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2026年深圳市高三年级第二次调研考试
数学试题参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
=2
1.已知 ,则|z=
A.√2 B.√3 C. 2 D. √5
答案：A
2.已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2-3x+2≤0},则A∩B=
A.{-1} B.{1 C. {1,2; D. {0,2}
答案：C
3.(1+2x)3的展开式中x2的系数为
A.20 B. 40 C.60 D. 80
答案：B
解析：由于(1+2x)?的展开式的第3项为T?=C3(2x2=40x2,选B
4.设a,b∈R,则“3“>3”是“a3>b3”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案：C
5.在平行四边形ABCD中，AE=2ED,则BE=
B.一1B+C c.AB+2C
3AB+34C D.?AB+3AC
A.
答案：A
解析：由于BE=BA+AE=-AB+3AD=-AB+3(4C+CD)=-3AB+34C,
,选A.
A E D
B C
6.已知直线1,平面α,满足1aa,则下列命题一定正确的是
A.存在直线mca,使得l,m相交 B.存在直线mca,使得L//m
π-6
C.存在直线mca,使得1,m所成角为 D.存在直线mca,使得11m
数学试题参考答案及评分标准 第1页 共16页x=7
c.f(x+5)
)为偶函数 D. f(x)的图象关于直线 对称
答案：AD
10.某公司统计了去年1月份到5月份某种产品的销售额如下表：
销售额份方万元 1 2 3 4 5
1.8 2.2 1 2.8 3.1
根据表中数据，通过最小二乘法求得的经验回归方程为y=0.32x+1.54,则
B. t=2.6
A.变量与x正相关
C.样本数据Y的下四分位数为1.8 D.当x=8时，y的预测值为4.1万元
答案：ABD
解析：对于选项A,由于k=0.32>0,则变量与x正相关；
y=1.8+2.2+28+3.1+1=2.5,
对于选项B,由于x=3,则 ,则t=2.6;
5×1=1.25<2,
对于选项C,由于! 则样本数据的下四分位数为2.2;
对于选项D,当x=8时，yg=4.1,选ABD.
11.已知正三棱柱ABC-AB?C?的高为2,且有内切球0(球O位于三棱柱的内部且与各个面有且只有一
个公共点),若过A,B,O三点的平面截该三棱柱所得的截面为α,则
A. AB=3
B.平面OAB⊥平面OAB?
3
C.截面α的面积为
34
D.该三棱柱被截面α分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为
答案：BCD
解析：如图，取上底面，下底面的中心分别为0,Q,取AB,AB?的中点M,N,
B
N O
取MN中点I,于是四边形O?NMO?为矩形，则00?=00?=O1=1, G
A
片
于是O?M=1,CM=3,则AB=2√3,A错误；
ML
c
4
对于选项B,由于AB// AB,且ABC平面OAB,AB?α平面OAB,则AB//平面OAB,
又因为AB?c平面OAB?,平面OAB?∩平面OAB=1,则L// AB/IAB,
如图，连接OM,ON,由于OM⊥AB,ON⊥AB?,则∠MON为平面OAB与平面OAB?所成角平
面角，
由于ON=OM=√2,MN=2,则OM2+ON2=MN2,OM⊥ON,于是平面OAB⊥平面OAB?;
数学试题参考答案及评分标准 第3页 共16页答案：D
解析：对于选项A,若1//a,任意直线mca,1,m不相交，矛盾；
对于选项B,若1与α相交，不存在直线mca,使得LI//m,矛盾；
对于选项C,若l⊥a,任意直线mca,11m,矛盾；
对于选项D,若11a,任意直线mca,11m;
若I/la,存在直线nca,1//n,令m⊥n,则1⊥m;
若1与α相交，存在平面β,1⊥β,a∩β=n,令m/l n,则11m,D正确.
7.双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F?,○为坐标原点，点P是C
IFEHPF?=251oPl,
上一点， 则C的离心率为
A.1+√2 B.1+√3 C.3 D.1+√5
答案：A
解析 在△OPF?中，OF?=c,PF?=2c,OP=√5c,
则OF?2+PF2=OP2,则PF?⊥x轴，
于是PF=2√2c,由于 PF-PF?=2a,则2(√2-1)c=2a,
=&=√z-=√2+1; 万
8.已知函数f(x)=e-)+x2-x,则满足f(m)
,+∞)
当 时，函数y=x2-x单调递增，于是函数f(x)在( 上单调递增，
m+2-m-1,
m>-2
由f(m)-4, ,选B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知函数f(x)=cos(x+4),
,则
B. r(=
A.f(x)的最小正周期为2π
数学试题参考答案及评分标准 第2页 共16页B?
