资阳市高中2023级高考适应性考试数学答案_2024-2026高三（6-6月题库）_2026年04月高三试卷_260417四川省资阳市高中2023级高考适应性考试（全科）

高中 2023级高考适应性考试 数学参考答案和评分意见 评分说明： 内 查 考 要 主 的 题 试 据 根 ， 可 考 ， 参 同 供 不 法 答 解 解 种 本 一 与 了 法 出 解 给 的 答 生 解 考 本 果 1． 如 容比照评分参考制定相应的评分细则。 和 容 ， 内 时 的 误 题 错 该 现 变 出 改 步 未 一 答 某 解 在 的 ， 答 分 题 解 部 算 的 继 计 生 后 对 考 果 2． 当 如 ； 半 一 ， 的 分 数 给 分 的 得 分 应 部 答 继 解 后 确 定 正 决 分 度 部 程 该 的 过 响 超 ， 影 得 度 视 不 果 难 可 但 如 ， 后继部分的解答有较严重的错误 就不再给分。 表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 ， 3．解答右端所注分数 4．只给整数分。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1．B 2．C 3．A 4．A 5．B 6．C 7．D 8．D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分。 9．ACD 10．BD 11．ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 7 12．-70 13．2 14． 3 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15．(13分) π 由 （1） asinB=bcosA+ 6  及正弦定理， π 得sinAsinB=sinBcosA+ 6  ，2分 所以 因为B∈(0，π)， sinB≠0， π 所以sinA=cosA+ 6  3 1 = cosA- sinA，4分 2 2 3 3 即 sinA= cosA， 2 2 3 得tanA= ， 6分 3 因为A∈0，π  π 所以 ， A= ．8分 6 π 将 （2） a=2，b= 3c，A= 代入a2=b2+c2-2bccosA， 6 3 得4=3c2+c2-2 3c2⋅ ，9分 2 则 解得c2=4， c=2，11分 1 3 π 所以△ABC的面积S= bcsinA= c2⋅sin = 3． 13分 2 2 6 数学答案 第1页16．(15分) （1）证明： 因为AD⊥平面PAB，AD∥BC， 所以BC⊥平面PAB，则AB⊥BC．2分 又AB=BC，则△ABC为等腰直角三角形， 所以∠BAC=45°，则∠DAC=45°．3分 又得AC= 2AB，由已知AD=2AB，于是得AD= 2AC． π 在△ACD中，CD2=AC2+AD2-2AC·ADcos =AC2，即CD=AC． 4 所以∠ADC=45°，则∠ACD=90°，即CD⊥AC．5分 又因为CD⊥AP，且AC∩AP=A， 所以CD⊥平面PAC． 6分 （2）由已知，AD⊥平面PAB，可得AP⊥AD，AD⊥AB，又由（1）知，AP⊥CD， 则AP⊥平面ABCD，从而AP⊥AB，于是直线AB，AD，AP两两垂直． 如图，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直 角坐标系． z P F E A D y B C x 不妨设AB=2，于是BC=2，AP=2，AD=4．8分 则A0，0，0  ，B2，0，0  ，C2，2，0  ，D0，4，0  ，P0，0，2  ，于是E0，2，1  2 4 ，F ，0， 3 3  ．  所以AE=0，2，1   ，AC=2，2，0   2 4 ，AF= ，0， 3 3  ．9分 设平面ACE和平面ACF的法向量分别为m=x，y，z  ，n=a，b，c  ．  AC⋅m=0，  2x+2y=0， 由  得 令y=-1，得x=1，z=2， AE⋅m=0， 2y+z=0， 则平面ACE的一个法向量m=1，-1，2  ．11分  AC⋅n=0，  2a+2b=0， 由  得 2 4 令c=-1，得a=2，得b=-2， AF⋅n=0， a+ c=0， 3 3 则平面ACF的一个法向量为n=2，-2，-1  ．13分 设平面ACE与平面ACF夹角为θ， 则cos θ= m，n  cos  |m⋅n| |2+2-2| 6 = = = ． |m|⋅|n| 6∙ 9 9 数学答案 第2页6 所以，平面ACE与平面ACF夹角的余弦值为 ．