文档内容
2025～2026 学年度上期高中 2025 级期中考试
数学
考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填
写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”．
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后
再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题
区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效．
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 下列集合符号运用不正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系，结合各数集的定义来判断各选项中集合符号的运用是
否正确.
【详解】A选项，集合 中的元素 和 都是自然数，所以集合 是自然数集 的子集，即
，A选项集合符号运用正确；
B选项，对于方程 ，在实数范围内， ，则 ，方程 无解，所以集合
是空集，空集 是集合 的子集， B选项集合符号运用正确；
C选项， 是一个无限不循环小数，是无理数，不是整数，所以 不属于整数集 ，即 ，C
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学科网（北京）股份有限公司选项集合符号运用不正确；
D选项，分数属于有理数，所以 属于有理数集 ，即 ，D选项集合符号运用正确.
故选：C.
2. 命题“ ， ”的否定是（ ）．
A. ， B. ，
.
C ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据特称命题的否定规则来求出给定命题的否定形式.
【详解】原命题“ ”是特称命题，存在量词为“ ”，将其改为全称量词“ ”；
原命题的结论是“ ”，其否定为“ ”.
故选：A.
3. 下列各组函数中表示同一个函数的是（ ）．
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】B
【解析】
【分析】分别分析各选项中两个函数的定义域和对应关系，判断是否同时相同以确定同一函数.
【详解】A选项，对于 ， ；对于 ， ，所以不是同一函数.
B选项， ，所以是同一函数.
C选项，对于 ， 时， ；对于 ， 时， ，
所以不是同一函数.
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学科网（北京）股份有限公司D选项，对于 ，由 解得 ；
对于 ，由 解得 或 ，
所以不是同一函数.
故选：B
4. 已知幂函数 的图象过点 ，则（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意设 ，代入点 ，即可得解.
【详解】设 则 ，解得 .
故选：D
5. 已知命题 ， ，则p是q的（ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】本题通过分析命题 和 之间的推出关系判断充分、必要条件.
【详解】若 ，则 一定成立，故 ；
.
若 ，则 或 ，不一定有 ，故
因此， 是 的充分不必要条件.
故选：A.
6. 已知函数 ，且 ，则 的值为（ ）．
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学科网（北京）股份有限公司A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】令 ，利用换元法求出 的解析式，再计算即可得解.
【详解】令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
又 ，即 ，解得 ，
所以 的值为2.
故选：B
7. 已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）．
A. 4 B. 8 C. 16 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】巧妙地利用“1”将 变形为 ，再利用基本不等式求解即可.
【详解】因为 ， ，所以 .
又因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
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学科网（北京）股份有限公司所以 的最小值为16.
故选：C
8. 已知函数 的定义域为 ，且 ，当 ， 时，
恒成立．若 ，则不等式 的解集为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造奇函数 ，分析其单调性与奇偶性，结合特殊点求解不等式.
【详解】令 ，则 ，故 是奇函数.
由 时， 恒成立，知 在 上单调递减.
因为 是奇函数，故 在 上也单调递减.
由 ，得 ，则 .
解不等式 ，即 .
当 时， ，因 在 上单调递减，故 ；
当 时， ，因 在 上单调递减，故 .
综上，解集为 .
故选：C
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学科网（北京）股份有限公司二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题为真命题的是（ ）．
A. 若 ， ，则
B. 若 ，则
C. 若 ， ，则
D. 若 ， ，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据不等式的性质分析判断A；利用作差法判断BD；利用不等式性质求解范围判断C.
【详解】对于A，因为 ， ，所以 ，错误；
对于B， ，因为 ，所以 ，所以
，所以 ，正确；
为
对于C，因 ， ，所以 ，错误；
对于D，由 ， ，得 ，
所以 ，正确.
故选：BD.
10. 已知函数 ，下列说法正确的是（ ）．
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学科网（北京）股份有限公司A. 直线 是曲线 的对称轴
B. 若函数 在 单调递减，则
C. 当 时， 的值域为
D. 对 ，不等式 成立
【答案】BCD
【解析】
【分析】通过特殊值法、函数单调性分析、值域求解、作差比较法分别判断每个选项的对错.
【详解】选项A，取 ， ；
取 ， ， ，
故直线 不是对称轴，A错误.
选项B，当 时， ，其单调递减区间为 ，
故若 在单调递减，则 ，B正确.
选项C，当 时， ，当 时， 取得最小值-4；
当 或 时， 取得最大值0，故值域为 ，C正确.
选项D，设 ，计算 ，
，则 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
故 ，D正确.
故选：BCD
11. 已知 ， ，且 ，下列说法正确的是（ ）．
A. 的最小值为8 B. 的最大值为32
C. 的最大值为 D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基本不等式将条件变形为 ，解不等式求出 即可判断A；
利用 ，求出 ，即可判断B；由条件得 ，再利用“1”的变形及
，求出 的最大值即可判断C；由条件得 ，利用它将 变形为
，再利用基本不等式求出其最小值即可判断D.
【详解】 ， ， ，
即 ，
当且仅当 ，即 时取等号.
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学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ，即 ，
解得 或 （舍），即 ， 的最小值为8，故A正确；
由选项A知 ， ，
当且仅当 时取等号， 的最小值为32，故B错误；
，即 ，
，即
由选项A知 ， ，当且仅当 时取等号.
的最大值为 ，故C正确；
， .
， ， ， ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 最小值为 ，故D正确；
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数 ，则 ______．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】根据题意，先求得 ，进而求得 的值，得到答案.
【详解】由函数 ，可得 ，
所以 .
故答案为： .
13. 已知函数 是偶函数，当 时， ，则当 时， 的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题通过偶函数的性质求出 时的函数解析式，再解一元二次不等式得到解集.