N oi
C
A.
M
占 c
A
对于选项C,如图，连接MO,交NC于H,过点H作AB的平行线交AC?,B?C?于E,F,
由于△HOO~△MO?O,则OH=C?H=O?N=1,则H为C?N上靠近C的三等分点，
EF= 4AB=23,
于是 由于MH⊥AB,M为AB中点，H为EF中点，
s=×12√3+25×2√2=836
则四边形ABFE为等腰梯形，且MH=2MO=2√2,于是
B?
N
f
C
A
片
L 占 c
A
对于选项D,由于正三角形△C?EF与正三角形△CAB相似，三条侧棱延长相交于一点，
v?=1×2×(3√5+5+√5)=263,
于是C?EF-CAB为正三棱台，
r?=283,
而三棱柱的体积V=2×3√3=6√3,于是)
14
则较小部分与较大部分的体积之比为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线y=3x+b是曲线y=2x+Inx的一条切线，则b=_____.
答案：-1
y=x+2, +2=3,
解析：设切点为(x?,2x?+Inx?),由于 ,则 ,则xo=1,
于是切点为(1,2),则2=3+b,b=-1.
13.已知等差数列{a)的前n项和为S。,首项a?=20,S?为S的最大值，则S??的值可以为
_______.(写出一个符合条件的值即可)
数学试题参考答案及评分标准 第4页 共16页四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a2=b2+c2+√2bc,sin B=二.
(1)求sin B的值
(2)若△ABC的面积为1,求△ABC的周长.
cosA=2+2-a2=-2,
解：(1)由余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,可得
4=4,得C=π-A-B=4-B,
且A∈(0,π),则
sinA siB sinc
由正弦定理：
sinB=sinA=√2sin(4-B)=cosB-sinB,即2sinB=cosB,
所以
sin2 B= ,
又因为sin2B+cos2B=1,解得；
sin B=-5
因为B∈(0,孕，,所以
A=m,于是c=二2b,
解法2 不妨设b=√2m,c=m,
由余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,
a2=2m2+m2+2m2,a=√5m,
nA sinB
由正弦定理，
sin B=bsinA-5
(2)解法1由(1),A=4π,sinB=5,sinC=sin(“-B)=sin”coSB-cos“”sinB=10
sinA siB sinc
由正弦定理，
b=sinB,c=sinA'
于是
Sam-=-bcsin A=25smnaAC=1,α2=sin Bsinc sim2 B=10,
a=√10,b=2,c=√2,CABc=2+√2+√10;
4=2π, sin AsinB=siC=sim2-B),
解法2由(1),
tmB=2,
√sinB=一—?(cosB-sin B),
则- 则
CAB=2m,则∠CH=4,
如图，延长BA,过点C作CH⊥BA,由
数学试题参考答案及评分标准 第6页 共16页g(x)=-1e-1+=x-De°-x-1),
由于
设g(x)=e?-x-1,g?(x)=e-1≥e-1>0,则g?(x)在(L,+∞0)上单调递增，
于是g(x)≥g(1)=e-2>0,则g'(x)≥0,
于是g(x)在(l,+o)上单调递增，于是g(x)min=g(1)=e-2,则a∈(-∞,e];
解法3由于f(x)=e?-x2+(2-a)x≥1,x≥1,
f(x)=e3-2x+2-a,f(x)=e-2≥e-2>0,
则f(x)在[1,+∞]上单调递增，由于f(1)=e-a,
若f(1)=e-a<0,a>e,由于f(x)在[1,+∞]上连续，则存在x∈(1,x?),f(x)<0,
于是f(x)在(1,x?)上单调递减，则f(x?)1,a<2,令g(x)=0,x=3-a>1,
令g(x)>0,1≤x<3-a,则g(x)在(1,3-a)上单调递增；
令g(x)<0,x>3-a,则g(x)在(3-a,+∞)上单调递减，
于是g(x)_=g(3-a)=4a.
