江苏省扬州市高邮市2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题Word版含解析_2024年12月试卷_1206江苏省扬州市高邮市2024-2025学年高一上学期11月期中考试

2024-2025 学年第一学期高一年级期中学情调研测试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1. 函数 的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式、根式的意义列式求解即可. 【详解】令 ，解得 且 ， 所以函数 的定义域为 . 故选：B. 2. 若 ，则 的化简结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合根式的性质运算求解即可. 【详解】因为 ，则 ， 所以 .故选：C. 3. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两个集合为点集，通过联立方程组，求出双曲线与直线的交点坐标，可得 . 【详解】由 ，解得 或 ， 所以 . 故选：C. 4. “ ”是“ ”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】对充分性和必要性分别给出反例即可. 【详解】当 时，有a=0>−1=b，c=0>−1=d，但 ； 当 时，有ac=1>0=bd，但 . 所以原条件不是充分的也不是必要的. 故选：D. 5. 关于 的不等式 的解集是 ，那么 （ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式解集与方程根的关系解得 ，再由对数运算可得结果. 【详解】根据题意可知 和5是方程 的两个实数根， 由韦达定理可得 ，解得 ； 所以 . 故选：C 6. 若命题“ ”是假命题，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据命题的真假，可转化为不等式恒成立问题，分情况讨论可得参数范围. 【详解】命题“ ”是假命题，则有 ， 当 时， 恒成立，满足题意； 当 时，有 ，解得 ， 综上可得 的取值范围为 . 故选：A. 7. 已知函数 ，则下列函数中为奇函数且在 上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对每个选项分别考查是否满足要求即可. 【详解】 不在 上递增，故A错误； 和 不 是奇函数，故BC错误； 而 满足条件，故D正确； 故选：D. 8. 定义 ，设 ，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 不等式 的解集为 C. 当 时， 的最大值为 D. 在 上单调递减 【答案】B 【解析】 【分析】把 表示为分段函数，作出函数图象，结合图象和函数解析式，对选项进行判断. 【详解】 ，解得 或 ， 所以 ，函数图像如图所示，，A选项正确； 不等式 的解集为 ，B选项错误； 当 时， 在 上单调递增，最大值为 ，C选项正确； x∈(0,1)时， ，在(0,1)上单调递减，D选项正确. 故选：B. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合 要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 函数 与函数 是同一函数 B. 若函数 ，则 C. 二次函数 的零点是 ， D. 若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，根据同一函数的条件判断；B选项，用换元法求函数解析式即可；C选项，求 时 的值；选项D， 图像开口向上，在 上单调递增，则 ，求解可判断.【详解】对于A，函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，故A不正确； 对于B， ，则 ，且 ，所以 ，即 ，故B正确； 对于C，令 ，得 解得 或 ，故C正确； 对于D， 的对称轴为 ，由 在 上单调递增，得 ，解得 ， 故D正确. 故选：BCD. 10. 已知 ，且 ，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用基本不等式判断选项A；基本不等式结合乘“1”法判断选项B；利用二次函数的性质判断选项 C；算式平方后利用基本不等式求积的最大值判断选项D. 【详解】A，已知 ，且 ， ， 当且仅当 ，即 时等号成立， 所以 的最小值为 ，A选项成立； B， ，当且仅当 ，即 时等号成立， 所以 的最小值为 ，B选项错误； C，由 ，有 ，则 ， ， 所以当 ， 时， 的最小值为 ，C选项正确； D， ， 当且仅当 ，即 时等号成立， 所以 的最大值为 ，D选项错误. 故选：AC. 11. 已知 ， 都是定义在 上的函数，其中 是奇函数， 是偶函数，且 ，则下列说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. . C 对 ，不等式 总成立 D. 对 ，且 ，总有 【答案】ACD 【解析】【分析】由 是奇函数， 是偶函数，且 ，求出 和 ，利用偶 函数的定义判断A选项；求函数值判断B选项；作差法比大小判断C选项；由不等式的性质判断D选项. 【详解】 是 上的奇函数， 是 上的偶函数，且 ， 则 ，有 ， 由 ，得 ， ， ， 为偶函数，A选项正确； ，B选项错误； 对 ， ， 所以不等式 总成立，C选项正确； 对 ，且 ，则 ， ， 所以 ， D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：利用函数奇偶性的特征，由 ，得 ，求出 和 的解析式，解决选项中的问题即可. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 已知 ， ，则 ______（用 ， 表示）．【答案】 【解析】 【分析】利用指数与对数运算法则可得 ，再由换底公式化简可得结果. 【详解】由 可得 ， 所以 . 故答案为： 13. 已知偶函数 在区间 上单调递减，且 ，则不等式 的解集 为 _____. 【答案】 【解析】 【分析】根据单调性和奇偶性分析 的符号性，进而分类讨论解不等式即可. 【详解】因为函数 在区间 上单调递减，且 ， 可知当 时， ；当 时， ； 又因为函数 为偶函数，可知当 时， ；当 时， ； 若 ，则 ，此事无解，或 ，得 ， 所以不等式 解的集为 . 故答案为： . 14. 规定： 表示不超过 的最大整数，例如： ， .