答案】－1，0；
【解析】不等式组的解集为 ，整数解为-1，0．
12. 【答案】 ；
【解析】由 ，解得3 ，化简得 ．13. 【答案】﹣1≤x＜2．
14. 【答案】 ；
【解析】解方程得 ，则 ．
15. 【答案】ｍ＜２；
【解析】由不等式的基本性质3得，ｍ－２＜0.
16. 【答案】 （或： 等）
【解析】答案不唯一
三.解答题
17.【解析】
解：设小军答对x道题，依题意得：3x－（20 －x） ，
解得： .
∵x为正整数，∴x的最小正整数为18.
答：小军至少要答对18道题.
18.【解析】
解：（1） .
（2）当 时， 当
19. 【解析】
解：（1）
∴
将解集表示在数轴上，如下图：
（2）
∴将解集表示在数轴上，如下图：
20.【解析】
解：（1）设A种型号计算器的销售价格是x元，B种型号计算器的销售价格是y元，
由题意得：
，
解得： ；
答：A种型号计算器的销售价格是42元，B种型号计算器的销售价格是56元；
（2）设购进A型计算器a台，则购进B台计算器：（70﹣a）台，
则30a+40（70﹣a）≤2500，
解得：a≥30，
答：最少需要购进A型号的计算器30台．
