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高一数学学科素养测评
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的，请把正确选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D. 或
2. 已知 是第三象限角，那么 是（ ）
A. 第二象限角 B. 第四象限角
C. 第一或第三象限角 D. 第二或第四象限角
3. 若函数 的图像关于坐标原点对称，则实数a的值为（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D. – 1
4. ，用 表示 中 的最小者，记为 ；若
，则 的最大值为
.
A 0 B. 1 C. 2 D. 3
5. 设 ，则 是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 若 ，则 的最小值为（ ）
A. 2 B. C. D. 4
7. 已知 则（ ）A. B. C. D.
8. 已知函数 ，若 恒成立，则 的最小值为（ ）
A. 4 B. C. 2 D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数 的定义域为 ，且 是偶函数，函数 的图象关于坐标原点对称，
当 时， 则（ ）
A. 函数 在上单调递减 B. 当 时，
C. 直线 是函数 图象的一条对称轴 D.
10. 若 ，且 则（ ）
A. B. C. D.
11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美称.函数 称为高斯函
数，其中 ， 表示不超过x的最大整数.如: ，函数 ，则（
）
A. 是偶函数
B. 不等式 的解集为
C. 若 ，则 或
D. 函数 有2025个零点三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 已知 且 ，则 ________
13. 物体在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ ，空气的温度是θ₀℃，tmin后物体的温度θ℃满足关
₁℃
系式： 其中k 是正常数.现有90℃的物体放在 10℃的空气中冷却，3min后物体的温
度为50℃，则此物体的温度降为20℃还需________min.
14. 已知正实数 满足 则 的最小值为_______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
.
15 已知函数
（1）若函数 的定义域为 ，求 的取值范围；
（2）若函数 求函数 的值域.
16. 基本再生数 与世代间隔T是流行病学衡量某疾病传染性强弱的基本参数，基本再生数指一个感染者
传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．一地区去年冬季突发某传染性肺炎疫情，
经统计可用指数模型： 描述疫情初始阶段累计感染病例数 随时间t（单位：天）的变化规
律，其中 表示 时累计感染病例数．指数增长率 r 与 和 T 近似满足 ，已知
．（参考数值: ）
的
（1）根据上述数据，请估计在疫情初始阶段，累计病例数增加1倍需要 时间大约是多少天?（结果保留
整数）（2）疫情之后，人们防护意识增强，日常医用防护用品需求增大，某服装厂决定进入该领域，现有A、B
两种医用产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与
投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，纵坐标表示利润，单位
均为万元）．该厂拟投入 万元用于 A、B两种产品的生产，问：怎样分配这 万元资金，才能使该
厂利润最大?最大利润是多少?
17. 已知函数
（1）若函数 在 单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若函数 在区间 内恰有一个零点，求实数a的取值范围.
18. 设函数 满足:①对任意实数x，y都有 ；②对任意 ，都
有 ；③ 不恒为0，且当 时， .
（1）求 ， 的值;
（2）判断函数 的奇偶性，并给出你的证明；
（3）定义“若存在非零常数T，使得对函数 定义域中的任意一个x，均有 ，则称
为以T为周期的周期函数”.试证明：函数 是以6为周期的周期函数，并求出
的值.
19. 函数 的定义域为 ，若区间 ，函数 在 上的值域是 ，则称 为
函数 的“ 跟随区间”，特别地，当 时，称 是函数 的“保值区间”.
（1）求函数 的“ 跟随区间”；（2）证明：函数 不存在“保值区间”；
（3）定义域为 的函数 满足：① 为奇函数；②当 时， 若函数
在 上存在“保值区间”，求实数 的取值范围.
