2024~2025 学年度第一学期高一六校联合学业质量检测·数学
参考答案、提示及评分细则
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D A A C C B D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对
的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
题号 9 10 11
答案 AB BC ACD
1. D 由|x-1|≤3,得-3≤x-1≤3,解得-2≤x≤4,所以A=[-2,4].
由2ˣ<8=2³,得x<3,所以B=(-∞,3),所以A∩B=[-2,4]∩(-∞,3)=[-2,3).故选D.
2 1 2 1
2. D 由 2"=9"=6,可得 m=log₂6,n=log₉6,所以 + = + =2log 2+log 9=log 4+log
m n log 6 log 6 6 6 6 6
2 9
log₆36=2.故选 D.
3. A 由 题 意 得 a²−a−1=1l 且 a>0, 解 得 a=2,
g(x)=bˣ⁺²−1(b⟩1),令 x+2=0 得 x=-2, 此 时 g(-2)=0, 故
g(x)=bˣ⁺ᵃ−1(b⟩1)的图象过定点(-2,0).故选 A.
4x+4−x 4−x+4x
4. A 由于 f (x)= 的定义域为{x|x≠±1}，关于原点对称，且 f (−x)= =f (x),f(x)为偶函
x2−1 x2−1
数,故图象关于y轴对称,排除CD,又当x>1或x<-1时,f(x)>0,可排除B,故选A.
5. C ∵lg E=4.8+1.5M,∴lg E₁=4.8+1.5×8=16.8, lg E₂=4.8+1.5×7.5=16.05,∴E₁=10¹⁶.⁸,E₂=
E
1016.05,∴ 1=100.75,故选C.
E
2
6. C 因为 log₃3<log₃6<log₃9,所以1<a<2,因为 b=21.2>2,c=0.51.2<0.5❑∘=1,所以c<a<b.故选 C.
1+a+1+b a+b
7. B 依题意,80(1+a)(1+b)=80(1+x)²,而a>0,b>0,x>0,因此 1+x=√(1+a)(1+b)≤ = 1+ ,
2 2
a+b
当且仅当a=b时取等号，所以 x≤ .故选 B.
2
8. D ∵函数y=f(x)的图象与函数 y=aˣ(a⟩0且a≠1)的图象关于直线y=x对称，
∴y=f(x)与y=aˣ互为反函数,
∴f(x)=logₐx,∴g(x)=f(x)[f(x)+f(2)-1]=(logₐx)²+(logₐ2-1)logₐx,
1−log 2
令t=log₄x,函数可化为 ℎ(t)=t²+(logₐ2−1)t,对称轴为直线 t= a .
2
[ 1 ] [1 ]
当a>1时, t∈ log ,log 2 ,f (x)=log x为增函数，若y=g(x)在区间 ,2 上单调递增，则h(t)
a2 a a 2
[ 1 ] 1−log 2 1 1
在 log ,log 2 上单调递增，. ∴ a ≤log ,解得 0<a≤ ,不合题意，舍去.
a2 a 2 a2 2
[ 1] [1 ]
当0<a<1时, t∈ log 2,log ,f (x)=log x为减函数，若y=g(x)在区间 ,2 上单调递增，则
a a2 a 2
[ 1] 1−log 2 1 1
h(t)在 log 2,log 上单调递减， ∴ a ≥log ,解得 0<a≤ .
a a2 2 a2 2
( 1]
综上得，a的取值范围是( 0, .故选 D.
2
9. AB 对于 A,集合B={x|x=6z,z∈N}={x|x=3·2z,z∈N},集合A={x|x=3k,k∈N},∴B⊆A,A正确；
对于B,∵A∪B=A,∴B∵ ∴A, 集A合={Aa,的b,c子},集∴个数是8，B正确；
对于C,因为a>b>0,c>0,所以 ab+ bc-(ab+ ac)=(b-a)c<0,
【高一六校联合学业质量检测·数学卷参考答案 第1页(共4页)】 5213Aa+c a
所以 ab+ bc< ab+ ac,又因为b(b+c)>0,故两边同除以( b(b+c)得 < ,故C错误；
b+c b
对于D,当a>1且b>1时,s=a+b>2,p= ab>1;
1
反之，当 a=4,b= 时， s=a+b>1,p=ab>1,,但不满足a>1且b>1,
2
所以“a>1且b>1”是“s>1且p>1”的充分不必要条件,D错误.故选 AB.
