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第二学期九年级期中考试卷
数学试题
第I卷（选择题 40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 2022相反数的倒数是（ ）
A. B. 2021 C. -2021 D.
【答案】A
【解析】
【分析】乘积是1的两数互为倒数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，根据相反数和倒数的定义解
答即可．
【详解】解：2022的相反数是﹣2022，
﹣2022的倒数是﹣ ．
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数和倒数，掌握相关定义是解答本题的关键．
2. 我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国每年可利用的淡水资源总量为 亿立方米，人均占
有淡水量居世界第 位，因此我们要节约用水， 亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数，表示时关键要正确确
定 的值和 的值．
【详解】将 亿用科学记数法表示为： ，
故选： ．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，属于基础题目．
3. 将一个正方体沿图1所示切开，形成如图2的图形，则图2的左视图为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由几何体形状直接得出其左视图，正方形上面有一条斜线．
【详解】如图所示：图2 左的视图为：
．
故选C．
【点睛】本题考查了三视图的知识，从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到
的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线.
4. 下列运算正确的是：
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：A.根据同类项的特点，可知 不能计算，故不符合题意；
B.根据单项式的乘法和同底数幂相乘，可知 ，故不符合题意；
C.根据积的乘方，可知 ，故不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司D.根据积的乘方，可知 ，故符合题意．
故选D．
5. 一件商品的原价是300元，经过两次提价后的价格为363元．如果每次提价的百分率都是x，根据题意，
下面列出的方程正确的是（ ）
A. 300（1﹣2x）＝363 B. 300（1＋x）＝363 C. 300（1﹣x）2＝363 D. 300（1＋x）2＝363
【答案】D
【解析】
【分析】设平均每次提价的百分率为x，根据原价为300元，表示出第一次提价后的价钱为300（1＋x）元，
然后再根据价钱为300（1＋x）元，表示出第二次提价的价钱为300（1＋x）2元，根据两次提价后的价钱
为363元，列出关于x的方程．
【详解】解：设平均每次提价的百分率为x，
根据题意得：300（1＋x）2＝363，
故选：D．
【点睛】本题考查是增长率问题，若原数是a，每次变化的百分率为a，则第一次变化后为a（1±x）；第
二次变化后为a（1±x）2，即 原数×（1±变化的百分率）2=后来数．
6. 如图，将直尺与 角的三角尺叠放在一起，若 ，则 的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知可知∠3=60°，∠1=55°，再根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠1+∠3+∠2=180°，
即可得出答案．
【详解】解：∵∠3=60°，∠1=55°，
∴∠1+∠3=115°，
∵AD//BC，
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学科网（北京）股份有限公司∴∠1+∠3+∠2=180°，
∴∠2=180°-(∠1+∠3)=180°-115°=65°．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形两个锐角互余，熟练应用平行线的性质进行求解是解
决本题的关键．
7. 若关于x的一元二次方程(k-1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A. k<5 B. k<5，且k≠1 C. k≤5，且k≠1 D. k>5
【答案】B
【解析】
【详解】∵关于x的一元二次方程方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，即 ，
解得：k＜5且k≠1．
故选：B．
8. 如图， 中， 交 于点D， ，则 的长为（
）
A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】先在 ABC中，根据等边对等角的性质及三角形内角和定理得出∠B=∠C=30°，由AD⊥AC，
∠C=30°，得出△CD=2AD=4，再证明∠BAD=∠B=30°，那么AD=DB=1，于是BC=CD+BD=2+1=3．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：在 ABC中，
∵AB=AC，∠B△AC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
又∵AD⊥AC，
∴∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠B=30°，
∵∠C=30°
∴CD=2AD，∠BAD=∠B=30°，
∴AD=DB=1，
∴BC=CD+BD=2+1=3．
故选D．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一
半．同时考查了等腰三角形的判定与性质．
9. a、b、c是 ABC的三边长，且满足 ，则此三角形是（ ）
△
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
【答案】B
【解析】
【分析】先利用配方法化简已知等式，利用偶次方的非负性求出 a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理
