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高一数学学科素养测评
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的，请把正确选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】先求解一元二次不等式得出集合 ，再应用并集定义计算求解.
【详解】 ，
；
所以 .
故选：B.
2. 已知 是第三象限角，那么 是（ ）
A. 第二象限角 B. 第四象限角
C. 第一或第三象限角 D. 第二或第四象限角
【答案】D
【解析】
【分析】由已知有 ， ，再求出 的范围，即可得.
【详解】由 ， ，则 ， ，
为奇数时， 在第四象限，为偶数时， 在第二象限，
所以 在第二或第四象限.
故选：D
3. 若函数 的图像关于坐标原点对称，则实数a的值为（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D. – 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可知 ，计算解得参数的值.
【详解】因为函数 的图象关于坐标原点对称，所以 ，
即 ，化简得 ，解得 ，
故选：B.
4. ，用 表示 中的最小者，记为 ；若
，则 的最大值为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】画出函数图象，即可求解.
【详解】由 ，可得： ，画出函数 的图象，如下图，由图象可知当 时， 取得最大值2，
故选：C
5. 设 ，则 是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由题知 ，进而移项配方得 ，
故 ，再根据充要条件判断即可.
【详解】
，
所以， 是 的充要条件.
故选：C
6. 若 ，则 的最小值为（ ）
A. 2 B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】应用四元基本不等式求目标式的最小值，注意取值条件.
【详解】由 ，当且仅当 ，即 时取等号，故 的最小值为4.
故选：D
7. 已知 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由 ，利用对数公式整理成
，构造函数 ，利用导数法得到 在
上是单调递减函数，由 ，得到 ，即
，从而得到 .
【详解】 ，
，
，
设 ，则 ，
设 ， ，， ， 在 上是单调递增函数，
， ， ，
，
，
， 在 上是单调递减函数，
，
，
，
.
故选：A.
8. 已知函数 ，若 恒成立，则 的最小值为（ ）
A. 4 B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先分析 隐含的条件， 同号或至少有一个为0，结合这两
个函数的图象及零点分类讨论即可得到 ，从而求解.
【详解】因为 ，所以 的定义域为 .
恒成立，即对于定义域内的任意 ， 同号或至少有一个为0.
函数 均为增函数，且 有唯一的零点 ， 有唯一的零点 .
当 时，当 时， ， ，
则 ，不符合题意；
当 时，若 ， ， ，
则 ，不符合题意；
当 时，当 时， 同号或同时为0， 恒成立，符合题意.
综上， .
所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立.
故选：B.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数 的定义域为 ，且 是偶函数，函数 的图象关于坐标原点对称，
当 时， 则（ ）
A. 函数 在 上单调递减 B. 当 时，
的
C. 直线 是函数 图象 一条对称轴 D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据 是偶函数，可以判断选项C；根据 的图象关于坐标原点对称，结合
选项C可得到 的一个周期，从而判断选项D；当 时，通过 ，与已知的解析式
建立联系，可判断选项B；当 时，通过 ，与B中的解析式建立联系，可判断选项A.【详解】因为 是偶函数，
所以 ，即 ，亦即 ，
所以直线 是函数 图象的一条对称轴，故C正确.
因为 的图象关于坐标原点对称，所以 是奇函数，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，即 的一个周期为4，
所以 ，故D错误.
当 时， ；
当 时， ，又 ， 的一个周期为4，所以
，故B正确.
当 时， ，所以 ，由复合函数的
单调性知， 在 上单调递增，故A错误.
故选：BC.
10. 若 ，且 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由已知等式两端同乘 化简得到 ，再结合基本不等式逐项判断即可.
【详解】由 两端同乘 可得： ，即 ，又 ，
所以 ，
对于A，由 ，令 ，
得 ，解得 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，A正确，
对于B， ，当且仅当 时取等号，
B正确，
对于C，由 ，当且仅当 时取等号，
可得 ，当且仅当 时取等号，C错误；
对于D， ，当且仅当 时取等号，D正确，
故选：ABD
11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美称.函数 称为高斯函
数，其中 ， 表示不超过x的最大整数.如: ，函数 ，则（
）
A. 是偶函数
B. 不等式 的解集为
C. 若 ，则 或D. 函数 有2025个零点
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数奇偶性的定义判断A，结合高斯函数解不等式判断B，换元解方程判断C，利用零点的
定义结合题干判断D.
