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数学试题答案与评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.B 2.A 3.B 4.D 5.A 6.D 7.C 8.C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.BD 10.BCD 11.ABD
11. 【解析】 即 在 上单调递减， ，在
上单调递增， ， ； 即 在
上单调递减， ，在 上单调递增， ， ；从而有
， 故A正确；结合图象可知， ，
，结合单调性可知， ，即 故B正确；同理可得 ，
由 知 不可能构成等比数列，故C错误；由前面分析可知
，故D正确.故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13.1 14.
14.【解析】圆锥方程即为 ，考虑到对称性，不妨设截面与 轴垂直，从而双曲线上每
点的纵坐标为常数，不妨设为 ，则双曲线方程即为 ，易得离心率为 .
四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
C
z 1
15.(1)证：连A C,交AC 于点E,连DE.因为正三棱柱各棱长均相等，
1 1
所以侧面AA C C为正方形，E为A C中点,又D为BC中点， A
1 1 1 B 1
1
所以DE∥A B,而DE 平面ADC ，A B 平面ADC ，
1 1 1 1
E
∴A B∥平面ADC . ………………6分
1 1
(2)依题意有AD∥BC,以D为原点以DB,DA分别为轴轴建立如图直角坐标系， C
设正三棱柱各棱长为2，则A(0, ,0),B(1,0,0),B 1 (1,0,2),C 1 (－1,0,2), B D A
x
y
1………………8分
设平面ADB 的法向量为m 则 取 ，
1
设平面ADC 的法向量为n 则 取 ，
1
令二面角B -AD-C 为θ，
1 1
故平面ADB 与平面AD-C 的夹角余弦值为 . ………………13分
1 1
16.(1)依题意 焦点坐标为
椭圆方程为 ………………5分
(2)设 联立 得
由 得 ………………7分
………………9分
点P到直线AB的距离为 ………………10分
………………12分
设 易知f(t)在(－2,－1)上单调递增，
在(－1,0)上单调递减， △PAB面积的最大值为 ………………15分
17.解(1)依题意有 即
又由余弦定理有
又A为△ABC中内角 ………………5分
2又 而
因为△ABC的面积为 ，
在△ABC中， ………………10分
(2)由(1)知 .
设△ABC周长为L,则 令t=c－4,
当且仅当 时周长取最小值.
故当△ABC周长的最小时 . ………………15分
18.(1)
当a≤2时， f(x)在 上单调递增， 恒成立；
当a>2时，令 得 则
当 时， f(x)在 上单调递减， ，不合题意.
a的取值范围为 ………………5分
(2)(i)
若g(x)有2个零点，即方程 有2个根.
令 h(x)在 上单调递增，在 上单调递减，且
解得 ………………10分
(ii)由(i)知
即
欲证x x e2，即证
1 2>
3令
p(t)在 上单调递增, 即证x x e2. ………………17分
1 2>
19.(1)设摸到红球的个数为 ,依题意有 ………………3分
(2)(i)依题意
第 5次时结束，即第 4，5次必须是红球，第 3次为黄球，前 2次至少一次黄球，其概率为
………………7分
(ii)若恰好第n+3次时结束，则第n+1次为黄球，第n+2,n+3次为红球，且第n次没有结束，记第n次摸球没
有结束的概率为Q ,即 ………………9分
n
又第n+5次时结束可分为：当第n+1次为黄球时，则第n+2次为黄球红球均可以，之后连三次为黄球、红球、
红球，第n+5次结束，
当第n+1次为红球（且摸求没有结束）时，则第n+2次为黄球，之后连三次为黄球、红球、红球，第n+5次
结束，
综上
经验证：P ,P ,P ,P ,P 满足上式，
1 2 3 4 5
N*. ………………12分
令 得
解得 或 ………………13分
或
………………14分
又
……① 或 ……②
①－②得
当n=1,2时也成立， ，n∈N*. ………………17分
注：本题结论有许多不同的等价表达式，化简结果相同均给满分.
4