对于给定的 ，定义，则 _________；若集合 ，则A中元素的 个数是_______． 【答案】 ①. ## ②. 2 【解析】 【分析】根据题意直接代入运算即可得 ；整理可得 ，分 和 两种 情况，结合 的定义运算求解即可. 【详解】由题意可知： ； 又因为 ， 当 时，则 ， 可得 ，则 或2； 当 时，则 ， 可得 ，则 ； 综上所述： ，即集合A中元素的个数是2. 故答案 ：为；2. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 求下列各式的值： （1） ； （2） . 【答案】（1）83 （2）10 【解析】 【分析】（1）运用指数幂的运算和根式的化简求值； （2）运用对数的运算和换底公式化简求值. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. 已知集合 ， ．（1）当 时，求 ， ； （2）请在①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题 中的横线上，并完成解答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） 当 时，若“ ”是“ ”成立的____，试判断实数 是否存在？若存在，求出实数 的取值范 围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ， 或 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意求集合 ，进而根据集合间的运算求解； （2）根据题意可得 .若选①：可知集合A是集合 的真子集，根据真子集关系 列式求解即可；若选②：可知所以集合 是集合A的真子集，根据真子集关系列式求解即可；若选③：可 知集合A等于集合 ，根据集合相等列式求解即可. 【 小问1详解】 由题意可知： ， 当 时， ， 所以 ； 又因为 或 ，所以 或 . 【小问2详解】 当 时， ， 若选择条件①：可知集合A是集合 的真子集， 则 ，且等号不能同时取到，解得 ，所以实数 的取值范围是 ； 若选择条件②：可知所以集合 是集合A的真子集， 则有 ，且等号不能同时取到，解得 ， 所以实数 的取值范围是 ； 若选择条件③：可知集合A等于集合 ， 则有 ，方程组无解， 所以不存在满足条件的实数 . 17. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创 业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为 万元，每生产 万件需另投入流动成本 1 { x2+2x,08,x∈N∗ x−1 点 .每件产品售价为 元，假设小王生产的商品当年全部售完． （1）写出年利润 （万元）关于年产量 （万件）的函数解析式（注：年利润 年销售收入 固定成 本 流动成本）； （2）当年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大年利润是多少？ 1 { − x2+4x−2,08,x∈N∗ x−1 （2） 万件，最大利润为 万元 【解析】【分析】（1）将点 代入给定的函数解析式求出c，结合给定的函数模型即可求解； （2）当 时， 取得最大值10万元；当 时，结合基本不等式计算即可求 解. 【小问1详解】 依题意得：当 时， ， 则 ，所以 ， 因为每件商品售价为 元，则 万件商品销售收入为 万元， 依题意得：当 时， ， 当 时， ， 1 { − x2+4x−2,08,x∈N∗ x−1 【小问2详解】 当 时， 所以当 时， 取最大值10万元；当 时， . 当且仅当 即 时， 取最大值14万元 因为 ，所以当 时， 取最大值14万元， 所以当年产量为 万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为 万元． 18. 已知函数 为 上的偶函数． （1）求 ； （2）判断 在 上的单调性，并用定义证明； （3）若 ，求实数 的取值范围． 【答案】（1） （2）增函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）函数 为 上的偶函数，则有 ，得 ，由 ， 得 ； （2）定义法证明函数单调性； （3）由 ，利用函数奇偶性和单调性解不等式. 【小问1详解】 函数 为 上的偶函数，则有 ，解得 ，所以 ， 由 为 上的偶函数，则 ，即 ，得 ， 当 时， ，故 符合题意， 所以 【小问2详解】 是 上的增函数，证明如下： 由（1）知当 时， ， 任取 ， ， 因为 ，所以 ， ，(x2+4)>0，(x2+4)>0， 1 2 则 ，即 ，则 ， 所以 是 上的增函数. 【小问3详解】 令 ，即 ， 当 时， ，解得 或 ，当 时， ，解得 或 ， 又 ，则 ， 由 ，即可转化为 ， 因为 是 上的偶函数，即求f (|1−2m|)>f(1)， {−2≤1−2m≤2 由（2）知 是 上的增函数，则 ， |1−2m|>1 解得 或 ， 故实数 的取值范围为 . 【点睛】方法点睛： 不等式 ，先通过函数解析式解得 ，问题转化为 ， 是 {−2≤1−2m≤2 上的偶函数，又转化为f (|1−2m|)>f(1)，再由 是 上的增函数，得 . |1−2m|>1 19. 已知二次函数 满足 ， ，且 在 上的最小值为 . （1）求 的解析式； （2）求 在 上的最小值 ； （3）设 ，若对任意 ，存在 ，使得 ，求实 数 的取值范围． 【答案】（1）（2） ； （3） 【解析】 【分析】（1）依题意利用待定系数法解方程即可得出函数解析式； （2）根据二次函数性质分类讨论求得函数函数 在区间 上的单调性，可得 的表达式； （3）易知 ，将不等式恒成立转化为 ，再利用函数单调性计算可得 . 【小问1详解】 由 可知 关于 对称，且 在 上的最小值为 ； 故可设 ， 由 可得 ， ； 所以函数 的解析式为 ； 【小问2详解】 由（1）可知 ①当 时， ， 此时 在区间 上单调递减，可得 ， ②当 时， ， 此时 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，可得 ， ③当 时， 此时 在区间 上单调递增， ；综上可得 ； 【小问3详解】 由题知，当 时， ； 即求对任意 ，存在 ，使得 ， 令 ，当 时， 即对于 ，使得 恒成立， 也即对于 ，使得 恒成立， 可得 ， 令 ，所以 ， 因为 在区间 上单调递增，所以当 时， ； 因此可得 . 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将双变量不等式恒成立问题转化为求函数最小值问题，再利用换元法 求得函数单调性即可得出结论.