文档内容
湖北省随州市部分高中 2024--2025 学年下学期 2 月联考
高一数学试题
本试卷共 4 页，19 题，全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟.
★祝考试顺利★
考试范围：
必修一； 必修二第 6 章
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考
证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置.
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写
在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答
题卡上的非答题区域均无效.
4、考试结束后，请将答题卡上交.
一、选择题：本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由对数的性质求定义域得集合 A，再判断集合 A、B 的关系.
【详解】由题设，可得 ，又 ，
所以 是 的真子集，故 A、B、D 错误，C 正确.
故选：C
2. 如果 ，那么下列不等式中，一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
第 1页/共 13页【分析】取 ，利用不等式的性质可判断 ABC 选项；利用不等式的性质可判断 D 选项.
【详解】若 ，则 ，所以， ， ，ABC 均错；
因 ，则 ，因为 ，则 ，即 .
故选：D.
3. 已知函数（f x）（x∈ ）满足（f x）=（f 2−x），若函数 y=|x2−2x−3|与 y=（f x）图像的交点为（x,y），
1 1
（x,y），…，
2 2
（x ,y ），则
m m
A. 0 B. m C. 2m D. 4m
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：因为 的图像都关于 对称，所以它们图像的交点也关于
对称，当 为偶数时，其和为 ；当 为奇数时，其和为 ，因此选 B.
【考点】 函数图像的对称性
【名师点睛】如果函数 ， ，满足 ，恒有 ，那么函数的图象有对
称轴 ；如果函数 ， ，满足 ，恒有 ，那么函数 的
图象有对称中心 .
4. 若 ，则 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数和幂函数的单调性比较大小可得答案.
【详解】 ，
因为 在 R 上为减函数，所以 ，
因为 在 上为增函数，所以 ，所以 ，
所以 ，
第 2页/共 13页故选：D.
5. 若 是第一象限角，则 是（ ）
A. 第一象限角 B. 第一、四象限角
C. 第二象限角 D. 第二、四象限角
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意求出 的范围即可判断.
【详解】由题意知， ， ，
则 ，所以 ， ．
当 k 为偶数时， 为第四象限角；当 k 为奇数时， 为第二象限角．
所以 是第二或第四象限角.
故选：D.
6. 的值（ ）
A 小于 0 B. 大于 0
C. 等于 0 D. 不存在
【答案】A
【解析】
【分析】根据 所在的象限判断三角函数值的符号再判断即可.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 .
故选:A.
7. 在 中 ， 角 A， B， C 的 对 边 分 别 为 a， b， c， ， 若 ，
，且 ，则 的面积为（ ）
A. 3 B.
第 3页/共 13页C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由向量平行的坐标表示结合余弦定理可得 ，再由三角形的面积公式求解即可；
【详解】因 ， ，且 ，
所以 ，化为 .
所以 ，解得 .
所以 .
故选：C.
8. 若 ,且 ,则四边形 是
A. 平行四边形 B. 菱形 C. 等腰梯形 D. 非等腰梯形
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可知 ，且 ，而对角线 ，由此可知四边形为等腰梯形．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴四边形 是等腰梯形，
故选：C．
【点睛】本题主要考查平面向量共线定理的应用，属于基础题．
二、选择题：本题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符
合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下面说法中，正确的为（ ）
第 4页/共 13页A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据集合的定义，表示方法及集合相等的条件逐个分析判断
【详解】解：方程 中 x 的取值范围为 R，所以 ，同理 ，所以 A
正确；
表示直线 上点的集合，而 ，所以
，所以 B 错误；
集合 ， 都表示大于 2 的实数构成的集合，所以 C 正确；
由于集合的元素具有无序性，所以 ，所以 D 正确．
故选：ACD．
10. 若定义在 上的偶函数 的图象关于点 对称，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用偶函数和中心对称，可推出函数的周期性，得相应的关系式，逐次判断各选项即可.
【详解】对于 A，因 是在 上的偶函数，故 ，故 A 正确；
对于 B，因 的图象关于点 对称，则有 ，即 ，故 B 正确；
对于 C，由 B 项已得， ，即得 ，故 C 正确；
对于 D，由 A 项 ，由 C 项 ，则得 ，
于是 ，即 的周期为 8；
第 5页/共 13页而由 D 项可得， ，即函数的周期为 4，产生矛盾，即 D 错误.
故选：ABC.
11. 在平面直角坐标系 中，角 顶点在原点 ，以 正半轴为始边，终边经过点 ，则
下列各式的值恒大于 0 的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据角 终边经过点 ，结合三角函数的定义可以判断角 的正弦、余弦、正切的
正负性，对四个选项逐一判断即可选出正确答案.
【详解】由题意知角 在第四象限，所以 ， ， .
选项 A， ；选项 B， ；选项 C， ；
选项 D， 符号不确定.
故选：AB.
三、填空题：本题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分
12. 已知函数 的零点位于区间 上，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的单调性，结合零点存在定理判断零点所在区间进而求解.