15分 9 17．(15分) （1）由f(x)=x(x-a)2-x=x3-2ax2+a2x-x，得f(x)=3x2-4ax+a2-1． 2分 因为函数f(x)在x=0处有极大值， 所以f(0)=a2-1=0，得a=±1． 3分 ①若a=1，则f(x)=x3-2x2，f(x)=3x2-4x=x(3x-4)， 4 4 可知，当x<0时，f(x)>0；当0 时，f(x)>0， 3 3 则x=0时，f(x)取得极大值， 故a=1符合题意．5分 ②若a=-1，则f(x)=x3+2x2，f(x)=3x2+4x=x(3x+4)， 4 4 可知，当x<- 时，f(x)>0；当- 0时，f(x)>0， 3 3 则x=0时，f(x)取得极小值， 故a=-1不符合题意，舍去． 综上所述，f(x)在x=0处有极大值时，a的值为1．7分 f(x) x(x-1)2-x x3-2x2 （2）由（1）可知，要证 <1，即证 <1，只需证 <1．8分 ex ex ex x3-2x2 令g(x)= ， ex (3x2-4x)ex-(x3-2x2)ex -x3+5x2-4x -x(x-1)(x-4) 则g(x)= = = ．10分 e2x ex ex 当x<0时，g(x)>0，g(x)单调递增； 当00，g(x)单调递增； 当x>4时，g(x)<0，g(x)单调递减， 故当x=0时，g(x)取极大值，当x=1时，g(x)取极小值，当x=4时，g(x)取极大值． 13分 故只需证明g(0)<1，且g(4)<1即可． 当x=0时，g(x)极大值g(0)=0<1； 32 32 当x=4时，g(x)极大值g(4)= < <1， e4 2.54 x3-2x2 所以g(x)<1，即 <1成立， ex f(x) 故不等式 <1得证．15分 ex 18．(17分) （1）方法1： 1 每次传球时，甲等可能地将球传给乙、丙，则甲传给乙、丙的概率均为 ． 2 第1次传递后，球不在甲手中，故P =0． 1 数学答案 第3页第2次传递后球在甲手中，有以下两种情形： 1 2 1 第1次甲将球传给乙，第2次传递时乙将球传回给甲，概率为 × = ； 2 3 3 1 2 1 第1次甲将球传给丙，第2次传递时丙将球传回给甲，概率为 × = ． 2 3 3 1 1 2 所以，第2次传递后球在甲手中的概率为P = + = ．3分 2 3 3 3 第3次传递后球在甲手中，则第2次传递后球在乙、丙手中，即不在甲手中，第3次传递中 2 乙、丙将球传给甲，可得P =1- 3 3  2 2 = ．6分 3 9 方法2： 第1次传球后，球不在甲手中，第2次传递后球回到甲手中， 则第2次传递后球在甲手中的概率为P 2 =1-0  2 2 × = ． 3 3 第3次传递后球在甲手中，则第2次传递后球在乙、丙手中，即不在甲手中，第3次传递中 2 乙、丙将球传给甲，可得P =1- 3 3  2 2 × = ．6分 3 9  （2）设A =“第n次传递后球在甲手中”，则A =A A +A A ． n n+1 n n+1 n n+1 由题意，PA n+1A n   =0，PA A n+1 n  2 = ， 3 由全概率公式，得PA n+1  =PA n  PA n+1A n   +PA n   PA A n+1 n  ， 所以，P n+1 =P n ×0+1-P n  2 2 2 × =- P + ，8分 3 3 n 3 2 2 2 则P - =- P- n+1 5 3 n 5  ，且P =0， 1 2 所以，数列  P n - 5  2 2 2 是以P - =- 为首项，以- 为公比的等比数列， 1 5 5 3 2 2 2 则P - =- ×- n 5 5 3  n-1 ， 2 2 所以，第n次传递后球在甲手中的概率为P = 1-- n 5 3   n-1    .12分  1，第i次传递后球在甲手中， （3）设随机变量X i = 0，第i次传递后球不在甲手中 （i=1，2，⋯，n）． 则X i 服从两点分布，PX i =1  2 2 =P= 1-- i 5 3   i-1    n ，且Y=X.14分 i i=1 由题意，得EY  n =EX i i=1  n 2 2 2 = - - 5 5 3 i=1   i-1     2n 2 n 2 = - - 5 5 3 i=1  i-1  2 1-- 2n 2 3 = - × 5 5  n 2 1-- 3  2n 6 2 = - 1-- 5 25 3  n     .17分 数学答案 第4页19．(17分) （1）若选条件①： 当x=2时，y2=4p，因为p>1，所以y2>4， 所以点M2，2  在抛物线开口内．