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高一数学
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的选项中, 只有一
项是符合题目要求的.
5
1. 已知 θ= π ,则 θ 是( )
6
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
2. 已知集合 A={x∣lnx<1},B={x|2x<4} ，则 A∩B= ()
A. (0,2) B. (0,e) C. (−∞,2) D. (−∞,e)
( 2 )
3. 已知函数 f (x)=sin x+ π ,x∈R ,则 f (x) 的单调递减区间是( )
5
[ 7π 3π] [ 3π 13π]
A. 2kπ− ,2kπ+ (k∈Z) B. 2kπ+ ,2kπ+ (k∈Z)
10 10 10 10
[ 9π π ] [ π 11π]
C. 2kπ− ,2kπ+ (k∈Z) D. 2kπ+ ,2kπ+ (k∈Z)
10 10 10 10
4. 若 x>0,y>0 ,则 “ xy≤4 ” 是 “ x+ y≤4 ” 的( )
A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知某扇形的弧长为 1 , 面积为 2 , 则该扇形圆心角的弧度数为( )
1 1 3
A. B. C. D. 1
4 2 4
6. 已知幂函数 f (x)=xα ( α 为常数) 具有性质: ( 1 ) 定义域为 (−∞,0)∪(0,+∞) ,(2)
图象关于 y 轴对称,则 α 的可能取值为 ( )
2 2
A. -1 B. − C. D. 2
5 5
7. 函数 y=lg|x| 与 y=cosx 图象的交点个数为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
{ 3x,x<1
8. 已知函数 f (x)= 的值域为 R ,则实数 a 的取值范围
3x−log (a2−4a+4),x≥1
3
是( )A. (−∞,1]∪[3,+∞) B. [1,3]
C. [3,+∞) D. [1,+∞)
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项
符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知实数 a,b 满足 0√b C. < D. <
b b+5 a b
10. 已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x<0 时, f (x)=2x+1 ,则 ( )
A. 当 x>0 时, f (x)=−2−x−1 B. f (x) 在 (0,+∞) 上单调递增
3
C. f (x) 的值域为 (−2,−1)∪(1,2) D. y=|f (x)|− 有 2 个零点
2
11. 在平面直角坐标系 xOy 中,圆心在坐标原点的单位圆与 x 轴正半轴、 y 轴正
半轴分别交于点 A、B ,锐角 α 的终边与单位圆交于点 M ,过 M 作 y 轴的垂
线交 y 轴于点 T ,延长 TM 至点 N ，使得 M 为 TN 的中点. 设 △ONT 的面
积为S，四边形 OAMB 的面积为 S . 下列命题正确的是( )
OAMB
A. 点 N 的坐标是 (2cosα,sinα)
√2 2√6
B. 若 S= ，则 S =
3 OAMB 3
√2 √2
C. 若 S= ，则 tanα= 或 tanα=√2
3 2
π S ( √2]
D. 当 0<α≤ 时， 的取值范围是 0,
4 S 2
OAMB
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若命题“ ∃x∈R,x2+m=0 ”是真命题，则实数 m 的取值范围是_____.
(π ) 2 (π )
13. 已知 sin +α = ,α∈ ,π ,则 cosα 的值是_____.
6 5 2
( 3 )
14. 已知函数 f (x)= +k ln(x+2) ,若 f (x)>0 在定义域上恒成立,则实数 k 的
x+1
取值范围是_____.四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步
骤.
15.(1)已知 3a=7 ， log 2=b ，求 log 48 的值(用 a ， b 表示)；
7 7
√3 1
(2)化简: − .
sin20∘ cos20∘
(π π)
16. (1)求函数 f (x)=tan x− 的最小正周期和单调区间；
2 6
(π π)
(2)求函数 g(x)=sin x− 在区间 [−1,1] 上的最大值和最小值.
2 6
17. 动画电影《哪吒之魔童闹海》受到观众的一致好评，以 159 亿元的票房登顶中
国影史票房榜. 已知上映期间孝感某电影院一个放映厅共有 350 个座位. 电影票票
价不分等次. 根据影院的经营经验, 当每张电影票票价不超过 30 元时, 票可全售出;
当每张电影票票价超过 30 元时，每提高 1 元，将有 5 张票不能售出，为了获得
更好的收益，需给影院定一个合适的票价，需符合的基本条件是:①为了方便找零
和算账，票价定为 1 元的整数倍；②电影院放映一场电影的成本费用支出为 8000
元，放映一场电影的收入必须高于成本支出. 设每张电影票票价为 x ( x∈N∗ ,单
位: 元),该影院放映一场电影的净收入 (除去成本费用后的收入)为 f (x) (单位:元).
(1)当每张电影票票价 x 超过 30 元时,为符合基本条件,求 x 的取值范围;
(2)求 f (x) 的解析式;
(3)试问在符合基本条件的前提下，当每张电影票票价 x 为多少元时，放映一场的
每张售出票的净收入最大? 并求出最大值.
a
18. 已知定义域为 R 的函数 f (x)=−2+ (a∈R) 是奇函数.