【详解】函数 的是减函数，
，
所以 ，所以函数 的零点位于区间 上，所以 .
故答案为： .
13. 已知 ，且 ，则 ___________.
【答案】
第 6页/共 13页【解析】
【分析】由 可知， ，再根据 ，即可求出
的值．
【详解】因为 ，所以 ，而 ，
所以 ．
故答案为： ．
14. 两个半径分别为 的☉M，☉N，公共弦 的长为 3，如图所示，则 =____________.
【答案】9
【解析】
【分析】取 的中点 ，连接 ，由向量投影求解即可；
【详解】
取 的中点 ，连接 ，由圆的性质，得 .
为两个圆 公共弦，从而圆心 在弦 的投影为 的中点，进而 在 上的投影向量
的模能够确定，所以由向量的投影定义.
可得：所以 ，
,
故答案为：9
第 7页/共 13页四、解答题：本题共 5 小题，共 75 分
15. 已知关于 x 的二次方程 .
（1）若方程有两根，其中一根在区间 内，另一根在区间 内，求 m 的取值范围；
（2）若方程两根均在区间 内，求 m 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】(1)把方程根的问题转化为抛物线与 轴的交点问题，根据题意画出图像，判断函数值得符号即可；
（2）和第一问的方法一样，数形结合，但要考虑对称轴在区间 的情况，避免漏解.
【详解】解：（1）由题设知抛物线 与 x 轴的交点分别在区间 和 内，画
出二次函数的示意图如图所示.得
，故 .
（2）如图 1-2 所示，抛物线与 x 轴交点落在区间 内，对称轴 在区间图 内通过（千万不
能遗漏），可列出不等式组
第 8页/共 13页，
于是有 .
16. 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定
成本为 3 万元，每生产 x 万件，需另投入流动成本为 万元．在年产量不足 8 万件时，
万元；在年产量不小于 8 万件时， 万元，每件产品售价为 5 元．通
过市场分析，小王生产 商品当年能全部售完．
（1）写出年利润 万元关于年产量 x 万件的函数解析式；(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本
)
（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）年产量为 10 万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是 15 万元
【解析】
【分析】（1）根据已知，分 以及 ，分别求解，即可得出函数解析式；
（2）分为 以及 两种情况，根据二次函数的性质以及基本不等式，即可得出答案.
【小问 1 详解】
因为每件产品售价为 5 元，则 x（万件）商品销售收入为 5x 万元，依题意得：
当 时， ，
当 时， ，
∴ ．
第 9页/共 13页【小问 2 详解】
当 时， ，
当 时， 取得最大值 9；
当 时， ，
此时，当 即 时， 取得最大值 .
综上所述，年产量为 10 万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是 15 万元.
17. 已知扇形的圆心角是 ，半径为 ，弧长为 .
（1）若 ， ，求扇形的弧长 .
（2）若扇形的周长是 20 cm，当扇形的圆心角 为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
（3）若 ，求扇形的弧所在的弓形的面积.
【答案】（1）
（2） 时，面积最大
（3） cm2.
【解析】
【分析】（1）直接利用弧长公式即可；
（2）由扇形的周长得 ，表示出扇形的面积，求最值即可；
（3）弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积.
【小问 1 详解】
由 ，则扇形的弧长 (cm).
【小问 2 详解】
由已知得， ，则 ，
∴
当且仅当 ，即 时扇形的面积最大，
此时圆心角 .
第 10页/共 13页【小问 3 详解】
设弓形面积为 ，由 ，得 ，
所以 .
18. 若平面上的三个力 作用于一点，且处于平衡状态，已知 , , 与
的夹角为 ，求：
（1） 的大小；
（2） 与 夹角的大小.
【答案】（1）（1+ ）N.
（2）
【解析】
【分析】（1）根据力的平衡．利用数量积进行求解 的大小；
（2）解法一，根据力的平衡，利用数量积求解夹角；解法二，利用数量积进行求解夹角.
【小问 1 详解】
因为三个力平衡，所以 ，
所以
,
故 的大小为 .
【小问 2 详解】
解法一：设 与 的夹角为θ，
则 ，
即 = ，解得 ，
第 11页/共 13页因为 ，所以 .
解法二：设 与 的夹角为θ，得 ，
因为 ，所以 .
19. 在 中， 的角平分线交 边于 点.
（1）证明： .
（2）若 ，且 的面积为 ，求 的长.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）首先设 ， ，得到 ， ，再利用正弦定理证明
即可.
（ 2） 设 ， 所 以 ， 设 ， 根 据 的 面 积 为 ， 得
到
， ，再利用余弦定理求解即可.
【小问 1 详解】
如图所示：
设 ， ，则 ， .
和 中分别运用正弦定理，得 ， ，
所以 ，即 ，
又因为 ，故 ，即 .
【小问 2 详解】
设 ，所以 ，设 .
第 12页/共 13页由 ，可得 .
所以 .
因为 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 .
又 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
第 13页/共 13页
