2026年4月高中毕业班教学质量调研数学答案_2024-2026高三（6-6月题库）_2026年04月高三试卷_260426广西省南宁市2026年4月高中毕业班教学质量调研（全科）

2026 年 4 月高中毕业班教学质量调研参考答案 (数 学) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A B D C B B D 说明：选对的得5分；错选、不选均的给得0分。 二选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，有选错的得0分。有两个正确选项的仅选其中一个给3分；有三个正确选项的 仅选其中一个给2分，仅选其中两个给4分。 题号 9 10 11 答案 AD BD ACD 7.设函数 高三数学参考答案第1页(共13页) f ( x ) 2 s in ( x ) , ( 0 , π 2 )     = +   .若f(x)的图象经过点(0,1),且f(x)在[0,π]上恰有2个零点, 则实数ω的取值范围是 A. [ 5 3 , +  ) B. [ 1 1 6 , 1 7 6 ) C. [ 5 3 , 8 3 ) 11 D.[ ,+) 【答案】B 6 【详解】f(x)图象经过点 ( 0 , 1 ) ,则 s i n 1 2  = π .又 ,则 2 π 6  =  π .则 f (x)=2sin  x+   6 ( 0 )   . 当x∈[0,π]时, x π 6 π 6 , π π 6   +   +  .因f(x)在[0,π]上恰有2个零点,所以 2 π π π 6 3 π   +  ,所以 11 17 11 17 ≤ ,即实数ω的取值范围是[ , ). 6 6 6 6 8.设曲线C:x|x|－y|y|=1,过点A(1，0)的直线l的倾斜角为α.若直线l与曲线C恰有3个不同的交点, 则tanα的取值范围是 2 A.(−，− ) B. 2 ( − 2 2 ， 2 2 ) 2 2 C（. ，1） D（. ,1） (1，+) 2 2 【答案】D【详解】当x0,y0时,曲线C的方程为 x 2 − y 2 = 1 ,图中曲线C (双曲线的一部分); 1 当x0,y0时,曲线C的方程为x2 + y2 =1,图中曲线C (圆弧)； 2当 高三数学参考答案第2页(共13页) x  0 ， y  0 时,曲线 C 的方程为 − x 2 − y 2 = 1 ,不可能； 当 x  0 , y  0 时,曲线 C 的方程为 y 2 − x 2 = 1 ,图中曲线 C 3 (双曲线的一部分). 所以曲线 C 由 C 1 , C 2 , C 3 组合而成.由图易知,当直线l与x轴垂直时,直线 l 与 C 1 , C 2 相切,此时 l 的倾斜 角为 2  .当直线 l 平行于 C 1 , C 3 的渐近线y= x时,直线 l 与曲线 C 有两个交点,此时 l 的斜率为1,倾斜  角为 ；设直线l与曲线C相切的切线 4 A T 的方程为 y = k ( x − 1 ) ,代入 y 2 − x 2 = 1 ,得 (k2 −1)x2 −2k2x+(k2 −1)=0,则=(2k2)2 −4(k2 −1)2 =8k2 −4=0,得符合题意的k= 2 2. 所以切线AT倾斜角正切值为 2 2 .于是由图可知,过点A的直线l位于从切线AT绕点A逆时针旋 转至与其渐近线 y = x 平行的直线之间,以及从与其渐近线y=x平行的直线绕点A逆时针旋转至与x 轴垂直的直线之间,所有这样的直线l符合题意.因此, t a n  2  取值范围为 ，1 (1，+) .   2   10.已知函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,当x0时, f ( x ) = x − e x 2 ,则下列说法正确的是 A.当 x  0 时, f ( x ) = ( − x + 2 ) e x . B. f ( x ) 的极大值点是 3 . C. f ( x ) 的值域为R. D.当 1 e 3  m  2 时,函数 y = f ( x ) − m 有1个零点. 【答案】BD【详解】对于A,当 x  0 时,则 − x  0 ,  f ( − x ) = − x e −− x 2 = − ( x + 2 ) e x . 又 f ( − x ) = − f ( x ) ,则 f ( x ) = ( x + 2 ) e x ,故A错误; 对于B,当 x  0 时, f ( x ) = x − e x 2 ,则 f  ( x ) = − x e +x 3 .当 x  ( 0 , 3 ) 时, f  ( x )  0 ,即 f ( x ) 单调递增. 