2x+1
(1)求 a 的值；
(2)求函数 f (x) 的值域；
( 3 )若对于 ∀x∈R ，不等式 f (cos2x+cosx)+f (m2+4m−7)>0 恒成立，求实数
m 的取值范围.
19. 定义一种新运算“ ⊙ ”: 对于任意实数 x,y ,都有
x⊙y=log (ax+ay)(a>0且a≠1) . (1)当 a=2 时，计算 5⊙5 ；
a
(2)对于任意实数 x,y,z ，判断 (x⊙y)+z 与 (x+z)⊙(y+z) 的大小关系，并给
出证明；
(3)已知关于 x 的不等式 (1−2x) 2>[(m2x2)⊙(m2x2)]−log 2 恰有 5 个整数解,求
a
m 的取值范围.1. B
5 (1 )
θ= π∈ π,π ,故 θ 是第二象限角.
6 2
2. A
由 A={x∣lnx<1}={x∣04 ,故充分性不满足,
若 x+ y≤4 ,而 x>0,y>0 ,则 x+ y≥2√xy ,故 2√xy≤4 ,
当且仅当 x= y=2 时等号成立,则 xy≤4 ,必要性成立,
综上,“ xy≤4 ” 是 “ x+ y≤4 ” 的必要不充分条件.
5. A
{ αr=1 { 1
α=
设该扇形半径为 r ,圆心角为 α(α>0) ,则 1 ,解得 4 .
αr2=2
2 r=4
6. B
由幂函数 f (x)=xα 的性质知其为偶函数且 α<0 ,
1
对于 A,α=−1,f (x)=x−1= ,为奇函数,故 A 错误;
x
2
2 − 1
对于 B,α=− ,f (x)=x 5= ,定义域为 (−∞,0)∪(0,+∞) ,
5 √5 x2
1 1
且 f (−x)= = =f (x) ,故 f (x) 为偶函数,故 B 正确;
√5 (−x) 2 √5 x2
2
2
对于 C,α= ,f (x)=x5 ,即 α>0 ,定义域为 R ,故 C 错误;
5
对于 D,α=2,f (x)=x2 ,即 α>0 ,定义域为 R ,故 D 错误.7. C
8. A
9. AC
10. ABD
因为 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x<0 时, f (x)=2x+1 ,
当 x>0 时,则 −x<0 ,可得 f (x)=−f (−x)=−(2−x+1)=−2−x−1 ,故 A 正确;
因为 y=2−x 在 (0,+∞) 上单调递减,可知 f (x) 在 (0,+∞) 上单调递增,故 B 正确,
对于选项 C:因为 f (0)=0 ，可知 f (x) 的值域不为 (−2,−1)∪(1,2) ，故 C 错
误；
3 3
对于选项 D:令 |f (x)|− =0 ，可得 |f (x)|= ，
2 2
作出函数 y=|f (x)| 的图象,
3
由图象可知: y=|f (x)| 与 y= 有 2 个交点,
2
3
所以 y=|f (x)|− 有 2 个零点,故 D 正确.
2
11. ACD
如图,π
由题意可知: A(1,0),B(0,1),M(cosα,sinα) ,其中 0<α< ,则 T(0,sinα) , 且 M
2
为 TN 的中点,可得 N(2cosα,sinα) ,故 A 正确;
1
所以 S= sinα⋅2cosα=sinαcosα ,
2
1 1 1
S =S +S = ×1×sinα+ ×1×cosα= (sinα+cosα).
OAMB △OAM △OMB 2 2 2
对于选项 B:因为 (sinα+cosα) 2=1+2sinαcosα ，即 4S2 =1+2S .
OAMB
若 S=
√2
,则 4S2 =1+2S=1+
2√2
=
(√2+1) 2
,
3 OAMB 3 √3
√2+1 √6+√3 √6+√3
可得 2S = = ,即 S = ,故 B 错误;
OAMB √3 3 OAMB 6
sinαcosα tanα
对于选项 C: 因为 S=sinαcosα= = ,
sin2α+cos2α tan2α+1
√2 tanα √2
若 S= ,即 = .
3 tan2α+1 3
√2
可得 √2tan2α−3tanα+√2=0 ,解得 tanα= 或 tanα=√2 ,故 C 正确; 对于选项
2
S 2sinαcosα
D: 因为 = ,且 (sinα+cosα) 2=1+2sinαcosα , 令
S sinα+cosα
OAMB
( π)
t=sinα+cosα=√2sin α+ ,
4π π π π √2 ( π)
且 0<α≤ ,则 <α+ ≤ ,可得 −1 时, ln(x+2)>0, >0 ,则 y= +k>k ,由 f (x)>0 在区间 (−1,+∞)
x+1 x+1
恒成立, 则 k≥0 ,3 3
当 −20 在区间
x+1 x+1
(−2,−1)
恒成立,则 k−3≤0 ,即 k≤3 ,
综上可知, 0≤k≤3
1
15. (1) +4b
a
(2)4
1
(1)因为 3a=7 ，所以 a=log 7= ，
3 log 3
7
1
所以 log 48=log (3×16)=log 3+log 16=log 3+4log 2= +4b .
