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期末复习(五) 不等式与不等式组
考点一 一元一次不等式的解法
【例1】解不等式 - ≤1,并把它的解集在数轴上表示出来.
【分析】解不等式一般会涉及去括号和去分母,去括号时应注意去括号法则的正确使用,去分
母时应注意每一项都要乘最简公分母.
【解答】去分母，得2(2x-1)-3(5x+1)≤6.
去括号，得4x-2-15x-3≤6.
移项，合并同类项得-11x≤11.
系数化为1，得x≥-1.
这个不等式的解集在数轴上表示为：
【方法归纳】直接按一元一次不等式的解法步骤先解出其解集,然后将解集在数轴上表示出
来.同时,要注意在数轴上表示不等式的解集时区分实心点与空心圆圈.
1.在数轴上表示不等式x+5≥1的解集，正确的是( )
2.解不等式1- ≥ ，并把它的解集在数轴上表示出来.
考点二 一元一次不等式组的解法
【例2】求不等式组： 的整数解.
【分析】先分别解不等式组里的每一个不等式,再取各解集的公共部分,然后取整数解.
【解答】解不等式①,得x＜5.解不等式②,得x≥-2.
原不等式组的解集为-2≤x＜5.
因此,原不等式组的整数解为：-2,-1,0,1,2,3,4.
【方法归纳】不等式(组)的特殊解在某些范围内是有限的,如整数解、非负整数解等,要求这
些特殊解,要先确定不等式(组)的解集.
3.解不等式组 并写出它的所有的整数解.
考点三 由不等式(组)解的情况，求不等式(组)中字母的取值范围
【例3】(1)若不等式组 无解，则m的取值范围是__________.
(2)已知关于x的不等式组 的整数解共有6个，则a的取值范围是__________.
【分析】(1)由不等式组的解集，来确定字母m的取值范围.因为原不等式组无解，所以可
得到：m+1≤2m-1，解这个关于m的不等式即可；
(2)由已知结论探求字母的取值范围，要先求出不等式组的解集，再来确定字母 a的取值
范围.不等式组的解集为
a＜x＜ ，则6个整数解为：1，0，-1，-2，-3，-4，故-5≤a＜-4.
【解答】(1)m≥2；(2)-5≤a＜-4.
【方法归纳】解决这类问题的思路一般是逆用不等式(组)的解集，借助不等式(组)解集的特
点，构造出不等式(组)来求出字母的取值范围.
4.若关于x的不等式组 有解，则实数a的取值范围是__________.
5.已知关于x的不等式组 只有四个整数解,则实数a的取值范围是__________.
考点四 不等式的实际应用
【例4】小宏准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶，已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶
4元，则小宏最多能买多少瓶甲饮料？
【分析】先设小宏买了x瓶甲饮料，则买了（10-x）瓶乙饮料，由买甲饮料的总费用+买乙
饮料的总费用小于或等于50元列不等式求解，x取最大整数即满足题意.【解答】设小宏买了x瓶甲饮料，则买了（10-x）瓶乙饮料，根据题意，得
7x+4(10-x)≤50.解得x≤ .
由于饮料的瓶数必须为整数，所以x的最大值为3.
答：小宏最多能买3瓶甲饮料.
【方法归纳】列不等式解决实际问题时，解法与列一元一次方程解决实际问题的步骤相同
在列不等式解决实际问题时，设未知数时不能出现“至多、最少、最低”等表示不等关系
的词语，但在问题的答中要出现这些表示不等关系的词语.
