数学答案-2026届湖北省楚天协作体高三3月联考_2024-2026高三（6-6月题库）_2026年03月高三试卷_2603192026届湖北省楚天协作体高三3月联考

高三数学参考答案 一.选择题部分 1 2 3 4 5 6 7 8 C B A B D A C B 9 10 11 AD BCD ACD a a 7.【详解】对于①选项,设a 的前n项和为S ,S  1 2n12n12n1a ， n n 2n1 2 n 所以数据a,a ,a ,,a 的平均数是a ，故①选项正确： 1 2 3 2n1 n 对于②选项，当n2时，取b 为2，4，8， n 248 14 平均数为  b  4，故②选项错误； 3 3 2 对于③选项，a,a ,a ,,a 的中位数是a ，b,b ,b,,b 的中位数是 1 2 3 2n1 n 1 2 3 2n1 a a b ,b  bb  aa  1 2n1a ，故③选项正确； n n 1 2n1 1 2n1 2 n 对于④选项，数列a 的前2n1项和为S 2n1a ， n 2n1 n S 所以数列a 的前2n1项和的平均数为 2n1 a ， n 2n1 n 数列b 是各项均为正数，且公比q 1的等比数列， n 所以b b b ， 1 2 2n1 所以b 的前2n1项和b b b 2n1b ， n 1 2 2n1 2n1 2n1b 所以数列b 的前2n1项和的平均数小于 n b ， n 2n1 n 由③选项知，b a ，所以数列a 的前2n1项和的平均数比b 的前2n1项和的平均数 n n n n 大，④选项正确. b b 1 8【. 详解】由关于x的方程2ln(ax ) 4x21 有实根，得关于x的方程ln(ax ) x2 2 2 4 有实根， b 1 b 1 设方程ln(ax ) x2 的实根为x ，则ln(ax  ) x2 ， 2 4 0 0 2 0 4 得到ax  b e x0 2 1 4 ，即ax  1 be x0 2 1 4 0， 0 2 0 2 第 1 页 共 9 页 {#{QQABCQAt5ggw0ITACA4LAUFoCQgYsIAiLMgMwQCYKAZCCANABKA=}#}设点P(a,b)，则点P在直线x x 1 ye x0 2 1 4 0上， 0 2 点O(0,0)到直线x x 1 ye x0 2 1 4 0的距离d  e x0 2 1 4 ， 0 2 x2 1 0 4 1 1 et 1 et(t1) 设t x2   ，函数 f(t) ,t ，求导得 f(t) ， 0 4 2 t 2 t2 1 当 t1时， f(t)0；当t 1时， f(t)0， 2 1 函数 f(t)在[ ,1)上单调递减，在[1,)上单调递增， 2 因此 f(t)  f(1)e，|OP|d  f(t)e，则a2b2 |OP|2e2， min  3  3 b a e 3  a e0  2 检验：当t 1时，x  ，由 2 2 ，解得 ，此时a2b2 e2； 0 2  a2b2 e2  b e  2  3  3 b a e  a e 0  2 由 2 2 ，解得 ，此时a2b2 e2  a2b2 e2  b e  2 1 11.根据题意可知准线方程为2x10，即C的准线方程为x ， 2 p 1 所以  ，即p1， 2 2 所以m2p2， 则抛物线C的方程为：y2 2x，故A正确； 依题意得直线l的方程为ykx1， 当k 0时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意， 当k 0时，代入y2 2x， 得k2x2 (2k2)x10， 1 则4(k1)24k28k40 且k 0，解得k 且k 0， 2  1  所以k的取值范围是 ,0(0,)，故B错误；  2  设Ax,y ，Bx ,y ，根据韦达定理可得： 1 1 2 2 第 2 页 共 9 页 {#{QQABCQAt5ggw0ITACA4LAUFoCQgYsIAiLMgMwQCYKAZCCANABKA=}#}2k2 1 x x  ，xx  ， 1 2 k2 1 2 k2   所以OAOB xx  y y  xx kx 1kx 1  1k2 xx kx x 1， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1k2 2k2 2k 1 2 代入可得：  1  ； k2 k2 k2 k 1 1 若k m，即k 2，则0  ， k 2 2 1 2 1   3  所以   1 1 ,0 ， k2 k k   4     3  即OAOB的取值范围是 ,0，故C正确；  4  y 因为直线OB的方程为y 2 x， x 2  x y  所以点D的坐标为x, 1 2 ，  1 x  2 y x y 设线段AD的中点为Nx ,y ，则x x ，y  1 1 2 ， 0 0 0 1 0 2 2x 2 y x y 2xx x y x y 2xx x kx 1x kx 1 则x y x  1 1 2  1 2 2 1 1 2  1 2 2 1 1 2 0 0 1 2 2x 2x 2x 2 2 2 1 2k2  (2k2)x 1 x 2 x 1 x 2   (2k2) k2  k2  0 ， 2x 2x 2 2 所以点Nx ,y 在直线xy0上，故线段AD的中点在一条定直线上.