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绵阳南山中学 2023 年高一新生入学考试数学试卷题
命题人：青树国 审题人：石智文
本测评题分试题卷和答题卷两部份，试题卷共5页，满分150分，时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，请将本人的信息用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填在答题卡的对应位
置上；
2.选择题的答案，必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑；
3.请用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔将每个题目的答案答在答题卷上每题对应的
位置上，答在试题卷上的无效.作图一律用2B铅笔或0.5毫米黑色签字笔；
第Ⅰ卷（选择题，共36分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有
一个是符合题目要求的.
1. 的平方根为（ ）
A. B. C. 3 D. 3
2. 下列各式，运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示.
如果记数字6对面的数字为 ，数字2对面的数字为 ，那么 的值为（ ）
.
A 3 B. 7
C. 8 D. 11
4. 点 ， 在反比例函数 的图象上，且 ，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
5. 设全集 ，集合 ， ，则图中的阴影部分表示的集合
为（ ）
A. B. C. D.
6. 在 中， ， ， ，点 在边 上， ， 的半径长为3，若
与 相切，且点 在 内，则 的半径长度为（ ）
A. 2或8 B. 5或8 C. 5 D. 8
7. 数据 ， ， …， 分别是某学校教职工 个人的年收入，设这 个数据的中位数
为 ，平均数为 ，方差为 ，如果再加上世界首富的年收入数据 ，则对这 个数据，下列说法
正确的是（ ）
A. 年收入平均数增大，中位数可能不变，方差变大
B. 年收入平均数增大，中位数一定变大，方差变大
C. 年收入平均数增大，中位数可能不变，方差可能不变
D. 年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
8. 一座楼梯的示意图如图所示， 是铅垂线， 是水平线， 与 的夹角为 .现要在楼梯上铺一
条地毯，已知 米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（ ）
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学科网（北京）股份有限公司.
A 米 B. 米
.
C 米 D. 米
9. 有一枚质地均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，任意抛掷一次该骰子，
朝上的面的点数记为 ，计算 ，则其结果大于 的概率是（ ）
A. B. C. D.
10. 若关于 的不等式组 的解是 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知集合 ，则满足条件 的集合 的个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
12. 对于每个非零自然数 ，抛物线 与 轴交于 、 两点，以 表示这
两点间的距离，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共114分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.请将答案填写在答题卷中的横线上.
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学科网（北京）股份有限公司13. 已知对任意的 ， ，都有 则 的
值为__________.
14. 底面圆半径为 ，高为 的圆锥，其侧面展开扇形圆心角的度数为_______.
15. 已知 ， ，若集合 ，则 的值为__________.
16. 若 ，则 的值为__________.
17. 如果关于 的分式方程 无解，则 的值为__________.
.
18 对于正数 ，规定 ，计算
__________.
三、解答题：共7小题，满分90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
19. （1）计算： .
（2）先化简，再求值： ，其中 .
20. 某校为庆祝中华人民共和国建国 周年，以“不忘初心，牢记使命”为主题开展了“唱红歌”比赛，
工作人员根据参赛选手的成绩绘制了如下不完整的统计图表：
分数段 频数 频率
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学科网（北京）股份有限公司请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）求上表中的数据 、 的值；
（2）通过计算，补全频数分布直方图；
（3）比赛成绩的中位数落在哪个分数段？
（4）如果比赛成绩在 分以上（含 分）的选手为获奖选手，那么我们随机的从本次参赛的所有选手中
抽取出一个人，求恰好抽中获奖选手的概率？
21. 已知一次函数 的图象经过 ， 两点，并且交 轴于点 ，交 轴于点 .
（1）求 的值；
（2）求证： .
22. 为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县 、 两类薄弱学校全部进行改造.根据预算，共需资金
1575万元.改造一所 类学校和两所 类学校共需资金230万元；改造两所 类学校和一所 类学校共需
资金205万元.
（1）改造一所 类学校和一所 类学校所需的资金分别是多少万元？
（2）若该县的 类学校不超过5所，则 类学校至少有多少所？
（3）我市计划今年对该县 、 两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担.若
今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投
入到 、 两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元.请你通过计算求出有几种改造方案？
23. 如图， 内接于半圆， 是直径，过 作直线 使 . 是弧 的中点，
交 于 ， 于 ，交 于 .
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证： 是半圆的切线；
（2）求证： .
（3）若 的面积为 ，且 ， ，求 的面积.
24. 如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于 、 两点， 点在 点左侧.点
的坐标为 ， .
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点 是线段 下方抛物线上的动点，求四边形 面积的最大值；
（3）若点 在 轴上，点 在抛物线上.是否存在以 、 、 、 为顶点且以 为一边的平行四边形？
若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由.
25. 如图1，已知直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ，过直线 上的两点 、 分别作
轴的垂线段，垂足分别为 和 ，其中 ， .
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学科网（北京）股份有限公司的
（1）如果 ， ，试判断 形状；
（2）如果 ，（1）中有关 的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说
明理由；
（3）如图2，题目中的条件不变，如果 ，并且 ，求经过 、 、 三点的抛物线所对
应的函数关系式；
（4）在（3）的条件下，如果抛物线的对称轴 与线段 交于点 ，点 是对称轴上一动点，以点 、
、为顶点的三角形和以点 、 、 为顶点的三角形相似，求符合条件的点 的坐标.
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