专题10二次函数压轴题-备战2023年中考数学一轮复习考点帮（上海专用）（原卷版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_九年级_下学期

上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 专题 10 二次函数压轴题 二次函数综合题是中考数学的热点和难点，几乎每年中考倒数第二题解答题都会出现，主要考查二次 函数的图像与性质，二次函数与几何知识相互结合，对几何图形的性质要求熟练掌握，并且能运用到平面 直角坐标系中。 1 二次函数与平行四边形 平行四边形动点问题一般分为三个定点一个动点（简称三定一动）和两个定点两个动点（两定两动）这两 种题型,可以利用对角线或边的变化而进行分类讨论；求解的方法主要有代数方法（利用解析式,两点间距 离公式,中点坐标）,几何方法（构造全等三角形,相似三角形）等。 2 二次函数与等腰三角形 处理二次函数中的等腰三角形，常用的模型有两种：一种是“两圆一线”，另一种是“暴力法”（用两点间 距离公式硬算） 3 二次函数与相似三角形 常需要分类讨论，一般是固定一个三角形，让另外一个三角形动来处理。常用处理方式有两种： 1.导边处理（“SAS”法） 第一步:先找到一组关键的等角,有时明显,有时隐蔽； 第二步,以这两个相等角的邻边分两种情况对应比例列方程. 2.导角处理（“AA”法） 第一步:先找到一组关键的等角； 第二步,另两个内角分两类对应相等. 4 二次函数综合题中线段问题的解题通法 1.线段的数量关系问题: （1）在图中找出对应线段,弄清已知点和未知点,再联系函数设出只含有一个参数的未知点的坐标,然后用 参数表示出线段的长度; （2）结合已知条件,列出满足线段数量关系的等式,求出参数值(注意排除不符合题意的数值). 2.线段的最值问题: 第 1 页 共 18 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （1）一条线段的最值问题,根据1（1）中所得的线段长度的式子,通过二次函数的性质求最值,继而得到线 段的最值; (2)两条线段和或差的最值问题,一般利用轴对称模型解决. 3.周长的最值问题: 一般利用转化思想,将求周长的最值转化为求不定线段和的问题. 、 一、解答题 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bx3与x轴的正、负半轴分别交于点B、A，与y轴 交于点C，已知AB5，tanCAB3，OC:OB3:4． (1)求该抛物线的表达式； (2)设该抛物线的对称轴分别与x轴、BC交于点E、F，求EF 的长； (3)在（2）的条件下，联结CE，如果点P在该抛物线的对称轴上，当△CEP和  CEB相似时，求点P的坐 标 2．在平面直角坐标系xOy(如图)中，抛物线yax2bx2经过点A4，0、B2，2，与y轴的交点为 C． (1)试求这个抛物线的表达式； 第 2 页 共 18 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) (2)如果这个抛物线的顶点为M ，连接MB，BC，求tanMBC； (3)如果这个抛物线的对称轴与直线BC交于点D，点E在线段AB上，且DOE45，求点E的坐标． 3．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bx6（a0）与x轴交于点A、B（点A在点B 1 的左侧），交y轴于点C，联结BC，ABC的余切值为 ，AB8，点P在抛物线上，且POPB. 3 (1)求上述抛物线的表达式； (2)平移上述抛物线，所得新抛物线过点O和点P，新抛物线的对称轴与x轴交于点E． ①求新抛物线的对称轴； ②点F在新抛物线对称轴上，且EOF PCO，求点F的坐标． 4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线线yax2bx经过A(1,3)、B(2,0)，点C是该抛物线上的一个动点， 连接AC，与y轴的正半轴交于点D．设点C的横坐标为m． (1)求该抛物线的表达式； DC 3 (2)当  时，求点C到x轴的距离； AD 2 (3)如果过点C作x轴的垂线，垂足为点E，连接DE，当2m3时，在 CDE中是否存在大小保持不变的  角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由． 13 16 5．如图，已知抛物线yax23xc经过A0，4和B ， 两点，与x轴交于M 、N 两点（N 在M  3 9  的右侧），直线AB与x轴相交于点C，P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PDx轴交AB于点 第 3 页 共 18 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) D． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点P与点N 重合，连接PA，求DAP的正弦值； 2 (3)若PE∥x轴交AB于点E，若S  ，求点E的坐标． △PED 3 6．如图，抛物线yax2bx3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，已知B点的坐标为6,0，抛 物线的对称轴为直线x2，点D是BC上方抛物线上的一个动点. (1)求这个抛物线的解析式； 15 (2)当△BCD的面积为 时，求点D的坐标； 4 (3)是否存在点D，使得DCB2ABC？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由. 1 7．如图，二次函数y x2bxc的图象交坐标轴于点A4,0，B0,2，点P为x轴上一动点． 