【详解】 ，
又 ，不满足偶函数的定义， 不是偶函数，故A错误，
令 ，原不等式化为 ，解得 ，
又 ， ，即不等式的解集为 ，故B正确，
令 ，则 ，由于 是整数， 也是整数，
设 ，则 ， ，
， ，
解不等式 ，解得 ；解不等式 ，解得 ，故 的取值范围为
，
， 或 ，此时 或 ，故C正确，
，则 ，则， 为整数，
设 ，则 ，
解不等式 ，解得 ；解不等式 ，解得 ， 的解
集为 ，
的取值为 ，共 个，
即函数 有2025个零点，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 已知 且 ，则 ________
【答案】 或
【解析】
【分析】先利用立方和公式对分子进行因式分解，然后化简等式，最后通过解方程求出 的值.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
设 ，则 可化为 ，
即 ，解得 或 .因为 ，所以 或 .
故答案为： 或
13. 物体在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ ，空气的温度是θ₀℃，tmin后物体的温度θ℃满足关
₁℃
系式： 其中k 是正常数.现有90℃的物体放在 10℃的空气中冷却，3min后物体的温
度为50℃，则此物体的温度降为20℃还需________min.
【答案】
【解析】
【分析】首先根据第一次温度的变化过程，计算得到 ，再根据第二次的温度变化，计算得到最终
的结果.
【详解】由题意得： ，当 ， 时， ，代入
得： ，解得： ；
设物体的温度从90℃降为20℃，所需时间为 ，即此时 ， ， ，代入
得： ， ，解得： min；
所以，此物体的温度降为20℃还需 min.
故答案为： .
14. 已知正实数 满足 则 的最小值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】利用双变量同构函数思想，构造函数 ，从而把问题转化为研究函数单调性可得 ，最后利用基本不等式即可求得最小值.
【详解】因为正实数 ， ，
所以两边同除以 得：
整理得： ，
构造 ，由于
则原不等式等价于 ，
因为 ，所以 ，
即 是 上的单调递增函数，
所以 ，
则 ，取等号条件是 ，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数
（1）若函数 的定义域为 ，求 的取值范围；
（2）若函数 求函数 的值域.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】(1)利用二次不等式恒成立来求参数范围，再结合分类讨论，可求解问题；
(2)利用复合型二次函数求值域即可.
【小问1详解】
由
因为定义域为 ，所以 满足 或 ，
解得 ，故 的取值范围为 ；
【小问2详解】
当 根据对数函数的单调性可知： ，
又由
，
所以当 时， 有最大值 ，当 时， 有最小值 ，
故函数 的值域为 .
16. 基本再生数 与世代间隔T是流行病学衡量某疾病传染性强弱的基本参数，基本再生数指一个感染者
传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．一地区去年冬季突发某传染性肺炎疫情，
经统计可用指数模型： 描述疫情初始阶段累计感染病例数 随时间t（单位：天）的变化规
律，其中 表示 时累计感染病例数．指数增长率 r 与 和 T 近似满足 ，已知
．（参考数值: ）（1）根据上述数据，请估计在疫情初始阶段，累计病例数增加1倍需要的时间大约是多少天?（结果保留
整数）
（2）疫情之后，人们防护意识增强，日常医用防护用品需求增大，某服装厂决定进入该领域，现有A、B
两种医用产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与
投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，纵坐标表示利润，单位
均为万元）．该厂拟投入 万元用于 A、B两种产品的生产，问：怎样分配这 万元资金，才能使该
厂利润最大?最大利润是多少?
【答案】（1）2 （2）对 产品投资4万元，对 产品投资 万元时利润最大；
【解析】
【分析】（1）利用已知函数模型结合已知条件，运用指数、对数运算法则计算求解；
（2）先分析利润、投资比例系数，列出利润函数，再根据二次函数的性质求解．
【小问1详解】
， ，
，
累计病例数增加1倍，即 ，
，即 ， ，
大约需要2天．
【小问2详解】
设对 产品投资 万元，则对 产品投资 万元，总利润为 万元，
由图①可知， 产品的利润与投资成正比，当投资为2万元时，利润为1万元，比例系数为 ，故 产品 的利润为 ，
由图②可知， 产品的利润与投资的算术平方根成正比，当投资为4万元时，利润为4万元，
比例系数为 ，即 产品的利润为 ，
总利润函数为： ，
令 ，则 ，原函数转化为： ，
函数图象开口向下，最大值在顶点处，顶点横坐标为 ，
，即对 产品投资4万元，对 产品投资 万元，
最大利润为 万元．
.
17 已知函数
（1）若函数 在 单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若函数 在区间 内恰有一个零点，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）按照 和 讨论求解，当 时，求出 的对称轴为，由 在 单调递增，得到 ，从而得到 的取值范围，
（2）按照 和 讨论求解，当 时，按照 和 讨论求解，当 时，由函数
在区间 内恰有一个零点，得到 ，从而实数a的取值范围.