7 7 7 7 7 7 a
(2)
(√3 1 )
2 cos20∘− sin20∘
√3 1 √3cos20∘−sin20∘ 2 2 2cos(20∘+30∘) 2cos50∘ 2sin40∘
− = = = = = =4
sin20∘ cos20∘ sin20∘cos20∘ 1 1 1 1
sin40∘ sin40∘ sin40∘ sin40∘
2 2 2 2
( 2 4 )
16. (1)最小正周期为2，单调递增区间为 − +2k, +2k ,k∈Z ，无单调递减区
3 3
√3
间.(2)最大值为 ,最小值为 -1 .
2
π
(π π) T= =2
(1) f (x)=tan x− 的最小正周期为 π ,
2 6
2
π π π π 2 4
令 − +kπ< x− < +kπ,k∈Z ,解得 − +2k8000 ,
化简得 x2−100x+1600<0 ,
解得 200 ,解得 x> ,所以 23≤x≤30 且 x∈N∗ ,
7
当 31≤x≤79 且 x∈N∗ 时,净收入
f (x)=x[350−5(x−30)]−8000=−5x2+500x−8000 ,
{ 350x−8000,23≤x≤30且x∈N∗
所以 f (x)=
−5x2+500x−8000,31≤x≤79且x∈N∗
(3)对于 f (x)=350x−8000,x≤30 且 x∈N∗ ,每张售出票的净收入为
f (x) 160 50
=x− x=30 时,每张售出票的净收入最大为 元,
350 7 7
对于 f (x)=−5x2+500x−8000,31≤x≤79 且 x∈N∗ ,
每张售出票的净收入为
f (x) −5x2+500x−8000 −(x2−100x+1600) ( 1600 ) √ ( 1600 )
= = =− 100−x+ +100≤−2 (100−x) +100=20
350−5(x−30) 350−5(x−30) 100−x 100−x 100−x
,
当且仅当 x=60 时,取等号,最大值为 20,
所以票价定为 60 元时, 每张售出票的净收入最多为 20 元.
18. (1)a=4(2)值域为 (−2,2) .
(3) (−5,1) .
a
(1) f (x) 的定义域为 R ,且为奇函数,故 f (0)=−2+ =0 ,解得 a=4 ,
2
当 a=4 时,
4 4⋅2x 4⋅2x 4⋅(2x+1)−4 4
f (−x)=−2+ =−2+ =−2+ =−2+ =2− =−f (x)
2−x+1 (2−x+1)2x 2x+1 2x+1 2x+1
, 故 f (x) 为奇函数，所以 a=4 .
4
(2) f (x)=−2+ ，
2x+1
4 4
由于 2x>0 ,则 2x+1>1 ,故 ∈(0,4) ,因此 f (x)=−2+ ∈(−2,2) ,
2x+1 2x+1
故值域为 (−2,2) .
4
(3)由于 y=2x+1 为 R 上的单调递增函数，故 y= 为 R 上的单调递减函
2x+1
数，
4
则 f (x)=−2+ 为 R 上的单调递减函数,
2x+1
由 f (cos2x+cosx)+f (m2+4m−7)>0 可得
f (cos2x+cosx)>−f (m2+4m−7)=f (−m2−4m+7),
故 cos2x+cosx<−m2−4m+7 对于 ∀x∈R 恒成立,
由于 g(x)=cos2x+cosx=2cos2x+cosx−1=2 ( cosx+ 1) 2 − 9 ,
4 8
由于 cosx∈[−1,1] ,故当 cosx=1 时,取到 g(x) 最大值 2,
故 −m2−4m+7>2 ,因此 m2+4m−5<0 ,解得 −5(log 2+m2x2)−log 2 ,
a a
化简可得 (4−m2)x2−4x+1>0 ,
显然,若 4−m2=0 则原不等式有无数个整数解,所以 4−m2≠0 ,也即 m≠±2 ,
令 g(x)=(4−m2)x2−4x+1 ,若 g(x)>0 恰有 5 个整数解,则该二次函数开口向下,
有 4−m2<0 ,解得 m>2 或 m<−2 ,
且进一步 g(0)=1>0,g
(1)
=−
1
m2<0 ,对称轴 x=−
−4
=
2
<0 ,
2 4 2(4−m2) (4−m2)
( 1)
所以 g(x)=0 较大的根 x ∈ 0, ,结合 g(x)>0 恰有 5 个整数解,
2 2
可知整数解为 0,−1,−2,−3,−4 ,所以 g(x)=0 较小的根 x ∈[−5,−4) ,
1
{g(−5)≤0 {25(4−m2)+20+1≤0
结合二次函数图像特性可知 ,即 ,
g(−4)>0 16(4−m2)+16+1>0
9 11 11 9 ( 9 11] [11 9)
解得 −