当 x  ( 3 , +  ) 时, f  ( x )  0 ,即 f (x)单调递减,所以 f ( x ) 在 x = 3 处取得极大值. 由奇函数图象的对称性可知 f (x)在 (−,−3) 上递减,在 ( − 3 , 0 ) 上单调递增. 所以 f ( x ) 在x=−3处取得极大值,故B正确； 对于C,由B,画出函数 f ( x ) 的图象如右,所以 f ( x ) 值域为(−2,2) ,故C错误； 对于D,y= f (x)−m的零点即方程 f (x)=m的根的个数. 1 当 m2时,由图象得函数y= f (x)−m有1个零点,故D正确.故选BD. e311.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A B C D 中,M为DD 中点,F为侧面正方 1 1 1 1 1 形AA D D内一动点,且满足B F∥平面BC M,则 1 1 1 1 A.三棱锥A -BCD的外接球的表面积为 1 高三数学参考答案第3页(共13页) 1 2 π . B. 三棱锥 A − B C 1 M 的体积是 1 3 . C. 动点F的轨迹是一条线段. D.若过A,M,C 三点作正方体截面 1  ,Q为  上一点,则线段A Q长度取值范围为 1  2 3 6 ,2 2  . 【答案】ACD【详解】对于A：由题意可知三棱锥A -BCD的外接球即为正方体的外接球,可知正方 1 体的外接球的半径R= 3,所以三棱锥A -BCD的外接球表面积为 1 4 π R 2 = 1 2 π ,故A正确； 对于B： AD //BC , 1 1  V A − B C M1 = V D 1 − B C M1 = V B − C D1 M1 = 1 3  1 2  2  1  2 = 2 3 ,故B错误; 对于C：如图分别取 A A 1 , A 1 D 1 中点为H,G,连接 B G1 ,GH, H B 1 , A D 1 . 由正方体的性质可得BH∥CM ,且 1 1 B 1 H  平面BGH, 1 C 1 M  平面BGH. 1 所以C M∥平面 1 B G1 H .同理可得BC∥平面BGH. 1 1 且 B C 1  C 1 M = C 1 , B C 1 , C 1 M  平面 B C 1 M ,所以平面 B G1 H ∥ 平面 B C 1 M . 而 B 1 F ∥ 平面 B C 1 M ,所以 B 1 F  平面 B G1 H ,点F的轨迹为线段GH, 故C正确； 对于D：如图,设平面  与平面 A A 1 B 1 B 交于AN,N在 B B 1 上. 因为截面   平面AADD= AM ,平面 1 1 A A 1 D 1 D ∥ 平面 B B C1 C1 ,所以AM∥CN. 1 同理可证 A N ∥ C 1 M ,所以截面 A M C 1 N 为平行四边形,所以点N为 B B 1 中点. 在四棱锥 A 1 − A M C 1 N 中,侧棱AC 最长,且AC =2 2.设棱锥 1 1 1 1 A 1 − A M C 1 N 的高为h, 因为AM =CM = 5,所以四边形 1 A M C 1 N 为菱形,所以  A M C 1 的边 A C 1 上的高为 2. 又 A C 1 = 2 3 1 ,则S = 2 3 2 = 6,则 △AMC1 2 V C −1 A A M1 = 1 3 S △ A A M1  D C1 1 = 1 3  1 2  2  2  2 = 4 3 . 1 6 4 所以V = S h= h=V = ,解得 A1−AMC1 3 △AMC1 3 C1−AA1M 3 h = 2 3 6 . 综上,可知 A Q1 2 6  长度的取值范围是 ,2 2,故D正确. 故选ACD. 3   三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知圆C的圆心在x轴上,并且过A(-1,1)和B(1,3)两点,则圆C的方程为______. 【答案】(x−2)2 + y2 =10(或x2 + y2 −4x−6=0) A A 1 F D M D 1 B 1 B C C 1【详解】设圆C的圆心坐标为C(a,0),半径为r,则圆C的标准方程为(x−a)2 + y2 =r2, (−1−a)2 +1=r2, 有 ,解得 (1−a)2 +32 =r2 高三数学参考答案第4页(共13页) a = 2 ， r 2 = 1 0 .故所求为: ( x − 2 ) 2 + y 2 = 1 0 . 【备注】见“(x−2)2 + y2 =10”、“ x 2 + y 2 − 4 x − 6 = 0 ”之一，给5分 13.