10. BC ∵y=2ˣ与y=3x-7都是R上的单调递增函数,∴ ∴f (x)=2ˣ+3x−7是 R 上的单调递增函数，∴f(x)在R上
至多有一个零点,由表格中的数据可知:f(1.422)<0,f(1.4375)>0,∴f(x)在R上有唯一零点,零点所在的区间为
(1.422,1.4375),∴h<0,A 错 误 ; 方 程 2ˣ+3x−7=0有 实 数 解 ， B 正 确 ； f(1.375)=—0.26<0,1.4375—
1.375=0.0625<0.1, 即 若 精 确 度 为 0.1, 则 近 似 解 可 取 为 1.375,C 正 确 ;
f (1.422)=−0.05<0,1.4375−1.422=0.0155>0.001,即若精确度为0.01,则近似解不可取为1.4375,D错误.
故选 BC.
11. ACD 画出|f(x)|与y=k的图象如下:
要想满足|f(a)|=|f(c)|=|f(b)|=|f(d)|=k,则0<k≤1,A正确;
由对称性可知,a+b=2×(-2)=-4,B错误;
1 1
令-lgx=1,解得 x= ,故 ≤c<1,
10 10
令 lgx=1,解得x=10,故1<d≤10,而| lgc|=| lgd|,
所以-lgc= lgd,故 lgc+ lgd=0,所以 cd=1,C正确;
1 1 1 1
a+b+c+d=c+d−4=c+ −4,由1<d≤10得 ≤ <1,即 ≤c<1.
c 10 d 10
1 [ 1 )
而 y=c+ 在 c∈ ,1 上单调递减，
c 10
1 ( 101] 1 ( 61]
所以 y=c+ ∈ 2, ,则 a+b+c+d=c+ −4∈ −2, ,D正确.故选 ACD.
c 10 c 10
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.9
13.充分不必要
14.8 令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0)-4,所以 f(0)=4,令y=-x,则f(x+(-x))=f(x)+f(-x)-4=f(0),所以
f(x)+f(-x)=8,令x=2024,所以 f(-2024)+f(2024)=8.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.解:(1)由题意可知-3,1是方程 −x²−a(b−a)x−b=0的两根，………………………… 2分
所以-3+1=-a(b-a),-3×1=b,解得a=-1,b=-3或a=-2,b=-3.
故a,b的值分别为-1,--3或-2,-3. ……………………………………………………… 6分
(2)当a=1时, f (x)=−x²−(b−1)x−b,
若f(x)≤0在R上恒成立，即 f(x)的图象与x轴至多有一个交点，………………………………………… 8分
则 △=[−(b−1)²]−4×(−1)×(−b)≤0，即 b²−6b+1≤0,解得 3−2√2≤b≤3+2√2,… 12分
故b的取值范围是 [3−2√2,3+2√2]. 13分
16.解:(1)令2ˣ=m,得到x=log₂m,即 f (m)=(log₂m)²−2log₂m+3,f (x)=(log₂x)²−2log₂x+3.…
6分
(2)令x--1=t,则x=t+1,x∈[2,4],t∈[1,3],(t+1) 2+(a−2)(t+1)+5−a t2+at+4
所以 y= = +4+a, 8分
t t
【高一六校联合学业质量检测·数学卷参考答案 第2页(共4页)】 5213A4
由对勾函数的性质可得 y=t+ +a在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增，
t
4 13
当t=2时, y=2+ +a=4+a当t=1时,y=5+a,当t=3时, y= +a,
2 3
∴g(x)的值域为[4+a,5+a], …………………………………………………………………………………… 11分
当x∈[2,4]时,log₂x∈[1,2],令n=log₂x∈[1,2],
所以 f (n)=n²−2n+3=(n−1)²+2,n∈[1,2],
由二次函数的性质可得f(x)∈[2,3], ………………………………………………………………………… 13分
∵g(x)的值域是f(x)值域的子集, 解得a=-2. …………………………………………… 15分
17.解:(1)a=1时,f(x)=|x-1|,
当x>1时, −x²+2x+1=x−1,解得x=2或x=-1(舍去),
当x<1时, −x²+2x+1=1−x,,解得x=0或x=3(舍去),
画出m(x)= min{f(x),g(x)}的图象,如图所示. …………………… 3分
{−x2+2x+1,x<0|x−1|,0≤x≤2
用解析法表示，
m(x)= ,
… 6分
−x2+2x+1,x>2
由图象可得,单调递增区间为(-∞,0)和(1,2). …………………… 7分
(2) ℎ(x)=|x−a|²+x²−2x−1=2x²−2(a+1)x+a²−1=2、
(
a+1) 2 a2−2a−3
x− + ,x∈[−1,1]. … 8分
2 2
a+1
①当 ≤−1,即a≤-3时，此时最小值为 ℎ(−1)=a²+2a+3;… 10分
2
a+1 (a+1) a2−2a−3
②当 −1< <1,即--3<a<1时，此时最小值为 ℎ = ; …………………… 12分
2 2 2
a+1
③当 ≥1,即a≥1时，此时最小值为 ℎ(1)=a²−2a−1.… 14分
2
{
a2+2a+3,a≤−3,
a2−2a−3
综上所述 (a)= ,−3<a<1,,… 15分
2
a2−2a−1,a≥1.
