数学试题_2024-2026高三（6-6月题库）_2026年04月高三试卷_260407江苏南京第六十六中学2026届高三四月第一次检测（二模）_数学

2026届高三四月第一次检测（二模） 一、单选题（每小题8分，共40分） 1．已知集合U 1,2,3,4，A1,2，B1,4，则ð AB（ ） U A．1 B．3 C．1,2,4 D．2,3,4 z 2．若复数z满足 i，其中i为虚数单位，则z在复平面上所对应的点在（ ） 1i A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限  3．已知四边形ABCD为正方形，P为线段AC上一点（不包括端点A，C），则 AP（ ） A．   A  B    A  D   ，0,1 B．   A  B    B  C   ，  0, 2  C．   A  B    A  D   ，0,1 D．   A  B    B  C   ，  0, 2  4．新能源汽车具有零排放、能源利用率高等特点，近年来备受青睐.某新能源汽车制造企业 为调查其旗下A型号新能源汽车的耗电量（单位：kW·h/100km）情况，随机调查得到了1000 个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量~ N  13,2 ，若P12140.7，则样本 中耗电量小于12kW·h/100km的汽车大约有（ ） A．700辆 B．350辆 C．300辆 D．150辆 5．双曲线C： x2  y2 1的一个焦点坐标为3,0，则双曲线C的渐近线方程为（ ） a2 3 1 1 2 3 A．y x B．y x C．y x D．y x 2 3 2 3 6．已知直线y2x4与抛物线y2 2px（p0）交于A,B两点，且OAOB（O为坐标 原点），则 p（ ） A．1 B．2 C．4 D．不确定 x2 y2 7．设F,F 分别是椭圆C:  1ab0的左右焦点，过椭圆C上一点P作切线PT 交 1 2 a2 b2 x轴于点T ，若F PT 45,FTP15，则该椭圆的离心率是（ ） 2 2 3 1 A． 31 B． C． 21 D． 3 2 8．如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方 向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这 样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），成绩的 频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A．a的值为0.015 B．估计这40名学生数学考试成绩的众数为75 C．估计总体中成绩落在 80,90内的学生人数105 D．估计这40名学生数学考试成绩的第80百分位数约为85 10．设函数 f xx1xaxb，其中a1b.则下列说法正确的是（ ） A． f x可能为奇函数 B． f x既有极大值也有极小值 C．若 f x f 2x0恒成立，则ab2 D．若x,x 是方程 fx0的两个不同实根，且 f x  f x 0，则ab2 1 2 1 2 11．类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如下左图，由不共面的 三条射线PA,PB,PC构成的图形称为三面角PABC，记APC,BPC,APB，二面角APCB的大小为，则coscoscossinsincos.在矩形ABCD中， AB1,BC 2,M 为线段AD上动点，ABM 绕BM 翻折至PBM ，记二面角PBM C的 平面角为，则下列说法正确的是（ ） π A．当 时，cosPBCcosPBMcosCBM 2 π B．当 时，且M 为AD中点，则PC PB 2 C．不存在与M ，使得PBCPBM CBM π D．当 时，则PC最小值为 2 3 三、填空题（每小题5分，共15分） n 1  12．已知  2x 的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则n__________. x  13．对满足i j的任意正整数对i, j，定义函数 f i, j如下： f 1, j1， i1 f i1, jji f i, j，则 f i,4________（结果用含i的式子表示）； j   j2 f i, j  _________（结果用含j的式子表示）． i1 14．已知集合M {1,2,3,4,5}， f(x)是M M 的函数，且满足 f(f(x))1，则这样的函数 f(x)的个数为____________． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15．一般地，我们将棣莫弗定理总结成下面的公式：(cosisin)ncosnisin n，设 π π zcos isin ． 3 3 (1)证明： z z  z z ； 1 2 1 2a (2)若 z R，求a的值； z (3)证明： z2025z2026  z2026 z2027 ． 16．悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的，他 认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也应该是 一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线 ex ex 函数，它在一定程度上和三角函数性质相当．其函数表达式为 f(x) ，相应的双曲 2 正弦函数的表达式为 f(x)． (1)求[f(x)]2f(x) 2的值：   (2)证明： （i） f() f()f() f()f()； （ii） f() f()f() f ()f () ；   （iii） f() f()2f   f  ．  2   2  n (3)写出S f (k)的最简表达式（结果用含 fx,fy,x,y  x,y N* 的式子表达）． n k1 17．已知MN是异面直线l，m的公垂线段，且Ml，Nm，MN 1，直线l上有两个不同 的动点A，A ，直线m上有两个不同的动点B，B ． 1 2 1 2 (1)若l m， AM 2，求二面角A mM 的余弦值； 1 1 (2)若P，P，O分别为AB，A B，MN的中点．是否存在点A，A，B，B 使得 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 OA OB，OA OB ，OP OP 同时成立？若存在，找出这样的点，若不存在请说明理由． 1 1 2 2 1 2 18．给定实数r，甲、乙两人玩如下的游戏．首先在黑板上写出一个含有n个绝对值的算式： T       ，其中每个绝对值里都有两个空格“□”，所有的空格“□”都尚未填 数．每一回合，先由甲选取区间0,1中的一个实数（不同的回合可以选取相同的数），再由 乙将其填在某个空格之中．这样2n个回合之后所有的空格均填了数，T 的值也随之确定．若 T r，则甲胜，否则乙胜． (1)当n2时，求所有实数r，使得甲有获胜策略，并说明理由； (2)当n3时，求所有实数r，使得甲有获胜策略，并说明理由．19．拉格朗日（Lagrange）中值定理，是微分学中的基本定理之一，反映了可导函数在闭区 间上整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系.定理的表述如下：若函数 f x在  a,b 上连续，且其导函数为 fx，那么在开区间a,b内至少存在一点，使得 f b f a f .已知函数 f xxlnx ba  1  (1)求函数 f x在  ,e2  上的值域； e2  f b fa (2)已知0ab, f  ，求证： ba （i）2ab； ab k （ii）若对满足0ab3a条件的a,b，不等式 f a f b2f   ba恒成立，  2  2 求整数k的最小值.