已知圆锥的母线长为6,其侧面展开图是圆心角为 2 3  的扇形,则该圆锥的侧面积为 . 【答案】12π【详解】设圆锥的母线长为l=6,底面半径为r,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长, 则 2 π 3 l = 2 π r ,解得r=2,所以该圆锥的侧面积为 1 2  2 3 π  6 2 = 1 2 π .【备注】见“12π”给5分 14. 在量子计算与人工智能融合的前沿研究中,科研人员需通过调控函数优化量子比特的能量弛豫特 性,定义“量子能量调控函数”：对于量子比特的相对能量值 x  − 1 (单位:相对能量单位,以基态能量为 零点),存在实数a,b(a0),使得函数 f ( x ) = a l n ( x + 1 ) + b x 2 − 2 x + 8 3 对应量子比特的能量损耗 规律.已知该函数满足“双极值对称”性质,即能量损耗的两个极值点(对应量子比特的两个稳定工作状 态)关于直线 x = 1 对称,且两个极值的和(对应两种稳定状态下的总能量损耗)为整数4,则a的值 为 , (3分)，b的值为 . (2分) 【答案】 a = 2 3 (或2/3), b = 1 3 (或1/3)【详解】求导得 f ( x ) = x a + 1 + 2 b x − 2 ,令 x a + 1 + 2 b x − 2 = 0 , 消去分母整理得二次方程： 2 b x 2 + ( 2 b − 2 ) x + ( a − 2 ) = 0 .设两个极值点为x ,x .由极值点关于 1 2 x = 1 对称,得二次方程对称轴为 x = 1 , 则 − 2 b 4 − b 2 = 1 ,解得b=1/3.将b=1/3代入方程 2 b x 2 + ( 2 b − 2 ) x + ( a − 2 ) = 0 ,得x +x =2， 1 2 x 1 x 2 = 3 a − 2 6 .得 f ( x 1 ) + f ( x 2 ) = a l n [ ( x 1 + 1 ) ( x 2 + 1 ) ] − a + 1 4 3 , 3a 3a 14 而(x +1)(x +1)= .代入题干极值和为4,得aln( )−a+ =4.由对数性质ln1=0. 1 2 2 2 3 令 l n 3 a 2 = 0 ,解得 a = 2 3 代入原方程验证成立. 【备注】 见“ a = 2 3 (或2/3)” 给3分; 见“ b = 1 3 (或1/3)”给2分四、解答题：本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题13分)在 高三数学参考答案第5页(共13页)  A B C 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若 c o s C = − 1 3 , c s i n A = 2 2 . (1)求a；(2)若  A B C 的面积为 5 2 2 , C D 为 A B 边上的高,求 C D . 解：(1)解法一:由 s i n 2 C + c o s 2 C = 1 , c o s C = − 1 3 得 s i n C = 2 3 2 ………... 2分 【备注】见“ s i n C = 2 3 2 ”给2分 因为 s i a n A = s i c n C , c s i n A = 2 2 则 a s i n C = 2 2 ,.…………………….….…..2分(4分) a c 【备注】至少见“ = ”、“正弦定理”、“asinC =2 2” 之一给2分 sin A sinC 所以 a  2 3 2 = 2 2 a=3 即 ……………………………….……………2分(6分) 【备注】见“a=3”给2分 解法二:根据 s i n 2 C + c o s 2 C = 1 , c o s C = − 1 3 得 s i n C = 2 3 2 ………... 2分 2 2 【备注】见“sinC = ”给2分 3 过点B作BE⊥AC于E,因为 c s i n A = 2 2 ,则BE= 2 2 …………………2分(4分) 【备注】见“BE=2 2”给2分 2 2 而sin∠BCE=sinC = ，故a= 3 s i n B  E B C E = 2 2 2 2 3 = 3 ………………...