6 第 4 页 共 18 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 (1)求二次函数y x2bxc的表达式； 6 (2)将线段PB绕点P逆时针旋转90得到线段PD，若D恰好在抛物线上，求点D的坐标； (3)过点P作PQx轴分别交直线AB，抛物线于点Q，C，连接AC．若以点B、Q、C为顶点的三角形与 △APQ相似，直接写出点P的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bxc过点A1,0、B3,0、C2,3三点，且与y轴 交于点D． (1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴： (2)分别联结AD、DC、CB，直线y4xm与线段DC交于点E，当此直线将四边形ABCD的面积平分时， 求m的值； (3)设点F 为该抛物线对称轴上的一点，当以点A、B、C、F 为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有 满足条件的点F 的坐标． 9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：yx23mx经过点A1，0． (1)求抛物线C的表达式； (2)将抛物线C沿直线y1翻折，得到的新抛物线记为C ，求抛物线C 的顶点坐标； 1 1 第 5 页 共 18 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) (3)将抛物线C沿直线yn翻折，得到的图象记为C ，设C与C 围成的封闭图形为M，在图形M上内接一 2 2 个面积为4的正方形（四个顶点均在M上），且这个正方形的边分别与坐标轴平行．求n的值． 1 10．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y x2bx8与x轴交于点A6,0和点B（点A在点B 3 左侧），与y轴交于点C，点P为线段AO上的一个动点（点P不与A、O重合），过点P作x轴的垂线l与 抛物线交于点E，连接AE、EC． (1)求抛物线的表达式及点C的坐标； (2)连接AC交直线l于点D，则在点P运动过程中，当点D为EP中点时，求S :S 的值； △ADP △CDE (3)如图2，当EC∥x轴时，点P停止运动，联结AC，在抛物线上是否存在点G，使得GBC ECA， 如存在求出点G的横坐标，如不存在请说明理由． 11．已知抛物线yx2bxc与x轴交于A1，0、B3，0两点，且与y轴的公共点为点C，设该抛物线的顶 点为D． (1)求抛物线的表达式，并求出顶点D的坐标； (2)若点P为抛物线上一点，且满足PBPC，求点P的横坐标； DF 1 (3)连接CD，BC，点E为线段BC上一点，过点E作EFCD交CD于点F，若  ，求点E的坐 CF 2 标． 第 6 页 共 18 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 12．如图，二次函数ymx22mx3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C， 顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F，连接AC，BD，已知cotACO3． (1)求m的值； (2)求CBD的正切值； (3)若点P在线段BD上，且FPBCAB，请直接写出点P的坐标． 13．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bx6与x轴交于点A2,0和点B6,0，与y轴交 于点C，顶点为D，连接BC交抛物线的对称轴l于点E． (1)求抛物线的表达式； (2)连接CD、BD，点P是射线DE上的一点，如果S S ，求点P的坐标； △PDB △CDB (3)点M 是线段BE上的一点，点N 是对称轴l右侧抛物线上的一点，如果  EMN是以EM 为腰的等腰直角三 角形，求点M 的坐标． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知直线y2x8与x轴交于点A、与y轴交于点B，抛物线yx2bxc 经过点A、B． 第 7 页 共 18 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) (1)求抛物线的表达式； (2)P是抛物线上一点，且位于直线AB上方，过点P作PM∥y轴、PN∥x轴，分别交直线AB于点M 、 N ． 1 ①当MN  AB时，求点P的坐标； 2 PC ②连接OP交AB于点C，当点C是MN的中点时，求 的值． OC 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bx4与x轴相交于点A1,0，B3,0，与y轴交 于点C.将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线段BC于点E，交抛物线于点F， 过点F作直线BC的垂线，垂足为点G. (1)求抛物线的表达式； (2)以点G为圆心，BG为半径画  G；以点E为圆心，EF 为半径画  E.当  G与  E内切时.①试证明EF 与EB的数量关系；②求点F的坐标. 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C， P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PE∥x轴，交直线AB于点E． 第 8 页 共 18 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，在抛物线上有一点F，使得∠CBF＝∠OAC，求点F的坐标； 24 5 (3)如图2，当△PDE的周长为 +8时，求点P的坐标． 5 1 17．