【小问1详解】
，
当 时， ，满足函数 在 单调递增，则 符合题意；
当 时， 的对称轴为 ，
在 单调递增， ， ，
，
综上可知，若函数 在 单调递增，则实数a的取值范围为 ；
【小问2详解】
，
当 时， ， ， ，故 符合题意；
当 时， ，
当 时，即 ，解得 ，此时 的解为 ， ，故 符合题意；
当 时，即 ，解得 ，
若函数 在区间 内恰有一个零点，
则 ，解得 或 ，
当 时， 的解为 或 ，符合题意；
当 时， 的解为 或 ，符合题意；
综上可知，若函数 在区间 内恰有一个零点，
则实数a的取值范围为 或 .
18. 设函数 满足:①对任意实数x，y都有 ；②对任意 ，都
有 ；③ 不恒为0，且当 时， .
（1）求 ， 的值;
（2）判断函数 的奇偶性，并给出你的证明；
（3）定义“若存在非零常数T，使得对函数 定义域中的任意一个x，均有 ，则称
为以T为周期的周期函数”.试证明：函数 是以6为周期的周期函数，并求出
的值.
【答案】（1）（2）证明见解析 （3）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）利用赋值法，建立方程，求得根，根据题干中的条件，验根，可得答案；
（2）利用赋值法，根据奇偶函数的定义，可得答案；
（3）利用赋值法，根据周期性的定义，利用方程思想，可得答案.
【小问1详解】
由条件①， ，则 ，
化简可得 ，解得 或 ，
当 时，由条件①，令 ，则 ，
解得 ，与条件③中 不恒为零相矛盾，应舍去，故 ，
由条件①，令 ，则 ，
由条件②，令 ，则 ，
代入上式可得 ，解得 ，
当 时，由条件①，令 ，则 ，
化简可得 ，解得 ，
与条件③中当 时， 相矛盾，应舍去，故 .
【
小问2详解】
由条件①， ，则 ，
化简可得 ，可得 ，
所以函数 为偶函数.
【小问3详解】由条件①，令 ，则 ，
由条件②，可得 ，即 ，
因为 ，所以 为函数 的周期，
由条件①，令 ，则 ，
化简可得 ，解得 ，
由条件①，令 ，则 ，
由上式，令 ，则 ，
所以 ，
可得 ，
由条件①，令 ，则 ，
化简可得 ，分解因式可得 ，
由 ，则解得 ，可得 ，
由 ，则
.
19. 函数 的定义域为 ，若区间 ，函数 在 上的值域是 ，则称 为
函数 的“ 跟随区间”，特别地，当 时，称 是函数 的“保值区间”.（1）求函数 的“ 跟随区间”；
（2）证明：函数 不存在“保值区间”；
（3）定义域为 的函数 满足：① 为奇函数；②当 时， 若函数
在 上存在“保值区间”，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）证明见解析； （3）
【解析】
【 分 析 】 （ 1 ） 由 得 ， 进 而 根 据 函 数 在 上 单 调 递 增 得
，再结合 即可求得答案；
（2）假设函数 存在“保值区间” ，则必有 或 ，再根据函数的单调
性列方程，得到方程组无解即可证明；
（3）先根据函数的对称性得， ，进而得 及 与
时的图象，再分 ， ， 三种情况讨论求解即可.
【小问1详解】解：设函数 的“ 跟随区间”为 ，则 的值域为
因为 ，
所以 ，即 ，
所以函数 在 上单调递增，
所以 ，即 是一元二次方程 的两个实数根，解得 或
，
又因为 ，所以 ， .
所以函数 的“ 跟随区间”为 .
【小问2详解】
证明：函数 的定义域为
假设函数 存在“保值区间” （ ），则必有 或 ，
因为 在 和 上均为单调递减函数，
所以 ，两式作差得： ，即
因为 ，所以 ，即 ，将 代入 得 ，此方程无解，
所以函数 不存在“保值区间”.
【小问3详解】
解：因为 为奇函数，
所以函数 的图象关于点 对称，即
当 时， ，
所以当 时， ， ，
所以 ，
当 时， ，且单调递增，
因为函数 的图象关于点 对称，
所以当 时， ，且单调递增，
所以， 在 与 图象如图所示：
当 时，函数 ，显然不存在“保值区间”，
若函数 在 存在“保值区间” （ ），当 时，
若 ，则 ，所以 ，不合题意，
所以若在 存在“保值区间” ，则必有
因为函数 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 在 上有两个不同的解 ，
令 ，则 ，当且仅当 时等号成立，且 ， 时有两个不同
的解；
所以 ，
当 时，
若 ，则 ，所以 ，不合题意，
所以，若在 存在“保值区间” ，则必有 ，
由于函数 在 上单调递减，
所以 ，
两式作差得 ，即： ，
将 代入 得 ，
即 ，所以 ，所以，当 ， ， 时， 在 存在“保值区间”
综上，当实数 的取值范围为