…2分(6分) 【备注】见“ a = 3 ”给2分 (2)由(1)得 S  A B C = 1 2 a b s i n C E a B C b c D A 1 2 2 5 2 5 = 3b = ,解得b= …………..2分(8分) 2 3 2 2 5 【备注】见“b= ”给2分; 2 5 1 1 1 若不见“b= ”但写原始面积公式“S = absinC或 acsinB或 bcsinA”给1分 2 ABC 2 2 2则 高三数学参考答案第6页(共13页) c o s C = a 2 + 2 b a 2 b − c 2 = 9 + 2  2 5 4 3  − c 5 2 2 = − 1 3 ,解得 c = 9 2 …………………………….… 3分(11分) 【备注】见“ c = 9 2 ”给3分;若不见“ c = 9 2 a2 +b2 −c2 ”但写原始余弦定理“cosC = ”给2分 2ab 1 5 2 9 10 2 则S = c|CD|= ,代入c = ,解得CD= . …………..…………... 2分(13分) ABC 2 2 2 9 10 2 【备注】见“CD= ”给2分. 9 16.(本题15分)为提升图书盘点效率,某中学图书馆引入AI智能图书盘点机器人.现对该机器人的图书 识别准确率进行标准化测试,测试样本集有6本图书,分为两类：4本标签完好,是机器人应正确识别的 有效馆藏图书;2 本标签破损,是机器人应正确排除的无效图书.两类样本共同用于机器人识别性能测 试,现从这6本图书中不放回地随机抽取2本,逐本开展测试. (1)已知第一次抽取到有效馆藏图书,求第二次也抽取到有效馆藏图书的概率； (2)记抽取的2本图书中,有效馆藏图书的数量为X,求X的分布列及数学期望E(X). 解：(1)设事件A为 “第一次抽取到有效馆藏图书”，事件B为 “第二次抽取到有效馆藏图书”. 由不放回抽取规则,得 P ( A ) = 4 6 = 2 3 ， P ( A B ) = 4 6  3 5 = 2 5 ,……………………..…4分(4分) 4 2 4 2 【备注】至少见“P(A)= = ”、“第一次抽取到有效馆藏图书的概率为 = ”之一给2分； 6 3 6 3 至少见“ P ( A B ) = 4 6  3 5 = 2 5 ”、“第一次抽取到有效馆藏图书且第二次也抽取到有效馆藏图 4 3 2 书的概率为  = ” 之一给2分 6 5 5 2 P(AB) 5 3 P(B|A)= = = ………………………………………………….…2分(6分) P(A) 2 5 3 3 P(AB) 【备注】见“P(B|A)= ”给2分；若结果错,但写出公式“P(B|A)= ”给1分 5 P(A) (2)依题意,X的可能取值为0,1,2,. ………………………………….………………….….…1分 【备注】见“X的可能取值为0,1,2”全对才给1分 C0C2 1 P(X=0)= 4 2 = , C2 15 6 P ( X = 1 ) = C 14C  C 26 12 = 1 8 5 , P ( X = 2 ) = C 24C  C 36 02 = 2 5 ,…......…6分(13分)1 【备注】见“P(X=0)= ”、“ 15 高三数学参考答案第7页(共13页) P ( X = 1 ) = 1 8 5 2 ”、“P(X=2)= ”各给2分 5 因此X的分布列为 【备注】若只写列表且见“1/15”、“8/15”、“2/5”，不见体现超几何分布概率公式( C 04C  C 26 22 或 C 14C  C 26 12 或 C 24C  C 26 02 ),扣1分,即给5分. （E X ） = 0  1 1 5 + 1  1 8 5 + 2  2 5 = 4 3 ,故X的数学期望为 4 3 . ……………………………2分(15分) 【备注】见“X的数学期望为4/3”给2分；若结果不正确但体现数学期望公式过程,给1分. 17. (本题15分)已知函数f(x)=x3+ax+b在x=0处导数值为0,且f(x)的图像在点(1,4)处的切线为l.若数 列{a }满足a =1,且对任意n∈N*,点(a ,a )均在切线l上. n 1 n n+1 (1)求数列{a }的通项公式；(2)设 n c n = 2 n  a n ,求数列c 的前 n n 项和为 T n . 解:(1) f ( x ) = 3 x 2 + a ,由已知条件可得  f f ( 1 ( ) 0 = ) = 4 ， 0 1+a+b=4， 即 …………………3分 a=0 【备注】见“ f ( x ) = 3 x 2 + a ”给2分；“ f (1 ) = 4 或1+a+b=4或a+b=3”给1分. 解得a=0,b=3.…………………………………………......................................………..…2分(5分) 【备注】见“a=0”“b=3”各给1分 故 f(x)= x3+3,切线l的斜率为 k = f ( 1 ) = 3 ,故切线l的方程为 y   3 x 1 .