即可得．
【详解】
由偶次方的非负性得：
解得
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，即
所以 是直角三角形
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式、偶次方的非负性、勾股定理的逆定理等知识点，熟记勾股定理的逆定
理是解题关键．
10. 如图，在△ABC中，O为AC边上一点，以O为圆心，OC为半径的半圆切AB于点B，若
，则△ABC的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点 作 ，连接 ，根据切线的性质结合已知条件可得 是等腰直角三角形，
然后求得 ，即可根据三角形的面积公式求解．
【详解】如图，过点 作 ，连接 ，
以O为圆心，OC为半径的半圆切AB于点B，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
是等腰直角三角形，
，
，
，
．
故选A．
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，三角形面积公式，掌握切线的性质是解题的关键．
第II卷（非选择题110分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 解不等式： ，其解集为_________________ ．
【答案】x＜2
【解析】
【详解】解：移项得： x－3x＞－2+1，
∴－ x＞－1，
解得：x＜2
故答案为：
12. 已知 ，那么 ______．
【答案】
【解析】
【分析】先对被求式进行配方化简，后整体代入计算即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为
=
= ．
因为 ，
所以原式=
= ．
【点睛】本题考查了化简求值，正确运用完全平方公式化简是解题的关键．
13. 如图，在平面直角坐标系中，点A在函数 （k＜0，x＜0）的图象上，过点A作 轴交x轴
于点B，点C在y轴上，连结AC、BC．若 ABC的面积是3，则k＝_____．
【答案】-6
【解析】
【分析】连接AO，利用同底等高三角形面积相等求出AOB面积，利用反比例函数k的几何意义求出k的
值即可．
【详解】解：连接AO，
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学科网（北京）股份有限公司∵AB//y轴
由同底等高得到 ，
∴ |k|=3，即|k|=6，
∵反比例函数在第二象限过点A，
∴k=-6，
故答案为：-6．
【点睛】此题考查了反比例函数系数k的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比
例函数系数k的几何意义是解本题的关键．
14. 如图，正方形ABCD的边长为2，E为射线CD上一动点（不与C重合），以CE为边向正方形ABCD
外作正方形CEFG，连接DG，直线BE、DG相交于点P，连接AP，则线段AP长度的取值范围是_____．
【答案】0＜AP＜
【解析】
【分析】利用正方形的性质得 ，再证 得到
，从而得到 ，连接BD，如图（见解析），根据圆周角定理可判
断点P在以BD为直径的圆上，即点P在正方形ABCD的外接圆上，然后直径是圆中最长的弦得到结论.
【详解】∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形
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学科网（北京）股份有限公司在 和 中，
又
如图，连接BD
则点P在以BD为直径的圆上，即点P在正方形ABCD的外接圆上
为此外接圆的弦
故答案为： .
【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、圆周角定理等
知识点，推出点P在正方形ABCD的外接圆上是解题关键.
三、解答题（本大题共8小题，满分90分）
15. 先化简、再求值： ，其中a=2
【答案】 ，1
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】先计算括号内的分式的减法运算，同步把除法转化为乘法运算，最后计算加减运算，再把a=2代
入化简后的代数式求值即可.
【详解】解：
当a=2时，原式=
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握“分式的混合运算”是解本题的关键.
16. 《孙子算经》是我国古代经典教学名著．其中一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，
问人与车各几何？这道题的意思是：有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车；若每2人乘一车，
最终剩余9人无车可乘，问有多少人，多少辆车？
【答案】有39人，15辆车．
【解析】
【分析】根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，进而表示出
总人数，列一元一次方程可解此题．
【详解】解：设有x辆车，则有（2x+9）人，
依题意得：3（x-2）=2x+9，
解得，x=15，
∴2x+9=2×15+9=39（人），
答：有39人，15辆车．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解此题的关键．
17. 如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．
（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△ABC ；
1 1 1
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学科网（北京）股份有限公司（2）画出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△ABC ；直接写出点C 的坐标；
2 2 2
（3）求在△ABC旋转到△ABC 的过程中，线段AC所扫过形成的图形的面积．
2 2
【答案】（1）见解析；（2）图见解析；点C 的坐标为（﹣2，2）；（3） π
2
【解析】
【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A、B、C 的坐标，然后描点即可；