故D正确 0 0 二.填空题  2 2 3 12. 150 13.  ,  14. 2    2 3  三.解答题 第 3 页 共 9 页 {#{QQABCQAt5ggw0ITACA4LAUFoCQgYsIAiLMgMwQCYKAZCCANABKA=}#}15.（1）零假设H 为：学生的满意度与学部无关..........1分 0 代入22列联表中的数据可得： 500(10015050200)2 250 K2    3.968 6.635x ........4分 150350300200 63 0.01 根据小概率值0.01的独立性检验，没有充分证据推断H 不成立，因此可以认为H 成立， 0 0 故可认为学生的满意度与所处学部无关.........5分 （2）从不满意的学生中，采用分层抽样的方法，得到初中部学生与高中部学生的抽样比为 2:1，则9名使用者中初中部6人､高中部3人..........6分 因为4人中高中部人数为X ，所以X 的可能取值为0,1,2,3，其对应的概率分别为： C4 5 C3C1 10 PX 0 6  ，PX 1 6 3  C4 42 C4 21 9 9 C2C2 5 C1C3 1 PX 2 6 3  ，PX 3 6 3  ............10分 C4 14 C4 21 9 9 X 的分布列为： X 0 1 2 3 5 10 5 1 P 42 21 14 21 5 10 5 1 4 故数学期望为EX 0 1 2 3 ..........13分 42 21 14 21 3 16.（1）连接AC、BD、EF， 根据题意可设其交于点O，则A、E、C、F四点共面，且O为AC、BD、EF的中点， 所以四边形AECF、BEDF都是平行四边形，所以AE∥FC,DE∥BF，......2分 又AE 平面EAD，FC平面EAD，AE∥FC，所以FC//平面EAD，.....3分 DE平面EAD，FB平面EAD，所以FB∥平面EAD，.......4分 FB//平面EAD，FC//平面EAD，又FB、FC在平面ECB内相交于点F， 所以平面EAD//平面FCB.....6分 第 4 页 共 9 页 {#{QQABCQAt5ggw0ITACA4LAUFoCQgYsIAiLMgMwQCYKAZCCANABKA=}#}（2）根据正八面体结构，如图建立空间直角坐标系         则A 2,0,0 ,D 0, 2,0 ,F 0,0, 2 ,B 0, 2,0 ，......7分          所以DA 2, 2,0 ,FA 2,0, 2 ,AB 0, 2,0 ，      设平面FAD的一个法向量为nx,y,z，则nDA,nFA，    nDA0   2x 2y0 所以   ，即 ，令x1，则y z1， nFA0  2x 2z0  所以平面FAD的一个法向量为n1,1,1，.....9分 因为点P为棱EB上的动点，   所以设BPBE，01 则  A  P    A  B    B  P    A  B    B  E   - 2, 2,0    0, - 2, 2   - 2, 2  1   , 2  ，....10分 设直线AP与平面FAD 成的角为，   nAP 2 2 2 2 sin     n  AP 3 221222  1 2 3  ，......12分 12     2 4 又0≤≤1， 1 2 2 6 当 时，sin  ，当1或0时，sin  ，.......14分 2 max 3 min 3  6 2 2 故直线AP与平面FAD 成的角的正弦值的范围 , ........15分  3 3    17.（1）因为 p q 1，即：4S 2n1a 14S 2n1a 1．①.......1分 n n n n n n 当n1时，4S 3a 1， 1 1 又S a ，所以a 1．.....2分 1 1 1 第 5 页 共 9 页 {#{QQABCQAt5ggw0ITACA4LAUFoCQgYsIAiLMgMwQCYKAZCCANABKA=}#}当n2时，4S 2n1a 1，② n1 n1 由①-②整理得：4a 2n1a 2n1a ． n n n1 a 2n1 整理得 n  n 2，......3分 a 2n3 n1 a a a 由累乘法得：a a  2  3  n ， n 1 a a a 1 2 n1 3 5 2n1 代入比值：a 1   2n1, ...5分 n 1 3 2n3 当n1时，a 1211，符合上式， 1 所以数列a 的通项公式为a 2n1．......6分 n n （2）当n为偶数时， T b b b b b b b b  n 1 3 5 n1 2 4 6 n   a 1 1a 3 1a 5 1a n1 1  3a 2 3a 4 3a 6 3a n  n S  2a a a a  n 2 2 4 6 n n 32n1 S  n 2 2 S n 2 3n ， n 2 2 n 2 3 所以T S n2 n，n为偶数n2，.........9分 n n 2 3 由T S n恒成立，得n ， n n 2 3 7 7 n是偶数，当n2时，n 有最小值 ，所以 ；......11分 2 2 2 当n为奇数时，n1为偶数， 3 1 1 T T b S n12 n13a S n2 n ， n n1 n1 n1 2 n1 n 2 2 1 1 所以T S n2 n ，n为奇数，.......13分 n n 2 2 1 1 由T S n恒成立，得n  ， n n 2n 2 1 1 又 f x x  在1,上单调递增， 2x 2 1 1 所以当n1时， f nn  有最小值1，所以1． 