……1分(6分) 【备注】见“切线l的方程为y3x 1”给1分 因点(a ,a )在直线上,则 n n+1 a n + 1 = 3 a n + 1 .……………………………………………....1分(7分) 【备注】见“ a n + 1 = 3 a n + 1 X 0 1 2 P ”给1分 1  1  1 故a + =3  a + ,即a + 是以3/2为首项,公比为3的等比数列 n+1 2  n 2  n 2 1 1 5 1 8 5 2 5所以 高三数学参考答案第8页(共13页) a n   12 3 2 3 n  1 3n 1 即a  . …………………………………………………2分(9分) n 2 3n 1 【备注】见“a  ”给2分 n 2 (2) c n = 2 n  a n = n  3 n − n . ………………………………………………………………1分(10分) 则 T n = k n = 1 k  3 k − k n = 1 k .记 A n = k n = 1 k  3 k , B n = k n = 1 k = n ( n 2 + 1 ) .………………………1分(11分) n n(n+1) 【备注】见“B =k = ”或“ n 2 k=1 1 + 2 + . .. + n = n ( n 2 + 1 ) ”给1分 A n = 1  3 + 2  3 2 + 3  3 3 +  + n  3 n ………..………① …………………………1分 【备注】见等式“ A n = 1  3 + 2  3 2 + 3  3 3 +  + n  3 n ”给1分 3 A n = 1  3 2 + 2  3 3 + 3  3 4 +  n  3 n + 1 ……………② ………………………1分(13分) 【备注】见等式“ 3 A n = 1  3 2 + 2  3 3 + 3  3 4 +  n  3 n + 1 ”给1分 ①－②得 − 2 A n = 3 + 3 2 + 3 3 +  + 3 n − n  3 n + 1 = 3 ( 3 n 2 − 1 ) − n  3 n + 1 …………………1分(14分) 【备注】见至少“①－②”、“②－①”、“两式相减”之一,体现错位相减法,给1分 A n = ( 2 n − 1 ) 4 3 n + 1 + 3 (2n−1)3n+1+3 n(n+1) 故T = − .………………………..……1分(15分) n 4 2 (2n−1)3n+1+3 n(n+1) 【备注】见“T = − ”或其它等价表达式,给1分 n 4 2 18.(本题17分)已知抛物线C:y2 =2px(p0) ,其焦点为F,若M、N为抛物线C上两个动点,且M(x ,y ) 1 1 到F的距离最小值为1,以M、N为切点分别作抛物线C的互相垂直的两条切线. (1)求焦点F到准线的距离;  (2)若平面上动点R满足OR=OM +ON,(O为原点),且2≤y ≤4,求点R的轨迹方程; 1  7 (3)若抛物线C上存在点S,满足OS =OM +ON，(=+1, 1),且MN的中垂线与x轴交 25 于点T,求△TMN的面积的取值范围. p p p 解：(1)由于动点M到准线的距离为x + ,则MF = x +  =1. 1 2 1 2 2所以焦点到准线的距离为 高三数学参考答案第9页(共13页) p = 2 …………………………......................................………2分(2分) 【备注】至少见“ p = 2 ”、“焦点F到准线的距离为2”、“所求距离为2”之一,给2分 (2)由(1)知抛物线C方程为y2 =4x.……………………………………………………..……1分(3分) 注意到直线 y 1 y = 2 ( x + x 1 ) 经过点M(x ,y ),且联立y2 =4x,得 1 1 y 2 − 2 y 1 y + 4 x 1 = 0 . 则  = 4 y 1 2 − 1 6 x 1 = 0 ,这表明直线 y 1 y = 2 ( x + x 1 ) 恰为抛物线C在点M(x ,y )处的切线. ….…1分 1 1 【备注】见“直线y y=2(x+x)为抛物线C在点M(x ,y )处的切线”给1分 1 1 1 1 设N(x ,y ),同理可得抛物线在点N处的切线为 2 2 y 2 y = 2 ( x + x 2 ) .…………………………..…..…1分(5分) 【备注】见“直线y y=2(x+x )为抛物线C在点N(x ,y )处的切线”给1分 2 2 2 2 因为两条切线互相垂直,则 2 y 1  2 y 2 = − 1 即y y =−4.……………..