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y x2mxn经过点B6,1，C5,0，且与y轴交于点 3 A． (1)求抛物线的表达式及点A的坐标； (2)点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作PQOA，交线段OA的延长线于点Q，如果PAB45， 求证：△PQA∽△ACB； (3)若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点F'恰好在上述抛物线上，求直线 FF'的解析式． 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线x1，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C0,3 ，OBOC． （1）求抛物线的解析式． 第 9 页 共 18 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （2）在抛物线上是否存在点Q，使得△BCQ是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标； 若不存在，请说明理由． （3）设抛物线上的一点P的横坐标为m，且在直线BC的下方，求使  BCP的面积为最大整数时点P的坐 标． 2 2 19．如图，已知直线y＝﹣ x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣ x2+bx+c经过A、B两 3 3 点． (1)求这条抛物线的表达式； (2)直线x＝t与该抛物线交于点C，与线段AB交于点D（点D与点A、B不重合），与x轴交于点E，联结 AC、BC． DE AE ①当 ＝ 时，求t的值； CD OE ②当CD平分∠ACB时，求ABC的面积． 1 20．已知在平面直角坐标系xOy中，拋物线y x2 bxc与x轴交于点A1,0和点B，与y轴交于点 2 C0，2，点P是该抛物线在第一象限内一点，联结AP,BC,AP与线段BC相交于点F ． (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴与线段BC交于点E，如果点F 与点E重合，求点P的坐标； 第 10 页 共 18 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) (3)过点P作PGx轴，垂足为点G,PG与线段BC交于点H，如果PF PH，求线段PH的长度． 21．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx2 3(a0)经过x轴上的点A(2,0)和点B（点A在 3 点B左侧）及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为y xn，顶点为D，对称轴与x轴交于点 2 Q． （1）求抛物线的表达式； （2）连接AC,BC．若点P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE∥y 轴交BC于点E，作PF BC 于点F，过点B作BG∥AC交y轴于点G．点H，K分别在对称轴和y轴上运动，连接PH,HK． ①求! PEF的周长为最大值时点P的坐标； 3 ②在①的条件下，求PH HK  KG的最小值及点H的坐标． 2 22．如图，抛物线yx22x3与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴与BC 相交于点E,与x轴相交于点F. （1）求线段DE的长． （2）联结OE，若点G在抛物线的对称轴上，且 BEG与 COE相似，请直接写出点G的坐标．   （3）设点P为x轴上的一点，且DAODPO，tan4时，求点P的坐 标. 23．已知抛物线yax2c(a0)过点P(3,0),Q(1,4)． 第 11 页 共 18 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （1）求抛物线的解析式； （2）点A在直线PQ上且在第一象限内，过A作ABx轴于B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角ABC． ①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离； ②若C落在抛物线上，求C的坐标． 24．如图，抛物线yx2bxc经过A(1,0),B(m,0)两点(m0)，与y轴交于点C，连接AC,BC． （1）求证：OBOC； （2）设点P(x,y)是抛物线yx2bxc上B,C两点之间的动点，连接PB,PC．在m3的条件下： 1 ①若S  S ，求点P的坐标； PBC 2 ABC ②若nxn1，且yx2bxc的最大值为2n，直接写出n的值． 1 4 25．如图，已知抛物线y＝ x2+m与y轴交于点C，直线y＝﹣ x+4与y轴和x轴分别交于点A和点B， 2 3 过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设点E在x轴上，以CD为对角线作▱CEDF． （1）当点C在∠ABO的平分线上时，求上述抛物线的表达式； （2）在（1）的条件下，如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，求点F的坐标； 第 12 页 共 18 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （3）如果点E是BO的中点，且▱CEDF是菱形，求m的值． 26．