6.天然气公司在一些居民小区安装天然气与管道时，采用一种鼓励居民使用天然气的收费
办法，若整个小区每户都安装，收整体初装费10 000元，再对每户收费500元.某小区住户
按这种收费方法全部安装天然气后，每户平均支付不足 1 000元，则这个小区的住户至少
有多少户？
复习测试
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.如果不等式ax＜b的解集是x＜ ，那么a的取值范围是( )
A.a≥0 B.a≤0 C.a＞0 D.a＜0
2.若03的解集是( )
A.x>1 B.x<1 C.x>2 D.x<2
4.(2013·广州)不等式组 的解集是( )
A.-2 ＜ x<4 B.x<4 或 x≥ -2 C.-2≤ x<4
D.-2 的解，则a的取值范围( )
A.a<4 B.a<2 C.a>-2D.a>-4
8.某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分.娜娜得分要超过
90分，设她答对了x道题，则根据题意可列不等式为( )
A.10x-5(20-x)≥90 B.10x-5(20-x)＞90
C.10x-(20-x)≥90 D.10x-(20-x)＞90
9.适合不等式组 的全部整数解的和是( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
10.若不等式组 无解，则a的取值范围是( )
A.a≤-1 B.a≥-1 C.a<-1 D.a>-1
二、填空题(每小题4分,共20分)
11.请你写出满足不等式3x+1≥-8的负整数x的值：__________.
12.一罐饮料净重500克，罐上注有“蛋白质含量≥0.4%”，则这罐饮料中蛋白质的含量至
少为__________克.
13.不等式组 的解集是__________.
14.若不等式组 的解集是-13.
17.(8分)解不等式组 并把解集在数轴上表示出来.18.(8分)某公园出售的一次性使用门票，每张10元，为了吸引更多游客，新近推出购买
“个人年票”的售票活动(从购买日起，可供持票者使用一年).年票分A、B两类：A类年
票每张100元，持票者每次进入公园无需再购买门票；B类年票每张50元，持票者进入公
园时需再购买每次2元的门票.某游客一年中进入该公园至少要超过多少次时，购买A类年
票最合算？
19.(12分)当m在什么范围内取值时，关于x的方程（m-2）x+2=1-m(4-x):
(1)有正数解；
(2)有负数解；
（3）有不大于2的解.
20.(12分)为了鼓励市民节约用水,某市居民生活用水按阶梯式水价计费.下表是该市居民
“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：
自来水销售价格 污水处理价格
每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨
17吨及以下 a 0.80
超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.80
超过30吨的部分 6.00 0.80
(说明：①每户产生的污水量等于该户用水量;②水费=自来水费用+污水处理费)
已知小王家2012年4月份用水20吨,交水费66元;5月份用水25吨,交水费91元.
(1)求a,b的值;
(2)随着夏天的到来,用水量将增加.为了节省开支,小王计划把6月份的水费控制在不超过
家庭月收入的2%.若小王家的月收入为9 200元,则小王家6月份最多能用水多少吨？参考答案
变式练习
1.B
2.去分母，得6-2(x-2)≥3(x+1).
去括号，得6-2x+4≥3x+3.
移项，得-2x-3x≥3-6-4.
合并同类项，得-5x≥-7.
化系数为1，得x≤ .
这个不等式的解集在数轴上表示为：
3.解不等式①，得x≥1.
解不等式②，得x＜4.
∴原不等式组的解集是1≤x＜4.
∴原不等式组的所有的整数解是1，2，3.
4.a>4 5.-310 000+500x.解得x>20.
由于住户数必须是整数，所以x的最小值为21.
答：这个小区的住户数至少有21户.
复习测试
1.C 2.A 3.C 4.C 5.D 6.B 7.A 8.B 9.B 10.A
11.-1,-2,-3 12.2 13.-5＜x＜-2 14.-1 15.9
16.(1)去分母，得3(2x-3)9.
移项，合并同类项，得-x>10.
系数化为1，得x<-10.
其解集在数轴表示为：
17.解不等式①，得x≤3.
解不等式②，得x>-1.所以不等式组的解集为-10.解得m>- .
(2)方程有负数解，则 <0.解得m<- .
(3)方程有不大于2的解，则 ≤2.解得m≤ .
20.(1)由题意,得
解得
答：a的值为2.2，b的值为4.2.
(2)当用水量为30吨时,水费为：17×3+13×5=116(元).
∵9 200×2%=184(元),116<184,
∴小王家6月份的用水量可以超过30吨.
设小王家6月份用水量为x吨,由题意,得
17×3+13×5+6.8(x-30)≤184.解得x≤40.
答：小王家6月份最多能用水40吨.
