文档内容
南平市 2024-2025 学年第一学期高二年级期末质量检测
数学试题
本试卷共6页.考试时间120分钟.满分150分.
注意事项：1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考
生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一
致.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将案写在答题卡上，写在本试
卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知点 ， ，则直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用两点斜率公式求斜率，结合倾斜角与斜率关系求倾斜角.
【详解】由两点斜率公式可得直线 的斜率 ，
设直线 的倾斜角为 ， ，
则 ，
所以 .
故选：A.
2. 已知数列 为等差数列，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.【答案】B
【解析】
【分析】由条件结合等差数列性质若 ，则 求结论.
【详解】因为数列 为等差数列，
所以若 ，则 ，
所以 ，又 ，
所以 .
.
故选：B
3. 已知向量 ， ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据公式 在 方向上的投影向量为 ，结合数量积运算公式和模的公式求结论.
【详解】因为 ， ，
所以 ， ，
又 在 方向上的投影向量为 ，
所以 在 方向上的投影向量为 .
故选：A.
4. 已知抛物线 ： 的焦点为 ，若 上的点 与焦点 的距离为 ，则 的
值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B
【解析】
【分析】由条件结合抛物线定义列方程求 可得结论.
【详解】抛物线 的准线方程为 ，
点 到直线 的距离为 ，
因为点 与焦点 的距离为 ，
所以 ，
所以 .
故选：B.
5. 已知数列 满足： ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据递推公式依次计算数列前5项后可知数列为周期数列，再根据周期求解即可
【详解】解：因为 且
所以 , ,
, ,, ,
所以数列 是周期数列，且周期为4，
所以 .
故选：C
6. 过点 作圆 ： 的切线 ， ，切点分别为 ， ，则四边形 的面积
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由圆的方程求圆心坐标和半径，再求 ，结合切线性质求 ， ，再利用三角形面积公
式求 的面积，结合对称性可得结论.
【详解】圆 的圆心为 ，半径 ，
由切线性质可得 ， ， ，
又点 的坐标为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 的面积 ，
的面积 ，
所以四边形 的面积 .故选：D.
7. 已知椭圆 ： ，直线 ： ，若点 为 上的一点，则点 到直线 的距离
的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆的方程，采用三角代换，利用点到直线的距离公式表示出点 到直线 ： 的
距离，结合辅助角公式即可求得答案.
【详解】由 ，可得其参数方程为 （ 为参数），
可设 ，点 到直线 ： 的距离为 ，
则有 ，其中 ，
，
故当 时， ， 取得最小值，
此时 ， ，即当 的坐标为 时， 有最小值为 .
故选：B.
8. 如图，在三棱锥 中，点 为底面 的重心，点 是线段 的中点，过点 的平面分
别交 ， ， 于点 ， ， ，若 ， ， ，则 （
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由空间向量基本定理，用 表示 ，由 ， ， ， 四点共面，可得存在实数
，使 ，再转化为 ，由空间向量分解的唯
一性，列方程求其解可得结论.
【详解】由题意可知，
因为 ， ， ， 四点共面，
所以存在实数 ，使 ，所以 ，
所以
，
所以
，所以 ．
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知圆 ： 与圆 ： ，则以下结论正确的是（ ）
A. 若过点 与圆 相切的直线有且只有 条，则
B. 若直线 过点 ，且平分圆 的周长，则 的方程为：
C. 若圆 与圆 有且只有2条公切线，则
D. 若 ，则圆 与圆 的公共弦长为
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，分析可知圆心 的圆心在圆 上，将圆心 的坐标代入圆 的方程，求出 的值，判
断A；对于B，由条件可得 过 ，由此可求 斜率，再求其方程，判断B，对于C，分析可知，两圆相交，
根据圆与圆的位置关系求出 的取值范围，判断C选；对于D，先求两圆的公共弦所在直线方程，利用弦
长公式求出两圆的公共弦长，判断D.
【详解】圆 的标准方程为 ，圆心 ，半径为 ，圆 的圆心为 ，半径为 ，
对于A选项，若过点 与圆 相切的直线只有 条，
则圆 的圆心 在圆 上，
则有 ，因为 ，所以方程无解，
即过点 与圆 相切的直线不可能有且只有 条，A错误；
的
对于B选项，因为直线 平分圆 周长，
所以直线 过点 ，又直线 过点 ，
所以直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，B正确；
对于C选项，若圆 与圆 有且只有 条公切线，则两圆相交，
且 ，
由题意可得 ，即 ，
因为 ，解得 ，C正确；
对于D选项，当 时，圆 的方程为 ，
圆心为 ，半径为 ，
由C选项可知，两圆相交，
将两圆方程作差可得 ，
此时，两圆的相交弦所在直线的方程为 ，
圆心 到直线 的距离为 ，所以，两圆的公共弦长为 ，D错误.
故选：BC.