,令t=3-a>1,下证：e≥t+1,t>1,
设h(t)=e-t-1,h(t)=e'-1>e-1>0,则(t)在(1,+∞)上单调递增，
4-a<1,
则h(t)>e-1-1>0,即 于是a<2不等式恒成立，
综上所述：a∈[-,e]:
17.(15分)
已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A,B是C上不同的两点(其中A在第一象限),
点M(-2,0).当AB与x轴垂直，且|AB=2p时，|AM=2√2.
(1)求C的方程：
(2)若Q为x轴上一点，且|AQHBQI(点Q与F不重合).从下面①②③中选取两个作为条
数学试题参考答案及评分标准 第8页 共16页ta B=H-,
于是设CH=AH=x,AC=√2x=b, ,则AB=x,BC=√5x,
Sae=×AB×CH=-1·x=√2.于是Cec=x+√2x+√5x=2+√2+√10:
则
c
H
B
4
16.(15分)
已知函数f(x)=e-x2+(2-a)x.
(1)若f(x)在x=1时取极值，求a的值和f(x)的极小值；
(2)若不等式f(x)≥1对任意x≥1恒成立，求a的取值范围.
解：(1)由于f(x)=e?-x2+(2-a)x,f(x)=e?-2x+(2-a),
则f(1)=e-2+2-a=0,则a=e,
于是f(x)=e-x2+(2-e)x,f(x)=e?-2x+(2-e),
令t(x)=e?-2x+(2-e),则t'(x)=e-2,
令t'(x)=0,则x=In2,
则f(x)在(-∞o,In2)上单调递减，所以f(x)在(-∞o,In2)上没有极小值，
又因为f(x)在(ln2,+o)上单调递增，且f(1)=0,
故f(x)在(ln2,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
于是f(x)在x=1处取极小值，极小值为f(1)=1.
(2)解法1由于不等式f(x)≥1对任意x≥1恒成立，则f(1)≥1,
即e-1+2-a≥1,所以a≤e,
下证：当a≤e时，e-x2+(2-a)x≥1,
由于a≤e,则e-x2+(2-a)x≥e-x2+(2-e)x,
令m(x)=e-x2+(2-e)x,由(1)可知，m(x)在[,+∞0]上单调递增，
于是m(x)≥m(1)=1,所以f(x)≥m(x)≥m(1)=1,
所以a∈[-∞,e].
a-2≤--x-,
解法2令f(x)=e-x2+(2-a)x≥1,x≥1,则，
设g(x)=—-x-,
则a-2≤g(x)min,x≥1,
数学试题参考答案及评分标准 第7页 共16页答案：260([260-270]均可)
解析：设a=20+(n-1)d,由S??最大，d<0,{a}单调递减，
S2a≥S a =20+25a≥0 4≤d≤-13
那么 ,则{ 于是
S?=+a+254×26=1340+25d)e[260.270]:
14.已知圆O:x2+y2=1,A是圆O上的一动点，B(2,0).若存在一个半径为r的圆与直线AB相
切于点B,且与圆x2+y2=16内切，则r的最小值为______.
答案：1.2
解析：如图，取圆的圆心为P,连接PB,PO,设点P(x,y),
由于|OP|=4-r=4-|PD|,则|PB|+|PO|=4(>OB|=2),
于是点P的轨迹是以0,B焦点的椭圆，从而椭圆的中心为(1,0),
a-22+景=Ka>b>),
于是设点P的轨迹方程为；
20=2
(-4)2+学=1,
其中 ,则b=√3,方程为： 如图，
由于直线AB始终与x2+y2=1有公共点A,
?>2
θ-2≤∠OBA,
不妨设PB的倾斜角为θ,如图， 才能取到最小值， 其中直线HB与圆
相切，
θ-2≤6,2<θ≤3,
由OH=1,OB=2, 二
要求|PB|的最小值，由焦半径公式：
P
x
数学试题参考答案及评分标准 第5页 共16页--
IQF=-cs,IFM=2,|BF=+2s?'
