高一数学试题参考答案
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1、解析 因为 M-N=2a(a-2)-(a+1)(a-3)=a2-2a+3=(a-1)2+2>0,所以 M>N。故选
A。
2、解析 因为 a>b>c>0,所以 2a>b+c,故 A 错误;取 a=3>b=2>c=1>0,则 a(b-
1 1
c)=3<b(a-c)=4,故B错误;由a>b>c>0可知,a-c>b-c>0,所以 < ,(a-c)3>(b-c)3,
a−c b−c
故C错误,D正确。故选D。
x2+1
3、解析 由 x2-ax+1≥0 在 1≤x≤2 上有解,得 ≥a 在 1≤x≤2 上有解,则 a≤
x
(x2+1) , 由 于 x2+1=x+1, 而 x+1在 1≤x≤2 上 单 调 递 增 , 故 当 x=2 时 ,x+
x x x x
max
1 5 5
取最大值 ,故a≤ 。故选C。
x 2 2
2 2
4、解析 f(x)= -log x的定义域为(0,+∞),且函数y= 和y=-log x在(0,+∞)上均为
2 2
x x
2 2
减函数,所以 f(x)= -log x 在(0,+∞)上单调递减。又 f(2)= -log 2=0,所以不等式
2 2
x 2
f(x)>0的解集是(0,2)。故选D。
b
5、解析 因为函数 y=ax 与 y=- 在(0,+∞)上都单调递减,所以 a<0,b<0,则
x
b
y=ax2+bx的图象开口向下,对称轴为直线x=- <0,所以y=ax2+bx在(0,+∞)上单调
2a
递减。故选B。
6、解析 依题意,在2 h内血液中药物含量Q持续增加,停止注射后,Q呈指数衰
减,图象B适合。故选B。
√ 1 2√2
7 、 解 析 由 已 知 得 sin α=-√1−cos2α=− 1− =− , 所 以 tan α=
9 3
sin α
=−2√2。故选C。
cos α8、解析 y=sin(π ) ( π),要求函数 y=sin(π )的单调递减区
−2x =−sin 2x− −2x
4 4 4
间,即求函数y=sin( π) 的单调递增区间。令-π+2kπ≤2x-π π+2kπ,k∈Z,
2x− ≤
4 2 4 2
π 3π
得 - +kπ≤x≤ +kπ,k∈ Z, 所 以 函 数 y=sin
8 8
(π ) [ π 3π](k∈Z)。故选A。
−2x 的单调递减区间是 kπ− ,kπ+
4 8 8
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选
项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有
选错的得0分。
9、解析 P={x|x2=4}={-2,2},故2∈P,故A,B正确。⌀不是P中的元素,故C错误。
因为-2 N,故D错误。故选AB。
1
10、解∉析 因为幂函数f(x)=xα的图象经过点(16,4),所以16α=4,则α= ,所以f(x)=
2
1= ,由其图象可知,A错误,B正确;当x>1时,f(x)>f(1)=1,故C正确;因为f(x)=
√x √x
x2
的图象是上凸的,所以f(x )+f(x )<f(x +x ),故D正确。故选BCD。
1 2 1 2
2 2
11、解析：因为 f(x)=sin( 3π) ( 3π) ( 3π π) sin
2x+ +cos 2x+ =√2sin 2x+ + =−√2
4 4 4 4
2x,所以f( π) ( π) cos 2x,f( π) 为偶函数,A正确。令 2x=
x− =−√2sin 2x− =√2 x−
4 2 4
π π k π k
+kπ,则 x= + π,k∈Z,即曲线 y=f(x)的对称轴为 x= + π,k∈Z,B 错误。令
2 4 2 4 2
π 3π,则π 3π,所以f(x)在 (π 3 ) 上单调递增,又 (π π) (π 3 ),所
<2x< <x< , π , ⊆ , π
2 2 4 4 4 4 3 2 4 4以f(x)在 (π
,
π) 上单调递增,C正确。因为f(x)
min
=-
√2
,所以D错误。故选AC。
3 2
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12、 (-7,12) 。 解析 因为-3<b<5,所以-6<2b<10,又-1<a<2,所以-7<a+2b<12。
13、 f ( x )= x 2 - 4 x +3 。 解析 因为f(2-x)=f(2+x)对任意x∈R恒成立,所以f(x)图
象的对称轴为直线x=2,又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2,所以f(x)=0的
两根为1和3,设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0),因为f(x)的图象过点(4,3),所
以3a=3,所以a=1,所以所求函数的解析式为f(x)=(x-1)(x-3),即f(x)=x2-4x+3。
14、 - 。 解析 因为sin 2α=-sin α,α∈(π ),所以cos α=-1,所以α=2π,
√3 ,π
2 2 3
因此tan(π-2α)=tan( 4π) ( π) 。
π− =tan − =−√3
3 3
四、解答题：本题共5小题，共77分
15、（本小题满分15分）
解 设矩形菜园的长和宽分别为 x m,y m,则x>0,y>0,由题意有2(x+y)=36,所以
(x+ y) 2 182
x+y=18,所以矩形菜园的面积 S=xy≤ = =81(m2),当且仅当 x=y=9时取等
4 4
号,所以当矩形菜园的长和宽都为9 m时,矩形菜园的面积最大,为81 m2。
16、（本小题满分15分）
解 待 定 系 数 法 : 因 为 f(x) 是 一 次 函 数 , 可 设 f(x)=ax+b(a≠0), 所 以
3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17, 即 ax+(5a+b)=2x+17, 所 以
{ a=2, { a=2,
解得 所以f(x)的解析式是f(x)=2x+7。
5a+b=17, b=7。
17、（本小题满分 15 分）解：设-1<x
1
<x
2
<1,f(x)=a(x−1+1)=a(
1+
1 ),则
x−1 x−1f(x
1
)-f(x
2
)=a(
1+
1 )-a(
1+
1 )= a(x
2
−x
1
) , 由 于 -1<x
1
<x
2
<1, 所 以 x
2
-
x −1 x −1 (x −1)(x −1)
1 2 1 2
x >0,x -1<0,x -1<0,故当a>0时,f(x )-f(x )>0,即f(x )>f(x ),函数f(x)在(-1,1)上单调递
1 1 2 1 2 1 2
减;当a<0时,f(x )-f(x )<0,即f(x )<f(x ),函数f(x)在(-1,1)上单调递增。
1 2 1 2
18、（本小题满分16分）
π π 10π
解 (1)因为α= ,R=10 cm,所以l=|α|R= ×10= (cm)。
3 3 3
1 1
(2)由已知,得 l+2R=20,所以 S= lR= (20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25。所以当
2 2
R=5(cm)时,S取得最大值,此时l=10(cm),α=2。
2π
(3) 设 弓 形 面 积 为 S , 由 题 意 知 l= cm, 所 以 S =
弓 形 弓 形
3
1 2π 1 π (2π ) cm2。
× ×2− ×22×sin = −√3
2 3 2 3 3
19、（本小题满分16分）
解 (1)f(x)= √3 1 1 ( π) 1
√3cos xsin x+sin2 x= sin 2x− cos 2x+ =sin 2x− +
2 2 2 6 2
。
2π π π π π π
(2)函数 f(x)的最小正周期为 =π,令- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z,则- +kπ≤x≤
2 2 6 2 6 3
+kπ,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为[ π π ],k∈Z。
− +kπ, +kπ
6 3
