文档内容
南平市 2024-2025 学年第一学期高二年级期末质量检测
数学试题
本试卷共6页.考试时间120分钟.满分150分.
注意事项：1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考
生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一
致.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将案写在答题卡上，写在本试
卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知点 ， ，则直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知数列 为等差数列，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量 ， ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知抛物线 ： 的焦点为 ，若 上的点 与焦点 的距离为 ，则 的
值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 已知数列 满足： ，若 ，则 （ ）A. B. C. D.
6. 过点 作圆 ： 的切线 ， ，切点分别为 ， ，则四边形 的面积
为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知椭圆 ： ，直线 ： ，若点 为 上的一点，则点 到直线 的距离
的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在三棱锥 中，点 为底面 的重心，点 是线段 的中点，过点 的平面分
别交 ， ， 于点 ， ， ，若 ， ， ，则 （
）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知圆 ： 与圆 ： ，则以下结论正确的是（ ）
A. 若过点 与圆 相切的直线有且只有 条，则
B. 若直线 过点 ，且平分圆 的周长，则 的方程为：C. 若圆 与圆 有且只有2条公切线，则
D. 若 ，则圆 与圆 的公共弦长为
10. 设 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积，若 ， ，则以
下结论正确的是（ ）
A. B. 数列 是单调递增数列
C. D. 当 取最大值时， 或
11. 已知直线 经过拋物线 ： 的焦点 ，且与 交于 ， 两点.记点
为坐标原点，直线 为 的准线，则以下结论正确的是（ ）
A. B. 以 为直径的圆与 相切
C. D. 的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线 ： 与 ： 平行，且 过点 ，则 与 间的距离为______.
13. 已知双曲线 ： ，点 在 上，过点 作 的两条渐近线的垂线，垂足分别为 ，
，若 ，则 的离心率为______.
14. 如图，在棱长为2的正方体 中，点 ， 分别是平面 和平面 内的
动点，若点 为棱 的中点，则 的最小值为______ .四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知等比数列 的公比 ，且 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，数列 前 项和为 ，证明： .
的
16. 已知圆心在直线 上的圆 经过点 ，且与直线 相切.
（1）求圆 的方程；
（2）若经过点 的直线 与圆 相交于 ， 两点，且 ，求直线 的方程.
17. 在三棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ，点 是
棱 的中点，点 在棱 上，且 .
（1）求证： ；
（2）若四棱锥 的体积为 ，求平面 与平面 夹角的大小.18. 已知椭圆 ： 的左，右焦点分别为 ， ，离心率为 .
（1）求 的标准方程；
（2）若 的左，右顶点分别为 ， ，过点 作斜率不为0的直线 ，与 交于两个不同的点 ，
.
（ⅰ）若 ，求直线 的方程；
（ⅱ）记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，证明： 为定值.
19. 对于数列 ，若存在常数 ，对任意 ，恒有 ，
则称数列 是 数列.
（1）已知数列 的通项公式为 ，证明：数列 是 数列；
（2）已知 是数列 的前 项和， ，证明：数列 是 数列；
（3）若数列 ， 都是 数列，证明：数列 是 数列.