2分 FN  p 等于点N到准线x=- 的距离d， 2 p 所以|MN|+|FN|=|MN|+d≥2+ ，当且仅当MN垂直于准线时取等号， 2 p 所以2+ =3，解得p=2． 2 所以，抛物线E的方程y2=4x.4分 若选条件②： p 设直线l的方程为x=ty+ (t≠0)，点P(x ，y )，Q(x ，y )． 2 P P Q Q p x=ty+ ， 联立方程组 2 消去x，整理得y2-2pty-p2=0， y2=2px， 所以y +y =2pt，y y =-p2． 2分 P Q P Q 1 由|PF|=2|QF|，可得y =-2y ，则有t2= ． P Q 8 9 9 由|PQ|=p+x +x =p+t(y +y )+p= ，即2p+2pt2= ，解得p=2． P Q P Q 2 2 所以，抛物线E的方程为y2=4x．4分 （2）（ⅰ）F不能为△OCD的重心，理由如下：5分 如果F是△OCD的重心，则直线OF与CD的交点H为CD的中点， 3 结合点F(1，0)，可得H的坐标为H（ ，0），可得直线CD的斜率为4， 2 直线CD的方程为y=4x-6，6分  y=4x-6， 方法1：联立方程组 y2=4x， 消去x，得y2-y-6=0，设点C(x 1 ，y 1 )，D(x 2 ，y 2 )． y +y 1 则 1 2 = ，与H的纵坐标0不符， 2 2 所以F不能成为△OCD的重心．8分  y=4x-6， 方法2：联立方程组 y2=4x， 消去y，得4x2-13x+9=0，设点C(x 1 ，y 1 )，D(x 2 ，y 2 )． x +x 13 3 所以 1 2 = ，与H的横坐标 不符，所以F不能成为△OCD的重心.) 8分 2 8 2 （ⅱ）存在点G满足题目条件．理由如下：9分 先取过M的一条特殊直线（使得M为CD的中点）， 由   y y C 2 2 = = 4 4 x x C ， ， 得（y C +y D ）（y C -y D ）=4（x C -x D ）． D D y -y 4 故直线CD的斜率k = C D = =1(其中y +y =2y =4)． CD x -x y +y C D M C D C D 所以先取特殊直线y=x，这条直线使得M为CD的中点． 数学答案 第5页为使∠MGC=∠MGD，作直线MG，使得MG⊥CD，MG与直线y=x+2相交于G，  y=-x+4， 直线MG方程为y=-x+4，由 即得G(1，3)． 11分 y=x+2， 下证点G1，3  符合题意，如图， y l y=x+2 G D M O F x C 设直线l的方程为：x=m(y-2)+2=my-2m+2，点C(x ，y )，D(x ，y )． 1 1 2 2  x=my-2m+2， 联立方程组 消去x，得y2-4my+8m-8=0， y2=4x， 所以y +y =4m，y y =8m-8．12分 1 2 1 2 ①当直线GC和直线GD的斜率都存在时， 设直线GC：y-3=k 1x-1  ，直线GD：y-3=k 2x-1  ，其中k ≠k ，k k ≠0， 1 2 1 2 要证∠MGC=∠MGD，即证点M到直线GC，GD的距离相等， 记点M到直线GC，GD的距离分别为d = k 1 +1 1  ，d = k 2 +1 2 1+k2 1  ． 1+k2 2 所以d =d ⇔ k 1 +1 1 2  = k 2 +1 1+k2 1  ⇔k k2+k =k2k +k ⇔k k =1，即证k k =1． 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1+k2 2 14分 y -3 y -3 y -3 y -3 因为k k = 1 ∙ 2 = 1 · 2 1 2 x -1 x -1 m(y -2)+2-1 m(y -2)+2-1 1 2 1 2 y -3 y -3 = 1 · 2 m(y -2)+1 m(y -2)+1 1 2 = y 1 y 2 -3y 1 +y 2  +9 m2y 1 y 2 +(1-2m)my 1 +y 2  +(1-2m)2 8m-8-12m+9 = m2(8m-8)+4(1-2m)m2+(1-2m)2 1-4m = =1成立． 16分 1-4m ②当直线GC和直线GD的仅有一条的斜率不存在时，不妨设直线GC的斜率不存在时， 1 9 此时C(1，-2)，l的方程为y=4x-6，可知m= ，D( ，3)，又G(1，3)，从而GD⏊GC， 4 4 2-3 直线GM的斜率k = =-1．此时∠MGC=∠MGD=45°，结论仍然成立． GM 2-1 综上所述，在直线y=x+2上是存在定点G(1，3)，使得∠MGC=∠MGD．17分 数学答案 第6页