余姚中学2025学年第二学期质量检测高一数学试卷_2026年04月高一试卷_260421浙江省余姚中学2025-2026学年高一下学期4月质量检测试题

命题：褚龙波 审题：张静 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若复数z满足(12i)z  43i，则z  A. 2i B. 2i C. 2i D. 2i       2.已知向量a  (1,2)，b (2,m)，且a//b ，则2a3b 等于 A. (2,4) B. (3,6) C. (4,8) D. (5,10) 3.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 A.若m//，n//，则m//n B.若m ，n，则m  n C.若m ，m  n ，则n// D.若m//，m  n ，则n 4.在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C所对的边，若a  2 ，b 6 ，C 30，则边c A. 2 B. 2 2 C. 6 D. 82 3 5.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形OABC，且OA//BC，OA2BC4,AB2， 则该平面图形的面积为 A. 12 B. 12 2 C. 6 D. 6 2 第5题图 第6题图 6.为测量两塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型．若MA 平面ABC， 3 14 NB 平面ABC， AC 60m ，BC 70 3m ，tanMCA ，cosNCB ，MCN 150，则塔尖MN之 4 15 间的距离为 A. 75 10m B. 75 2m C.150m D. 75 7m 7.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑. 已知四面体ABCD是鳖臑，BC CD  4， AB 平面BCD，当该鳖臑的外接球表面积为48时，它的内切球半径为 2 A. B. 3 C. 2 2 2 D. 31 2 第 页，共 页 1 48.如图，在矩形ABCD中，AB2，AD 1，M为AB的中点，将△ADM 沿DM翻折．在翻折过程中，当二面角 ABC D的平面角最大时，其正切值为 3 1 2 1 A. B. C. D. 3 2 3 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知复数z 满足z4i 8i，则下列命题是真命题的是 A. 的虚部为2 B.z2  z 2 C. z在复平面内对应的点位于第一象限 D.若z与复数a2 3a  a2 5a6  i  aR 相等，则a 1 10.已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是 A.若sin Asin B ，则 A  B B.若a2 b2 c2 0，则△ABC是锐角三角形 C.若acos B bcos A  a，则△ABC是等腰三角形 a b c D.若   ，则△ABC是等腰直角三角形 sin A cosB cosC 11.如图，在正方体ABCDABCD 中，点P在线段BC上运动，则下列结论正确的是 1 1 1 1 1 A.直线BD 平面 AC D 1 1 1 B.三棱锥P AC D的体积为定值 1 1   C.异面直线AP与 AD所成角的取值范围是  ,  1 4 2 6 D.直线CP与平面AC D所成角的正弦值的最大值为 1 1 1 3 第 页，共 页 2 4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.1748年，数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，得到公式eix  cosxisinx ，这个公式在复变论中 占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，可以得到“最美的数学公式”：ei 1 ▲ . 13.已知圆台甲、乙的上底面半径均为r ，下底面半径均为r ，圆台的母线长分别为2r r，3r r，则圆台甲 1 2 2 1 2 1 与乙的体积之比为 ▲ . 14.如图，直三棱柱ABC ABC ，ABC  60， AC 2，侧棱长为 3，点P是侧面 ACC A 内一点． 1 1 1 1 1 当| AB||BC |最大时，过B、B 、P三点的截面面积的最小值为 ▲ . 1 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(13分) 已知复数z 34i，z 1ai（aR，i是虚数单位）. 1 2 （1）若z z 是纯虚数，求|z |； 1 2 2 （2）若z 是实系数一元二次方程x2px30  pR  的根，求实数a和p的值. 2 16.(15分)   如图，已知A(1,1)，B(5,4)，C(2,5)，设向量a  x, y  y 0 是与向量 AB 垂直的单位向量.  （1）求单位向量a的坐标；   （2）求向量AC 在单位向量a上的投影向量的模； （3）求△ABC的面积. 第 页，共 页 3 417.(15分) 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(ab)(sin Asin B)c(sin Asin C). （1）求角B的大小； （2）若△ABC为锐角三角形，且b5，求△ABC周长的取值范围． 18.(17分)（本题用向量法（坐标法）一律不给分） 如图，正方体ABCDABCD 的棱长为1，E，F分别为AD ，CD 的中点. 1 1 1 1 1 1 （1）证明：EF / /平面 ABCD. （2）求异面直线EF与BC 所成角的大小. 1 （3）求直线BD与平面D AC所成角的正切值. 1 19.(17分)（本题用向量法（坐标法）一律不给分） 7 3 如图，已知三棱台ABC ABC 的体积为 ，平面 ABB A 平面BCCB ，△ABC是以B为直角顶点的等腰直 1 1 1 1 1 1 1 12 角三角形，且AB2AA 2AB 2BB. 1 1 1 1 （1）证明：BC 平面 ABB A ； 1 1 （2）求点B到面ACC A 的距离； 1 1  （3）在线段CC 上是否存在点F，使得二面角F  ABC 的大小为 ，若存在，求出CF的长，若不存在，请说 1 6 明理由. 第 页，共 页 4 4