18.解：(1)由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合，
{ca0+b=100 { c+b=10 {a=0.9
选模型②，则 ca1+b=91 , jì ca+b=91 , 可得 b=10 ,
ca2+b=82.9 ca2+b=82.9 c=90
所以y=90×0.9ˣ+10,x≥0. ………… ……………………………………… 6分
5
lg
5 9 lg5−2lg3
(2)令y=90×0.9ˣ+10=60,则 x=log = = ≈5.57min.
0.99 9 2lg3−1
lg
10
所以刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间为 5.57min. ……………………………………………………12
分
(3)由0.9ˣ∈(0,1],即y∈(10,100],所以进行实验时的室温约为10℃. ………………………………… 17分
19.(1)解:令g(x)=f(x+a)-b,因为g(x)为奇函数,
所以g(-x)=-g(x),即f(-x+a)-b=-(f(x+a)-b),
所以-(-x+a)³+3(-x+a)²-b=-[-(x+a)³+3(x+a)²-b],{ a−1=0
化简得 6x²(a−1)+2a³−6a²+2b=0,则 ,
2a3−6a2+2b=0
解得a=1,b=2,即 f(x)图象的对称中心为(1,2). ……………………………………………………………… 4分
(2)证明:令g(x)=f(x+a)-b,因为g(x)为奇函数,
所以g(-x)=-g(x),即 f(-x+a)-b=-(f(x+a)-b),
所以f(-x+a)+f(x+a)=2b,
令x+a=t,则 f(t)+f(-t+2a)=2b,即.f(x)+f(-x+2a)=2b. ………………………………………… 8分
【高一六校联合学业质量检测·数学卷参考答案 第 3页(共4页)】 5213Ae2
(3)解:因为 f (x)=x− +c+lnx−ln(e2−x),
2
e2
所以 f (−x+e2)=−x+ +c−lnx+ln(e2−x),
2
(e2
)
所以 f (x)+f (−x+e²)=2c,，可得f(x)的对称中心为( ,c .
2
(
e2
) (
2e2
)
(2022e2
)
因为 f +f +⋯+f ≤1011(a+b),
2023 2023 2023
(2022e2
)
(2021e2
)
(2020e2
) (
e2
)
f +f +f +⋯+f ≤101(a+b),
2023 2023 2023 2023
两式相加得： 2022×2c≤2022(a+b),即a+b≥2c, …………………………… 13分
2ac+a2+2b2 a(a+2c)+2b2 a 2b
由题意知 λ≤ = = + 恒成立. ⋯ 15分
(a+2c)b (a+2c)b b a+2c
a 2b 2(a+b) 2b a+b+2c 2b
方法一：由 + = + −1≥ + −
b a+2c 2b a+2c 2b a+2c
a+2c 2b 1 √a+2c 2b 1 3
= + − ≥2 ⋅ − = ,
2b a+2c 2 2b a+2c 2 2
4c
当且仅当 b=2a= 时取等号. ……………………………………………………… 17分
3
a 2b a 2b a 2
+ ≥ + = + ,
方法二：由 b a+2c b a+a+b b a
2 +1
b
a
令 =t>0,
b
a 2 2 1 2 1 √1 2 1 3
+ =t+ = (2t+1)+ − ≥2 (2t+1)⋅ − = ,
则 b a 2t+1 2 2t+1 2 2 2t+1 2 2
2 +1
b
4c
当且仅当 b=2a= 时取等号. ……………………………………………………… 17分
3【高一六校联合学业质量检测·数学卷参考答案 第 4 页(共4页)】