2n 2 综上，实数的取值范围是,1 .......15分 第 6 页 共 9 页 {#{QQABCQAt5ggw0ITACA4LAUFoCQgYsIAiLMgMwQCYKAZCCANABKA=}#}π b π 18.（1）由双曲线C的一条渐近线的倾斜角为 ，有 tan ，可得b 3a，......1分 3 a 3 4 9 又由点T 在双曲线C上，有  1, a2 b2 4 9 代入b 3a，有  1，可得a1，b 3，.......2分 a2 3a2 y2 故双曲线的标准方程为x2 1......3分 3 （2）设点M的坐标为x ,y ，则x2 y 0 2 1，即3x2y2 3． 0 0 0 3 0 0 双曲线的两条渐近线l ，l 的方程分别为 3x y0, 3x y0， 1 2 3x  y 3x  y 则点M到两条渐近线的距离分别为 d  0 0 ,d  0 0 ，....5分 1 2 2 2 则 d d  3x 0  y 0  3x 0  y 0  3x 0 2 y 0 2  3． 1 2 2 2 4 4 所以点M到双曲线C的两条渐近线的距离之积为定值．.....7分 （3）存在2． ①当x  2时， MF  AF 3，又N是AM 的中点， 0 所以AFN MFN 45，所以AFM 2AFN ，此时2．....9分 ②当x 2时． 0 y ⅰ）当M在x轴上方时，由A1,0,Mx ,y ，可得k  0 ， 0 0 AM x 1 0 y 所以直线AM 的直线方程为y 0 x1，.....10分 x 1 0 1 1 3y  把x 代入得N , 0 ． 2  2 2x 0 1  3 y  0 所以k  2 x 0 1  y 0 ，则tanAFN  y 0 ．.....11分 NF 1 x 1 x 1 2 0 0 2 y 2 0 x 1 2x 1y y 由二倍角公式可得tan2AFN  1   y 0 0   2  x 0  0 12 y 0 0 2  2 0 x 0 ．.......13分 x 1 0 y 因为直线MF的斜率k  0 及tanAFM k ， MF x 2 MF 0 第 7 页 共 9 页 {#{QQABCQAt5ggw0ITACA4LAUFoCQgYsIAiLMgMwQCYKAZCCANABKA=}#}y 所以tanAFM  0 ，则tanAFM  tan2AFN ．.....14分 2x 0  π 因为AFM0,π,AFN0, ，  2 所以AFM 2AFN ．......15分 ⅱ）当M在x轴下方时，同理可得AFM 2AFN ． 故存在2，使得AFM 2AFN ．......17分 1lnx 19.（1）由题意求导可得 fx ......1分 x2 当x0,e时， fx0, f x在x0,e上单调递增， 当xe,时， fx0, f x在xe,上单调递减， 1 则 f(x)  f e .......2分 max e 当x1时， f x0，当x时， f x0，当x0时， f x. 所以 f x的大致图象如图所示. ...3分 1 当m 时， f x的图象与直线ym的交点个数为0； e 1 当m 或m0时， f x的图象与直线ym的交点个数为1； e 当0m 1 时， f x的图象与直线ym的交点个数为2.....5分 e 1 （2）x0, f x1 等价于alnxx1， x 令gxalnxx1，则不等式等价于gxalnxx10 ， a gx 1， x a 当a0，则gx 10,g x在0,上单调递减，g10， x x0,1时gx0不合题意；....7分 第 8 页 共 9 页 {#{QQABCQAt5ggw0ITACA4LAUFoCQgYsIAiLMgMwQCYKAZCCANABKA=}#}当a0，令gx0得x0,a，令gx0得xa,， 故gx的递增区间为0,a，递减区间为a,， 若0a1， Qg10，则当xa,1时，gx0，不合题意；...8分 若a1，gxalnxx1g10，适合题意；.....9分 若a1， Qg10，则当x1,a时，gx0，不合题意； 综上，a1.....10分 （3）由（2）知：当a1时，有lnxx10，当且仅当x1时等号成立 n n nN*时，ln  10，....11分 n1 n1 n n 1 ln  1 ， n1 n1 n1 n1 1 ln  ， n n1 1 lnn1lnn ， n1 ln2ln1 1 ,ln3ln2 1 ,ln4ln3 1 , ,lnn 1  ln n  1 ， 2 3 4 n 1 1 1 1 1 1 1 lnn1ln1    ，即lnn1   ， 2 3 n1 2 3 n1 1 1 1 1 n1e2  3  4  n1,nN*.......17分 第 9 页 共 9 页 {#{QQABCQAt5ggw0ITACA4LAUFoCQgYsIAiLMgMwQCYKAZCCANABKA=}#}