……………………......…1分(6分) 1 2 设直线MN方程为x=my+n,联立 y 2 = 4 x ,可得 y 2 − 4 m y − 4 n = 0 . 则 y 1 y 2 = − 4 n = − 4 ,所以 n = 1 则 y 1 + y 2 = 4 m ,x +x =my +1+my +1=4m2+2. 1 2 1 2 设R ( x , y ) ,由 O R  = O  M  + O  N  ,则 y = y 1 + y 2 = 4 m , x = x 1 + x 2 = 4 m 2 + 2 .............…2分(8分) 【备注】见等式“y= y + y =4m或y=4m”，“ 1 2 x = x 1 + x 2 = 4 m 2 + 2 或 x = 4 m 2 + 2 ”各给1分 消去m可得 x = y 4 2 + 2 .由 y 1   2 , 4  ,所以 y = y 1 + y 2 = y 1 − 4 y 1   0 , 3  . 所以点R的轨迹方程为 x = y 4 2 + 2 , ( y   0 , 3  ) .…………………………………….………3分(11分) y2 【备注】见“x= +2”给2分; 见“ 4 y   0 , 3  ”给1分. 解法二：由(1)知抛物线C方程为y2 =4x.………………………………………………………1分(3分) 注意到直线 y 1 y = 2 ( x + x 1 ) 经过点M(x ,y ),且联立 1 1 y 2 = 4 x ,可得 y 2 − 2 y 1 y + 4 x 1 = 0 . 则=4y2−16x =0,这表明直线y y=2(x+x)恰为抛物线在点M处的切线. …...............…1分 1 1 1 1设N(x ,y ),同理可得抛物线在点N处的切线为 2 2 高三数学参考答案第10页(共13页) y 2 y = 2 ( x + x 2 ) .……………………………..…1分(5分) 2 2 因为两条切线互相垂直,则  =−1即y y =−4.……………..………………………...…1分(6分) y y 1 2 1 2 设点R(x,y),由于 O R  = O  M  + O  N  ,得 ( x , y ) = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) ……………………..……..……1分 则 x = x 1 + x 2 = y 14 2 + y 24 2 = ( y 1 + y 2 2 ) 4 − 2 y 1 y 2 = ( y 1 + y 4 2 ) 2 + 8 ………………………….…1分(8分) 【备注】见“ x = x 1 + x 2 = y 14 2 + y 24 2 ”给1分. 因为 y = y 1 + y 2 ,所以 x = y 4 2 + 2 .由于 y 1   2 , 4  ,所以 y = y 1 + y 2 = y 1 − 4 y 1   0 , 3  . 所以点R的轨迹方程为 x = y 4 2 + 2 , ( y   0 , 3  ) ……………………………………………..…3分(11分) y2 【备注】见“x= +2”给2分; 见“ 4 y   0 , 3  ”给1分. (3)设点S(x ,y ),由 0 0 O S O M O N      =      +    可得 y 0 y 1 y 2   = + , x 0 x 1 x 2   = + . …………2分(13分) 【备注】见“y =y +y ”“ 0 1 2 x 0 x 1 x 2   = + ”各给1分. 由于 y 0 2 = 4 x 0 , y 1 2 = 4 x 1 , y 2 2 = 4 x 2 ,则 y 0 2 4 x 0 4 x 1 4 x 2 y 1 2 y 2 2 ( y 1 y 2 ) 2       = = + = + = + . 即 0 ( 2 ) y 1 2 2 y 1 y 2 ( 2 ) y 2 2      = − + + − . 由=+1代入上式可得0=(+1)y2+2(+1)y y +(2−)y 2. 1 1 2 2 因为 y 1 y 2 = − 4 (2−) 16 ,上式两边同除以(+1),得0= y2−8+  . 1 (+1) y2 1 令 t = y 1 2  0 16(−1) 则0=t2−8t+ ,即 +1 3 2 1 ( t 4 ) 2  + = − . 32 32 故y2 =t=4 (舍负),所以y2 =4+ . 1 +1 1 +1 7 由于 1,则有 y 2 2,3.…………………………………………………..….