1 1 1
（2）利用网格特点和旋转的性质画出B、C的对应点B2、C 即可，从而得到C 点的坐标；
2 2
（3）先计算出AC的长，然后利用扇形的面积公式计算．
【详解】解：（1）如图，△ABC 为所作；
1 1 1
（2）如图，△ABC 为所作，点C 的坐标为（﹣2，2）；
2 2 2
（3）AC＝ ＝ ，
所以线段AC所扫过形成 的图形的面积＝ ＝ π．
【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，
由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
18. 如图1，给定一个正方形，要通过画线将其分割成若干个互不重叠的正方形．第1次画线分割成4个互
不重叠的正方形，得到图2；第2次画线分割成7个互不重叠的正方形，得到图3……以后每次只在上次得
到图形的左上角的正方形中画线．
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学科网（北京）股份有限公司尝试：第3次画线后，分割成 个互不重叠的正方形；
第4次画线后，分割成 个互不重叠的正方形．
发现：第n次画线后，分割成 个互不重叠的正方形；并求第2020次画线后得到互不重叠的正方形
的个数．
探究：若干次画线后，能否得到1001个互不重叠的正方形？若能，求出是第几次画线后得到的；若不能，
请说明理由．
【答案】尝试：10，13；发现：(3n＋1)，6061；探究：不能，理由见解析．
【解析】
【分析】尝试：利用前几次发现的规律：1×4-0，2×4-1，3×4-2，…解答即可；
发现：由“尝试”的规律，写出经过n次分割后的式子，整理即可，把n=2020代入整理后的式子中即可求解；
探究：利用“发现”中的式子建立方程即可解决问题．
【详解】尝试：第一次1×4-0=4张，
第二次2×4-1=7张，
第三次3×4-2=10张，
第四次4×4-3=13张；
故答案为：10， 13；
发现：由“尝试”可知经过 次分割后，共得到 张纸片；
当n=2020时，3n+1=6061，
即第2020次画线后得到互不重叠的正方形的个数是6061，
故答案为：(3n+1)，6061；
探究：不能．
设每次画线后得到互不重叠的正方形的个数为m，则m=3n+1．
若m=1001，则1001=3n+1．解得 ．
这个数不是整数，所以不能．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类问题，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律分方法，属
于中考常考题型．
19. 苏中七战七捷纪念馆位于江苏海安县城中心，馆内纪念碑碑身造型似一把刺刀矗立在广袤的苏中大地
上，堪称世界之最，被誉为“天下第一刺刀”．如图，在一次数学课外实践活动中，老师要求测纪念碑碑身
的高度AB，小明在D处用高1.5m测角仪CD，测得纪念碑碑身顶端A的仰角为30°，然后向纪念碑碑身前
进20m到达E处，又测得纪念碑碑身顶端A的仰角为45°，已知纪念碑碑身下面的底座高度BH为1.8m．
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学科网（北京）股份有限公司求纪念碑碑身的高度AB（结果精确到个位，参考数据： ， ， ）
【答案】纪念碑碑身的高度AB为27m．
【解析】
【分析】由题意得：CF=DE=20，GH=FE=CD=1.5，然后在Rt AGC、Rt AGF中求出AG、CF，从而求出
AB的长． △ △
【详解】由题意得：CF=DE=20，GH=FE=CD=1.5，
在Rt AGC中，CG= ，
△
Rt AGF中，FG= =AG，
在
△
∴CF=CG﹣FG= AG﹣AG=（ ﹣1）AG，
∴AG= CF≈ ×20=27.32（m），
∴AB=AG+GH﹣BH=27.32+1.5﹣1.8≈27（m），
答：纪念碑碑身的高度AB为27m．
【点睛】考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
20. 如图：CB与圆O相切于B，半径OA⊥OC，AB、OC相交于D，求证：
（1）CD＝CB；
（2）AD•DB＝2CD•DO．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）连接OB，由切线的性质可得 ，由直角三角形的性质可得
，可得 ，可证 ；
（2）过点 作 于点 ，由等腰三角形的性质可得 ，通过证明
，可得 ，可得结论．
【详解】解：（1）连接 ，
与圆 相切，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）过点 作 于点 ，
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学科网（北京）股份有限公司， ，
，
， ，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质等知识，
遇切线连接过切点的半径是常见辅助线作法，证明 是本题的关键．
21. 受疫情影响，很多学校都纷纷响应了“停课不停学”的号召，开展线上教学活动．为了解学生上网课
使用的设备类型，某校从“电脑、手机、电视、其它”四种类型的设备对学生做了一次抽样调查．调查结
果显示，每个学生只选择了以上四种设备类型中的一种，现将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，
请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）若该校共有1500名学生，估计全校用手机上网课的学生共有___________名；
（3）在上网课时，老师在A、B、C、D四位同学中随机抽取一名学生回答问题，求两次都抽取到同一名
学生回答问题 的概率．
【答案】(1) 补全图见解析； (2)450； (3)
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）先求出总人数，再求手机人数，再画条形图；
（2）用样本估计总体： （人）；
（3）列出所有可能，再根据概率公式求解.
【详解】解：(1) 40÷40%=100（人）
100-40-20-10=30（人)
(2) （人）
故答案为：450
(3)
一共有16种等可能情况，其中抽取同一人的情况有4种.
∴
【点睛】考核知识点：条形统计图，用树状图求概率.从统计图获取信息，熟记概率公式是关键.
22. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左
侧），交y轴的正半轴于点C，其顶点为M，MH⊥x轴于点H，MA交y轴于点N，sin∠MOH= ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）过H的直线与y轴相交于点P，过O，M两点作直线PH的垂线，垂足分别为E，F，若 时，
求点P的坐标；
（3）将（1）中的抛物线沿y轴折叠，使点A落在点D处，连接MD，Q为（1）中的抛物线上的一动点，
直线NQ交x轴于点G，当Q点在抛物线上运动时，是否存在点Q，使 ANG与 ADM相似？若存在，求
出所有符合条件的直线QG的解析式；若不存在，请说明理由． △ △
【答案】（1） ；（2）P（0，2）或P（0，﹣2）．（3）存在，符合条件 所有直线
的
QG的解析式为：y=4x+ 或y=﹣ x+ ．
【解析】
【分析】（1）由抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴的正半
轴于点C，其顶点为M，MH⊥x轴于点H，MA交y轴于点N，sin∠MOH= ，求出c的值，进而求出
抛物线方程；
（2）如图1，由OE⊥PH，MF⊥PH，MH⊥OH，可证 OEH∽△HFM，可知HE，HF的比例关系，求出
P点坐标； △
（3）首先求出D点坐标，写出直线MD的表达式，由两直线平行，两三角形相似，可得NG∥MD，直线
QG解析式．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：（1）∵M为抛物线 的顶点，
∴M（2，c）．
∴OH=2，MH=|c|．
∵a＜0，且抛物线与x轴有交点，
∴c＞0，
∴MH=c，
∵sin∠MOH= ，
∴ = ．
∴OM= c，
∵OM2=OH2+MH2，
∴MH=c=4，
∴M（2，4），
∴抛物线的函数表达式为： ．
（2）如图1，∵OE⊥PH，MF⊥PH，MH⊥OH，
∴∠EHO=∠FMH，∠OEH=∠HFM．
∴△OEH∽△HFM，
∴ ，
∵ ，
∴MF=HF，
∴∠OHP=∠FHM=45°，
∴OP=OH=2，
∴P（0，2）．
如图2，同理可得，P（0，﹣2）．
第19页/共24页
学科网（北京）股份有限公司（3）∵A（﹣1，0），
∴D（1，0），
∵M（2，4），D（1，0），
∴直线MD解析式：y=4x﹣4，
∵ON∥MH，
∴△AON∽△AHM，
∴ ，
∴AN= ，ON= ，N（0， ）．
如图3，若 ANG∽△AMD，可得NG∥MD，
△
∴直线QG解析式：y=4x+ ，
如图4，若 ANG∽△ADM，可得 ，
△
∴AG= ，
∴G（ ，0），
∴QG：y=﹣ x+ ，
综上所述，符合条件的所有直线QG的解析式为：y=4x+ 或y=﹣ x+ ．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】考点：二次函数综合题；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
23. 如图1，在 ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点（不与A重合），
连接CM，将线△段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点
F、D．
（1）直接写出∠NDE的度数；
（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其它条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，
选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；
（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD= ，其他条件不变，求线
段AM的长．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）∠NDE=90°；（2）不变，证明见解析；（3）AM= ．
【解析】
【分析】（1）根据题意证明 MAC≌△NBC即可；
（2）与（1）的证明方法相似△，证明 MAC≌△NBC即可；
（3）作GK⊥BC于K，证明AM=AG，△根据 MAC≌△NBC，得到∠BDA=90°，根据直角三角形的性质和
已知条件求出AG的长，得到答案． △
【详解】解：（1）∵∠ACB=90°，∠MCN=90°，
∴∠ACM=∠BCN，
在 MAC和 NBC中， ，
△ △
∴△MAC≌△NBC(SAS)，
∴∠NBC=∠MAC=90°，
又∵∠ACB=90°，∠EAC=90°，
∴∠NDE=90°；
（2）不变，理由如下：
在 MAC≌△NBC中， ，
△
∴△MAC≌△NBC(SAS)，
∴∠N=∠AMC，
又∵∠MFD=∠NFC，
∴∠MDF=∠FCN=90°，即∠NDE=90°；
（3）如下图，作GK⊥BC于K，
∵∠EAC=15°，
∴∠BAD=45°-15°=30°．
∵∠ACM=60°，
∴∠GCB=90°-60°=30°，
∴∠AGC=∠ABC+∠GCB=75°，∠AMG=75°，即∠AGC=∠AMG，
∴AM=AG．
∵△MAC≌△NBC，
∴∠MAC=∠NBC，
第22页/共24页
学科网（北京）股份有限公司∴∠BDA=∠BCA=90°．
∵BD= ，
∴AB=2 BD= ，
∴AC=BC= = +1，
设BK=a，则GK=a，CK= a，
∴a+ a= +1，
∴a=1，
∴BK=GK=1，
∴BG= BK= ，
∴AG=AB- BG = ，
∴AM= ．
【点睛】本题为几何变换综合题，考查全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质，含30度
角的直角三角形的性质以及勾股定理．利用数形结合的思想是解题关键．
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学科网（北京）股份有限公司第24页/共24页
学科网（北京）股份有限公司