如图1，将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（0，m）（m＞ 0），点D（﹣1，m）在边BC上，将△ABD沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为 点E． (1)如图2，当m＝3时，抛物线过点A、E、C，求抛物线解析式； (2)如图3，随着m的变化，点E正好落在y轴上，求∠BAD的余切值； (3)若点E横坐标坐标为1，抛物线y＝ax2＋2ax＋10（a≠0且a为常数）的顶点落在△ADE的内部，求a的 取值范围． 一、解答题 3 1．（2022·上海杨浦·统考二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y x2bxc与x轴相交 4 于点A(4,0)，与y轴相交于点B(0,3)，在x轴上有一动点E(m,0)(0m4)，过点E作x轴的垂线交线段AB 于点N，交抛物线于点P，过P作PM AB，垂足为点M． 第 13 页 共 18 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) (1)求这条抛物线的表达式； C 6 (2)设 PMN的周长为C ，△AEN的周长为C ，如果 1  ，求点P的坐标；  1 2 C 5 2 (3)如果以N为圆心，NA为半径的圆与以OB为直径的圆内切，求m的值． 2．（2022·上海普陀·统考二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yax2bx8与x轴交于点 A(2,0)、B(4,0)，与y轴交于点C，顶点为D． (1)求抛物线的表达式和点D的坐标； (2)点E是第一象限内抛物线的一个动点，其横坐标为m，直线AE交y轴于点F． ①用m的代数式表示直线AE的截距； ②在△ECF 的面积与 EAD的面积相等的条件下探究：在y轴右侧存在这样一条直线，满足：以该直线上  的任意一点及点C、F三点为顶点的三角形的面积都等于 EAD面积，试用规范、准确的数学语言表达符合  条件的直线． 3．（2022·上海虹口·统考二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bx6与x轴交于点 A2,0和点B6,0，与y轴交于点C，顶点为D，连接BC交抛物线的对称轴l于点E． 第 14 页 共 18 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) (1)求抛物线的表达式； (2)连接CD、BD，点P是射线DE上的一点，如果S S ，求点P的坐标； △PDB △CDB (3)点M 是线段BE上的一点，点N 是对称轴l右侧抛物线上的一点，如果  EMN是以EM 为腰的等腰直角三 角形，求点M 的坐标． 4．（2022·上海松江·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y2x8与x轴交于点A、与y轴交 于点B，抛物线yx2bxc经过点A、B． (1)求抛物线的表达式； (2)P是抛物线上一点，且位于直线AB上方，过点P作PM∥y轴、PN∥x轴，分别交直线AB于点M 、 N ． 1 ①当MN  AB时，求点P的坐标； 2 PC ②连接OP交AB于点C，当点C是MN的中点时，求 的值． OC 5．（2022·上海金山·统考二模）已知：在直角坐标系中直线yx4与x轴、y轴相交于点A、B，抛物线 1 y x2 bxc经过点A和点B． 2 第 15 页 共 18 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) (1)求抛物线的解析式； (2)如果直线AB与抛物线的对称轴相交于点C，求OC的长； (3)P是线段OA上一点，过点P作直线AB的平行线，与y轴相交于点Q，把△OPQ沿直线PQ翻折，点O 的对应点是点D，如果点D在抛物线上，求点P的坐标． 6．（2022·上海黄浦·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yax2bx（c a0）经过点A（4， 0），顶点为H（2，4），对称轴l与x轴交于点B，点C、P是抛物线上的点，且都在第一象限内． (1)求抛物线的表达式； (2)当点C位于对称轴左侧，∠CHB＝∠CAO，求点C的坐标； (3)在（2）的条件下，已知点P位于对称轴的右侧，过点P作PQ∥CH，交对称轴l于点Q，且 S ：S 1：5，求直线PQ的表达式． POQ PAQ 1 7．（2022·上海奉贤·统考二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y   x  2与x轴、y轴分别交于 2 1 点A、B．抛物线y x2 bxc经过点A、B顶点为C． 2 第 16 页 共 18 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) (1)求该抛物线的表达式； (2)将抛物线沿y轴向上平移，平移后所得新抛物线顶点为D，如果BDC OAB，求平移的距离； (3)设抛物线上点M的横坐标为m，将抛物线向左平移3个单位，如果点M的对应点Q落在 OAB内，求m  的取值范围． 8．（2022·上海徐汇·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数ymx22mx3的图像与x轴交于A 和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且AB＝4． (1)求这个函数的解析式，并直接写出顶点D的坐标； (2)点E是二次函数图像上一个动点，作直线EF∥x轴交抛物线于点F（点E在点F的左侧），点D关于直 线EF的对称点为G，如果四边形DEGF是正方形，求点E的坐标； (3)若射线AC与射线BD相交于点H，求∠AHB的大小． 第 17 页 共 18 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 第 18 页 共 18 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司