10. 设 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积，若 ， ，则以下结
论正确的是（ ）
A. B. 数列 是单调递增数列
C. D. 当 取最大值时， 或
【答案】ACD
【解析】
【分析】由条件确定 为等比数列，再结合通项公式及求和公式判断ACD，求数列 的通项，
结合数列的单调性的定义判断B.
【详解】由 ， ，
得 ，即 首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，A正确；
，
所以 ，
所以数列 是单调递减数列，B错误；
，C正确；因为 首项为 ，公比为 的等比数列，单调递减， ，
所以当 取最大值时， 或 ，D正确.
故选：ACD.
11. 已知直线 经过拋物线 ： 的焦点 ，且与 交于 ， 两点.记点
为坐标原点，直线 为 的准线，则以下结论正确的是（ ）
A. B. 以 为直径的圆与 相切
C. D. 的面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由焦点坐标 ，得到抛物线方程，联立直线方程，结合焦点弦长公式，逐个判断即可.
【详解】直线 过抛物线 的焦点，
可得焦点 ，
所以 ，则 ，所以A正确；
抛物线方程为 ，准线 的方程为 ，
直线 与抛物线 交于 两点，设 ，
直线方程代入抛物线方程消去 可得 ，
则 ，得 ，所以C错误；的中点的横坐标 ，中点到抛物线的准线的距离为 ，
则以 为直径的圆与 相切，所以B正确；
点到直线 的距离 ， ，所以D正确．
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线 ： 与 ： 平行，且 过点 ，则 与 间的距离为______.
【答案】 ##
【解析】
【分析】由直线 列方程，可求 ，再结合直线 过点 列方程求 ，再结合平行直线距离公式
求结论.
【详解】因为直线 ： 与 ： 平行，
所以 ，
所以 ， ，
因为 过点 ，
所以 ，
所以 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
所以 与 间的距离 .故答案为： .
13. 已知双曲线 ： ，点 在 上，过点 作 的两条渐近线的垂线，垂足分别为 ，
，若 ，则 的离心率为______.
【答案】2
【解析】
【分析】设点 ，利用点到直线的距离公式，结合点 在 上即可求解.
【详解】设点 ，则 ，即 ，
又两条渐近线方程为 ，即 ，
故有 ，
所以 ，所以 ，
所以 ．
故答案为：2．
14. 如图，在棱长为2的正方体 中，点 ， 分别是平面 和平面 内的
动点，若点 为棱 的中点，则 的最小值为______ .【答案】 ##
【解析】
【分析】先取 ，使 ，再结合对称性得出 ，最后应用空间向
量法求点到平面距离即可得出最小值.
【详解】
以 为坐标原点，以 分别为 轴建立直角坐标系，
在 延长线上取 ，使 ，所以 ，
表示 到平面 的距离，
所以 ，
当 平面 ， 平面 ，此时取 的最小值，
因为 ，所以
，设平面 的法向量为 ，则 ，
所以 ，令 ，则 ，
所以 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知等比数列 的公比 ，且 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，数列 的前 项和为 ，证明： .
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由条件结合等比数列的性质可求 ，再结合等比数列通项公式求 ，由此可求 的通项
公式；
（2）由（1）可得 ，利用裂项相消法求 ，再证明结论.
【小问1详解】
因为数列 是等比数列，且 ，
解得 或 ，
若 ， ，则 与 矛盾，舍去；
若 ， ，则 ， ，满足题意，所以 .
【小问2详解】
由（1）知， ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 .
16. 已知圆心在直线 上的圆 经过点 ，且与直线 相切.
（1）求圆 的方程；
（2）若经过点 的直线 与圆 相交于 ， 两点，且 ，求直线 的方程.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）解法一：设圆 的方程为 ，由条件列方程求 可得结论；
解法二：求过点 与 垂直的直线方程，与 联立求圆心坐标，再求圆的半径，由此可得
圆的方程；
（2）由条件结合弦长公式可得圆心 到直线 的距离 ，分直线 的斜率不存在和存在两种情况求对
应的直线方程可得结论.
【小问1详解】
解法一 因为圆心 在直线 上，所以设圆心为 ，
设圆C的方程为 ，则依题意可得， ，
解得，
所以圆心 ，半径 ，
即圆的标准方程为 .
解法二 因为 在直线 上，所以 为切点，
过点 与 垂直的直线为 ，
联立 得，圆心 ， ，
故圆的标准方程为 .
【小问2详解】
由（1）可得圆心 ，半径 ，
由 得圆心 到直线 的距离为 ，
（ⅰ）当过点 的直线斜率不存在时，则直线方程为 ，
圆心 到直线 的距离为2，符合题意；
（ⅱ）当过点 的直线斜率存在时，
可设直线 方程 ，即 ，
由圆心 到该直线的距离 ，
可得 ，解得 ，此时，直线 的方程为 ，
综上所述，直线 的方程为 或 .
