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北京市第十九中学 2024-2025 学年第一学期期中考试试卷
高一数学
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的，请把正确答案填涂在答题纸相应位置上.）
1. B
2. C
3. C
4. C
5. B
6. A
7. B
8. B
9. C
10. B
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分.）
11.
12.
【答案】
13.
【答案】
14.
【答案】 ①. 1 ②.
15.
【答案】①②④
三、解答题（共4小题，共40分，解答应可出文字说明，演算步骤或证明过程）
16.
【解析】【分析】（1）化简集合 ，根据集合的交并补运算求解；
（2）由 可得 ，再根据子集关系求解出 的取值范围.
【
小问1详解】
由 ，解得 ，
， 或 ，
， .
【小问2详解】
由 可得 ，
当 时，即 ，即 ；
当 时，则 ，解得 ，
综上，实数 的取值范围是 .
17.
【解析】
【分析】（1）证明 即可；
（2）根据减函数的定义证明；
（3）利用奇偶性变形不等式，再由单调性化简即可得．
【小问1详解】
任取 ，则 ，
，所以 是奇函数；
【小问2详解】
设 ，且 是 上的任意两个实数，， ， ， ，
则 ，
即 ，
所以 在区间 上是减函数；
【小问3详解】
不等式 化为 ，
是奇函数，则 ，
又 在区间 上是减函数，
{
2t−1>−t
所以 −2<2t−1<2，解得 ．
−2<−t<2
18.
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的性质，结合题意，求得对称轴，由最值与己知点，可得答案；
（2）根据二次函数的性质，由题意可得对称轴与给定区间的关系，建立不等式，可得答案；
（3）整理不等式，构造函数，利用分类讨论思想，根据对称轴与区间的关系，可得答案.
【小问1详解】
由 ，则二次函数 的对称轴 ，
由二次函数 的最小值为 ，则其顶点为 ，
可设二次函数 ，由 ，则 ，
所以 .
【小问2详解】由题意可得 ，则 ，解得 .
【小问3详解】
由不等式 ，整理可得 ，
令 ，则其对称轴 ，
①当 ，即 时， 在 上单调递增，
则 ，
令 ，解得 ，可得 ；
②当 ，即 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
，
令 ，解得 ，可得 ；
③当 ， 时， 在 上单调递减，
，
令 ，解得 ，此时 无解；综上所述，
19.
【答案】（1）函数 是， 不是，理由见解析；
（2）9； （3） .
【解析】
【分析】（1）依据 增长函数的定义进行验证即可.
（2）将增长函数问题转换为不等式 在区间 恒成立问题进行解决即可.
（3）作出 的图象，再借助函数图象变换列式求解.
【小问1详解】
对于函数 ，因为 ， ，
所以函数 为区间 上的 增长函数；
对于函数 ，当 时， ，
所以函数 不为区间 上的 增长函数.
【小问2详解】
依题意， 对于 恒成立，
等价于 ，即 对 恒成立，
令 ，而 ，则函数 在 上单调递增，
，因此 ，又 ，解得 ，
所以正整数 的最小值为9.
【小问3详解】依题意，当 时， ，当 时， ，
而函数 是R上的奇函数，则函数 的图象如图所示：
于是 ，
又 是R上的 增长函数，则对任意的 ，都有 ，
而函数 的图象是函数 的图象向左平移4个单位而得，如图，
观察图象知，当且仅当 ，即 时， 恒成立，
所以实数a的取值范围为 .
