余姚中学2024学年第二学期期中检测高一数学学科答案(有改动)_2025年05月试卷_0501浙江省余姚中学2024-2025学年高一下学期期中考试

余姚中学 2024 学年第二学期期中检测高一数学学科答案 一、单选题 1．B 2．A 3．A 4．C 5．D 6．D 7．D 8．B 二、多选题 9．BC 10．ABC 11．ABD 三、填空题 12．4 13．10 14．200 [解析] 根据题意，在Rt ABC中，∠BAC=60°，BC=300 m，∴AC= = =200 (m). ° 𝐵𝐵𝐵𝐵 300 在 ACQ中，∠AQC=45△°+15°=60°，∠QAC=180°-45°-60°=75°，∴∠ siQn6C0A=1√380°-∠√AQ3C-∠QAC=45°，由正 2 弦△定理，得 = ，则AQ= =200 (m). 在Rt APQ中，PQ=AQsin 45°=200 × =200(m). √2 ° ° 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐵𝐵 200√3×2 √2 四、解答题s in45 sin60 √3 √2 △ √2 2 2 15． 解：(1)由题可得z+1=zi，所以z= = - - = - -， ——4分 - (- )(- -) 1 1i 1i i1 1+i 1i 2 则|z|= (- ) (- ) = . ——6分 1 2 1 2 √2 � 2 + 2 2 (2)原式=[ ( ) ]6+ ( )( ) =i6+ - =−1+i． ——13分 2 3 1+i 3+2i 2+3i 6+4i+9i6 16． 2 2 2 + 2 13 bsinA 2 解：(1)sinB= = ， ——2分 a 2 π 且a>b，∴B= ， ——4分 4 6+ 2 ∴sinC =sin(A+B)= ； ——7分 4 (2) a2 =b2 +c2 −bc=18 ①， ——9分 3 1 S =S +S ，可得 bc= ⋅ 3(b+c)，即bc=b+c ②， ——11分 ∆ABC ∆ABD ∆ACD 4 4 由①②得，bc=6， ——13分 3 3 所以S = ． ——15分 ∆ABC 2 17． 解：(1)连接AC ，设AC 与AC交点为E，连接DE， 1 1 1 四边形ACCA为正方形，∴E 是AC 的中点， 1 1 1 D是AB的中点，∴DE//BC. ——3分 1 又BC ⊂/ 平面 ADC，DE ⊂平面 ADC， 1 1 1 ∴BC // 平面ADC; ——7分 1 1 (2)DE//BC ， 1 ∴∠ADE是异面直线AD与BC 所成的角， ——10分 1 1 1 1 直三棱锥各棱长均为4，∴BC =4 2，DE= BC =2 2. 1 2 11 AD=2，AA =4，∴AD=2 5，AE= AC =2 2， 1 1 1 2 1 AD2 +DE2 −AE2 20+8−8 10 ∆ADE中，由余弦定理得cos∠ADE= 1 1 = = ， ——13分 1 1 2⋅AD⋅DE 2×2 5×2 2 4 1 6 6 ∴sin∠ADE= ， ∴异面直线AD与BC 所成角的正弦值是 ——15分 1 4 1 1 4 18． 解：(1) 由题意可得，等腰梯形ABCD中，AB=2，BC =4，∠ABC =60，所以AB⊥ AC， 平面ADEF ⊥平面ABCD， 平面ADEF平面ABCD= AD，AF ⊥ AD， ∴AF ⊥平面ABCD，∴AF ⊥ AC ， 又AB⊥ AC，AFAB= A，∴AC ⊥平面ABF； ∴平面ABF ⊥平面PAC； ——6分 (2)过A作AO⊥BC于点O，连接FO， AF ⊥平面ABCD，AF ⊥BC， 又AO⊥BC ，AFAO= A，∴BC ⊥平面AFO，∴BC ⊥FO， ∴∠FOA是二面角A−BC−F的平面角． AF 2 在直角∆AFO中，AF =2，AO= 3，得tan∠FOA= = ， AO 3 21 21 ∴cos∠FOA= ，二面角A−BC−F的平面角的余弦值为 ； ——11分 7 7 (3)BC ⊥平面AFO，∴平面AFO⊥平面BCE， 过A作AG⊥FO于点G，连接PG， 平面AFO⊥平面BCE，平面AFO平面BCE=FO，AG⊥FO，AG⊥平面BCE， AG 3 21 ∴∠APG是直线AP与平面BCE所成角，sin∠APG= = ， AP 14 2 3 4 在直角∆AFO中，AF =2，AO= 3，FO= 7，得AG= ，∴AP= ， 7 3 20 4 x2 + 在∆ABE中，AB=2，AE =2 2，BE=4，AP= ，设BP=x，得 3 9 ， 3 cosB= = 4 4x 20 4 5 4 5 即x2 −3x+ =0，解得x= 或 ，即BP= 或 ． ——17分 9 3 3 3 3 19． 解：(1) (i)AP= AD=2 2，AB=PB=2， ∴AB2 +PB2 = AP2，∴AB⊥PB， 又AB⊥BD，PBBD=B，∴AB⊥平面PBD； ——5分 1 2 3 (ii) V =V = ⋅S ⋅AB= ． ——8分 P−ABD A−PBD 3 ∆PBD 3 (2)取AD，BD的中点为E，F，连接PE，PF，EF，  E，F为AD，BD的中点，∴AB∥EF，∴EF ⊥BD，PB=PC，F为BD的中点，∴PF ⊥BD， 又EF ⊥BD，PFEF =F ，∴BD⊥平面PEF ，∴平面ABD⊥平面PEF ， 过P作PO⊥EF于点O，又平面ABD⊥平面PEF ，平面ABD平面PEF =EF，∴PO⊥平面ABD， ∴∠PAO是直线AP与平面ABD的所成角， 设∠PFE=θ，则PO=PFsinθ= 3sinθ，FO=PFcosθ= 3cosθ，AO= BF2 +(AB−PO)2 = 1+ ( 2− 3cosθ )2 ， ( ) ∴tan∠PAO= P A O O = 1+ ( 2− 3sin 3 θ cosθ )2 = 1+ ( 2− 3sin 3 θ cosθ )2 = 1+ 4 ( 2 2 − − 3 3 c c o o s s θ θ )2 −1， 令t =2− 3cosθ，则 4t 4 ∴tan∠PAO= −1= −1≤1 3 t2 +1 1 ，当且仅当t =1，即cosθ= 时取得等号， t+ 3 t ∴直线AP与平面ABD所成角的正切值的最大值为1． ——17分