…1分(14分) 25 1   【备注】见正确结论“ y 2 2,3”给1分. 1  又MN中垂线方程为 高三数学参考答案第11页(共13页) y − y 1 + 2 y 2 = − m ( x − x 1 + 2 x 2 ) ,令 y = 0 ,则有 x T = y + 12 m y 2 + y 1 2 + 8 y 2 2 . 1 16 由(2)知y +y =4m,y y =−4,则有x =2+ (y2 + ).………………………..….…1分(15分) 1 2 1 2 T 8 1 y2 1 1 16 【备注】见正确结论“x =2+ (y2 + )”给1分. T 8 1 y2 1 因为直线MN: x = m y + 1 过(1,0)所以 S  T M N = x T 2 − 1  y 1 − y 2 = 1 2 1 + 1 8 ( y 1 2 + 1 y 6 2 1 )  y 1 + 4 y 1 . 令 y 1 + 4 y 1 = h ,则有 y 1 2 + 1 y 6 2 1 = h 2 − 8 .所以 S  T M N = h 1 3 6 . 注意到 y 1   2 2 , 3  ,则有 h   3 2 , 1 3 3  27 2 2197 ,所以S  , …………...……2分(17分) TMN 8 432   【备注】见正确结论 “ S  T M N   2 7 8 2 , 2 1 4 9 3 7 2  ”给2分; 见“ S  T M N  ( 2 7 8 2 , 2 1 4 9 3 7 2 ] 或 ( 2 7 8 2 , 2 1 4 9 3 7 2 ) ”给0分 19. (本题17分)已知三棱柱ABC-A B C 中, AA =2, BC=4, CA⊥AB,∠CAA =60°,∠BAA =45°,且D、 1 1 1 1 1 1 E、F分别为CA 、AB 、AB的中点. 1 1 (1)求证：DE∥平面ABC; (2)求 C AD     A B  1  2 F  1  的取值范围; (3)已知2≤CA≤ 2 3 ,若点I是四边形CBB C 所在平面上的一个动点, 1 1 且IC=3IB. 求IB 取最小值时三棱锥C -A DF的体积. 1 1 1 解:(1)法一：连接AB,依题意知四边形 1 A B B 1 A 1 是平行四边形. 则AB与AB 交于AB 中点E.而D为 1 1 1 C A 1 中点,则DE∥BC. ………..…...…2分 【备注】见“DE∥BC”给2分. 又DE  平面ABC且BC  平面ABC,则DE∥平面ABC. ……………..…..1分(3分) 【备注】见“DE平面ABC”且见“DE∥平面ABC”才给1分. 法二：取AA 中点M，连接DM、EM. 则DM、EM分别是△CAA 和△BAA 中位线 1 1 1 则DM∥AC,ME∥AB.从而DM∥平面ABC , ME∥平面ABC. 因为DM∩EM=M,所以平面DEM∥平面ABC. ……………………...…2分 【备注】见“平面DEM∥平面ABC”给2分. 又DE平面DEM,则DE∥平面ABC. …………………………….…..1分(3分) C C 1 D A A 1 F E B B 1 C1 B1 A1 E D B C F A M【备注】见“DE 高三数学参考答案第12页(共13页)  平面DEM”且见“DE∥平面ABC”才给1分. (2)设 A C = a , A B = b ,由 C A ⊥ A B , B C = 4 ,可得 a 2 + b 2 = 1 6 . 因为AA =2, ∠CAA =60°,∠BAA =45°,故 1 1 1 = A A  1  A B +   A A  1  A A  1 − A C   A B −  A C  A A  1 C  A =  1    A B   2 b  1 − = a ( + A A 4  1 −  A C )  ( A B +  A A 1 ) .………..….…1分  【备注】见 “CAAB = 2b−a+4”给1分. 1 1 D F  =  D C  + C  A +  A F  =   1 2 A C1  −  A C  + 1 2  A B  = 1 2  ( A C − A A 1 ) − A C + 1 2 A B  =  1 2 A B  −  1 2 A C  − 1 2 A A 1 . D F  2 =  ( 1 2 A  B −  1 2 A C − 1 2 A A 1 ) 2 = 1 0 − 2 2 b + a .…………………………….…1分 【备注】见 “ D F  2 = 1 0 − 2 2 b + a ”给1分. 则有 C   A 1   D F   A B  2  1  = 1 0 2 − b − 2 2 a b + + 4 a .