在△QFA与△BFM中，
取A,B中点P,连接PQ,
FP=-030,则2-cs-1-cose 1+ cose?(1+cos0X0-cs),
于是|
于是cosθ(1+cosθ)=1,
且
--,
且∠QFA=∠BFM,则△QFA~△BFM,于是∠MBF=∠AQF=2,,即MB⊥AB;
①③→②
解法1:由题，AB与x轴不垂直，不妨设点A(x,y.),B(x?,y?),Q(m,0),x?≠x?,
则
:y-=x+y?(x-x),
于是直线AB: 即(y?+y?)y-y?y?=4x,
若A,B,F三点共线，则yy?=-4,
取A,B中点P,连接PQ,
由于
由|PA=PB|,PQ⊥AB,且MB⊥AB,则PQ// BM,kpo=ka,
4+y+3)-8m=4+4
,且yy?=-4,
则yy?2+4y?+4y?+y23=y2y?+y3-8my?,即8y?=-8my?,
m=-星=x,
则 则AQlx轴，AP//y轴；
解法2:由题，AB与X轴不垂直，不妨设直线AB:x=ty+1,点A(x,y),B(x?,y?),Q(m,0),
x?≠x?,联立直线AB与C:
=41,y2-40-4=0,
取A,B中点P,连接PQ,
数学试题参考答案及评分标准 第10页 共16页件，证明另外一个成立：
①A,B,F三点共线；②AQ//y轴；③MB⊥AB;
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
x=2,
解：(1)由题，A,B关于x轴对称，令y=P,则： ,于是直线AB过焦点F,
在Rt△AFM中，有|AM2=|FMP2+|AF2,可得：|AM=√2p=2√2,
则p=2,于是C的方程为：y2=4x;
(2)①②→③
解法1:由题意知，AB与x轴不垂直，不妨设点A(x,y),B(x?,y?2),Q(x,,0),x≠x?,
一一一二+?
则
于是直线AB:y-=v+y(x-x),
即(y?+y?)y-yy?=4x,
若A,B,F三点共线，(y?+y?)×0-yy?=4,则yy?=-4,
取A,B中点P,连接PQ,由|QA=QB|,则PQ⊥AB,
而
则kpo=kav,PQ// BM,则MB⊥AB;
解法2:由题，AB与x轴不垂直，不妨设直线AB:x=ty+1,点A(x,y),B(x?,?),Q(x?,0),
x≠x?,联立直线AB与C:
x=4,y2-4y-4=0,
取A,B中点P,连接PQ,由|QAHQB|,则PQ⊥AB,
而
则kro=ka,PQ// BM,则MB⊥AB;
.
解法3:如图，设C的准线为I:x=-1,过点A,B分别作1的垂线，垂
足为A,B?,过点F作FH⊥AA,
设直线AB的倾斜角为θ,于是|AF=AA|,则|AF|=p+|AF|cosθ,
AF=1-2os BFI=1-c0s'
即| ,同理，
数学试题参考答案及评分标准 第9页 共16页-
由于
由|PA=PB|,PQ⊥AB,且MB⊥AB,则PQ// BM,kpo=ka,
(4+y?)-8m=y2+4'
,且y?y?=-4,
则yy?2+4y?+4y?+y3=y2y?+y?3-8my?,即8y?=-8my?,
m=-—=4=x,
则 则AQ⊥x轴，AP//y轴；
解法3:如图，设C的准线为I:x=-1,过点A,B分别作1的垂线，垂足为A,B?,
设直线AB的倾斜角为θ,于是|AFHAA|,则|AF|=p+|AF|cosθ,
4F=-2oe BF=-2s?'
即 ,同理，
在△BFM中，IFM=2,|BFI=+2S
取A,B中点P,连接PQ,
IFQ-42B -IBF=--cose 1+cos? (1+coS89UL-c,
ose=MFI IPeI 1+cs?
于是 ,则cosθ·(1+cosθ)=1,
F2l=+cs0N0-coso(+cos 9)=2-08
则I
IOF=-cos?,AF=--20,IFM=2,|BF=+20s?'
在△QFA与△BFM中，
且∠QFA=∠BFM,则△QFA~△BFM,于是∠MBF=∠AQF=2,,即AQ1x轴，AP/ly轴；
②③=①
解法1:由题，AB与x轴不垂直，不妨设点A(x,y.),B(x?,y?),Q(x,,0),x≠x?,
-2一x+,
则
AB:y-=v+y(x-x;),
于是直线 即(y?+y?)y-Y?y?=4x,
取A,B中点P,连接PQ,由|QAHQB|,则PQ⊥AB,
数学试题参考答案及评分标准 第11页 共16页所以，在等腰三角形PAA'中，AA'=3√3,即L的长度为3√3.
