2025 年秋随州高中教联体高一期中考试
数学试题
一、选择题
1-5 BCDDA 6-8BCB
二、选择题
9、ABD 10、ACD 11、ABD
三、填空题
71 3+2❑√5
12、 、 ∞ 、 ，
18 4
13 [0,+ ) 14 3
四、解答题
15、(1) 因为 A∪B=B,所以 A⊆B,
3m-2<-5
则 { ,
2m+2>-3
5
解得 - <m<-1,
2
5
即实数m的取值范围为 {m|- <m<-1};
2
(2)因为 A∩B≠∅,
2m+2>-3
-5≤3m-2<-3 -5<2m+2≤-3
则 { 或 { 或 { 3m-2<-5 ,
3m-2<2m+2 3m-2<2m+2
3m-2<2m+2
1 7 5 5
解得 -1≤m<- 或 - <m≤- 或 - <m<-1,
3 2 2 2
7 1
所以实数m的取值范围为 {m|- <m<- }.
2 3
ax-b
16、(1)由函数 f (x)= 是定义在(-3,3)上的奇函数，
9-x2
-b
得 f (0)= =0,解得b=0,
9
学科网（北京）股份有限公司经检验，b=0时， a(-x) ax
f (-x)= =- =-f (x),
9-(-x) 2 9-x2
ax
所以 f (x)= 是(-3,3))上的奇函数，满足题意，
9-x2
a 1
又 f (1)= = ,
9-12 4
解得a=2,
2x
故 f (x)= ,x∈(-3,3).
9-x2
函数f(x)在((-3,3))上为增函数，证明如下：
且
∀x ,x ∈(-3,3) x <x ,
1 2 1 2
2x 2x 2(x -x )(9+x x )
则 f (x )-f (x )= 2 - 1 = 2 1 1 2
2 1 9-x2 9-x2 (9-x2)(9-x2)
2 1 2 1
因为 -3<x <x <3,
1 2
所以 ,
x -x >0,9+x x >0,9-x2>0 9-x2>0,
2 1 1 2 1 2
所以
f (x )-f (x )>0,
2 1
即
f (x )>f (x ),
2 1
故f(x)在((-3,3))上为单调递增函数.
(2)因为f(x)为奇函数，所以-f(x)=f(-x)
不等式f(t+1)+f(2t)<0,可化为f(t+1)<-f(2t)=f(-2t),
又f(x)在((-3,3)上是单调递增函数，
t+1<-2t
所以 {-3<t+1<3,
-3<-2t<3
3 1
解得 - <t<- ,
2 3
所以关于的不等式解集为 ( 3 1)
- ,- .
2 3
17、(1)由题意，黄雪梅的平均配速为 分钟/千米)，
60
≈3.82
15.7
时速为v千米/时，配速
60
x= ;
v
(2)因为 (1) x
p(x)=m⋅ +f ,
3
学科网（北京）股份有限公司1
p(4)=m·( ) 4+f =0.93
3
结合已知可得 { ,
1
p(5)=m·( ) 5+f =0.95
3
解得
m=-2.43
{ ,
f =0.96
故m=-2.43,f=0.96;
(3)由(2)得, (1) x
p(x)=-2.43⋅ +0.96,
3
令 (1) x
p(x)=-2.43⋅ +0.96≥0.88,
3
得
1 8
xln ≤ln =ln8-ln243,
3 243
所以
ln8-ln243 3ln2-5ln3 3×0.6931
x≥ = =5- ≈5-1.89=3.11
-ln3 -ln3 1.0986
因此 即配速的最小值为3.11分钟/千米.
x =3.11,
min
18、解(1) 由f(-x)=-f(x),得: ( π) ( π)········1分
sin -x+ =-sin x+
3 3
所以
❑√3cosx=0.
π
所以存在 x = ∈R满足 f (-x )=-f (x )
0 2 0 0
所以函数 ( π)是“M类函数”
f (x)=sin x+
3
(2)因为 是定义在[-1,1]上的“M类函数”
f (x)=2x+m
所以存在实数：x₀ [-1,1]满足.
f (-x )=-f (x ),
0 0
∈
即方程 在 [-1,1]上有解,
2x+2-x+2m=0
令 t=2x ∈ [1 ,2 )
2
学科网（北京）股份有限公司则 1( 1)
m=- t+
2 t
因为 1( 1)在 [1,1]上递增,在[1,2]上递减
g(t)=- t+
2 t 2
1 5
所以当t= 或t=2时,m取最小值-
2 4
(3) 由 对x≥2恒成立,得m<1
x2-2mx>0
因为若 f(x)={
log
2
(x2-2mx),x≥2
为其定义域上的“M类函数”
-3,x<2
所以存在实数x₀，满足.
f (-x )=-f (x )
0 0
①当x₀≥2时, - x₀≤-2,
所以
-3=-log (x2-2mx ),
2 0 0
1 4
所以 m= x -
2 0 x
0
1 4
因为函数 y= x- (x≥2)是增函数,
2 x
所以m≥-1
②当 时，
-2<x <2 -2<-x <2,
0 0
所以-3=3, 矛盾
③当 时，
x ≤-2 -x ≥2,
0 0
所以
log (x2+2mx )=3,
2 0 0
1 4
所以 m=- x +
2 0 x
0
1 4
因为函数 y=- x+ (x≤-2)是减函数,
2 x
所以m≥-1
综上所述,实数m的取值范围是[-1,1)
学科网（北京）股份有限公司19、(1)
4❑√2-1
(2)证明: 当
x∈(3m,3m+1),m∈N,
x
那么 ∈(1,3),
3m
又因为f(3x)=3f(x),
因此 f (x)=3f (x) =32f ( x ) =⋯=3mf ( x )
3 32 3m
令函数 y=f (x)-❑√2x=0,那么函数 f (x)=❑√2x,
那么可得 因此x=0或 ,
3m+1x=3x2, x=3m
显然 都不在 内，
x=0、x=3m (3m,3m+1), m∈N
因此函数 在区间 上无零点；
y=f (x)-❑√2x (1,+∞)
(3)根据题设，f(kx)=kf(x),k≥2且
k∈N*,
1
当x (0,1], k且 k≥2,k∈N*,使 0< <x≤1,
k
因此∈ ∃
1<kx≤k,
即
kx∈(1,k),
所以
f (kx)∈[0,1),
那么 1 [ 1)
f (x)= f (kx)∈ 0, ,k≥2,
k k
当 时, 函数f(x)的取值范围是[0,1)
x∈(1,k)
当 x∈(kn,kn+1) 时，函数 f (x)=knf ( x ) , 且 x ∈(1,k),
kn kn
那么 ( x )
f ∈[0,1),
kn
因此
f (x)∈[0,kn),
学科网（北京）股份有限公司因此函数f(x)在 上的取值范围
(0,kn+1)(n∈N*) [0,kn).
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