……………………………………………….…1分(6分) 令 2b−a=t ,由 a 2 + b 2 = 1 6  .可设a=4cos,b=4sin,(0 ) 2 则有 t 2 b a 4 2 s i n 4 c o s ( 4 , 4 2 )   = − = −  − . 则 C   A 1   D F   A B  2  1  = 2  t + 1 0 − 4 t = 2 ( − 1 + 1 1 0 4 − t )  ( 0 , 3 6 + 1 2 7 8 2 ) .………………….……2分(8分) 【备注】见正确结论“ ( 0 , 3 6 + 1 2 7 8 2 ) ”给2分. (3)在面 C B B C1 1 内以CB中点为原点,CB为x轴,CB的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系…. 1分 【备注】见 “在面CBBC 内建立平面直角坐标系”，体现平面内建系思想，给1分. 1 1 则C(−2,0),B(2,0), 设I(x,y),由IC=3IB可得 (x+2)2+y2 =3 (x−2)2+y2 . 即 x 2 + y 2 − 5 x + 4 = 0 5 3 .其点I轨迹是圆心为M( ,0),半径为 的圆. ……….1分(10分) 2 2 【备注】见 “点I轨迹是圆”(圆心和半径不一定正确)给1分. y 3 C1 B1 所以(IB ) =MB − .……………………………………..…1分(11分) I 1 min 1 2  C N B M x 又BCBB =(AC−AB) AA =a− 2b.…………….……1分(12分) 1 1所以 高三数学参考答案第13页(共13页) c o s  B C  , B  B 1   = B BC C  B    BB  1B   1  = a − 8 2 b = − c o s  M B B 1 ,且 M B = 1 2 . 在  B B 1 M 中, M B 1 2 = M B 2 + B B 1 2 − 2 M B  B B 1  c o s  M B B 1 = 1 7 4 + a − 4 2 b . 又2≤CA=a≤2 3,由(2)知 a 4 c o s , b 4 s i n   = = ,则有2a=4cos2 3,所以 6 3      . 则 M B 1 2 1 7 4 a 4 2 b 1 7 4 c o s 2 s i n   = + − = + − . 当 3   = 时,即 a = 2 , b = 2 3 时 M B 1 取得最小, I B 1 = M B 1 − 3 2 也取得最小. ………..…1分(13分) 【备注】至少见“ a = 2 , b = 2 3 时MB 取得最小”、“ 1 a = 2 , b = 2 3 时IB 取得最小”之一，给1分. 1 由于  C A A 1 = 6 0  ,所以 C A = C A 1 = A A 1 = 2 . 取CB中点N,连接 N A 1 与 N A ,由于 C A ⊥ A B ,则 C A = C N = A N = 2 . 取CA中点L,连接 L A 1 与 L N ,则 L A 1 ⊥ C A , L N ⊥ C A ,所以 C A ⊥ 平面 L N A 1 . 过点 A 1 作 A 1 H ⊥ L N 于H,因 C A ⊥ 平面 L N A 1 ,得 C A ⊥ H A 1 .故AH ⊥平面 1 A B C .……..…..1分(14分) 【备注】见“AH ⊥平面 1 A B C .”给1分. 注意到 N A  1 =  N A  + A  A  1 = −  A C  + 2  A B  + A A 1 ,则 N A  1  = 6 − 2 6 . 在  L A 1 N 中, L A 1 = L N = 3 NA 6−2 6 ,则cosLNA = 1 = . 1 2LN 2 3 所以 s in  L N A 1 = 1 − c o s 2  L N A 1 = 6 + 1 2 2 6 .所以AH = ANsinLNA =1..…………..…1分(15分) 1 1 1 【备注】见“AH = ANsinLNA =1”“AH =1”之一，给1分. 1 1 1 1 所以 V C 1 − A D1 F = V F − A C1 D1 = 1 2 V F − A 1 A C = 1 2 V A 1 − F A C = 1 2  1 3  ( 1 2  A C  F A )  A 1 H = 6 3 ……….2分(17分) 【备注】见正确结论“ V C 1 − A D1 F = 6 3 H ”给2分.