17. 在三棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ，点 是
棱 的中点，点 在棱 上，且 .
（1）求证： ；
（2）若四棱锥 的体积为 ，求平面 与平面 夹角的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的性质可得线面垂直 平面 ，进而得 .根据等腰直角三角
形的性质可得 ，即可证明线面垂直求证，或者建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算求解
（2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角公式求解，或者利用空间垂直关系得
为两平面的平面角，进而根据三角形的边角关系求解..
【小问1详解】
解法一；由 ， 是棱 的中点，得 .
又平面 平面 ，平面 平面 ，且 平面 ；.
所以 平面 ， 平面 ，得
取 中点 ， ， ，知 ，点 ，
即 为 中点，又 是棱 的中点， 知 ， ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 .
解法二：由 ， 是棱 的中点，得 .
又平面 平面 ，平面 平面 ，且 平面 ；
所以 平面 ， 平面 ，得 .
连接 ，则由 ，及 是线段 的中点，得 .
由（1）知， 平面 ，以点 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，
建立如图所示空间直角坐标系.
设 ，得 ， ， ， ，
则 ， ， ，所以 .
【小问2详解】
连接 ，则由 ，及 是线段 的中点，得 .
由（1）知， 平面 ，如图以点 为坐标原点，， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系.
四棱锥 的体积为 ，且 ， ，
，得
是线段 的中点， ，
.
得 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ，设平面 的一个法向量为 ，
则 取 ，可得 ；
由（1）知 平面 ，所以平面 的一个法向为 ，
设平面 与平面 夹角为 ，则 ，
因为 ，所以平面 与平面 的夹角为 .
18. 已知椭圆 ： 的左，右焦点分别为 ， ，离心率为 .
（1）求 的标准方程；
（2）若 的左，右顶点分别为 ， ，过点 作斜率不为0的直线 ，与 交于两个不同的点 ，.
（ⅰ）若 ，求直线 的方程；
（ⅱ）记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，证明： 为定值.
【答案】（1）
（2）（ⅰ） ，或 ；（ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由条件列关于 的方程，解方程求 ，由此可得椭圆方程；
（2）解法一：（ⅰ）设直线 的方程为 ，利用设而不求法表示关系 ，解方程求
可得结论；
（ⅱ）由（1）可得 ，由（ⅰ）可得 ，代入即可证明结论；
解法一：（ⅰ）设直线 的方程为 ，利用设而不求法表示关系 ，解方程求 可得结
论；
（ⅱ）由（1）可得 ，结合设而不求结论代入即可证明结论；
【小问1详解】
设椭圆的半焦距为 ，
因为椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，
所以 ，又椭圆 的离心率为 ，
所以 ，
故 ，于是 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
【小问2详解】
解法一：（ⅰ）因为直线 的斜率存在且不为 ，所以设直线 的方程为 ，
代入 ，即 ，得 ，
整理可得， .
因为 ，所以设 ， ，
则 ， .
又 ， ，且 ，
故 ，
于是 ，化简得， ，解得， .
所以直线 的方程为： ，即 ，或 .
（ⅱ）由椭圆的定义知， ， ，故 ， ，
于是， .由于 ，故 ，
从而 为定值.
解法二：（ⅰ）因为直线 的斜率存在且不为 ，
所以设直线 的方程为 ，
代入 ，即 ，得 ，
整理可得， .
因为 ，
所以设 ， ，则 ， .
又 ， ，且 ，
故
于是 ，
化简得 ，解得 ，
所以直线 的方程为： ，
即 ，或 ；
（ⅱ）由椭圆的定义知， ， ，
故 ， ，.
故 定值.
为
【点睛】方法点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或 )建立一元
二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方
程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
19. 对于数列 ，若存在常数 ，对任意 ，恒有 ，
则称数列 是 数列.
（1）已知数列 的通项公式为 ，证明：数列 是 数列；
（2）已知 是数列 的前 项和， ，证明：数列 是 数列；
（3）若数列 ， 都是 数列，证明：数列 是 数列.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由条件可得 ，证明 ，结合定
义判断结论，
（2）由条件，结合 与 关系求数列 的通项公式，证明 ，结合等比数列求和公式证明 ，结合定义判断结论；
（ 3 ） 由 定 义 存 在 ， 满 足 有 ；
. 设 ， ， 先 证 明
， 再 证 明
，结合定义判断结论.
【小问1详解】
因为 ，易知 ，
所以 ，
于是
，所以 为 －数列.
【小问2详解】
因为 ，当 时， ，解得 ；
当 时， ，两式相减得 ， ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 .
于是故 .
因此数列 是 数列.
【小问3详解】
若数列 ， 是 数列，则存在正数 ， ，对任意 ，
有 ； .
注意到
.
同理， .
记 ， ，则有
.
所以，
.
因此，数列 是 数列.
【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后
根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.
但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，
以不变应万变才是制胜法宝.