(2)如图，在底面圆O中，过点O作OE⊥AB交圆O于点E,由于PO1平面ABE,则OA,OE,
OP两两垂直，如图，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OE所在直线为y轴，OP所在直线
为z轴，建立空间直角坐标系，
共
P
7 本
库
/
于是A1,0,0),P(0,0,2√2),Q(cosθ,sinθ,0),设M(x,y,),
则PM=(x,y,z-2√2),PQ=(cosθ,sinθ,-2√2),
320s6953-6n?2-5-2-5cos),
于是 ,则
ZM=3<---5)5-in8 2-5-s?),
于是
于是令n=(2√2,0,3),则AM·n=0;
=。-
(3)解法1由(2)可知，n=(2√2,0,3)是平面α的一个法向量，
设平面MPO的法向量为π=(x,y,z),
OM=(53-cs?'3-cins?2-3-20scos),
由于OP=(0,0,2√2),
则
令x=-sinθ,y=cosθ,z=0,
于是平面MPO的一个法向量为π=(-sinθ,cosθ,0),
设平面α与平面MPO所成角为α,
cce-112√21701e10.2-54j.
于是
数学试题参考答案及评分标准 第13页 共16页-一
一一
而
由PQ⊥AB,MB⊥AB,则PQ//BM,kpo=kau,
,--4+4
,于是yy?=-4,
则直线AB:(y?+y?)y+4=4x恒过定点F,即A,B,F三点共线.
0
解法2:由题，AB与x轴不垂直，不妨设直线AB:x=ty+m,点
A(x,y),B(x?,y?),Q(x,,0),x?≠x?,联立直线AB与C:
2”,-=.
取A,B中点Q,连接PQ,由|Q4HQB|,则PQ⊥AB,
而A
由PQ⊥AB,MB⊥AB,则PQ// BM,kro=ka,
?-一-4+4
于是yy?=-4=-4m,m=1,此时△=16t2+16>0,
则直线AB:x=ty+1恒过定点F,即A,B,F三点共线.
18.(17分)
如图，已知圆锥PO的底面直径AB=2,其中0为底面圆心，母线PA=3,动点M从A点出发，
在圆锥的侧面上绕轴PO一周后回到A点，其轨迹为L.
(1)求L长度的最小值；
(2)若点Q在圆O上，且7PM=3-2 PO(θ是AQ所对的圆心角，O≤θ≤2π),
证明：存在非零向量n,使得AM⊥n恒成立；
(3)在(2)的条件下，可知L是平面曲线，记L所在平面为α,求平面MPO与α夹角余弦值
P
的取值范围.
解：(1)如图，沿圆锥PO的母线PA,将圆锥的侧面展开，得侧面展
开图扇形PAA',其中B为AA'的中点，A'与A在圆锥中是同一点.
因为轨迹L在圆锥的侧面上，所以，在侧面展开图中，轨迹L是扇形
PAA'上连接A'与A两点的曲线.
L,
又L是最短路径，而平面上连接两点之中，线段最短，所以，轨迹L是 M
侧面展开图扇形PAA'上连接A'与A两点的线段，即线段AA'.
∠APA'=3nd.
由于AB=2,所以AA'的长度为2π,又PA=3,所以 A B
0
第18题图
数学试题参考答案及评分标准 第12页 共16页ro.2134
即平面α与平面MPO所成角的余弦值的取值范围为|
解法2由(2)可知，平面α的法向量n=(2√2,0,3),
由于Q在底面圆周上运动，
则平面POM 即平面POQ的法向量可以是底面上任意方向的向量，
如图，在平面PAB内，过点O作ON⊥AF,则ON //n,
LNOA≤θ≤2,
设平面MPO与平面α所成的角为θ,则 P
cos∠NOA=2134,
tan ∠NOA=232'
易知1 则
cos8e10.2-34,
综上，
F
ro.2-34.
M
5
即平面α与平面MPO所成角的余弦值的取值范围为
B
A
Q
19.(17分)
一个微生物在如图所示3×3方格的培养皿中随机移动，每次均以相等概率移动到相邻的方格.方
格C是初始位置，A是营养丰富的角落，每次到达方格A时，微生物进行一次繁殖.记该微生物第n
次繁殖时所经过的总移动步数为X。(neN).
A B A
(1)求P(X?=2),P(X?=4),P(X?=6);
(2)求E(X,); B C B
(3)求E(X). A B A
参考公式：1.若0