【详解】设 ，则 ，由 时 ，得 .
因 是偶函数，故 .
解不等式 （ ），因式分解得 ，
结合 ，得 ，即 .
故答案为：
14. 若对 ，不等式 恒成立，则 的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据不等式恒成立条件确定 与 的关系，再通过换元法将代数式转化为二次函数形式，利用
基本不等式求最小值.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由于 ，不等式 恒成立，
所以 ，且 与 有相同解，即 ，
令 ，则 ， .
将 ， 代入 ，得：
，
设 ，由 得 ，当且仅当 时等号成立，
则上式变为 ，
当 （即 ）时，取得最小值 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合 ， ．
（1）当 时，求 ， ；
（2）若 ，求实数a的取值范围．
【答案】（1） ， 或
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学科网（北京）股份有限公司（2）
【解析】
【分析】（1）通过代入 确定集合 ，再分别求交集和并集的补集.
（2）由并集关系转化为子集关系，列出不等式组求解参数范围.
【小问1详解】
当 时，
， ，
故 或 .
【小问2详解】
由 ，得 ，则 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 .
16. 已知命题 ， ，命题q：集合 中至多有一个
元素．
（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若q为真命题，求实数m的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据题意得到 ，求出答案；
（2）分别讨论 、 解的个数，求出答案.
【小问1详解】
因为命题 为真命题，即 在 上恒成立，
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学科网（北京）股份有限公司则判别式 ，
即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 ；
【小问2详解】
当 时， (满足题意)，
当 时，由集合A中至多有一个元素，
得 ，即 ，
综上所述： 的取值范围为 .
17. 已知函数 ．
（1）若 的解集为 ，求不等式 的解集；
（2）若 ，求不等式 的解集．
【答案】（1） ；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与对应方程根的关系求出 、 的值，再代入新的不等式求解；
（2）先将 表示出来，然后对 进行分类讨论求解不等式.
【小问1详解】
已知 ，且 的解集为 ，
说明 和 是方程 的两个根；
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学科网（北京）股份有限公司根据韦达定理对于方程 ，两根为 和 ，
则有 ， 解得 ，
解不等式 ，即， ，
其对应方程的根为 或 ，
所以不等式 的解集是 ；
【小问2详解】
，
即解不等式 ，其中 ，需对 分类讨论：
情况1： 时：
不等式变为 ，解得 ，因此解集为 ；
情况2： 时：
则 ，
方程的根为 和 ，需比较 和 的大小；
当 时， ，不等式变为 ，无实数解，解集为 ；
当 时， ，不等式 的解集是 ；
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，不等式 的解集是 ；
综上，不等式 的解集：
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
18. 已知函数 是定义在 上的奇函数．
（1）求n的值；
（2）判断 在 上的单调性，并用单调性的定义证明；
（3）设 ，解不等式 ．
【答案】（1）
（2） 在 上单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数 求 ；
（2）通过单调性定义证明函数单调性；
（3）分析 的奇偶性与单调性，将原不等式转化为关于 的不等式组求解．
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，即 ，解得 .
【小问2详解】
在 上单调递增.
证明：由（1）知 ，任取 且 ，
则 ，
因为 ，所以 ；又 ，故 ， ，
因此 ，即 ，所以 在 上单调递增.
【
小问3详解】
由 ，结合 的奇偶性与单调性，知 是偶函数，
且在 上单调递增，在 上单调递减.
不等式 等价于 且 ， .
解 ：平方得 ，解得 或 ；
解 ：得 ； 解 ：得 .
取交集得 或 .
所以不等式的解集为 .
19. 已知函数 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）若方程 恰有两个不等的负根，求实数k的取值范围；
（2）若 ，
①求 在 上的最大值 ；
②在①的条件下，对 ，总存在 ，使得 成立，求实数t的取
值范围．
【答案】（1）
（2）① ②
【解析】
【分析】（1）将条件转化为 恰有两个不等的负根，根据判别式及韦达定理列出不等式组，
求解即可；
（2）①设 ， ，分 三种情况分别求出 的
取值范围，再根据 的范围即可得到 的解析式；②由 的范围求出 的范围，设
，分析出要使条件成立须满足 的值域是 值域的子集.然后对
函数 分一次函数和二次函数讨论，在二次函数的前提下，再根据开口方向及对称轴的位置，分别列
出不等式组，计算即可.
【小问1详解】
设方程 的两根为 ，
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学科网（北京）股份有限公司由 ，可得 ，即 ，
因为方程 恰有两个不等的负根，
即 恰有两个不等的负根，
所以可得 ，解得 ，
所以实数k的取值范围 ；
【小问2详解】
①设函数 ， .
当 时， ，易知 ；
当 时， ，根据对勾函数的性质，
可知 在 上单调递减，在 上单调递增，
且当 时， ，所以 ，
所以 ，
即 ；
当 时，易知 在 上单调递增，
即 的取值范围为 ，所以 ，
由 ，解得 或 （舍去），
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
综上， .
②由①知当 ， ，
设 ，
对 ，总存在 ，使得 成立，
即 的值域是 值域的子集.
当 时， ，不满足是 的子集；
当 时， 是二次函数，图象开口向上，对称轴为 ， ，
（i）若 ， 在 上单调递减，
所以 ，即 ，该不等式组无解；
（ii）若 ， 在 上单调递减，在 单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ， ，该不等式组无解；
（iii）若 ， 在 上单调递减，在 单调递增，
所以 ，即 ，解得 ；
当 时， 是二次函数，图象开口向下，对称轴为 ，
在 上单调递减，
，即 ，该不等式组无解.
综上，实数t的取值范围是 .
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学科网（北京）股份有限公司
